Асимптотическое поведение решений уравнений типа Эмдена-Фаулера

Первоначально исследование уравнений такого типа сводилось в основном к изучению сферически-симметричных решений уравнений видаАи = ±хриа (1.4)для задач уравнений в частных производных, и решений уравнений вида* (^Х ± = 0 (1.5)для соответствующих задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Систематические исследования свойств решений (1.4),(1.5) начались с работ Эмдена ([66],[67]). В серии работ Фаулера ([68], [69], [70]) и других авторов, индуцированной применением теории Эмдена к задачам астрофизики ([74], [86], [93]) и теорией Томаса-Ферми в ядерной физике ([72], [73], [94]) были подробно исследованы решения ОДУ типа (1.5). Обзор теории решений (1.5) может быть найден в монографиях Сансоне ([52]) и Беллмана ([7]). В последней работе содержится полное описание возможных асимптотик решений (1.5),' существующих на бесконечном временном интервале. Случай, когда в (1.5) вес при нелинейности общего вида был подробно исследован в [95]. Обширная монография Кигурадзе, Чантурия [19] посвящена уравнениям и системам типа Эмдена-Фаулера общего вида. Отдельный интерес представляет также и изучение свойств решений нелинейных ОДУ высокого порядка и систем. Результаты в этой области могут быть найдены в книге [92], работах Конькова, Кигурадзе, Чантурия (см. ссылки в [39] и [19], соотв.) и иных авторов.

Исследование уравнений типа (1.1) велось в различных направлениях — исследование асимптотического поведения решений, вопросы существования и несуществования (положительных) решений, получение априорных оценок, исследование уравнений высокого порядка и т. д. Также широко изучались параболические уравнения такого типа и уравнения с нелинейностью в главной части. При этом наблюдаемые феномены существенно отличаются от проявляемых свойств решений линейных уравнений. Например, для уравнения, А и = иа в шаре существует положительное решение, обращающееся в бесконечность на границе этого шара. С другой стороны, любое решение этого уравнения во всём пространстве Rn есть тождественный ноль.

Важным свойством для уравнений типа (1.1) (с нелинейным членом типа абсорбции) является наличие априорной оценки, ' которая в этой работе сформулирована в виде Леммы 2.2. Эта оценка восходит к работам [75], [90]', для эллиптических уравнений второго порядка с главной частью общего вида она была доказана в работе [31] (см. также [32}), её перенесение на параболические уравнения содержргтся в [55]. Для нелинейности общего вида результат такого типа содержится в [28]', для уравнений высокого порядка в [22] были получены интегральные оценки. Для квазилинейных уравнений с нелинейностью общего вида, где L = Ар, такая оценка была получена в [96]. Относительно недавно появилась серия работ и монография A.A. Конькова [39], в которой оценки такого типа были выведены для широкого класса эллиптических и параболических уравнений второго порядка, с линейной или квазилинейной главной частью, и нелинейностью в правой части общего вида.

Интересным является вопрос несуществования положительных решений в областях различной геометрии для уравнений с членом типа нелинейного источника. Первые результаты в этойобласти были получены для уравнения Аи + иа = 0 во всём пространстве и в области с условием Дирихле на границе, затем результаты были перенесены на конические области. Недавно были получены результаты для уравнений с главной частью, являющейся дивергентным или недивергентным оператором общего вида (см. [78], [79] и приведённые там ссылки на более ранние работы). Подробный обзор [51] посвящён такого рода вопросам для уравнений различных типов.

Исследование асимптотического поведения решений уравнений типа (1.1) с главной частью, записанной в дивергентном или недивергентном виде, велось многими авторами. При этом рассматривались области различной структуры — цилиндрические ([14], [16], [24], [25]), [38], [58], [76], [77], [81], [88]), конические ([23], [35]), области, содержащие окрестность бесконечности ([99], [63]) или окрестность выколотой точки ([34], [36], [31], [60], [63], [97], [98], [101]), изучалось поведение решений, стремящихся к бесконечности при приближении к границе области ([33], [80], [35], [23], [71], [83],[103], [84], [82]). Исследовались вопросы устранимости особенностей (напр., [60], [100], [31], [98]).

Заметим, что изучение предельного поведения в окрестности бесконечности в определённом смысле эквивалентно изучению предельного поведения в окрестности точки. Это следует из возможности применения преобразования Кельвина: в самом деле, пусть и есть решение уравненияАи = хриа в Б? {0}. (1.6)Сделаем заменуХ I ½—2 | |2—пУ М9> и = У У= М V-ХНетрудно проверить, что тогдаАхи = уп+2Ауу, и, следовательно, в новых переменных уравнение (1.6) имеет вид Ауу = у-п-2-р+(п-2)ауа в (1.7)где В®обозначает шар радиуса 1 с центром в 0.

С другой стороны, имеется взаимосвязь между коническим и цилиндрическими облястями — под действием сферической замены координат х = ж (г, а-) и замены г — е1 конус переходит в бесконечный цилиндр, а равномерно эллиптический оператор Ь переходит в новых координатах (?, в е2гЬ', где Ь' также равномерно эллиптичен.

В этой работе широко используется техника пространств с весом, основанная на сведении задачи для уравнения в частных производных к рассмотрению дифференциального уравнения в подходящем (банаховом) пространстве. Идеология этой техники изложена в [56] (см. также [5], [49]). В этой работе использованы фундаментальные результаты [21] для конических областей (см. также [3], [4] для результатов в Мп). Необходимые для применения этой техники результаты теории операторов могут быть найдены в [47], [18], [9], [53]. Оценки резольвенты эллиптических операторов общего вида, зависящих от параметра, содержатся в [2].

Подробный обзор результатов по поведению решений эллиптических уравнений типа Эмдена-Фаулера и их параболических аналогов содержится в книге [104] и недавно появившемся обзоре [105] Верона. В этой книге используется в основном контекст исследования сингулярностей, что эквивалентно рассматриваемому здесь случаю, если сингулярность точечная.

Результаты этой работы могут рассматриваться как продолжение результатов работы Л. Верона [99], посвящённой исследованию асимптотического поведения на бесконечности решений Аи = иаги во внешности единичного шара в Мп при п > 3. В этой работе была показана следующая альтернатива:1. Пусть, а > - Тогда существует конечный Ишл-кэо хп2и (х).

2. Пусть, а = Тогда существует предел77—2С = НгПя-юо хп2 (1п и (х), причём С Е {0, ^С^а, п)}.

3. Пусть < сг < г) или 1 < сг < и и знакопостоянна в^ п—1 те—2 п—2некоторой окрестности бесконечности. Тогда существует пре2дел С = Нт-с-юо х^и (х)} причём С 6 {0, ±62(0″, п)}.

Значения С^Съ даны, указана скорость сходимости к пределу. В настоящей работе получены обобщения этих результатов.

1. С. Агмон, А. Дуглис и Л. Ниренберг, Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. 1. Москва, ИЛ, 1962.

2. Агранович М. С., Вишик М. И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. УМНД964, т. 19, вып. 3, стр. 53−161.

3. Багиров Л. А., Кондратьев В. А., Об эллиптических уравнениях в Мп, Диф. Ур., 1975, т. 11, N. 3, стр. 498−504.

4. Багиров Л. А., Кондратьев В. А., Об одном классе эллиптических уравнений в Тр. сем. им. С. Л. Соболева, 1978, вып.2, стр. 5−16.

5. Багиров Л. А., Кондратьев В. А., Об асимптотике решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Матем. Сб., 1991, т. 182, N. 4, стр. 508−525.

6. Багиров Л. А., Кондратьев В. А., Об асимптотических свойствах решений уравнения диффузии, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 2002, Вып. 22, стр. 37−70.

7. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

8. Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, Уравнения с частными производными. Москва, «Мир 1966.

9. Блехер П. М., Об операторах зависящих мероморфно от параметра, Вести. МГУ, Сер. Матем. Мех., 1969, N. 5, стр. 30−36.5.

10. Гилбарг Д., Трудиигер Н., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Москва, Наука, 1989 463 стр.

11. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных операторов. УМН 1957, т. 12, вып. 2, стр. 43−118.

12. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И., Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше. Матем. сб., 1971, т. 84(126)', N. 4, стр. 607−629'.

13. Данилов В. Г., Волосов К. А., Маслов В. П., Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса, М.: Наука, 1987, 351 стр.

14. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Об одной проблеме O.A. Олейник, УМН, 1997, т. 52, Вып. 6, стр: 159−160.

15. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Об асимптотическом поведении решений нелинейной параболической краевой задачи, Докл. РАН, 2004, т. 397, N. 5, стр. 590−592.

16. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник O.A., Асимптотические свойства решений эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях, Мат. Сб., 1998, т. 189, N. 3, стр. 45−68.

17. Зельдович Я'.Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махви-ладзе Г. Н., Математическая теория горения и взрыва. М, Наука, 1980, 500 стр.

18. Келдыш М. В., О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений. ДАН СССР, 1951, вып. 1, стр. 11−14.

19. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А., Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1990.

20. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., Исследование уравнения диффузии, соединённого с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюллетень МГУ, сер. Мат. и Мех., 1937, т. 1, вып. 6, стр. 1−26.

21. Кондратьев В. А., Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды ММО, 16, стр. 209−292.

22. Кондратьев В. А., О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1992; Вып. 16, стр. 186−190.

23. Кондратьев В. А., О’решениях слабонелинейных эллиптических уравнений в окрестности конической точки границы. Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 2., стр. 298−305.

24. Кондратьев В. А., О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1996, Вып. 19, стр. 235−261.

25. Кондратьев В. А., О решениях нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрических областях, Фунд. и прикл. ма-тем., 1996, т.2, Вып. З, стр. 863−874.

26. Кондратьев В. А., Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности, Диф. Ур., 1998, т. 34, N. 2, стр. 246−255.

27. Кондратьев В. А., Арефьев В. Н., Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений, Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 12, стр. 2104−2116.

28. Кондратьев В. А., Коньков A.A., О свойствах решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка, Мат. Сб., 1994, т. 185, N. 9, стр. 81−94.

29. Кондратьев В. А., Козлов В. А., Мазья В. Г., Ознакоперемен-ности и отсутствии сильных нулей решений эллиптических уравнений. Изв. АН СССР Сер. Мат. т. 53, 1989, N. 2, стр. 328−344.

30. Кондратьев В. А., Ландис Б. М., Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. ВИНИТИ, Сер. Современные проблемы математики1, фундаментальные направления, т. 32, стр. 99−215.

31. Кондратьев В. А., Ландис Е. М., О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка. Мат. Сб., 1988, т. 135, N. 3, стр. 346−359.

32. Кондратьев В. А.,* Ландис Е. М., Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Мат. Заметки, 1988, т. 44, Вып. 4, стр. 457−468.

33. Кондратьев В. А., Никишкин В. А., Об асимптотике вблизи границы решения сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения. Диф. Ур., 1990, т. 26, N. 3, стр. 465−468.

34. Кондратьев В. А., Никишкин В. А., Изолированные особенности уравнений типа Эмдена-Фаулера. Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 6, стр.1025−1038.

35. Кондратьев В. А., Никишкин В. А., Об асимптотике вблизи кусочно-гладкой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений, Мат. Заметки, 1994, т. 56, Вып. 1, стр. 50−56.

36. Кондратьев В. А., Никишкин В. А., О положительных решениях одного полулинейного уравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1995, Вып. 18, стр. 157−169.

37. Кондратьев В. А., Олейник O.A., Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. УМН, 1983, т. 38, вып. 2(230), стр. 3−76.

38. Кондратьев В. А., Олейник O.A., О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области. Докл. РАН, 1995, т. 341, N. 4, стр. 446−449.

39. Коньков A.A., Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. Совр. Матем. Фундам. Напр. 7, 2004, стр. 3−158.

40. Конти Р., Рейсиг Р., Сансоне Г., Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974, 318 стр.

41. Крылов Н. В., Сафонов М. В., Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициэнта-ми. Изв. АН СССР, 1980, т. 44, N. 1, стр. 161−175.

42. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики. т.1, М.-Л., 1951.

43. Курант Р., Уравнения с частными производными. Изд-во &bdquo-Мир", М., 1964.

44. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

45. Ландис Е. М., Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

46. Ландис Е. М., Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка. УМН, 1963, т. 18, N. 1, стр. 3−62.

47. Люстерпик Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

48. Мазья В. Г., Пламеневский В. А., О псевдоаналитичности решений возмущённого полигармонического уравнения в М&trade-. Теория рассеяниятеория колебаний, стр. 75−91, 185, проблемы мат. физики, 9, ЛГУ, 1979.

49. Мазья В. Г. Пламеневский В.А., Об асимптотическом поведении решений-дифференциальных уравнения в гильбертовом пространстве. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1973, т. 36, N. 6, стр. 1080−1133.

50. Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

51. Митидиери Э., Похожаев С. И., Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и" неравенств в частных производных. Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 2001, т. 234, стр. 1−384.

52. Сансоне Г., Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1−2. М.: ИЛ, 1953,1954, 346 стр., 415 стр.

53. Трофимов В. П., О корневых подпространствах операторов, аналитически зависящих от параметра. Мат. Исследования, 1968, т. 3, вып. 3(9), стр. 117−125.

54. Худяев С. И., Пороговые явления в нелинейных уравнениях. М.: Физматлит, 2003, 272 стр.

55. Чистяков В. В., О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка. Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1991, Вып. 15, стр. 70−107.

56. S. Agmon, L. Nirenberg, Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach' Space. Comm. Pure Appl. Math., 1963, N. 16, p. 121−239.

57. R. Benguria, H. Brezis and E.H. Lieb, The Thomas-Fermi-von Weizsacker theory of atoms and molecules. Comm. Math. Phys. 79, 1980, p. 167−180.

58. Berestycki H., Nirenberg L., Some qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis (volume dedicated to J. Moser), N.Y.: Acad. Press, 1990, p.115−164.

59. H. Brezis and E.H. Lieb, Long range atomic* potentials in Thomas-Fermi theory. Comm. Math. Phys. 65, 1979, p. 231 346.

60. H. Brezis, L. Veron, Removable singularities for some nonlinear elliptic equations. Arch. Rational Mech. Anal. 75 (1980/81), no. 1, p. 1−6.

61. S. Chandrasekhar, Principles of stellar dynamics. London: Constable, 1960.

62. S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure. Dover Publ. Inc., 1967.

63. X.-Y. Chen, M. Matano, L. Veron, Anisotropic singularities of solutions of nonlinear elliptic equations in 1R2. J. Funct. Anal., 1989, v. 83, N. 1, p. 50−97.

64. Davies E.B., Heat kernels and spectral theory. Cambridge Univ. Press, 1989.

65. Eddington A.S., The internal constitution of stars. Cambridge, 1926.

66. Emden R., Gaskugeln. Teubner, Leipzig, 1897.

67. Emden R., Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmentheorie auf Kosmologie und meteorologische Probleme. Leipzig, 1907, Kap. XII.

68. Fowler R.H., The form near infinity of real continuos solutions of certain differential equation of second order. Quart. Journ. Math. 45 (1914), p. 289−350.

69. Fowler R.H., The solutions of Emden’s and similar differential equations. Monthly notices of the Royal Astr. Soc. 91 (1930), p. 63−91.

70. Fowler R.H., Further studies of Emden’s and similar differential equation. Quart. Journ. Math. 2 (1931), p. 259−288.

71. A. Gmira, L. Veron, Boundary singularities of solutions of some nonlinear elliptic equations. Duke Math. J., 1991, v. 64, N. 2, p. 271−324.

72. E. Hille, Some aspects of the Thomas-Fermi equation. Jl. Analyse Math. 23 (1970), p. 147−171.

73. E. HilleAspects of Emden’s equation, Jl. Fac.Sci. Tokyo, Sect. I-A, 1970, v. 17, N. 1−2, p. 12−30.

74. E. Hopf, On Emden’s Differential Equation. Monthly Notices of the Royal Astr. Soc. 1930, Vol. 91. p. 653−663.

75. J.B. Keller, On solutions of Au = f (u). Comm. Pure Appl. Math., 1957, vol. 10, p. 503−510.

76. Kondratiev V.A., On the existence of positive solutions of second-order semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Russ. J. Math. Phys., 2003, V. 10, N. 1, p. 11−20.

77. V.A. Kondratiev, O.A. Oleinik, Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff. Eq., 1993, N. 1, p. 10−16.

78. V. Kondratiev, V. Liskevich, Z. Sobol, Positive super-solutions to semi-linear second-order non-divergence type ' elliptic equations in exterior domains. To appear in Transactions of AMS.

79. V. Kondratiev, V. Liskevich, Z. Sobol, Positive solutions to semi-linear and quasi-linear second-order elliptic equations on unbounded domains. Handbook of differential equations: Stationary Partial Differential Equations, vol. 6, p. 177−268.

80. Kondratiev V.A., Nikishkin V.A., On positive solutions of singular boundary value problems for the equation Au = uk. Russian J. Math. Phys. 1 (1993), no. 1, p. 131−135.i.

81. Kondratiev V.A., Veron L., Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations. Asymptotic Analysis, 1997, v. 14, p. 117−156.

82. M. Marcus, L. Veron, Uniqueness and asymptotic behavior of solutions with boundary blow-up for a class of nonlinear elliptic equations. Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 14 (1997), no. 2, p. 237−274.

83. M. Marcus, L. Veron, The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations: the subcritical case. Arch. Rational Mech. Anal., 1998, v. 144, N. 3, p. 201−231.

84. J.L. Vazquez, An a priori interior estimate for the solutions of a non-linear problem representing weak diffusion. Nonlinear Anal., 1981, v. 5, N. 1, p. 95−103.

85. J.L. Vazquez, L. Veron, Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity. Math. Ann. 269, 1984, p. 115−135.

86. J.L. Vazquez, L. Veron, Isolated singularities of some semilinear elliptic equations. J. Differential Equations 60 (1985), no. 3, p. 301−321.

87. L. Veron, Comportement asymptotique des solutions d’equations elliptique semi-linearies dans W1. Ann. Mat. Pura Appl., 1981, v. 127, p. 25−50.

88. L. Veron, Singularities eliminables d’equations elliptiques non lineairies. J. Diff. Eq. 41 (1981), p. 87−95.

89. L. Veron, Singular solutions of some nonlinear elliptic equations. Nonlinear Anal. 5 (1981), no. 3, p. 225−242.

90. L. Veron, Geometric invariance of singular solutions of some nonlinear partial differential equations. Indiana Univ. Math. J., 1989, v. 38, N. 1, p. 75−100.

91. L. Veron, Semilinear elliptic equations with uniform blow-up on the boundary. J. Anal. Math. 29 (1992), p. 231−250.

92. L. Veron, Singularities of solutions of second order quasilinear equations. Pitman Research Notes, vol. 353, Longman, Harlow, 1996. viii+377 pp.

93. L. Veron, Elliptic equations involving measures, in Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, 1, NORTH-HOLLAND, 2004. Публикации автора по теме диссертации.

94. Сурначёв М. Д., &bdquo-Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N.8., стр. 1150−1165.

95. Surnachev M.D., Estimates for Emden-Fowler type inequalities with absorption term, J. Math. Anal. Appl., vol. 348, N. 2, 2008, pp. 996−1011.

96. Сурначёв М. Д., &bdquo-Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", Вестник МГУ, Сер. 1 Мат. Мех., 2009, N.2, стр. 56−59.

97. Сурначёв М. Д., &bdquo-Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнений типа Эмдена-Фаулера", сб. тезисов конференции посвящённой памяти И. Г. Петровского &bdquo-Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", стр. 310−311, Москва, 2007.

98. Сурначёв М. Д., &bdquo-Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", сб. тезисов конференции «XXXIII Гагаринские чтения», т.5, стр. 7071, Москва, 2007.

99. Сурначёв М. Д., &bdquo-Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", сб. тезисов конференции &bdquo-Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", Воронеж, 2005.