Обоснование метода квадратур и метода Ньютона-Канторовича для нелинейных сингулярных интегральных уравнений

Целью данной работы является изучение свойств дискретного сингулярного оператора (д.с.о.) в дискретных аналогах пространств Acy, w и Lp (1 <р<">) и применение их к обоснованию метода квадратур для приближенного решения одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) и модифицированного метода Ньютона-Канторовича для приближенного решения НСИУ Теодор-сена.

Актуальность проблемы. Интенсивное развитие и применение теории НСИУ вызвало необходимость разработки приближенных методов их решения.

Научная новизна работы. В работе впервые;

1) введено понятие модуля гладкости конечномерного вектора" и в их терминах для д.с.о. получены дискретные аналоги оценки Зигмунда-Бари-Стечкина;

2) доказаны теоремы об ограниченности д.с.о. в дискретных аналогах пространств Н^ m и^-р 0<Р<*>) «в частности, найден дискретный аналог класса А. Зигмунда ]Y*, инвариантного относительно д.с.о.;

3) обоснован метод механических квадратур для одного класса НСИУ с ядром Гильберта в классе — vy I Т.

4) обоснован модифицированный метод Ньютона-Канторовича для НСИУ Теодорсэна в классе \.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения полученных результатов к численному решению ряда прикладных задач, например, задач об обтекании пористого цилиндра плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости, об определении дебита нефтяных скважин в плоском пласте при произвольной форме контура питания, а также к задачам конформного отображения.

Методы, используемые при исследованиях — методы теории функций действительного переменного, функционального анализа, теории НСИУ.

Общие вопросы. Первыми исследованиями в теории НСИУ, основоположником которой является А. И. Гусейнов, были работы, в которых задача нахоздения функции, конформно отображающей область, близкую кругу, в круг, сведена к НСИУ с ядром Гильберта (IIktocUrscn) и методом последовательных приближений доказано существование и единственность решения в классе Гельдера (3-£<ток} S-UtarscUiJsKi, А.И.Гусейнов). Эта теория получила дальнейшее развитие в работах А. И. Гусейнова, В. Погожельского, В. К. Наталевича, Б. Н. Гехта, Д. Пшеворской-Ролевич, А. А. Бабаева, А. М. Абасова, Х. Ш. Мухтарова, Г. М. Магомедова, А. Назарова и др. и отражена в монографиях В. Погожельского, А. И. Гусейнова и Х. Ш. Мухтарова.

Как уже отмечалось выше, необходимость доведения до числа решений НСИУ, имеющих прикладное значение, поставила задачу о разработке приближенных методов решения этих уравнений. Значительное место среди них занимают метод Ньютона-Канторовича [5,18,19,22,23,32,33,34], квадратурно-итерационный метод [11,12, 13,14,21 J, метод коллокации [10,13] и другие (см. например, [3,9, 15,42 J).

Одним из эффективных методов приближенного решения НСИУ является метод механических квадратур [2,8,35,39,43], заключающийся в замене сингулярного интеграла соответствующей квадратурной формулой и решении полученной при этом системы нелинейных алгебраических уравнений с последующим обоснованием сходимости процесса.

Впервые обоснование метода механических квадратур для одного класса НСИУ с ядром Гильберта было дано в [2], а для НСИУ с ядром Коши «в Г4,39] .

Следуя [1,2], соответствие /Г, сопоставляющее гммерному вектору 1 = Д,> - - мерный вектор

Ы) <кЛ (N).

1- f I =(fl> fl, г), (I) где.

2/V-г.

Л=? У U V-^H^ -i f,.^]!^.

Kft назовем д.с.о. Этот оператор порождается квадратурной формулой.

20J.

С- «?.14 «I.

Itejcb ^dS^Z Si^N Shi* с£,.

2 /7 J U X X J — ^.

17T глу-i Z.

K-'-a где =, к = 2Л/-1.

В работах [1,2] изучены свойства д.с.о. и показано, что он наследует основные свойства сингулярного оператора j. К этим свойствам относятся аналоги теорем Племеля-Привалова и М.Рисса. Однако этих свойств недостаточно для изучения важного вопроса влияния гладкости исходных данных на скорость сходимости приближенных решений НСИУ с ядром Гильберта. В настоящей диссертации дается решение этой задачи. Остановимся подробнее на решаемых здесь задачах.

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Бабаев А. А., Мальсагов С. М. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегральных уравнений. ДАН Азерб. ССР, 1968, Ш 5, с.3−8.

2. Бабаев А. А., Мальсагов С. М., Салаев В. В. Обоснование метода квадз->атур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта. Уч.зап.АТУ. Сер.физ.-мат.наук, 1971, «I, с.13−33.

3. Бабаев А. А., %саев Б.И. О сходимости одного численного процесса для нелинейных сингулярных интегральных уравнений. ДАН Азерб. ССР, 1971, № 2, с.13−33.

4. Бабаев А. А., Садырханов Р. С. Об одном квадратурном процессе для особого интеграла и его приложения. ДАН СССР, 1974, 214, «4, с.743−746.

5. Бабинчук Л. С. Применение обобщенного метода Ньютона-Канторовича к решению НСИУ с ядром Коши. В сб. Приближенные методы математического анализа. Киев, 1974, с.87−97.

6. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций. Труды Московск. общества, 1956, т.5, с.483−521.

7. Берколайко М. З., рутицкий Я. Б. Об операторах в обобщенных гельдеровых пространствах. Сиб.матем.журн., 1971, 12, № 5, с.1015−1025.

8. Байков И. В. О применении метода механических квадратур к приближенному решению НСИУ. В сб.:Функц.анализ и теория функций. Казань: КГУ, 1971, № 8, с.3−12.

9. Бойков И. В. Об одном методе приближенного решения НСИУ. В сб.:Функц.анализ и теория функций. Казань: КГУ, 1971,$ 8, с.13−21. 104.

10. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений. В сб.:Аннотации докладов семинара ин-та прикл. матем. Тбилисск. ун-та, Тбилиси, 1972, $ 6, с.69−75.

11. Бойков И. В. 0 приближенном решении сингулярных интегральных уравнений. ДАН СССР, 1972, т.203, № 3, с.511−514.

12. Бойков И. В. К приближенному решению сингулярных интегральных уравнений. Матем. заметки, 1972, т.12, № 2, с.117−186.

13. Бойков И. В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений. ЖВМ и Ш, 1972, т.12, № 6, с.1381−1390.

14. Бойков И. В. О приближенном решении итерационными методами. В сб.:Разложение по ортогональным многочленам. Казань КГУ, 1973, сЛ2−23.

15. Бойков И. В., Жечею И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. Нелинейные уравнения.-Дифференц.ур"я, 1975, т. П, № 3, с.562−571.

16. Вертгейм Б. А. Об условиях применения метода Ньютона. ДАН СССР, 1956, НО, «5, с.719−722.

17. Вертгейм Б. А. О некоторых методах приближенного решения нелинейных функциональных уравнений в пространствах Банаха. УШ, 1957, 12, Я I, с. 166−169.

18. Вертгейм Б. А. Об одном способе приближенного построения комформного отображения. Сб. научных трудов пермского горного института, 1958, № 2, с.241−251.

19. Вертгейм Б. А. Приближенное построение квазиконформныхIотображений круга на некоторые области. Изв.вузов.Сер.матем., I960, № 2, с.30−43.

20. Гадаимагомедов Г. Г. Приближенное решение одного НСИУ с ядром Коши методом Ньютона-Канторовича. В сб.:Научные сообщ. матем. кафедр Дагестанского ун-та Махачкала: ДГУ, 1972, № 2.

21. Гадаимагомедов Г. Г. Применение метода Ньютона-Канторовича к решению нелинейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядром Гильберта. Махачкала, 1974, Деп. в ВИНИТИ, П 2820−74.

22. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. Наука, 1958, 543 с.

23. Гехт Б. И. Разрешимость нелинейных сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. Научные труды Новочеркасского политехнического ин-та, 1955, Ш 26, с.436−454.

24. Гусейнов А. И, 0 конформном отображении круга на область, близкую к кругу.- Труды сектора математики АН Азерб. ССР, 1946,2, с.18−22.

25. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш.

Введение

в теорию нелинейных сингулярных уравнений. Москва «Наука», 1980, 414 с.

26. Гусейнов Е. Г. Кандидатская диссертация. Баку, 1975,115 с.

27. Гусейнов Е. Г., Ильясов Н. А. Дифференциальные и гладкост-ные свойства непрерывных функций. Мат.зам., т.22, вып. б, 1977, с.785−794.

28. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами." Наука", 1977, 508 с.

29. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1,П, М., 1965.

30. Мияьман Д. А. Кандидатская диссертация. Баку, 1981.35. %саев Б. И. Приближенное решение одного класса систем НСИУ методом механических квадратур. ДАН Азерб. ССР, 1970, т.26, № 5, с.18−21.

31. Мусаев Б. Й., Салаев В. В. О сходимости квадратурных процессов для сингулярны* интегралов с ядром Гильберта"В сб.^Современные проблемы теории функций. Изд. АТУ им. С. М. Кирова, 1980, с.186−194.

32. Мусхелишвшш Н. И. Сингулярные интегральные уравнения М. Наука, 1968, 512 с.

33. Мухтаров Х. Ш. Исследование одного НСИУ с ядром Гильберта. Изв.Вузов. Математика, 1965, № 2(45), с.118−125.

34. Садьтрханов Р. С. Приближенное решение методом квадратур НСИУ с ядром Коши.- ДАН Азерб. ССР, 1975, т.31, № 3, с.3−7.

35. Тим&н А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного, Физ-мат.гиз.М., I960, 624 с.

36. Тригуб P.M. Приближение функций с заданным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси. В сб. Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М., 1961, с.47−51.

37. Усменов Г. У. Численное решение нелинейных сингулярных интегро-диф^юренциальных уравнений, описывающих струйные течения тяжелой жидкости. В сб.:Вопросы вычисл. и прикл.матем. Ташкент. МК ЛИ Узб. ССР, 1971, № 6, с.174−185. 107.

38. W’w-sk^vjsKTL SOn TeocUvsens metkoA o? Ceh^r. o псягРу CirCu^v Re^UmОацД KqtL, Я.

39. Мохамед X.C. Дискретный сингулярный оператор в модулях гладкости. В сб.:Линейные операторы и их применения. Изд. АГУ им. С. М. Кирова, 1984, с.72−77.

40. Мохамед Х. С. Приближенные решения одного класса нелинейных сингулярных интегральный уравнений. Тезисы докладов УП республиканской научной конференции аспирантов Вузов Азербайджана, Баку, 1984, часть I, с. 198.

41. Мохамед Х. С. Обоснование метода квадратур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Hgj. k * Деп. в АзНИИНТИ 20 ноября 1984 г. П 279 Аз-Д84э 40 с.

42. Мохамед Х. С. Решение интегрального уравнения Теодорсенаметодом Ньютона-Канторовича в пространствах Н fct9) К: Деп. в АзНИИНТИ Аз.- Д85, 19 с.