Задачи определения предельного состояния слоя из идеального сжимаемого жесткопластического материала, сжатого шероховатыми плитами

Теория идеального жесткопластического тела является одним из классических разделов механики твердого деформируемого тела, таких, как линейная теория упругости при малых деформациях, теория идеальной вязкой жидкости и. т. д.

Характерной особенностью соотношений теории идеальной пластичности является нелинейность исходных дифференциальных уравнений за счет условия пластичности. Это обстоятельство приводит к определенным математическим трудностям при решении задач, при этом в теории пластичности в основном используются численные методы. Развитые численные методы достаточно эффективны, но, как всегда, особый интерес представляет определение точных решений исходных уравнений, являющихся во многих случаях эталонными и позволяющих рассматривать аналитическую зависимость между параметрами решения.

Классические решения плоской задачи теории идеальной пластичности были даны Л. Прандтлем [47] в 1923 году. Им были решены задачи о вдавливании жесткого штампа в пластическое полупространство и полосу, а также было дано аналитическое решение задачи о квазистатическом сжатии слоя из идеального жесткопластического материала между двумя сближающимися параллельными шероховатыми плитамилинии скольжения образуют сетку циклоид, поэтому это решение получило в литературе название «циклоидального решения Прандтля». Согласно этому решению касательное напряжение на поверхностях контакта плит и обжимаемого материала постоянно и равно пределу текучести этого материала на сдвиг.

Существенно, что решение Л. Прандтля является неавтомодельным, оно получено полуобратным методом, впервые предложенным Сен.

Венаном. В качестве исходного предположения Л. Прандтль положил линейную зависимость касательного напряжения вдоль толщины пластического слоя, а предельное нормальное давление определил в виде линейной функции по длине слоя. Решение Л. Прандтля широко используется в теории обработки металлов давлением, оно послужило основой для многочисленных обобщений.

А.Надаи [45] дополнил решение Л. Прандтля, построив поле малых перемещений, впоследствии построению А. Надаи был придан смысл поля скоростей перемещений в рамках теории течения идеальной жест-копластической среды. Решение Прандтля-Надаи имеет место на достаточном удалении от свободного края слоя и носит асимптотический характер.

A.Грин [70] дал геометрический вывод формулы А. Надаи и построил годограф скоростей.

B.В.Соколовским [58] проведено численное решение задачи о сжатии полосы частично шероховатыми плитами с силой трения t <к в предположении, что плиты длиннее полосы и перекрывают ее концы. Решение проводится путем разбиения области течения на подобласти, в каждой из которых решается своя краевая задачав конечном счете решение задачи приводит к комбинации краевых задач для канонической системы уравнений. Построена сетка линий скольжения, поле напряжений и скоростей. В. В. Соколовским [58] численно решена задача о сжатии полосы параллельными шероховатыми плитами, обладающими силой трения I = к. Проведен подробный анализ решения Прандтля-Надаи. Асимптотическое решение Л. Прандтля удовлетворительно согласуется с результатами точного решения при достаточной протяженности плит. Полученные выводы хорошо подтверждаются результатами опытов В. Риделя над пластическими массами [45].

В монографии А. Надаи [45,46] приведены данные им обобщения решения Л. Прандтля для сжатия идеального жесткопластического слоя наклонными плитами, а также плитами, изогнутыми в виде двух концентрических окружностей. А. Надаи также отмечает ряд случаев, рассмотренных Гартманом, в частности, течение идеального жесткопластического материала в области в виде рожка, ограниченного двумя логарифмическими спиралями. Гартману принадлежит также обобщение решения Л. Прандтля для теории сыпучих сред (эти результаты приведены в [46]), им же рассмотрено предельное состояние сыпучих сред, сжатых наклонными плитами, изогнутыми плитами и. т. д. Все перечисленные результаты относятся к случаю плоской деформации.

Основываясь на анализе решения Л. Прандтля, А. А. Ильюшин в работах [31−32] дал приближенное математическое описание предельного состояния и пластического течения тел, имеющих форму сравнительно тонкостенных оболочек, подвергающихся обработке давлением. Для сдавливающего усилия установлена песчаная аналогия [31,32].

Уравнения теории течения пластического материала по жестким поверхностям, разработанные А. А. Ильюшиным [31−32], были использованы И. А. Кийко [39−41] для анализа процессов течения пластического материала по упругодеформиуемым поверхностям. Им решена задача о сжатии слоя из пластического материала двумя упругими поверхностями, которые, сближаясь, заставляют слой растекаться, а также решена прямая задача, когда поверхности заданы и требуется аналитически определить распределение давления в слое и перемещения в одномерном и осесимметричном случаях. Ю. С. Арутюнов и А. Л. Гонор [3] исследовали обратную задачу об определении формы поверхностей таких, чтобы к концу процесса течения получить слой заданной толщины, в случае, когда толщина слоя зависит от одной координаты или постоянна.

A. И. Кузнецов [42] обобщил решение Л. Прандтля на случай неоднородного пластического слоя.

B. В. Дудукаленко [9] были рассмотрены линеаризированные соотношения теории плоской деформации анизотропноупрочняющегося материала для случая малых деформаций, на основе которых получено обобщение решения Л. Прандтля о сжатии полосы жесткими шероховатыми плитами. Построена эпюра давления на слой со стороны плит. Г. И. Быковцев [4] получил решение этой задачи для упрочняющегося жесткопластического материала, причем принималось соотношение теории анизотропного упрочнения. Получены аналитические формулы и построены графики зависимости компонент напряжений и деформации от времени Т. Им же [5] решена задача о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами с учетом сил инерции.

М. А. Задояном [17] получены решения плоской динамической задачи теории пластичности при условии степенного упрочнения.

В ряде процессов холодной пластической деформации металлов с малой величиной обжатия упругие деформации оказывают существенное влияние на характеристики процессов и точность получаемых изделий. Для анализа этих процессов требуется решение двумерных упруго-пластических задач о деформации тонкой полосы. Решение задачи о сжатии тонкой упругой идеальнопластической полосы между жесткими плитами в условиях плоской деформации приведено Е. М. Третьяковым в работах [63, 66] - определены напряжения и деформации в упругих и пластических слояхпо теореме о разгрузке найдены остаточные напряжения в тонком слое, а в работе [65] определено изменение толщины полосы при ее упругой разгрузке. Когда упругая зона становится пластической, полученное решение переходит в классическое решение Л.Прандтля. Е. М. Третьяковым и С. А. Еленевым [67,68] даны решения о пластическом сжатии тонкой полосы при степенном упрочнении.

Решение задачи об упруго-пластическом сжатии тонкой упрочняющейся полосы при наличии площадки текучести [61] осуществляется при помощи стыковки решения на основе условия непрерывности напряжений и перемещений при переходе через границу раздела упругой и пластической областей. Получены формулы для напряжений и деформаций, построены эпюры остаточных напряжений.

Л.С.Агимирзяном [1] решена задача о продольном и поперечном сжатии пластической полосы, заключенной между двумя параллельными стенками, когда со стороны торца полосе передается равномерно распределенное давление гладкого штампа.

Ряд точных решений рассмотрели Г. А. Гениев и В. С. Лейтес [6] .

Отметим также численное решение о продольном и поперечном сжатии многослойных полос из различных материалов, приведенное Г. Э. Аркулисом в работе [2]. Получены эпюры для случая сжатия бинарных многослойных пакетов при учете межслойного трения.

Ряд обобщений решения Л. Прандтля был получен в цилиндрических, сферических, а также в декартовых координатах в случае пространственного течения материала.

Р.Хилл [69] предложил решение задачи о выдавливании стержня из пластического материала из шероховатой сжимающей втулки.

Д.Д.Ивлевым [21] было предложено решение осесимметричной задачи о сжатии пластической среды шероховатым расширяющимся цилиндром. В этой же работе было показано, что полученное решение Р. Хилла [69], допускают наложение, в результате чего было получено решение осесимметричной задачи о сдавливании цилиндрического слоя пластического материала сближающимися шероховатыми цилиндрическими поверхностями. Решение было получено при условии пластичности Мизеса и Трескапоказано, что решение Л. Прандтля имеет место как частный случай полученного решения при стремлении радиусов цилиндров к бесконечности. Им же [22, 23] обобщено решение работы [21] на случай сдавливания цилиндрического слоя при наличии вращения плит при условии пластичности Мизеса и Треска. В работе [23] было предложено обобщение решения Л. Прандтля на случай пространственного течения четырехгранного прямоугольного бруса при условии пластичности Мизеса, сжатого взаимно противоположными сближающимися шероховатыми и гладкими плитами. Д. Д. Ивлевым также получены обобщения решений Л. Прандтля [47] и Гартмана [46] на случай пространственного состояния идеальнопластических сред. В работе [24] определены компоненты напряжения для среды, свойства которой зависят от среднего давления, а также получены компоненты тензора напряжения в декартовой, сферической, цилиндрической системах координат.

Общие результаты в области построения точных решений теории пластичности были получены М. А. Задояном [11−16,18,19]. Им дан ряд важных и интересных точных решений теории идеальной пластичности в цилиндрических, сферических и декартовых координатах. В работе [12] дано общее решение для пространственного течения прямоугольной плиты при условии пластичности Мизеса. Этому решению соответствует, в частности, чистый изгиб прямоугольной плиты, пространственное течение пластического материала между шероховатыми плитами и т. д.

Для случая цилиндрических координат аналогичные результаты получены в работах [11,13]. Из решения, полученного в работе [11], как частный случай, следует известный случай плоской деформации пластической массы между наклонными шероховатыми плитами, исследованный А. Надаи, а также некоторые пространственного течения пластического материала между наклонными жесткими плитами, когда они вращаются с данной скоростью вокруг линии пересечения контактных поверхностей. М. А. Задояном [19] рассмотрены течения идеальной жестко-пластической несжимаемой среды, имеющей форму конусообразного тела при различных внешних воздействиях, причем задача об осесим-метричном течении сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых описывают предельное состояние конической трубы под воздействием равномерно распределенных на внутренней и внешней поверхностях кольцевых касательных силнормальных и кольцевых касательных силнормальных и продольных касательных силисследуются совместный изгиб и растяжение конического листа.

Среди работ, посвященных анализу решения Л. Прандтля, отметим работу С. С. Григоряна [8].

Упругопластическое течение конусообразных тел исследуется в работе [18] .

Отметим также решения Н. А. Матченко [43,44] о плоском течении ортотропной полосы, сжатой шероховатыми плитами и о пластическом течении бруса из ортотропного материала, сжимаемого шероховатыми и гладкими плитами.

И.П.Григорьев [7] методом малого параметра рассмотрел задачу о сдавливании идеальнопластического круглого в плане слоя радиуса р = Я шероховатыми плитами. Им установлена нелинейная зависимость компонент напряжений от величины глубины слоя р .

С.И.Сенатов [51- 57] рассмотрел групповую классификацию уравнений теории идеальной пластичности общего вида, а также дал некоторые точные решения пространственных задач пластического течения неоднородных и анизотропных сред.

Эксперименты показывают, что для некоторых материалов предельная величина напряжения при скольжении по металлу в 10−30 раз меньше их предела текучести, т. е. решение Прандтля-Надаи непригодно для описания этих процессов, т. к. оно соответствует идеализированному случаю, когда первоначально по поверхностям контакта пластического материала с плитами имелось полное прилипание. Это происходит в тех случаях, когда материал приварен к плитам или когда «шероховатости» поверхностей плит, с одной стороны, и пластического материала, с другой, были полностью «согласованы», т. е. таковы, что имело место полное прилегание этих поверхностей без каких-либо значительных зазоров и пор.

А.В.Романов [48−50] исследовал точные аналитические частные решения теории идеальной пластичности в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Наряду с «прандтлевскими «решениямирешениями в предельном случае приводящих к решению Л. Прандтля, им был выделен класс «непрандтлевских» решений, т. е. решений, не сводящихся в пределе к решению Л.Прандтля. Так, например, А. В. Романов из полученного общего решения в декартовых координатах, содержащего решение Л. Прандтля (т ф 0, xxz = т — О) как частный случай, выделил непрандтлевское решение, соответствующее сжатию пластического материала сдвигающимися и поворачивающимися плитами (хв ^ 0, хху = xyz — О). В результате исследования полученного решения показано, что малые сдвиговые деформации плит вдоль оси z вызывают малые изменения напряжений. В цилиндрической системе координат получено общее решение в случае, когда все компоненты напряженного и деформируемого состояния не зависят от координаты 6. Этот случай соответствует сдавливанию и закручиванию пластического пространства с цилиндрической полостью радиуса г > 1, шероховатой по тангенциальному направлению, когда по образующей цилиндрической поверхности распределена нормальная нагрузка и крутящее усилие.

Целью настоящей работы является определение напряженного состояния и характера плоского и пространственного идеальнопластиче-ского течения тел. Развитие аналитических методов определения характера течения плоских и пространственных изотропных и анизотропных жесткопластических сжимаемых тел.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе, посвященной линеаризированным задачам теории изотропного жесткопластического тела, исследуется предельное состояние плоского слоя из идеального сжимаемого материала, сжатого шероховатыми плитами. Определены в первом и втором приближении компоненты напряжений. В первом приближении определены компоненты скоростей перемещений в случае произвольной зависимости максимального касательного напряжения от среднего давления. Полученные результаты сравниваются с известным аналитическим решением Гартмана о сжатии слоя, предельное состояние которого зависит от среднего давления. Показано, что в первом приближении решения совпадают, причем решение, полученное непосредственно, является более общим.

Во второй главе рассматривается сжатие плоского сжимаемого иде-альнопластического слоя, обладающего анизотропией механических свойств. Получено обобщение решения Гартмана на случай анизотропного сжимаемого материала. Приведены приближенные решения задачи для слоя в случае винтовой и ортотропной анизотропии.

В третьей главе исследуется предельное состояние пространственного слоя из идеального жесткопластического изотропного сжимаемого материала, сжатого шероховатыми плитами. Получено в первом приближении поле напряжений.

На защиту выносятся следующие результаты:

— представлен алгоритм решения плоской задачи о сдавливании идеального сжимаемого жесткопластического слоя шероховатыми плитами и представлены результаты расчетов на основе этого алгоритма: получены приближенные аналитические выражения для определения полей напряжений и скоростей перемещений;

— установлена нелинейная зависимость сдавливающего давления <зу вдоль длины плиты: в первом приближении — квадратичная зависимость, во втором — кубическая;

— проведен сравнительный анализ полученных результатов с известным точным решением Гартмана о сжатии слоя, предельное состояние которого зависит от среднего давления;

— дано обобщение задачи Гартмана на случай идеальнопластического сжимаемого анизотропного материала. Проведено исследование предельного состояния слоя в случае винтовой и ортотропной анизотропии;

— определено поле напряжений для пространственного идеального сжимаемого жесткопластического изотропного слоя, сдавливаемого шероховатыми плитами.

Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопластических изотропных и анизотропных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, следовательно, к более рациональному проектированию сооружений и машин.

Результаты диссертации опубликованы в работах [71−77].

Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

— на семинарах по механике деформируемого твердого тела, ЧГПУ.

Чебоксары, 1998;1999);

— на итоговой научно-практической конференции преподавателей и сотрудников ЧГПУ (Чебоксары, 1999);

— на международной конференции «Итоги развития механики в Туле» (Тула, 1998);

— на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999);

— на семинаре кафедры композиционных материалов механико-математического факультета, МГУ им. Ломоносова (Москва, 1999).

Основные результаты и выводы:

1. Предложен алгоритм решения задачи о сдавливании шероховатыми плитами изотропного плоского слоя из жесткопластического сжимаемого материала.

2. На основе развитого алгоритма получены аналитические выражения для определения компонент напряжений и скоростей перемещений в случае произвольной зависимости максимального касательного напряжения от среднего давления: ттах = /(сг).

3. Установлена нелинейная зависимость сдавливающего давления <з у вдоль длины плиты.

4. Проведено сравнение разложения точного решения Гартмана о сжатии плоского слоя, предельное состояние которого зависит от среднего давления, с полученными результатами. Показано, что решение, найденное непосредственно по предложенному алгоритму, является более общим.

5. Результаты задачи Гартмана по определению компонент напряженного состояния для изотропного тела распространены на случай произвольной анизотропии. В качестве примера рассмотрен случай винтовой и ортотропной анизотропии.

6. Исследовано предельное состояние пространственного изотропного слоя из идеального жесткопластического сжимаемого материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.