Применение левнеровских семейств отображений в задачах комплексного анализа

В начале XX классическая теория Вейерштрасса о последовательностях голоморфных функций пополнилась исследованиями Каратеодори о сходимости последовательности областей к ядру и соответствующих отображений к отображению на ядро. Эти результаты были обобщены на семейства, зависящие от вещественного параметра и появилась возможность и необходимость исследовать дифференциальные свойства отображений относительно вещественного параметра. Первые исследования в этом направлении были выполнены Левнером [60] в 1923 году. Им был получен следующий результат. Пусть АеС, А^С, — односвязная область в плоскости, содержащая точку м? = 0. Пусть м = 0< т < т° < -ко, — простая жорданова дуга в А, начинающаяся в точке у (т{)еА, оканчивающаяся в точке границы области, А и не проходящая через нуль. Обозначим отображение единичного круга Е = е С-г < 1} на, А с исключенной частью рассматриваемой дуги от у (0) до у (т) через = г), х1/(0,г) = 0,.

Всегда можно полагать, что Ч*(т, г) = етг +. Левнер показал, что ^(г^) имеет производную где м (т) ~ точка на границе круга Е, соответствующая подвижному концу разреза. Полученную формулу можно рассматривать и изучать как дт дг ¿-1(т) — г г<=Е, дифференциальное уравнение. Из-за неизвестности более удобно исследовать уравнение для функции где.

Плотный относительно равномерной сходимости внутри Е подкласс класса то есть класса голоморфных однолистных отображений круга.

Е, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, /'(0) = 1, можно получить как множество отображений где — решение уравнения (*) (уравнения Левнера) с непрерывной управляющей функцией м (т)> (/¿-(т)| = 1- Левнер, пользуясь (*), доказал неравенство |с3|<3 на классе что было дополнительным фактом в пользу справедливости гипотезы Бибербаха [29]: на 5″ при любом «еМ. На основе уравнения Левнера и исследований Г. М. Голузина [34], [35], [36], [37], [38]- [39], [41], И. Е. Базилевича [23], [24], [26] сформировался один из методов геометрической теории функций комплексного переменного: метод параметрических представлений. П. П. Куфаревым [53], [56], [57], И. А. Александровым [5], [15], В. А. Синевым, Г. Д. Садритдиновой [65], [66] он был развит в направлении реализации конформных отображений (нахождение постоянных в интеграле Кристоффеля — Шварца, получение интегральных представлений подклассов класса 5). И. А. Александров [9], В. И. Попов [62], С. А. Копанев [17], В. Я. Гутлянский [43] нашли области значений многих функционалов на классе в том числе, область изменения 1п/'(г0) на П. П. Куфарев [48] и А. Э. Фалес [58] решили известную задачу.

М.А. Лаврентьева о дополнительных областях.

Более общее, чем уравнение Левнера, уравнение.

— = -СР{?, т), 0<г < +оо, где функция, при фиксированном г, голоморфна в круге Е и имеет в нем положительную вещественную часть, изучалось П. П. Куфаревым [49], [51], [52], [54] и получило название уравнения Левнера — Куфарева. Основываясь на выпуклости класса функций Каратеодори, И. Е. Базилевич [25], интегрируя уравнение Левнера — Куфарева, получил интегральное представление подкласса класса S, включающее звездные и выпуклые отображения. А. П. Сыркашев [71] в частных случаях свел уравнение Левнера — Куфарева к уравнению Бернулли и уравнению к Рикатти.

Д.Б. Прохоров* [63], С. АКопанев [45], И. А. Александров [4]' исследовали вариационные задачи, сочетая метод параметрических представлений с методом оптимального управления Л-G. Понтрягина.

Объединение метода внутренних вариаций Шифера' - Голузина и метода параметрических представлений Левнера дано П. П. Куфаревым [50]. М. Р: Куваев [47] распространил уравнение Левнера на автоморфные функцииИ.А.Александров — на однолистные отображения кругового кольца, Л. М. Бер [28] - на области с несколькими разрезами, Л. С. Копанева [46] - на отображения с симметрией переноса.

Установлены связи между методом параметрических представлений и вариационно-параметрическим методом М. А. Лаврентьева.

В недавних работах И. А. Александрова [1], [8] показано, что в рамках метода параметрических представлений можно получить основную вариационную формулу Голузина.

В работах H.A. Лебедева и И. М. Милина [59] был разработан «аппарат формального экспоненцирования», позволяющий перенести ограничения' с логарифмических коэффициентов4 на тейлоровские коэффициенты однолистных функций, в частности, позволяющий оценивать коэффициенты функции f К г. 2 И=1 — логарифмические коэффициенты функции /.

Полное решение задачи Бибербаха о коэффициентах функций класса Б было получено Л. де Бранжем [30], [31] в 1984 году. Важной частью предложенного им доказательства стал этап с использованием метода параметрических представлений.

Функционал И. М. Милина Бранжем рассматривался как предельное значение при г = 0 функции к=1у ' где /"(/) — логарифмические коэффициенты функции е~тх?(т, г), а.

2 и-/ 7−1.

-{"-Л* Л' = /? — /с, компоненты решения некоторой системы уравнений. Бранж, пользуясь работой Р. Аски, Г. Гаспера [21] установил, что где т = п-в +1, к = Б-1, и доказал гипотезу Милина [61], то есть показал, что Мп (/) > 0. В силу леммы Лебедева — Милина имеем сп | < п.

В 1991 году Вайнштейн [32] представил другое доказательство гипотезы Бибербаха без использования результата Р. Аски и Г. Гаспера. Доказательство Вайнштейна сводилось к установлению знака введенных в рассмотрение специальных функций А" (г). Тодоров [72] и Вильф [33] независимо друг от друга показали, что функции А" (г) связаны с функциями.

Бранжа следующим соотношением: У’зп (г) = -¿-А" (г).

И.А. Александровым, А. И. Александровым, Т. В. Касаткиной [14], [16], Г. А. Юферовой [20], [75], [76] исследованы связи Укп (т) с задачами конформных отображений.

Метод параметрических представлений получил дальнейшее развитие и выделился среди всех методов исследования экстремальных задач на классах однолистных отображений как единственный в настоящее время приведший к решению задачи Бибербаха о коэффициентах.

Приведем краткое изложение содержания диссертации. Мы будем использовать номера теорем и формул, введенные в основном тексте данной работы.

В первой главе приводятся новые случаи интегрируемости уравнения Левнера и уравнения Левнера — Куфарева.

В первом параграфе первой главы получено решение уравнения Левнера с заданной управляющей функцией /¿-(г) = е~2″ рЛ3 (т,<�р), где Я{т,(р) дается формулой Л = Л (т,<�р) = cos (р • е~т + - cos2 qy • ё~2т, и с начальным условием ¿-Г (0,z,//) = z, zeE. Теорема 1.1. Функция.

Xe~2'(p.

D D где z-cosq>

D = D (z, cp) = v2 ' при фиксированном т, 0 < г < +со, осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга при (р е (0,2л*) {я-} в единичный круг с разрезом, начинаюгцимся в точке = и, оканчивающемся в точке на единичной окружности, а при (р <е {О, л" } в единичный круг с выкинутой лункой, ограниченной дугой единичной окружности и дугой кривой, лежащей в единичном круге. При этом £-(гД//) = 0,? (г, 0,= Функция.

2,ф) = 2 СОБ (р *, Ф<=[0,2л-), ге£, (1 — е1<�рх является предельной для еТ?(т, г,<�р) при т—>+со, дает точную оценку аргумента производной при и осуществляет однолистное л/2 конформное отображение круга Е на плоскость = и + ы с разрезом вдоль.

1 I прямой V = ctg2^• и Л—:—, начинающимся в точке /{ецср} = и.

— СО БЙ? пересекающий ось абсцисс в точке.

2 соя 2 (р

Частным случаем теоремы 1.1 при (р = 0 является пример П. П. Куфарева [56].

7. + II — показывающий, что решение уравнения Левнера не всегда отображает круг Е на круг < 1 с разрезом.

Во втором параграфе первой главы решается задача о нахождении решения уравнения Левнера с управляющей функцией г) =, а,{3 е Е, и с начальным условием = г, г е Е.

Теорема 1.2. При фиксированном т, 0<�г<+оо, и функция заданная неявно уравнением.

2 — 2 ' где 8 — |—осуществляет однолистное конформное отображение круга Е в единичный круг е < 1}. При этом? Г (г, 0,//) = О, <^'(г, 0,//) = е~г.

1-^/1 + 4.

В частности, функция 1) = -г-^-— является решением дифференциального уравнения Левнера с управляющей функцией //(г) = -1. Она играет важную роль в исследовании проблемы коэффициентов.

В третьем параграфе первой главы решается задача о нахождении решения С (Т) уравнения Левнера — Куфарева с начальным условием.

0) = г, г&Е и.

1 Ч" 2 1 2.

Теорема 13. При любых а, / функция.

— 2Ае-т^-Л-2Ае~гуЛ -4е~2ты2 С (т) =-^-1-, 0<�г<+оо, где м> = м>(2) =-?—-г-А = (1-И)(-ае-т),.

Х } 1 + 2(1−2^(1 -а)г + г2 V Л > + 2(1−2г)(1 -а)г + х7 осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на круговой шестиугольник с границей, образованной единичной окружностью и двумя отрезками вещественной оси.

Функция является предельной для ет?(т) при т—>оо. Она принадлежит классу 5 и осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга Е на область, представляющую собой, плоскость С с двумя разрезами вдоль вещественной оси:

— 00. 1 1.

2 + 2(1−2^(1 -а) со Она 2−2(1−2*)(1-?7) используется в третьей главе при установлении знака функции Бранжа.

Во второй главе получены формулы, связывающие классические ортогональные полиномы Лежандра, Чебышева, Якоби, Гегенбауэра с решением уравнения Левнера с постоянным управлением /¿-(г) = -1.

Они представляют композицию простейшего отображения с функцией Кебе.

Доказывается теорема о подстановке ряда обобщенной функции Кебе.

2.

2 р 00 -т, р = 1,2,., в произвольный степенной ряд <2р (и) =, то есть о представлении композиции к=О кр

2рхг в виде ряда по степеням г, г. Полученная теорема применяется для разложения целой положительной степени решения уравнения.

Левнера с1т -1-С Установлена связь между членами последовательности с1Ст (т, г).

Лт пг=1.

Применяемый нами способ может быть распространен с целью получения разложений, коэффициенты которых связаны со специальными функциями.

Все результаты получаются как следствия применения доказанной в первом параграфе второй главы теоремы 2.1 о разложении композиции сходящегося ряда с /^-симметричной функцией Кебе.

Теорема 2.1. Пусть функция Qp{u) голоморфна в области ?), 0е£), и имеет разложение в ряд вида: р=1>2>к=0.

Тогда при фиксированном х е (ОД) разложение функции р) по степеням переменной г имеет вид.

00, * ^ 2рхг т=О где к=о (2 представляет собой полином степени т, если Ь^ Ф 0.

В частности, при р = 1 и фиксированном х е (ОД) разложение функции 1.

-—а по степеням г имеет вид.

4хг.

1-*У где д (и) = £Ьки к=0 щ т.

— т) к (т +1).

0^=0 ИД1)*.

Ранее теорема 2.1 для р = 1 была доказана Г. Д. Садритдиновой [67]. Во втором параграфе второй главы приводится ряд примеров, показывающих связь между экстремальной в ряде вариационных задач на классе & функцией Кебе и классическими ортогональными полиномами Чебышева, Лежандра, Гегенбауэра, Якоби, а также с некоторыми другими функциями.

В третьем параграфе второй главы получены ряды по степеням 2 для степеней решения уравнения Левнера и для производных от по г ипо г.

Теорема 2.2 Решение 0 < т < +оо, уравнения Левнера ас л-С.

— 2- = -С-—, 0 < г < +СО,.

Т 1 + С с начальным условием = г, возведенное в степень т, имеет разложение в ряд по степеням г следующего вида: г1 + т-\.

С (т, г,-1) = е-У.

1=т ¿-т- 1 У т + 1, т — 1 е.

2 т + 1 г1, /иеМ.

Получено дифференциальное соотношение между степенями решения уравнения Левнера с постоянной управляющей функцией. Теорема 2.3 При т = 1,2,. имеет место равенство, а йх.

1 с1Сп+т, г) ШСя (т, г) с1С+1{т, г) с1С'п (т, 2) с1т с1х т +1 йх т йх.

В третьей главе исследуется проблема Бибербаха о коэффициентах. Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов г ¿-гм разложении функции-^-1— по степеням 2.

1 — г) Лх.

Показано совпадение этой % системы с системой дифференциальных уравнений для нахождения экспоненциальных полиномов Бранжа, используемых в доказательстве справедливости гипотезы Бибербаха о коэффициентах. Дается вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и получено представление производных функций Бранжа У’кп (г) не в виде суммы знакочередующихся слагаемых, как оно первоначально была получена Бранжем, а в виде суммы со слагаемыми одного знака. Получена связь полиномов Чебышева второго рода с полиномами Бранжа. Это позволяет провести исследование указанных полиномов с, позиции теории конформных отображений и получить неравенство Вп (т)> 0, а значит Мп (/) > 0.

В первом параграфе третьей главы рассмотрена определенная в [0,оо)х? последовательность, где.

Ж0(т, 2) = -К (2/1пС}Т'* Жт+1(т, 2) = ?(т, 2) Жт (т, 2), т=0Д-. ат.

Пользуясь теоремой 2.3, устанавливается связь между элементами этой последовательности: при т — 0,1,. имеет место равенство.

Жт (т, г) + -1~Жт+1(т, 2) = (т + 1) РГт+1(т, г)-т1Гт (т, 2).

Получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов со функций жт (т, г)=? @-,"(т)г/>™ = 0,1,.:

1=т+1.

Во втором параграфе третьей главы установлена связь экспоненциальных полиномов Бранжа г 8 *(-у (2п-гА (2п-/ У.

Ту у п — Б) ~ п —г.

Б —Г г-1 у «У ¦ ^ «* * 9 ^ ^ 5 ^ 1 ^ •<�• с решением уравнения Левнера и функцией Кебе .

Теорема 3.1. Производная функции Бранжа Узп коэффициенты Qnns{т) разложения функции 1¥-ш (т, г) связаны равенством: 8 ^^ 7, И r 1+НУ.

L 5 2 j.

В третьем параграфе третьей главы введена в рассмотрение функция.

HAZ) =-^-Г' rK 7 l-2cosy-z + z2 полученная в первой главе как предельная при г -" со для решения е~т?(т) уравнения Левнера — Куфарева при t = 1, а = 1 — sin2 у.

Показана связь этой функции с последовательностью {Wm (r, z)| q :

Ну (z) = W0 (r, z) + 2? (r, z) • eos m9 m=1 и с ортогональными полиномами Чебышева:

Hr (z) = YUmx (cosy)zm. m=1.

Получена свиязь коэффициентов разложения функции Wm (V, z) с полиномами Чебышева: т-1 i=i.

Дан вывод формулы суммирования для полиномов Чебышева второго рода и ее применение к исследованию экспоненциальных полиномов Бранжа: Лемма 3. Имеет место функциональное соотношение и&bdquo- [ху + ^г^/С) = С'&bdquo- (ху + ТГ^л/П^г) = ±DM (1 ¦- x2f (1 •-где постоянная 47 {п — j’YUtf (2 / +1) и + у + 1)!

Теорема 3.2. Коэффициенты т), 0<�г<+оо, в разложении (10) функции ит (соб^) неотрицательны.

Следствие 1. Имеет место неравенство ¥-'х т,—-— <0, 0<т <+оо,.

V п-й) лет{1}, 5 = 1,2,.,".

Следствие 2. Экспоненциальный полином Бранжа У8 п I г, — (0, +оо) положительно определен. на.

1. Александров А. И. Вариационная формула Голузина для Левнеровких отображений круга / А. И. Александров, И. А. Александров // Вестник Томского государственного университета. — 2008. — Т. 1 (2). — С. 5 — 10.

2. Александров А. И. Об экстремальных функциях в проблеме вращения для однолистных отображений / А. И. Александров, И. А. Александров // Вестник Томского государственного университета. 2000. — Т. 269 (январь). — С. 16 — 17.

3. Александров А. И. Левнеровские семейства функций в теореме вращения / А. И. Александров, Александров И. А., Бер Л. М. // Вестник Томского государственного университета. 2003. — Т. 280 (декабрь). -С. 5−1.

4. Александров И. А. Вариационный метод решения экстремальных проблем в некоторых классах аналитических функций // Доклады АН СССР. 1963. -Т. 151. — № 5. — С. 999 — 1002.

5. Александров И. А. Геометрические свойства однолистных функций // Труды Томского университета. 1964. — Т. 175. — С. 28 — 38.

6. Александров И. А. Доказательство Л. де Бранжа гипотезы И. М. Милина и гипотезы Л. Бибербаха // Сибирский математический журнал. 1987. -Т. 28.-С. 7−20.

7. Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций / И. А. Александров. Томск: Томск, гос. ун-т, 2001. — 220 с.

8. Александров И. А. О связи метода параметрических представлений с методами Голузина и Куфарева // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2008. — Т. 2 (3). — С. 5 — 9.

9. Александров И. А. К проблеме коэффициентов в теории однолистных функций / И. А. Александров, В. Я. Гутлянский // Доклады АН СССР. -1969. Т. 188. — № 2. — С. 266 — 268.

10. Александров И. А. Функционал Милина / И. А. Александров, Т. В. Касаткина // Исследования по математическому анализу pi алгебре. -2000. С. 11 — 15.

11. Александров И. А. Область значений производной на классе голоморфных однолистных функций / И. А. Александров, С. А. Копанев // Украинский математический журнал. 1970. — Т. 5.

12. Александров И. А. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций / И. А. Александров, И. М. Милин // Известия вузов. Математика. 1989. — Т. 8. — С. 3 — 15.

13. Александров И. А. Аналитические функции комплексного переменного / И. А. Александров, В. В. Соболев. М.: Высшая школа, 1984. — 192 с.

14. Александров И. А. К доказательству неравенства Бибербаха / И. А. Александров, Г. А. Юферова // Вестник Томского государственного университета. 2007. — № 297, апрель. — С 141 — 145.

15. Аски Р. Positive Jacoby polynomial sums / R. Askey, G. Gasper // Amer. J. Math. 1976. — T. — 98. — C. 709 — 737.

16. Базилевич И. Е. Sur les theorems de Kebe Bieberbach // Матем. Сб. -1936.-Т. 1,-С. 283−292.

17. Базилевич И. Е. О теоремах искажения в теории однолистных функций // Матем. Сб. 1951. — Т. 28(70): 2. — С. 283 — 292.

18. Базилевич И. Е. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций //Матем. Сб. 1951. — Т. 28(70): 1. — С. 147 — 164.

19. Базилевич И. Е. Об одном случае интегрируемости в квадратурах уравнения Левнера Куфарева // Матем. сб. — 1955. — Т. 37 (79). — № 3.

20. Базилевич И. Е. Области начальных коэффициентов ограниченных однолистных функций р кратной симметрии // Матем. Сб. — 1957. -Т. 43(85):4. — С. 409−428.

21. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. -М.: Наука, 1974.

22. Бер Л. М. Усиление теоремы скольжения // Вестник Томского государственного университета. 2003. — Т. — 280 (декабрь). — С. 8 — 11.

23. Бибербах Л. (Bieberbach L.) Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, sitzungsber // Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. — 1916. -T. 138.-C. 940−955.

24. Бранж (Louis de Branges) A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Mathematica. 1985.-T. 154. — C. 137- 152.

25. Бранж (Louis de Branges) A proof of the Bieberbach conjecture // LOMI preprintes, E 5 — 84. S. 1 — 21.

26. Вайнштейн JI. (Weinstein L.) The Bieberbach conjecture // International Mathematics Reseach Notices. 1991. — T. — 5. — C. 61 — 64.

27. Вильф (Wilf H.) A footnote on two proof of the Bieberbach de Branges Theorem // Bull. London Math. Soc. — 1994. — T. — 26. — C. 61 — 63.

28. Голузин Г. М. Дополнение к работе «О теоремах искажения в теории конформных отображений» // Матеем. Сб. 1937. — Т. 2 (44):4. -С. 685 -688.

29. Голузин Г. М. К теории однолистных функций // Матем. Сб. 1939. -Т. 6 (48):3. — С. 383 -388.

30. Голузин Г. М. К теории однолистных функций // Матем. Сб. 1943. — Т. 12 (54). — № 1. — С. 48 — 55.

31. Голузин Г. М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций // Матем. Сб. 1938. — Т. 3 (45). — № 2. — С. 321 — 330.

32. Го лузин Г. М. Некоторые оценки коэффициентов однолистных функций //Матем. Сб. 1938. — Т. 3 (45). -№ 2. — С. 321 — 330.

33. Голузин Г. М. О коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. -1948. Т. 22 (64), № 3. — С. 373 — 380.

34. Голузин Г. М. О теоремах искажения в теории конформных отображений//Математический сборник. -1936.-Т. 1.-С. 127−135.

35. Голузин Г. М. О теоремах искажения и коэффициентах однолистных функций // Матеем. Сб. 1948. — Т. 23 (65), № 3. — С. 353 — 360.

36. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. М.: Физико — математической литература, 1951.

37. Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 1970. — Т.194. — С. 750 — 753.

38. Копанев С. А. Оптимальное управление в задачах о коэффициентах однолистных функций / С. А. Копанев, И. А. Александров, Г. Г. Завозин // Дифференциальные уравнения. 1976. — Т. 12. — № 4.

39. Копанева JI.C. Параметрическое представление отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебре. 2001. — С. 135 — 144.

40. Куваев М. Р. Обобщения уравнения типа Левнера для автоморфных функций // Труды Томского университета. 1959. — Т. 44. — С. 27 — 30.

41. Куфарев П. П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей//ДАН СССР. 1950. — Т. 73. -№ 5.-С. 881 -884.

42. Куфарев П. П. К теории однолистных функций // Доклады АН СССР. 1947. — Т. 57. — № 8. — С. 751 — 754.

43. Куфарев П. П. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г. М. Голузина // Труды III Всероссийского математического съезда. 1965. — Т. 1. — С. 85 — 86.

44. Куфарев П. П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части // Ученые записки Московского университета. — 1946. — Т. 1. С. 35 — 48.

45. Куфарев П. П. Об одной системе дифференциальных уравнений // Ученые записки Томского университета. 1948. — Т. 8. — С. 61 — 72.

46. Куфарев П. П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Шварца Кристоффеля // ДАН СССР. — 1947. — Т. 57. — № 6. -С. 535 -537.

47. Куфарев П. П. Об одном специальном семействе однолистных областей// Ученые записки Томского университета. — 1947. Т. 5. -С. 22−36.

48. Куфарев П. П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем. сб. 1943.-Т. 13 (55):1.-С. 87−118.

49. Куфарев П. П. Одно замечание об уравнении Левнера // Доклады АН СССР. 1947. — Т. 57. — С. 655 — 656.

50. Куфарев П. П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Ученые записки Томского университета. 1947. — Т. 5. -С. 20−21.

51. Куфарев П. П. Об одной экстремальной задаче для дополнительных областей / П. П. Куфарев, А. Э. Фалес // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 81. № 6. С. 995−998.

52. Лебедев H.A. Об одном неравенстве / H.A. Лебедев, И. М. Милин // Вестник Ленинградского университета. 1965. — Т. 19. — С. 157 — 158.

53. Левнер К. (Lowner К.) Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildung des Einheitskreises // Math.Ann. 1923. — T. 89. — C. 103 — 121.

54. Милин M.M. Оценка коэффициентов однолистных функций // Доклады АН СССР, 1965.-Т. 160.-№ 4.-С. 769−771.

55. Попов В. И. Область значений одной системы функционалов на классе SII Труды Томского университета. 1965. — Т. 182. — С. 107 — 132.

56. Прохоров Д. В. Локальные экстремальные задачи для ограниченных аналитических функций без нулей / Д. В. Прохоров, C.B. Романова // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. — Т. 70. — Вып. 4. С. 209 -224.

57. Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. -М.: Наука, 1981.

58. Садритдинова Г. Д. Области с разрезами и свойства управляющих функций в уравнении Левнера // Тез. докл. междунар. конфер. по матем. и механике. — Томск: ТГУ. — 2003.

59. Садритдинова Г. Д. Уравнение Левнера с составным управлением // Вестник Томского государственного университета. 2004. — № 284.

60. Сатритдинова Г. Д. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера с симметрией вращения // Доклады РАН. 1999. — Т. 368. -С. 462−463.

61. Сеге Г. Ортогональные многочлены / Г. Сеге. М.: ГИФМЛ, 1962. -500 с.

62. Смирнов В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. Т. 3. — Ч. 2. -М.: Наука, 1974. — 672 с.

63. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены / П.К. СуетинМ.: Наука, 1976. -328 с.

64. Сыркашев А. Н. Об одном случае интегрирования уравнения ЛевнераКуфарева // Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции, КГУ, Казань, 2003 г. Т. 21. — С. 204 -206.

65. Тодоров П. (Todorov P.) A simple proof of the Bieberbach conjecture // Bull. Cl. Sci., Acad. R. Belg. 1992. — V. 12, № 3. — p. 335 — 356.

66. Тодоров П. (Todorov P.G.) A structural formula of the Weinstein fonctions used in his proof of the Milin, Robertson and Bieberbach conjectures// Publications de L’institut mathematique. 2001. — V. 70(84). — P. 9 — 18.

67. Уиттекер E.T. Курс современного анализа / E.T. Уиттекер, Г. Н. Ватсон. 42. — M. — Л.: ГТТИ, 1934.

68. Юферова Г. А. Об одном семействе однолистных отображений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2009. — Т. 1 (5). — С. 47 — 53.

69. Юферова Г. А. Уравнение Левнера и ортогональные многочлены// Вестник Томского государственного университета. 2007. — № 298, май.-С. 121 — 124.