Развитие и обобщение теорем О. Таусски и А. Островского и исследование обобщенной модели Леонтьева-Форда

В теории операторных уравнений и ее приложениях важное место занимают результаты, относящиеся к проблеме существования положительного решения у соответствующего линейного уравнения. Естественно, что встречаются уравнения разных классов: линейные системы алгебраических уравнений, линейные интегральные уравнения, уравнения, связанные с задачами математической экономики, нелинейные уравнения соответствующих классов. Все эти типы уравнений являются примерами операторных уравнений. Операторными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестный элемент х соответствующего линейного нормированного пространства Е, содержится под знаком оператора, т. е. уравнение вида = 0 (1) При этом понятие положительного решения предполагает наличие в нормированном пространстве Е класса элементов К, называемых положительными (неотрицательными) элементами. Этот класс выделяется аксиоматически и выражает основные свойства, характерные для положительных (неотрицательных) элементов (чисел). Свойства эти легко описать следующей системой аксиом :

1) из х € К следует, что (Ля) е К для всех, А > 0;

2) из х1, х2 е К следует, что (х, + х2) е К;

3) из х е К, х * 0 вытекает, что (-х) е" К;

4) предел х* (по норме пространства Е) любой последовательности элементов если этот предел существует, является элементом множества К (свойства замкнутости множества К). Любое множество элементов К, удовлетворяющее аксиомам 1) — 4), называется, следуя М. Г. Крейну конусом.

Наличие в пространстве Е конуса К позволяет ввести в пространстве Е отношение х>у сравнения для некоторых пар (х, у) элементов в пространстве.

Е. А именно пишут, что х > у в том и только том случае, если разность (х-у)еК. Операция сравнения элементов обладает основными свойствами знака неравенства >, с помощью которого можно сравнить любые два действительных числа, а и Ъ (либо а>Ь, либо Ъ>а). Подчеркнем, что с помощью знака х>>- можно сравнивать элементы не всякой пары, а лишь элементы некоторых пар (х, у). Поэтому в отличие от множества действительных чисел, которое упорядоченно с помощью знака х>у, множество элементов нормированного пространства называется полуупорядоченным пространством. Конечно, хотелось бы иметь для любого нормированного пространства возможность сравнивать между собой элементы любой пары (х,^) пространства Е, причем так, чтобы операция сравнения > обладала привычными свойствами обычного знака «>». Однако легко доказать, что для линейных пространств Е размерности большей или равной двум, это невозможно! Поэтому «жертвы» здесь неизбежны, оказывается, что «удобнее» пожертвовать потерей возможности сравнения элементов любой пары, нежели привычными свойствами знака «>». При этом речь идет о следующих свойствах знака «>» :

1) из х > у и Л > Оследует, что Лх > Лу иЛх < -Лу;

2) из >уг, х2 >у2следует, что х,+х2 >у]+у2 (неравенства одного смысла можно почленно складывать) и (х1-у2> у1-х2), т. е. неравенства неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать;

3) если хп>уп и хп х (п оо) и у&bdquo- -> у (п -" да), то х > у, т. е. в неравенствах можно переходить к пределу. При этом под символом х&bdquoх понимается сильная сходимость в Е (т.е. сходимость по норме пространства Е).

При наличии в пространстве Е знака «>» положительными (точнее сказать неотрицательными) элементами называются все элементы, которые удовлетворяют неравенствам х>0 .

При изучении операторных уравнения вида (1) важную роль во многих задачах является проблема существования у такого уравнения решения х* такого, что х* > О (т.е. неотрицательного решения). Последнее связанно прежде всего с тем, что для широкого класса уравнений именно такие решения имеют соответствующий задаче смысл. Например, если мы имеем уравнение межотраслевого баланса (модель Леонтьева), то это уравнение записывается в виде операторного уравнения вида х = Ах + Ь (2) где, А заданная квадратная неотрицательная пхп матрица = я" (называемая п х п технологической матрицей), Ь е Я" - заданный неотрицательный вектор (так называемый вектор валового выпуска полезного продукта). При этом, понятно, что в силу экономического смысла решением х* уравнения (З)может быть лишь неотрицательным вектором, т. е. х* > 0. Это пример является простым наглядным примером уравнения, для которого важно не только установить существование решения х, а именно, решения, обладающие свойством неотрицательности, т. е. решения принадлежащего классу элементов конуса К (неотрицательных элементов!). Проблема существования у операторного уравнения (3) неотрицательного решения тесно связана с проблемой оценки величины спектрального радиуса г (А) линейного положительного оператора Л.

Именно с этим связанно то обстоятельство, что в работе столь пристальное внимание уделяется вопросам оценки сверху величины спектрального радиуса линейного положительного оператора, А которым просвещена первая глава диссертации. Речь идет об оценках спектрального радиуса матричных операторов. В результате получены развития и усиления известных классических результатов теорем А. Островского (см. [17]) о строгих оценках сверху спектрального радиуса матричного оператора. Подчеркнем, что эти результаты являются развитием теорем А. Островского и находятся в таком же отношении к теореме А. Островского каком находиться известная теорема О. Таусски к теореме Адамара. Напомним утверждения двух последних теорем.

Теорема Адамара: Пусть, А = (а, у) (/, у = 1, п)вещественная квадратная матрица причем ау <Опри 1ф] фп выполнены неравенства: для каждого 1 = 1, п.

К1 С/ = и., и) (3) м и* о.

Тогда матрица^ имеет обратную матрицу Л" 1, причем.

А'1 >0, (4) т. е. обратная матрица неотрицательная. Теорема О. Таусски: Пусть аи < 0, при (/- у = 1, п, / ф у) и.

5).

1 и*о причем хотя бы для одного у = /0 (1 < /0 < п) в (6) имеет место строгое неравенство: п.

7=1 и*1о).

Пусть матрица, А неразложимая. Тогда матрица, А имеет обратную А'1, причем выполняется неравенство (5).

Эта теорема Таусски «высветила» важную роль класса неразложимых матриц.

Очень важную роль в теории линейных алгебраических систем уравнений играют известные теоремы Островского [58]:

Первая теорема Островского: Пусть, А =) В = 0 (у, / = 1, п) причем для некоторого, а е [0−1] при всех значениях / = 1, п выполняются неравенства аи>Р"ОГа Тогда матрица, А неособенная .

В связи с этой теоремой возникает (после теоремы Таусски) естественный вопрос о том, а не имеет ли здесь место аналог теоремы Таусски, если дополнительно известно, что матрица, А неразложимая? Точнее говоря не следует ли из системы нестрогих неравенств аи>Р"&-а, а = й) и строгого неравенства аи>Р" 0)-а (1 <1<п) о’о 'о о — хотя бы для одного г = /0, а также свойства неразложимости матрицы, А свойство неособенности этой матрицы? Оказывается что ответ на этот вопрос положительный ! Более того, в случае если а0 < 0 (при г ф у, г, у = 1, п) ,.

А" 1 не только существует, но и неотрицательная матрица !

Это утверждение представляет полный аналог теоремы Таусски в плане усиления (обобщения) теоремы Таусски для первой теоремы Островского. Аналогичный результат установлен и для второй теоремы Островского. 4.

При этом получено дальнейшее развитие признаков Островского для матрицы бесконечного порядка.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем :

1. Указанны развития и усиления признаков неособенности квадратных матриц, классических признаков Островского в случае неразложимых матриц конечного и бесконечного порядков.

2. Получены новые строгие и квалифицированные оценки сверху для спектрального радиуса матрицы.

3. Указаны способы построения последовательности векторов {£/&bdquo-},{к&bdquo-} монотонно сходящихся соответственно снизу и сверху к собственному вектору х* положительной матрицы А, отвечающему ведущему собственному значению.

4. Для уравнения х = Вх + / в сингулярном случае (т.е. когда число Л = 1 является точкой спектра оператора В) указанны подпространство значений вектора /, для которых это уравнение имеет главное решение х* и предлагается алгоритм построения приближений х&bdquo-, сходящихся к этому решению.

5. Получены оценки относительной погрешности приближенного решения уравнения х = Вх + / как для регулярного, так и для сингулярного случая.

6. Изучена обобщенная модель Леньтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, для которой введено понятие обобщенного решения, установлено существование решения модели, учтены свойства решения теоремы существования неотрицательного решения и критерий разрешимости.

7. Построена двойственная модель к обобщенной модели Леонтьева-Форда и изучены ее свойства.