Теоретическое и численное исследование одной модели слоистых структур

Известно, что проблема повышения отдачи нефтяных пластов имеет важное значение для современной энергетики. Трудность решения этой проблемы заключается в том, что в процессе эксплуатации в трещиноватых зонах коллекторов формируются водонефтя-ные слоистые системы, которые, блокируя транспортную структуру коллекторов, выводят значительные нефтеносные области из режимов водного вытеснения. Восстановление проницаемости коллектора возможно лишь в условиях разрушения слоистых водонефтяных структур. Главной целью данной диссертации является обсуждение некоторых возможных способов разрушения этих слоистых структур, используя «уравненческий» подход.

Прежде всего для исследования этой проблемы необходимо построить математическую модель, которая с достаточной точностью будет описывать гидродинамику слоистых структур. По своей природе эти слоистые структуры представляют из себя смесь воды, нефти и газа. Анизотропные жидкости разнообразной слоистой структуры по принятой терминологии относят к категории смектических жидких кристаллов (смектиков). Для моделирования подобных систем Л. Д. Ландау был предложен так называемый континуальный подход [1, 2, 3]. Слоистые структуры рассматриваются как одно-скоростной слоистый континуум. Предполагается, что в равновесии все слои параллельны, ось координат г направлена вдоль нормали к равновесному расположению слоев. При отклонении от равновесия форма слоев может изменяться, поэтому при макроскопическом описании смектиков нужно ввести вектор смещения слоев, который имеет одну компоненту и и направлен вдоль оси г, так как смещение слоя имеет смысл рассматривать только в направлении нормали к нему. Также вместо вектора смещения можно ввести числовую функцию w, которая определяется как явное выделение каждого отдельного слоя, то есть w (x, t) = const задает положение пространстве и эволюцию во времени некоторого смектического слоя. Другими словами, w (x, t) = 9.

Здесь х = {xi, x2, xs) = (х, у, z) — радиус-вектор, t — время, 9 — параметр, идентифицирующий слои. В силу определения функции w ее градиент Vu> направлен вдоль нормали к смектическому слою. Таким образом, единичный вектор нормали к слою задается выражением d|2 = i.

Vw| 1 1.

Теорию упругости смектиков можно построить на основе квадратичного разложения плотности энергии [1]:

Здесь B, N — некоторые постоянные, которые с физической точки зрения являются модулями упругости смектика. Примечательно, что второй член в разложении имеет большую степень производной, чем первый. Законным его введение делает тот факт, что в разложении отсутствует слагаемое, пропорциональное + |р2. Эти производные и не могут входить в разложение энергии, поскольку если повернуть тело как целое вокруг осей х и у, то эти производные изменятся, между тем как энергия должна остаться неизменной. Физически отсутствие этих производных означает, что слои могут жидко проскальзывать друг относительно друга.

Для исследовния нелинейных эффектов в смектиках необходимо знать следующие за квадратичными члены разложения энергии по и. Для этого удобнее использовать разложение в терминах функции w. На языке w разложение плотности энергии обобщается следующим образом:

ВVw2 s9 N, Л ч9.

Здесь q — плотность слоев структуры. Здесь видно, что как в первом, так и во втором слагаемом имеются члены четвертого порядка по градиентам, что и дает формальное обоснование учета обоих членов.

Состояние равновесия системы, когда слои представляют из себя плоскости, расположенные друг за другом вдоль оси z, выражается равенством w — qz, q = const. При отклонении от равновесия функция w приобретает вид w = q (z — и).

Квадратичные члены разложения (0.0.2) по и как раз и дадут разложение (0.0.1). Члены третьего и четвертого порядков по и являются главными членами, описывающими нелинейные эффекты в смекти-ках.

Впервые континуальный подход был применен Л. Д. Ландау при построении теории сверхтекучего гелия II [32].

При помощи континуального подхода, в [5] получены уравнения гидродинамики газосодержащих водонефтяных слоистых систем. Основу подхода составляют следующие фундаментальные факты: констатируется справедливость законов сохранения массы, импульса, энергии и энтропии [6]- термодинамическое состояние неравновесной системы определяется внутренними и внешними параметрами системы и энергией. В состоянии термодинамческого равновесия внутренние параметры системы являются функциями внешних параметров и энергии. Также локально существует функция состояния — неравновесная энтропия.

Для газосодержащих слоистых структур разложение плотности энергии может быть записано в следующей форме: ч Ч2) 2 а (а')2Ь\(с1,а)2-а')^ад Г-^-Л}.

Ъф 1 1 ^ ' ' 1 ' 7 Ч^з Здесь Ъ = = щ, а = УС, а = сг (С) — поверхностное натяжение, С — массовая концентрация газа, а < 0 — некоторая постоянная. Как видим, первые два члена разложения присущи описанию смектиков. Они описывают деформацию слоев. Вторые два члена зависят от концентрации газа С. Они характеризуют зависимость поверхностного натяжения границы раздела слоев от концентрации находящегося в системе газа.

Предполагается, что внутренняя энергия единицы обьема среды зависит от плотности р, энтропии я, массовой концентрации газа С и ее градиента а. Также сохраняются термодинамические степени свободы, присущие смектическому описанию: 6 и д2и].

В г к = тй 5 г, к = 1, 2,3.

ОХ {ОХ к.

Такое описание позволяет рассматривать слоистые структуры как термодинаическую систему, для которой первое начало термодинамики имеет следующий вид: ко = - рвУ + !/{(/, дЬ) + г (1С + + (?, 6а)}, где Т — температура, £о — массовая внутренняя энергия, р — давление,.

V{= -) — удельный объем, ?0 = е0 + VE0, е0 = eo (V, s, С) — уравнение состояния,.

I «v^yv» V", / 1 Z, ^JL!" '^' 7 I 5.

Г 03 «з /.

Z = рЫс + —q'fb2((d, а)2 — И2) + a’q — 1.

N л Ф = Лгу, ч Г s) т = (ео)в +.

V = -(eo)v — - V (Eo)v, с2 = = -FW = + + V (E0)vv} квадрат скорости звука (см. [6]), a (</)2|&|2((d, а)2 — |а|2)} + <т9(3(j- - 1), 0 = V, s, Я. ^ я ВьЛ+аЧ??(^-1).

Q «з.

Из уравнения для функции w. д w dt vVw = 0 выводятся уравнения для величин Ъ = и В^ = ¿-^-^г, г, к = 1,2,3: дЪ + — о, ад*,. <9.

Здесь г> = (^1,^2³) — вектор скорости среды. По повторяющимся индексам ведется суммирование. Далее постулируются законы сохранения: до Мь ((п>) = О, + «МрС») = О, дЬ д (рУ{) д д1 + - агк) = 0, г = 1, 2,3.

Здесь ст^ — тензор напряжений. Закон сохранения энергии рассматривается в следующей форме: +<КУС} = 0.

Здесь С} = (^2, Яз) — вектор потока энергии.

Как и принято в гидродинамике, закон сохранения энергии должен являться следствием остальных уравнений. Из этого факта можно получить выражения для о^ и <5:

Ък = Р^гк + г, к — 1, 2,3, дФ к = ^(-¡-к + о^) — сц? к — ФДь г, к = 1, 2,3,.

Ы2.

Я = ру{е0+рУ + —} + д, д = (51,92,93), Як = (/к — «) + &-(а,») + Ф + Л = 1,2,3.

В итоге, полученную систему законов сохранения можно записать в следующем виде:

Р1 + с1т (ру) = О, рС)4 + (Иь{рСу) = О, з рх, + (рад, — = о, г = 1, 2, 3, к=1 сИу (рзу) = О, + + ?^ = 0. ргу)^ + сИу (ргиу) = 0.

Таким образом, континуальный подход, предложенный Л. Д. Ландау для моделирования смектиков, используется для построения уравнений, описывающих движение водонефтяных слоистых структур.

Одним из возможных способов разрушения слоистых структур может выступать механизм ударных волн. На основе приведенной выше модели можно сформулировать линейную смешанную задачу об устойчивости ударных волн и исследовать ее корректность [7, 8]. Факт некорректность задачи будет означать, что ударные волны неустойчивы в данной модели слоистых структур, то есть при помощи данной модели невозможно обосновать эффективность подобного механизма разрушения слоистых структур.

Отдельно остановимся на вопросе корректности начально-краевой задачи. В данном случае под корректностью мы понимаем корректность по Адамару, то есть существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от данных задачи. Соответственно, некорректность задачи можно доказать с помощью построения так называемого примера типа Адамара [9]. Хорошо известен пример Адамара некорректности следующей задачи Коши: щ+ + ихх = О,.

0.0. и (0,х) = tpi (x), ut (0,x) = (Р2{х), где cpi (x): щ (х) — некоторые гладкие функции. Пусть u (t, x) — решение этой задачи. Рассмотрим далее следующую задачу: utt + ихх = 0,.

2 (0.0.4) й (0,ж) = tpi (x), ut (0,x) = (/?2(ж) + — sm (kx)., к.

Очевидно, что решением этой задачи будет функция u (t, х) = u (t, х) + U (t, x), где ui (t, x) является решением задачи: utt + uixx = 0 с начальными данными i (0, х) = 0, йи (0, х) = ^ sin (for). Несложно показать, что. Sil IКХ). /1 ui (t, x) = ——sm (Kx). kA.

Видно, что при к оо задача Коши (0.0.4) переходит в (0.0.3). Однако, для решения lim u (t, х) = u (t, х) + lim ^^ sin (kx) ф u (t, ж). fc—>oo к—>oo к.

To есть, данный пример показывает, что решение не зависит непрерывно от данных задачи, что означает ее некорректность. Пользуясь подобной техникой, можно показать некорректность и нашей задачи об устойчивости ударных волн в слоистых структурах.

Вопрос об услойчивости ударных волн в слоистых структурах исследован, в частности, в работах [7, 8]. Уравнения модели, полученной в [5], линеаризуются отностительно простого постоянного решения и обезразмериваются. Рассматривается кусочно-постоянное решение с сильным разрывом типа ударной волны по плоскости ?1 = 0. Выводятся краевые условия на разрыве, которые также линеаризуются и обезразмериваются. Формулируется линейная смешанная задача об устойчивости ударных волн. Некорректность этой задачи доказывается при помощи построения примеров типа Адамара в виде частных экспоненциальных решений. Таким образом, показывается, что рассмотренная модель не описывает механизм разрушения слоистых структур при помощи ударных волн [7].

Также в качестве одного из возможных механизмов разрушения таких образований можно рассмотреть параметрический резонанс, возникающий при длительном гармоническом возмущении внешней границы слоистой системы. Однако уже первые исследования возможности организации параметрического резонанса с помощью акустического воздействия указывают на проблему переноса силового воздействия в толщи нефтеносных коллекторов. В этой связи следует отметить, что силовое воздействие, по-видимому, проще обеспечить методами электроразведки. Дело в том, что водонефтяные слоистые системы являются анизотропными диэлектриками, слабо проводящими электрический ток. Соответственно, можно изучить вопрос о влиянии электромагнитных полей на слоистые структуры.

Вопрос об электрогидродинамике жидкости и газа был подробно изучен в работе [10]. В этой работе подробно выводятся уравнения, описывающие поведение различных многокомпонентных сред в присутствии электромагнитных полей, в частности, смесей жидкости и газа. В качестве определяющей системы уравнений, описывающей движение таких сред, выбираются уравнения неразрывности, движения и энергии для смеси, уравнение сохранения заряда, уравнения Максвелла и уравнения состояния.

Поскольку в общем виде подобные уравнения являются довольно сложными, особое внимание следует обратить на так называемое электрогидродинамическое приближение, которое позволяет заметно упростить полученные уравнения электрогидродинамики. Существует важный класс явлений [10], в которых.

Е0 «—В0 тах (1, — 1, (0.0.5).

С [ £0Ц0) где Ео — величина напряженности электрического поля, Во — величина магнитной индукции, щ — характерная скорость движения проводящей среды, ?о>Мо ~~ соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, с — скорость света.

Неравенство (0.0.5) соответствует тому, что при электромагнитном воздействии на заряженную среду преобладающим будет воздействие элекрического поля. Также в широком диапазоне реально осуществимых условий.

1, Я = (0.0.6).

Здесь Ь — характерная длина, до — плотность заряда.

При сделанных выше предположениях, в работе [10] выводятся уравнения движения смеси, состоящей из нейтральной компоненты (жидкость или газ) и заряженных частиц одного сорта. Так, в электрогидродинамическом приближении в полную систему уравнений не входят магнитная индукция и напряженность магнитного поля. В частности, уравнения Максвелла в электрогидродинамическом приближении имеют вид: гоЬЕ = 0, тЕ = /9е, где Е — вектор напряженности элекрического поля, ре — плотность обьемных зарядов.

Таким образом, объединяя описанный выше континуальный подход моделирования сред, обладающих слоистой структурой и метод построения уравнений электрогидродинамики проводящих сред, можно получить модель, описывающую электрогидродинамику во-донефтяных солистый структур в присутствии электрического тока.

Основные результаты представлены в [12, 14, 15].

Третий раздел посвящен численному исследованию параметрического резонанса в слоистых структурах в отсутствии электрического тока, но при акустическом воздействии на внешнюю границу. Рассматривается следующая задача (в двумерном случае): ии = игг + {а + ег) и, о,.

XX и) хх, 0 < <тг,? > О и г=0 и и х г=о х=0 ио, и г=ж их Щ /8т (а-?). о,.

0.0.26).

Х=7Г.

Здесь и = и{Ь, х, г) — отколнение слоев от невозмущенного положения (ги = —и)), / — некоторая постоянная амплитуда колебаний на верхней границе области, и/ — частота акустических возмущений, а в ' дСр да ~ЁдС.

В — характерный упругий модуль, 0, при 0 < г < 5 < 7 г,.

Ф) = 2.

7 Г г.

7 Г — 5 1 >, при 5 < г < тт.

Эта задача описывает малые (по сравнению с поперечным масштабом системы) колебания макроскопического слоя, обусловленные внешним акустическим воздействием со стороны открытой поверхности, при наличии достаточно малого градиента концентрации присутствующего в системе газа.

Исследование проводится при помощи численного метода, разработанного в лаборатории вычислительных проблем задач математической физики Института Математики СО РАН. В его основу положен вариант метода прямых (см. [32]). Искомая функция u (t:x, z) интерполируется следующей формулой:

V (x, и) =.

1 х ^? ч л i sin ос, а / «(0−0 -27^ — > (-1 У» 1—-COS (Nx)ui (t, z, 0 < Ж < 7 Г.

N 7 eosх — eosXi v 7 v ' ;

1=1.

Здесь узлы интерполяции xj — нули полинома Чебышева: Xj = j = 1, ., N, Uj{t, Z) = u (t, Xj, z).

В соответствии с идеей метода прямых, вводится дискретизация по времени с шагом разностной сетки по времени А. Производные по времени аппроксимируются разделенными разностями. В итоге, получается краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенное решение которой ищется на каждом временном слое в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2 (см. [34]).

Поскольку в ходе вычислений возникает скачкообразный рост значений неизвестной функции, обусловленный нелинейностью задачи: норма решения становилась слишком большой, что вызывает переполнение буфера и остановку работы программы прежде, чем удавалось обнаружить явление параметрической неустойчивости, применяются итерации по нелинейности. Основная идея алгоритма, базирующегося на итерациях по нелинейности, состоит в том, чтобы пересчитывать значения параметров и переменных задачи по формулам, предназначенным для перехода на следующий временной слой, но оставаться при этом на текущем слое.

При проведении численных расчетов на базе предложенного алгоритма возникают также пространственные коротковолновые колебания значений неизвестных задачи. Эти колебания не имеют никакого физического смысла и являются исключительно эффектом вычислительной схемы. Чтобы избавиться от этих колебаний, в диссертации применяется нелинейное сглаживание. Расчеты проводились на сетке с узлами {рс^, г^) и шагами Нх = Иг =.

Для проведения расчетов с помощью предложенной схемы необходимо задать значения физических и численных параметров задачи. В таблице приведены описания этих параметров и их значения, которые использовались при проведении серии численных расчетов:

Физические и численные параметры си Частота внешнего воздействия 2,978 — 2,9844 а Коэффициент уравнения (0.0.20) 1.

Амплитуда акустических возмущений 0,3142.

Параметр уравнения 0,0127 — 0,0191.

N Количество узлов сетки по оси х 10 — 80.

К Количество узлов сетки по оси? 10 — 80.

Лй Количество итерации по нелинейности 1 — 10 эд1а Нелинейное сглаживание применяется через каждые пзд1а шагов 2−10 в Параметр нелинейного сглаживания ОД.

А Параметр нелинейного сглаживания 1 д Шаг сетки по времени 0,01 — 10.

5 Параметр начальных данных <�р (г) 2,827.

В результате численных экспериментов установлено, что явление параметрической неустойчивости наглядно проявляется, когда шаг Д лежит в интервале от 1,3 до 1,412. При изменении, А в диапазоне от 0 до 1,3 абсолютное значение быстро растет, что вызывает переполнение буфера и остановку работы программы на первых шагах по времени. Если же, А > 1,412, то колебания решения ж, г) носят циклический характер и имеют постоянную амплитуду.

Заключение

.

Используя континуальный подход, в данной работе обсуждается вывод математической модели гидродинамики слоистых диэлектриков с токами в присутствии объемных зарядов. Эта математическая модель представляет из себя замкнутую систему уравнений, объединяющую электродинамику и механику слоистых диэлектриков с точностью до членов порядка.

Приводится в данной работе также вывод более простой математической модели гидродинамики слоистых диэлектриков в так называемом электрогидродинамическом приближении (эта модель получается из предыдущей отбрасыванием членов порядка Тем не менее, мы получаем опять замкнутую систему уравнений, объединяющую уравнения электродинамики и механики слоистых диэлектриков.

Следующая часть работы посвящена исследованию устойчивости ударных волн в слоистых структурах. Была сформулирована линейная начально-краевая задача об устойчивости ударных волн и показана ее некорректнность при помощи построения примеров типа Адамара. Таким образом, мы показали, что в рамках этой модели ударные волны в слоистых структурах являются неустойчивыми. Следовательно, данная модель не может служить подтверждением того, что при помощи ударных волн возможно разрушить слоистые системы.

Далее в работе исследована возможность организации электрогидродинамической неустойчивости слоистых структур при протекании переменного электрического тока достаточно малой амплитуды. Была сформулирована задача Коши для слоистых систем и было показано, что при определенных условиях решения этой задачи бесконечно растут со временем, что означает неустойчивость слоистых структур. То есть, при этих условиях слоистые структуры должны разрушится. Таким образом, в работе показано, что методы электроразведки могут служить эффективным способом разрушения слоистых структур и восстановления проницаемости нефтяных коллекторов в процессе нефтедобычи.

Наконец, в работе поднимается вопрос о возможности разрушения слоистых структур при помощи акустического воздействия на внешнюю границу. Для этого рассмативается упрощенное уравнение, описывающее малые смещения слоев структуры. Предполагается, что в слоистой структуре присутствует начальная концентрация газовой фазы. Строится численный метод, с помощью котрого решается смешанная задача для этого уравнения. Показывается, что, при определенном диапазоне частот колебания внешней границы, в слоистой структуре наблюдается параметрический резонанс, который может привести к разрушению слоев.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., профессору A.M. Блохину, за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе, а также Б.В. Се-мисалову за обсуждение и помошь в реализации вычислительного алгоритма.