Разностные методы решения нелинейных нестационарных задач с двойным вырождением

Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования во многих областях современного естествознания. Помимо традиционных сфер, таких как физика, химия, техника математическое моделирование нашло применение и в биологии, медицине, экономике и т. д.

Многие задачи современного естествознания описываются дифференциальными уравнениями с частными производными. В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения таких уравнений является конечно-разностный метод или метод сеток. Теория этого метода для линейных задач математической физики развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах [21], [22], [66], [24], [18], [77], [78], [79], [80].

Значительно слабее изучены разностные схемы для нелинейных задач. С наибольшей полнотой разработаны и исследованы численные методы решения нелинейных задач в предположении существования гладкого решения (см., например, [1]-[7], [11]-[15], [32], [43]—[46], [50], [55], [81], [84], [85]). Достаточно подробно изучены разностные схемы для уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами [20], [21], [36], [53], [67], [69]. Класс же нелинейных задач, имеющих прикладной интерес, значительно шире. Он постоянно пополняется, поскольку для более точного математического описания различных процессов и явлений приходится вводить новые нелинейные модели, часть которых не укладывается в ранее разработанные теории и не только с точки зрения численного решения, но и с точки зрения разрешимости самих задач. Примером могут служить нестационарные задачи, получившие в научной литературе название задач «с двойным вырождением». Термин «двойное вырождение» подразумевает, что рассматриваемое уравнение (или вариационное неравенство) содержит нелинейность и вырождение и в пространственном операторе, и во «временных слагаемых». Такие задачи часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации, диффузии, таянии ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации (см. [9], [16], [31], [37], [68]).

По-видимому, первой работой, в которой был исследован вопрос существования обобщенного решения для подобного уравнения, является статья Ю. А. Дубинского [25]. Доказательство существования решения в этой работе проводится с помощью эллиптической регуляризации. Позднее Равьяр [96], используя доказанную в работе [25] теорему компактности, установил существования обобщённого решения для уравнения вида д (иа~2и) «д ди р-2 ди dxi.

1) dt i=1 dxi.

При этом существенно использовалась монотонность пространственного оператора и возникало ограничение на связь параметров а, р и п. Там же была доказана сходимость неявной разностной схемы в одномерном случае. В работах [91], [ТО] аналогичная методика применялась для исследования существование решения уравнений более общего вида. Изучению некоторых свойств решения уравнения (1) посвящена работа [89].

Существенный шаг вперед в изучении уравнений с двойным вырож-нием был сделан с появлением работы [86]. Здесь была доказана новая теорема о компактности, позволяющая исследовать задачи с непотенциальными операторами, без ограничений на параметры а, р и п и при более слабых предположениях на гладкость исходных данных. В работе [86] исследовалась система уравнений с двойным вырождением с пространственным оператором, зависящим и от градиента решения, и непосредственно от самого решения. Обозначим его L (u, Vu). В [86] предполагается, что.

L{u, Vv) — L (u:Vw), v — w) > co\v — w\p Vu, v, w, (2) где со = const >0.

Операторы, удовлетворяющие (2)^при cq > 0 естественно называть сильно монотонными по градиенту, при cq = 0 — монотонными по градиенту.

В [86] доказана теорема существования решения для уравнений с двойным вырождением, получены некоторые результаты о гладкости решения, доказана теорема о разрешимости вариационного неравенства с двойным вырождением при достаточно сильном ограничении на пространственный оператор, близком к условию потенциальности. В [100] проведено обобщение результата [86] для уравнений на случай монотонного по градиенту непотенциального оператора.

Проблеме существования обобщенного решения для параболических уравнений с двойным вырождением посвящены также работы [8], [88], [90], [42]—[47], [92], [97], [98], [101]. В работах [26]—[30] был получен ряд результатов о регулярности обобщенного решения уравнения с двойным вырождением, получены гельдеровские оценки.

Вопрос единственности решения для уравнений с двойным вырождением долгое время оставался открытым (см. [28]). В литературе имелись лишь результаты частного характера о единственности гладкого решения [89] или о единственности решения, являющегося пределом гладких решений, [86], [87], [99]. Наиболее общий результат был получен в 1996 г. Ф. Отто [94]. В этой работе Ф. Отто для задачи, рассмотренной в [86] доказал единственность решения, используя оригинальную методику, основой которой послужили идеи работы С. Н. Кружкова [93].

Что касается исследования сходимости разностных схем, для уравнений с двойным вырождением, то здесь следует отметить, в первую очередь работу [96], где исследовалась в одномерном случае сходимость неявной разностной схемы, а также работы [10], [83], [84], где «временная нелинейность» не имеет особенности, и предполагается гладкость решения.

Предмет исследования данной работы — уравнения и вариационные неравенства с двойным вырождением с монотонным по градиенту пространственным оператором.

Основное внимание в работе уделяется построению и исследованию сходимости сеточных методов решения указанных задач. При этом учитывается, что характерной особенностью задач с двойным вырождением является негладкость решения. Поэтому исследование сеточных методов проводится при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросами о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи, поскольку из сходимости сеточного метода часто следует существование решения дифференциальной задачи, а единственность решения позволяет усилить результат о сходимости. Поэтому в диссертацию включены результаты о единственности и существовании обобщенного решения в тех случаях, когда они являются новыми.

Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теоремы существования используется метод полудискретизации, метод Галеркина и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматор-ных тождеств [33]—[35]. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа. Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской [38]—[41].

Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит шесть параграфов и посвящена исследованию следующей краевой задачи djf^-%Ua'{u)kAWu)) = f' (3) и (х, 0) = щ (х), ит (х) = 0. (4).

Предполагается, что ip (?) — абсолютно непрерывная, строго возрастающая функция, удовлетворяющая при любом (6 Д1 следующим условиям bo I? Гbi < ф (0 = /.

1, Ь0 > 0, bi > 0, b2 > 0, 63 > 0, 64 > 0, 65 > 0, Ь6 > 0. о 1.

Функции а^, кг таковы, что оператор действующий из ]УР (П) в ЦГр1^) (1 /р+ 1 /р' = 1), определенный равенством является непрерывным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту. Допускается вырождение оператора Ь по 7г>. В первом параграфе первой главы дана постановка задачи. Второй параграф посвящен доказательству единственности обобщенного решения задачи (3)-(4).

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 1. Пусть функции сц, удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,.

I — |< I, а — 6 I 6 е Д Уж е О, > о. (5).

Тогда при любых задача (3)-(4) имеет единственное обобщенное решение.

При доказательстве единственности решения используется методика, разработанная в [94].

В третьем параграфе первой главы сформированы и доказаны вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

В четвертом параграфе первой главы для решения задачи (3)-(4) рассматривается явная разностная схема следующего вида щ (у) + Ау = Лт, (6).

2/(®, 0) = Уо (х), уг = 0. (7).

Здесь, А — сеточная аппроксимация оператора Ь, построенная методом сумматорных тождеств (см. [33]—[35]), а функции Дт, уо являются разностными аналогами функций / и^о соответственно.

Для решения разностной схемы (6)-(7) получены априорные оценки восполнений сеточных решений, на основе которых с помощью теорем из [54], [56], [86] доказывается сходимость кусочно-постоянных восполнений решения (6)-(7) к обобщенному решению исходной задачи.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 2. Пусть функции </?, ау, кз удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того,.

8) (9).

10) (Н).

12) существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (6)-(7), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)-(4).

Если /? 1а (0, ТЬ (П)), а функции аг удовлетворяют условию (5), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (3)~(4).

В пятом параграфе первой главы предлагается схема, названная регуляризованной: срь (у) + оу1 + Ау — Дт, (13).

У{х, 0)=у0{х), уг = 0, (14) где А, fhT, ср, уо — те же, что и в схеме (6)-(7), а, а — некоторая положительная постоянная (параметр регуляризации). Отметим, что схема (13)—(14) по реализации близка к явной, однако^при доказательстве сходимости не требуется выполнения условий (8), (9). Здесь доказана.

0 > *>61? Ia" 2 пРи > 2, р-Щ' >Ч£ |(2-Q)/(a-1} при, а < 2, / е Zy (0,TП La (0,TW^T1^)), щеЬа (П) n ti^(ii). Тогда при т, h, удовлетворяющих соотношениям г < cA" s, г А* —0 тград г, /г 0, г (?е s = тах{р, a}/min{a — 1,1}, s = тах{р, а, о-'},.

2фг frl+nfr-aVap' еСЛИ Р ^ «>

Аа = —-—, еслгх 1 < р < а, п.

Теорема 3. Пусть функции р, а^ kj удовлетворяют перечисленным выше условиям, кроме того, Е Ьр,(0,Т-?р-1(П))ПЬ2(0,Г- ^(П)), и шаги сетки т, И выбраны так, что параметр р, определенный соотношениями о 4п2/р р = гЛ2 = т при 1 < р < 2, р = гЛ^ЛГ2 =.

2рп.

Ьр+п (р—2)(р-а)/ар При Р ^ 2, О- > 2, г-^- при, а < 2 < р, удовлетворяет соотношениям р < 1, р —> 0 при т, Н О, а параметр регуляризации сг выбран так, что.

1−7.

СГ = (Т0р Г, где 0 < 7 < 1 — произвольная постоянная, — константа, определяемая исходными данными задачи, тогда существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (13)-(Ц), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)-(4).

Если / Е 1а (О, Та функции щ удовлетворяют условию.

5), то вся последовательность кусочно-постоянных восполнений сходится к обобщенному решению задачи (3)-(4).

В последнем параграфе первой главы приведены результаты численного исследования разностных схем для задачи (3)-(4) на примере задачи о свободном растекании неньютоновской жидкости или куполовидного ледника с нулевым балансом массы.

Численные исследования проводились в одномерном случае. Анализ проведенных экспериментов позволяет сделать вывод, что явная схема дает хорошие результаты. Неявная разностная схема, реализованная методом Ньютона, не на много улучшает результаты явной разностной схемы и сохраняет зависимость между шагами т, /г, поскольку для сходимости метода Ньютона требуется высокая точность начального приближения. Регуляризованная разностная схема дает решения близкие к решениям явной разностной схемы, если итерационный параметр, а выбран оптимально.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюционного вариационного неравенства с двойным вырождением вида: f, v-u)dt Vv? K, (15) где о (i).

К = {v, veLpiO^Wp (ii))nLoo (0,T-Le (n)), v > g почти всюду в О x (0,Т]}, (w, v) значение функционала w из 1у (0,ТИ⁷¹(0)) на элементе v из о (i).

Lp (0,T]Wp При определении решения вариационного неравенства полагается, что функция и такова, что 6 M0, T-V (n)). и (х, 0) = щ (х) почти всюду В Qt. (16).

В первом параграфе дана постановка задачи, определено обобщенное решение.

Во втором параграфе доказана теорема существования обобщенного решения вариационной задачи (15)—(16). Доказательство проводится с помощью метода полудискретизации со штрафом. Под решением о 1 полудискретной задачи понимается функция y (t) е Wp (II) П La (u) Vi G ujt такая, что г/(0) — tí-o (ж) почти всюду в о 1 и для любой функции w? WP (fi) П La{Cl) Vi € lot справедливо равенство^Pt ((y (t) -g (t))+ + g{t))wdx + (Lg (y (t), Vy (i)),"->+ u.

-/ (3(у (1)-д{1))и](1х = (/г (*), ю>.

Здесь е — параметр штрафа, /т и д полудискретные аналоги функций / и д :

1 1 т т ¦".

7″ т.

4 4 операторы ?3 определены следующими равенствами.

Угх) = ?((V — .

Доказана.

Теорема 4. Пусть д € Ьоо (0,Т- 1/а (П)) П ¿-р (0, ТИ^(П)), р|г < О, дЬ.

О (1) о гр ПЬа (0), г4о (ж) > д (х, 0) почти всюду в О, (17).

Тогда существует подпоследовательность восполнений решения полудискретной задачи, сходящаяся к решению задачи (15)-(16).

В третьем параграфе второй главы исследуется единственность решения вариационной задачи (15)—(16). Установлено, что при выполнении условия а{(х,?)-(ц (х, г))<�с€-г1 г] <Е Д1, г = 1,., п (18) решение задачи (15)—(16) единственно в классе функций, удовлетворяющих включению д<�р (и) дг еХ2(0,Г-Ь2(П)). (19).

Кроме того, здесь показано, что если, а > 2, А — монотонный оператор, / 6 ?1(0, ТЬ (П)^справедливо соотношение (18), то задача (15)—(16) ^ будет иметь решение, удовлетворяющее (19).

В четвертом параграфе для решения вариационного неравенства.

15)—(16) при д = const предлагается следующая разностная схема.

Ш +Ау+ -д)= fhT, (20) у (х, 0)=у0(х), У|г — 0. (21).

Здесь А, filT — разностные аппроксимации оператора L и функции /, определенные так же, как и в первой главе.

Основным результатом этого параграфа является следующая Теорема 5. Пусть функции (р, aj, kj удовлетворяют условиям теоремы 2, кроме того, о v-еея1 и выполнены соотношение (17).

Тогда при любых т, hue, удовлетворяющих (9), (10) и таких, что < с где s = тах{а, а', р}, а определена (12), существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (20)-(21), сходящаяся к обобщенному решению задачи (15).

16).

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Доказана единственность решения нелинейных эволюционных уравнений с двойным вырождением.

2. Для решения уравнения с двойным вырождением предложены две разностные схемы, исследована их сходимость.

3. Доказана теорема существования обобщенного решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

4. Доказана теорема о единственности гладкого решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении.

5. Предложен сеточный метод решения вариационного эволюционного неравенства, доказана его сходимость.

— 13.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54], [56]-[65], [73], [95] и докладывались на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.), на Международной конференции «Optimization Of Finite Element Approximations» (St.-Petersburg, 1995), на Всероссийском семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач» (Казань, 1996 г., 1998 г.), на 8-ой Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Абрау-Дюрсо, 1999 г.), в Казанском университе (семинар А.Д. Ляшко), а также на итоговых конференциях КГУ 1994;2000 г.

1. Абрашин В. Н. Сходимость метода сеток для многомерных квазилинейных задач теплопроводности // Докл. АН БССР. -1972. — Т.16. — N 10. — С. 877−880.

2. Абрашин В. Н. О равномерной сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений параболического типа // Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук. 1973. — N 2. — С. 23−31.

3. Абрашин В. Н. Разностные схемы для нелинейного параболического уравнения, не разрешенного относительно старших производных // Дифференц. уравнения. 1975. — Т.11 — N 4. -С. 694−707.

4. Абрашин В. Н. О разностных схемах для нестационарных задач с неограниченной нелинейностью // Докл. АН БССР. 1976. -Т.20. N 8. С. 680−683.

5. Абрашин В. Н. О некоторых разностных схемах для задач лучистой теплопроводности // Докл. АН СССР. 1976. -Т.230- N 4. С. 753−756.

6. Абрашин В. Н. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. I // Дифференц. уравнения. 1976. Т.12. N 8. — С. 1470−1484.

7. Абрашин В. Н., Цурко В. А. Разностные схемы для параболических уравнений с нелинейным вырождением. II // Дифференц. уравнения. 1978. — Т.14. — N 7. — С. 1215−1223.

8. Агаев Г. Н. О разрешимости задачи Коши для одного класса нелинейных операторных уравнений // Некоторые вопросы теории нелинейного анализа / Ин-т мат. и мех. АН Аз.ССР. -1990. вып.2. — С. 3−18.

9. Антонцев С. Н., Мейрманов A.M. Математические модели совместного движения поверхностных и подземных вод. -Новосибирск: изд.-во НГУ, 1979. 80 С.

10. Арделян H.B. Метод исследования сходимости нелинейных разностных схем // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23. — N 7. С.1116−1127.

11. Баклановская В. Ф. Численное решение одномерной задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. — Т.1. — N 3. — С. 461−469.

12. Баклановская В. Ф. Численное решение второй краевой задачи для одномерного уравнения нестационарной фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. — Т.1. — N 6. — С. 1129−1134.

13. Баклановская В. Ф. О некоторых нелинейных задачах нестационарной фильтрации // Прикл. матем. и мех. 1962. — Т.26. -N 1. — С. 196−200.

14. Баклановская В. Ф. Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и кубатурные формулы. М.: Наука, 1964. — С.228−243.

15. Баклановская В. Ф., Гаипова А. Н. Об одной двумерной задаче нестационарной фильтрации // Численные методы решения задач математической физики. М.: Наука, 1966. — С.237−239.

16. Бернадинер М. Г., Ентов В. М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. — 199 С.

17. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М: Наука, 1972. — 416 С.

18. Вабищевич П. Н., Самарский A.A. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. — Т.35. N 7. С. 1011−1021.

19. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.:Мир, 1978. 336 С.

20. Глазырина JI.JI., Павлова М. Ф. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Изв.вузов. Математика. 1984. — N 9. — С. 72−75.

21. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численные исследования вариационных неравенств. М.:Мир, 1979. — 574 С.

22. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Наука, 1973. — 400 С.

23. Григорян С. С., Красс М. С., Шумский П. А. Математическое моделирование основных типов ледников // В сб.: Механика ледников, М., 1977, с. 3−37.

24. Гулин A.B., Самарский A.A. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. // Матем. сборник. 1976. — Т.99. — С. 299−360.

25. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сборник. 1965. — Т.67. — N 4. — С. 609−642.

26. Иванов A.B. Приграничные гельдеровские оценки для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -1991. N 188. — С. 45−69.

27. Иванов A.B. Классы Bmj и гельдеровские оценки для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1992. — N 197. -С. 42−70.

28. Иванов A.B. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и анализ. 1992. — Т.4. -Вып.6. — С. 114−130.

29. Иванов A.B., Мкртчан П. З. Весовая оценка градиента для неотрицательных обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1990. — N 191. — С. 3−23.

30. Иванов A.B., Мкртчан П. З. О существовании непрерывных по Гельдеру неотрицательных обобщенных решений начально-краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений с двойным вырождением // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1990. -N 182. — С. 5−28.

31. Калашников A.C. Вопросы теории вырождающихся параболических уравнений // Успехи мат. наук. 1987. — Вып. 2. — С. 135−176.

32. Карчевский М. М., Лапин A.B., Ляшко А. Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1972. — N 3. — С. 23−31.

33. Карчевский М. М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий ч 1 // Изв. вузов. Математика. 1972. — N 11. — С. 23−31.

34. Карчевский М. М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений ч 2 // Изв. вузов.• Математика. 1973. — N 3. — С. 44−52.

35. Карчевский М. М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики. Казань: Изд-во КГУ, 1976. 158 с.

36. Карчевский М. М., Павлова М. Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с предельным градиентом // Численные методы механики сплошной среды. -Новосибирск, 1980. Т.Н. — N 4. — С. 104−112.

37. Костерин A.B., Березинский Д. А. Насыщенно-ненасыщенноые состояния деформируемых пористых сред // ДАН России. 1998. Т.356. N 3. — С.343−345.

38. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 408 С.

39. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гос. изд-во тех.-теор. литературы, 1953. -280 с.

40. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными / / УМН. 1957. — Т.12. -N 5. — С. 123−149.

41. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные эллиптические уравнения. М.: Наука, 1973. — 576 С.

42. Лапин A.B. Исследования одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Диф.ур. 1980. — Т.14. — N 7. -С. 1245−1254.

43. Лапин A.B. О двухслойных сеточных схемах для нестационарных нелинейных вариационных неравенств / / Вычисления с разреженными матрицами. Новосибирск. — 1981. -С. 88−97.

44. Лапин A.B. Исследования двухслойных сеточных схем для параболических вариационных неравенств // Изв.вузов. Математика.- 1983. N 10. — С. 37−45.

45. Лапин A.B., Ляшко А. Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений // Изв. вузов. Математика. 1973. — N 1. — С. 71−73.

46. Лапин A.B., Ляшко А. Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений, параболических на решении // Изв. вузов. Математика. 1975. — N 12. — С. 30−42.

47. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств.- Казань: изд.-во КГУ, 1984. 96 С.

48. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972. — 588 С.

49. Лионе Ж.- Л., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. — 371 С.

50. Ляшко А. Д. О корректности нелинейных двухслойных разностных операторно-разностных схем // Докл. АН СССР. -1974. Т.215. — N 2. — С. 263−265.

51. Ляшко А. Д., Карчевский М. М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв. вузов. Математика. 1975. — N 6. — С. 73−81.

52. Ляшко А. Д., Карчевский М. М., Павлова М. Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: изд.-во КГУ, 1985. — С. 119.

53. Ляшко А. Д., Павлова М. Ф. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации // Диф.ур. 1980. — Т.16. — N 7. — С. 1255−1264.

54. Ляшко А. Д., Майорова М. Е., Павлова М. Ф. О разрешимости одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Диф. ур. 1996. — Т.32. — N 7. — С. 896−901.

55. Ляшко А. Д., Федотов Е. М. О корректности двухслойных операторно-разностных схем // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17. N 7. — С. 1304−1316.

56. Майорова М. Е. Сходимость явной разностной схемы для нелинейного параболического уравнения с двойным вырождением / Казань: КГУ, 1996. Деп. в ВИНИТИ 31.01.96. — N 344-В96.-20 С.

57. Майорова М. Е. Исследование разрешимости одного вариационного неравенства с двойным вырождением при неоднородном ограничении / Материалы Всероссийского семинара «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач», Казань.- 1998. С. 53−55.

58. Майорова М. Е. О разрешимости одного эволюционного вариационного неравенства с неоднородным ограничением / «Исследование по прикладной математике». Казань: Изд.-во Казанского математического общества. — Вып. 23. — 1999. — С. 204−211.

59. Майорова М. Е., Павлова М. Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика. 1994. — N 1. — С. 43−53.

60. Майорова М. Е., Павлова М. Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / Казань: КГУ, 1995. Деп. в ВИНИТИ 28.03.95. — N 836-В95. -30 С.

61. Майорова М. Е., Павлова М. Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / «Исследования по прикладной математике». Казань: Изд-во Казанского математического общества. — Вып. 22. — 1997. — С.106−130.

62. Майорова М. Е., Павлова М. Ф. Сходимость явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Изв.вузов.Математика, 1997. N 7. — С. 53−65.

63. Майорова М. Е., Павлова М. Ф. О единственности решения в задачах с двойным вырождением / Труды Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо.- 1999. С. 154 161.

64. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.:Наука, 1977. 456 С.

65. Масловская Л. В. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа // Журнал выч. матем. и матем. физ. 1972. — Т. 12. — N 6. — С. 1444−1455.

66. Мухитдинов Н. Газодинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. Ташкент:" Фан" Узб.ССР. — 1977. — 152 С.

67. Павлова М. Ф. Вычислительные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Казань: КГУ, 1981. — Вып. 3. — С. 67−78.

68. Павлова М. Ф. Исследования уравнений нестационарной нелинейной фильтрации // Диф. ур. 1987. — Т.23. — N 8. — С. 1436−1446.

69. Павлова М. Ф. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-метематических наук. Казань, 1981. — 132 С.

70. Павлова М. Ф. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-метематических наук. Казань, 1998. — 238 С.

71. Павлова М. Ф., Майорова М. Е. Сходимость явных разностных схем для параболического нелинейного нестационарного неравенства / Материалы Всероссийского семинара «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач», Казань.-1996.-С.87−89.

72. Павлова М. Ф., Тимербаев М. Р. О разрешимости одного нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Математическое моделирование. 1992. — Т.4. — N 4. — С. 74−88.

73. Саламатин А. Н. Анализ простейших математических моделей куполовидных ледников // В сб.: Исследование по прикладной математике, Казань: КГУ, 1979, вып. 7, с. 131−139.

74. Саламатин А. Н., Чугунов В. А., Мазо А. Б. Численное исследование и инвариантные решения задачи о динамике субизотермического ледника в одномерном приближении / / Задачи механики природных процессов. М.: МГУ. — 1983. — С. 82−95.

75. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 616 С.

76. Bamberger A. Etude dune equation doublement non lineaire // J.Func. Anal. 1977. — V.24. — P. 148−155.

77. Blanchard D, Fracfort G. Study of a doubly nonlinear heat equation with no growth assumption on the parabolic term // SIAM J.Math. Anal. 1988. — V.19. — P. 1032−1056./.

78. Grange O., Mignot F. Sur la resolution d’une Equation et d’uneiriquation paraboliques non lineaires // J. Func. Anal. 1972. — V.ll.- P. 77−92.

79. Jingxue Y. On a class of quasilinear parabolic equations of second order with double-degeneracy //J. Partial Diff.Eq. 1990. — V.3. -P. 49−64.

80. Kruzkov S. N. First order quasilinear equations in several independent variables // Math USSR-Sb 10 (1970), p.217−243.

81. Otto F. LContraction and Uniqueness for Quasilinear Elliptic-Parabolic Equations // J. Differential Equations. V.131. — N 1. -P. 20−38.

82. Pavlova M.F., Maiorova M.E. On the convergence of finite element schems for nonlinear parabolic with double degeneration / Abstract of Internationale conference «Optimization of Finite Element Approximation», St.-Peterburg. -1995. P.74−75.

83. Raviart R.A. Sur la resolution de certaines e’quations paraboliques non line’aires // J.Func. Anal. 1970. — V.5. — N 2. — P. 299−328.

84. Tsumtsumi M. On solution of some double nonlinear degenerate parabolic equations with absorrption //J. Math. Anal Appl. 1988. V.132. P. 187−212.

85. Xu X. Existence and convergence theorems for double nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type // J. Math. Anal. Appl. 1990. — V.150. — P.-205−223.

86. Yin J. On the uniqueness and stability of BV solution for nonlinear diffusion equations // Comm. Partial Differential Equations 15, N 12.-1990. P.1671−1683.

87. Zeman J. On existence of the weak solution for nonlinear diffusion equation // Appl. of mathematics. 1991. — V.36. — N 1. — P.9−20. 133.

88. Zhuang Qiongshan. Initial-boundary value problem for double degenerate nonlinear parabolic equation //J. Partial Diff. Eq. 1989 — V.2. — N 4. — P. 47−61.