Гранично-элементное моделирование динамики составных пороупругих тел

Пористые материалы широко распространены в природе и технике. Такими материалами являются насыщенные газом или жидкостью грунты и горные породы, конструкционные и строительные материалы и т. п. В развитии механики пористых материалов заинтересованы специалисты химических, нефтехимических отраслей, а также специалисты по механике грунтов и биомеханике. Значительный интерес представляет исследование волновых процессов в пороупругих телах.

Математическое моделирование многокомпонентных сред восходит к работе Л.Эйлера. За прошедшее время не построена общепринятая модель. Принципиальной особенностью пористой среды является учет механизма втекание или вытекание наполнителя (жидкости, газа) в область, формируемую порами. Такое явление особенно важно при рассмотрении волновых процессов. Динамическое поведение наполнителя усложняет модель среды.

Началом исследований волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Я. И. Френкеля (1944). Косачевским Л. Я. в 1959 году было показано, что теория М. Био (1956), как и подход Я. И. Френкеля, опирается на те же соотношения между напряжениями и деформациями, но отличается большей общностью. Анализ работ М. Био и Я. И. Френкеля в 2005 году был проведен S.K. Pride и S. Garambois, которые также установили общность предложенных теорий.

Вслед за Я. И. Френкелем интерес к изучению волн в пористых насыщенных средах стимулировали работы К. Цвиккер и К. Костен (1952), Дж. Гиртсма и Д. Смит (1961), Л. М. Дорогиницкая и др. (1964), П. П. Золотарев (1963), В. Н. Николаевский (1963), В. П. Степанов (1963), С. МсСапп и D.M. МсСапп, (1969) и многие другие. Однако наиболее значимыми принято считать две работы М. Био (1956). Состояние вопроса можно составить по работам R. de Boer (2000), M. Schanz (2001, 2009), Н. С. Городецкой (2005), В. Н. Николаевского (2005).

Ключевым результатом в распространении волн в полностью насыщенной пористой среде стало предсказание существования трех типов волн: быстрой и медленной продольных волн и поперечной волны. Быстрая продольная и поперечная волны по своей природе близки к волнам в упругой среде. Медленная продольная волна свойственна именно пористой среде. Она обладает значительными дисперсией и затуханием. Вызывается такая волна перемещением частиц наполнителя (жидкости, газа) относительно упругого скелета.

Работа посвящена изучению распространения волн в составных пороупругих телах, в частности, численному исследованию проявления медленной продольной волны. Краевые задачи, решаются методом граничных интегральных уравнений (ГИУ). Для решения ГИУ применяется метод граничных элементов (МГЭ). Избранные схема редукции и дискретная модель при решении краевой задачи позволяют преодолеть ограничения аналитических и численно-аналитических методов относительно форм границы. Высокая точность получаемых результатов на основе ГИУ и МГЭ необходима для рассматриваемого класса задач. Исследование волновых процессов в полубесконечных телах является естественным для применяемого подхода, в отличии от таких универсальных численных методов, как метод конечных элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР).

В исследованиях применяется модель Био пороупругой среды. Теория Био учитывает взаимодействие фаз (скелета и наполнителя). Исторически именно на основе теории Био предсказано существование в пористой среде трех типов волн. Роль медленной волны наиболее ясно проявляется в случае большой сжимаемости среды, заполняющей поровое пространство. Экспериментально волну сложно обнаружить в естественных пористых средах. Трудности обнаружения связаны с тем, что она имеет значительно меньшую амплитуду, чем быстрая продольная волна. Игнорирование медленной волны приводит к значительным ошибкам при оценке затухания быстрой продольной и поперечной волн. Теория Био качественно и количественно правильно предсказывает скорости, амплитуды и частотные зависимости затухания всех трех типов волн в различных полностью насыщенных пористых средах.

Можно показать, что теория Био является частным случаем линеаризованной теории смесей [39]. В работе [115] дано интересующее нас сравнение теорий. Утверждается, что подходы совпадают для случая несжимаемых составляющих, если пренебречь мнимой плотностью массы. Однако необходимо подчеркнуть, что, при всей схожести обоих подходов, теории сильно разняться в том, как в них моделируется взаимодействие твердого тела (скелета) и текучей среды (наполнителя).

После исследований Боуэна [39] и Вильмански (1998;2006) модель Био можно признать термодинамически адекватным способом линейного описания динамики насыщенных пористых сред. Разнообразие в подходах по учету пористости шире чем отмечено здесь, но, как правило, авторы сопоставляют свои результаты с теорией Био. Поэтому значение теории Био с подобными исследованиями только возрастает [75, 82, 83].

Применение теории Био позволяет решить ряд частных задач. Так, в [61] рассмотрена задача о действии скорости в виде функции Хэвисайда на полубесконечный столб грунта. В работе получено решение в замкнутой форме для предельных случаев нулевого и бесконечного усилия в текучей среде (компоненте). Решение Грэга в лапласовой области с последующим численным обращением привело к решению уравнений Био [69] и было сопоставлено с одномерным КЭ-решением в [68]. Решение в частотной области для конечного одномерного столба, нагруженного торцевой силой и давлением в порах, приведено в [45, 46] в сравнении с ГЭ-решением. На основе теории пористых сред в [49] было выведено аналитическое одномерное решение для полубесконечно длинного столба с несжимаемыми составляющими.

Решение задачи о действии ударной силы на одномерный столб при шаговом нагружении можно найти в [113]. Это решение выводится из лапласовой области, а история отклика находится с помощью метода квадратуры свертки, предложенного Любичем [86, 87]. Распространение этого полуаналитического решения на поровязкоупругий материал по теории Био можно найти в [114]. С помощью этого одномерного решения можно отслеживать прохождение обеих волн сжатия: быстрой и медленной (волны Био). В других аналитических решениях из [49, 125] не удается проследить медленную волну (решение из [65] базируется на несжимаемой модели при этом рассматривается сильно диссипативный материал).

Для тестирования численных процедур активно используется решение о квазистатическом поведении скважины [53, 54]. Его динамический вариант гораздо более сложен. В [119] приводится решение в лапласовой области с численным обращением для условий плоской деформации. Распространение на случай вязкоупругого скелета можно найти в [129]. В [84] приводится трехмерное решение в цилиндрических координатах в частотной области. Авторы проводят и численное обращение. Аналогичное решение для скважины в трещиноватых скальных породах приводится в [126, 127] в лапласовой области с последующим обратным преобразованием. Микросейсмические явления, появляющиеся в результате попадания скважинных текучих сред в окружающий пористый резервуар, аналитически исследованы в [57].

Первая работа по рассеянию в пористых средах принадлежит Берриману [29]. Та же задача рассмотрена и в [94], но уже с использованием упрощенной пороупругой модели, взятой из работы [29]. Рассеяние внутри скважины рассматривается в [66]. Почти аналитические решения по рассеиванию при пористом рассеивателе, либо цилиндре имеются в [65, 67]. Рассеивание и дифракция плоских волн сдвига неглубоким округлым ущельем рассмотрено в [79]. Рассеяние волн круглой трещиной в пористой среде исследовано в [59]. Коэффициент интенсивности динамического напряжения для нагружения по моде 1 дисковидной трещины в бесконечном пороупругом твердом теле рассчитан в [74].

В машиностроении часто используются специальные решения для элементов конструкций. Такие конструктивные элементы с помощью пороупругого определяющего уравнения были разработаны на основе теории Био. В монографии [42] рассматриваются колебания, большие прогибы и устойчивость пороупругих балок. Теория пластин на основе допущений Кирхгофа и при использовании теории Био опубликована в [123, 124]. В книге [42] дается теория пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа. В [41] разработана теория пороупругих пластин, основанная на гипотезах Миндлина.

Более сложными задачами являются задачи о полупространстве. Однако из первых исследований двумерной задачи о возмущении пороупругого полупространства при воздействии импульсной линейной нагрузки и круговой равномерной поверхностной нагрузки можно найти соответственно в [96, 97]. Поверхностные усилия и перемещения были рассмотрены только для скелета. Исследовались интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Результат исследования — сложные интегралы, даже при больших временах. Газетас и Петракис [60] рассмотрели задачу о пороупругом полупространстве при качании бесконечно длинной жесткой полосы. Решение было получено в частотной области. В след за этой работой Halpern и Christiano [63] опубликовали свои решение. Необходимое обратное преобразование было выполнено численно. В следующей работе Halpern и Christiano [64] дали решение для полупространства с жесткой пластиной, лежащей на поверхности. Серия работ по этой задаче, но с различными нагрузками были опубликованы в [71−73]. В [130] получено решение для заглубленного жесткого диска. Решение состоит из нескольких интегральных уравнений, которые решаются численно. В [81] исследованы поверхностные смещения и напряжения полупространств, нагруженных падающими волнами сжатия или сдвига при допущении о невязкой текучей среде.

В [100] рассматривалась задача Лэмба для пороупругих материалов в частотной области. Это решение обсуждалось в [120], где отмечается, что краевые условия необходимо задавать не только в виде вектора суммарного напряжения, но и в виде давления в порах. Поэтому в [120] получены другие решения, к примеру, меньшие смещения, чем [100]. Решение для слоистого полупространства с нагрузкой, действующей на жесткий диск, приводится в частотной области в цилиндрических координатах в [98, 99].

В отличие от перечисленных выше решений, где нагрузка действует на поверхность, в [118] опубликовано решение для двумерного пороупругого полупространства с заглубленной нагрузкой, т. е., дается функция Грина, которая в принципе применима в ГЭ-формулировках. Это решение получается с помощью преобразования Фурье относительно горизонтальной координаты и времени. Вертикальная координата не преобразуется. Обратное преобразование выполняется численно. Аналогично в [105] было получено решение для плоской многослойной пороупругой среды под действием заглубленной гармонической по времени нагрузки или источника текучей среды. Примененный метод решения обсуждается в [77]. В [38] представлено подобное, но полуаналитическое решение той же задачи с приложением, описанным в [37]. В отличие от решения в [105], при получении решения для аппроксимации по горизонтальной координате использован КЭ-подход. Таким образом, только решения из [189] и из [105] можно использовать в качестве функции Грина полупространства. В [70] приведено решение в трехмерной постановке для полупространства под действием заглубленной нагрузки в цилиндрических координатах. Решение найдено в частотной области при наложении на фундаментальное решение для пространства. Распространение волн в слоистом полупространстве в частотной области описано в [50].

В настоящее время преобладают работы по изучению колебаний в пористых средах с применением метода нормальных мод, лучевого метода, а также метода контурных интегралов. Все возрастающие требования к строгости подходов значительно усложняет схемы решения задач. Возможности методов ГИУ и МГЭ позволяют успешно моделировать динамику пороупругих тел.

О современном состоянии применяемого в работе подхода можно составить представление по следующим работам [5, 26, 30, 36, 58, 62, 103, 116]. Специально подчеркнем, что МГЭ как дискретная схема решения краевой задачи впервые появился в работе Н. И. Мусхелишвили в 1937 году. Традиционно отличаемая черта метода — работа только с границей исследуемого тела, т. е. производится дискретизация лишь поверхности тела, что позволяет понизить размерность задачи на единицу. Эффективность метода наиболее очевидна, когда область неограничена. Метод автоматически удовлетворяет условиям на бесконечности. Настройка гранично-элементной сетки намного проще, чем конечно-разностной и конечно-элементной [5, 26, 30, 36, 58, 62, 103, 116]. После МКЭ и МКР роль МГЭ, по сравнению со всеми другими численными методами решения краевых задач, является бесспорной [5, 26, 30, 36, 58, 62, 103, 116].

Применение метода ГИУ и МГЭ к решению краевых задач трехмерной пороупругости находится на стадии становления [24, 111]. Развитие метода сопровождается не только интересными и практически важными результатами, но и неточностями и ошибками. Так, например, используемые в [111] ГИУ не являются решением исходной начально-краевой задачи. Возникшая проблема в ядрах ГИУ обнаружена и решена в работах [8, 102]. Причина допущенной ошибки объяснена в работе [1].

Среди последующих исследований отметим работы авторов М. SchanzD. PrylD.-Shebg J. и др.- M. BouchonJ.-S. PanJ.-F.Lu, D.-S. Jeng, S. WilliamsD. Soares, J.C.F. Telles, W.J. MansurO. Maeso, J.J. Aznarez, F.

GarciaS.E. Kattis, D.E. Beckos, A.H.-D. ChengT. Senjuntichai, S. Mani, R.K.N.D. RajapakseJ. Liang, H. You, V.W. Lee и др.

Моделирование нестационарного поведения в методе граничных элементов условно можно разделить на два подхода: решение во временной области с помощью шаговой схемы по времени [92] и решение в области интегральных преобразований через преобразования Лапласа или Фурье с последующим обратным преобразованием [47]. Возможности шаговых схем, зачастую, существенно ограничены отсутствием матриц фундаментальных решений, записанных во времени. Часто такие матрицы можно построить только в изображениях по Фурье и Лапласу. Поэтому, первые ГЭ-формулировки для пороупругодинамики на базе теории Био были опубликованы в изображениях по Лапласу [90, 91]. Близкая (по базовым функциям) к исследованиям этой работы ГЭ-формулировка в частотной области была опубликована в [46] и [55]. Несингулярная формулировка в частотной области представлена в [132] для моделирования рассеяния волн. Несингулярное интегральное уравнение получается при вычитании интегрального уравнения упругостатики внутренней части рассеивателя из пороупругого уравнения. На основе того же приема представлена ГЭ-формулировка, называемая как два с половиной мерная [85].

Формулировка во временной области была разработана в [128]. Подход имеет ограничение: отсутствует демпфирование между скелетом и наполнителем. Другая формулировка с временной зависимостью была предложена в [44] на базе аналитического обратного преобразования Лапласа фундаментальных решений. Как способ компьютерного моделирования эта формулировка не эффективна из-за больших временных затрат. В [108, 107, 110] используется метод квадратуры свертки, предложенный Любичем [86, 87], для построения шаговой ГЭ-формулировки для задач пороупругодинамики на основе фундаментальных решений в преобразованиях по Лапласу.

Кроме отмеченных ГЭ-формулировок существуют приближенные ГЭ-формулировки [121, 122], опирающиеся на подход Нардини-Бреббия. Пока в этом подходе используется лишь упрощенная модель и статический закон Дарси.

Одним из приложений пороупругой ГЭ-формулировки в частотной области является анализ систем дамба-резервуар. Первые двумерные расчеты были опубликованы в [89] и [56]. В трехмерной постановке этот подход опубликован в [27]. Отклик осесимметричных оснований в пороупругих средах в частотной области был проанализирован с помощью МГЭ в [48]. Другое приложение с использованием пороупругодинамической ГЭ-формулировки приводится в [88] для свай в грунте. Приложение к анализу бурения туннелей опубликовано Каттисом [76], где вместо теории Био использовано упрощение из [93].

Все вышеупомянутые ГЭ-формулировки относятся к прямому подходу метода. В пороупругодинамике возможно применение также непрямого подхода [104]. В [117] описано его применение в задаче о жестком включении в пороупругое полупространство. Рассеяние сдвиговых волн в [80] также анализируется на основе непрямой пороупругой ГЭ-формулировки.

Цель работы заключается в развитии МГЭ методики и программного обеспечения на основе интегрального преобразования Лапласа для решения трехмерных задач динамики составных пороупругих тел, а также исследования динамического деформирования составных пороупругих тел.

Научную новизну работы составляют: ГЭ-моделирование краевых задач составных тел трехмерной динамической пороупругости на основе согласованной поэлементной аппроксимации на обобщенных четырехугольных элементах, в то время как другими авторами используется изопараметрический подход на основе треугольных элементовГЭ-моделирование в сочетании с методом Дурбина численного обращения преобразования Лапласа, поддерживаемое оригинальным программным обеспечением ГЭ-подходаГЭ-решения в трехмерной постановке волновых задач о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на составное пороупругое полупространствоГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамическом отклике порового потока.

Достоверность исследований основана на эквивалентности исходной краевой задачи в частных производных математической теории пороупругости системе используемых ГИУна применении для численных исследований регуляризованных ГИУна детально проработанных алгоритмах МГЭ-подходана анализе сходимости ГЭ-решений и сравнении полученных результатов с аналитическими решениями и ГЭ-решениями других авторов.

Практическая значимость результатов исследования состоит в комплексном развитии методов Дурбина и граничных элементов с целью получения устойчивых высокоточных численных решений краевых задач трехмерной теории пороупругостив создании МГЭ программного обеспечения для анализа динамики составных трехмерных пороупругих тел с использованием интегрального преобразования Лапласав ГЭ-решении в трехмерной постановке задачи о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на составное пороупругое полупространствов ГЭ-моделировании эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методика и программное обеспечение ГЭ-решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина для анализа динамики трехмерных составных пороупругих тел.

2. ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

3. ГЭ-решение следующих волновых задач:

— о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

— о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности составных пороупругих полупространств.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала ИМАШ РАН им. A.A. Благонравова (Н.Новгород, 2006) — XII, XIII, XIV, XV, XVI Нижегородских сессиях молодых ученыхматематические науки (Н.Новгород, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011) — XII, XIII, XIV Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2008, 2009, 2010) — XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (С.Петербург, 2009) — XVI, XVII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2010, 2011, 2012) — X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1−20]. В изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских диссертаций, опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 132 наименований. Общий объем диссертации составляет 138 страниц машинописного текста.

Заключение

.

1. Развита методика и создано программное обеспечение для численного решения систем ГИУ прямого подхода в сочетании с методом Дурбина для анализа динамики трехмерных составных пороупругих тел.

2. Дано ГЭ-моделирование эффекта возбуждения медленной волны в динамических откликах поровых давления и потока.

3. Получены ГЭ-решения следующих волновых задач:

— о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торцы составных пороупругих призматических тел;

— о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхности составных пороупругих полупространств.