Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

АсимптотичСскиС свойства Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ

Π”ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

АсимптотичСская тСория Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Π»Π° Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² 1990Π΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ Π‘. Π“. ВлэдуцСм ΠΈ М. А. Цфасманом, сначала для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏ Π΄Π»Ρ числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ для развития Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ послуТила ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°: для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа Π΄ ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ простого числа Π΄ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимальноС число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π΄ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ¥-Π΄. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° оказываСтся вСсьма слоТной… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • I. АсимптотичСскиС свойства Π΄Π·Π΅Ρ‚Π° ΠΈ Π¬-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
  • 1. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Брауэра—ЗигСля ΠΈ Π¦Ρ„асмана—Влэдуца для ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ
    • 1. 1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
    • 1. 2. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 1
    • 1. 3. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 1
  • 2. ЛогарифмичСская производная Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡ‚Π²Π°Ρ… Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ (совмСстно с Π€. Π›Π΅Π±Π°ΠΊΠΎΠΌ)
    • 2. 1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
    • 2. 2. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 2
    • 2. 3. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 2
      • 2. 3. 1. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹ΠΌ
      • 2. 3. 2. АрхимСдовы Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹
      • 2. 3. 3. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡΠΌ: Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½
      • 2. 3. 4. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡΠΌ: остаточный Ρ‡Π»Π΅Π½
      • 2. 3. 5. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡΠΌ: трудная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ
    • 2. 4. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 2.1.4 ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ‚Π²ΠΈΠΈ
  • 3. Π Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ /-/-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ
    • 3. 1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
    • 3. 2. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 3
  • 4. АсимптотичСскиС свойства Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями
    • 4. 1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
    • 4. 2. Π”Π·Π΅Ρ‚Π° ΠΈ ΒΏ-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
      • 4. 2. 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
      • 4. 2. 2. Π―Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹
      • 4. 2. 3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • 4. 3. БСмСйства Π΄Π·Π΅Ρ‚Π° ΠΈ ΒΏ-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
      • 4. 3. 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ свойства
      • 4. 3. 2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • 4. 4. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ нСравСнства
      • 4. 4. 1. ОсновноС нСравСнство для ΒΏ-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
      • 4. 4. 2. ОсновноС нСравСнство для Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
      • 4. 4. 3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • 4. 5. ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Брауэра-ЗигСля
      • 4. 5. 1. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Брауэра-ЗигСля
      • 4. 5. 2. ПовСдСниС Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅
      • 4. 5. 3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • 4. 6. РаспрСдСлСниС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
      • 4. 6. 1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹
      • 4. 6. 2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
    • 4. 7. ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹Π΅ вопросы ΠΈ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ направлСния для исслСдования
  • II. АбСлСвы многообразия размСрности
  • 5. Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΈ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹ многообразия размСрности 3: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° КлСйна ΠΈ Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ Π‘Π΅Ρ€Ρ€Π° (совмСстно с Π–. Π›Π°ΡˆΠΎ ΠΈ К
  • Π ΠΈΡ‚Ρ†Π΅Π½Ρ‚Π°Π»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ)
    • 5. 1. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
      • 5. 1. 1. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΎΡ€Π΅Π»Π»ΠΈ
      • 5. 1. 2. ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€ΠΎΠ΄Π°
    • 5. 2. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ЗигСля ΠΈ Π’Π΅ΠΉΡ…ΠΌΡŽΠ»Π»Π΅Ρ€Π°
      • 5. 2. 1. ГСомСтричСскиС модулярныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ЗигСля
      • 5. 2. 2. КомплСксная униформизация
      • 5. 2. 3. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π’Π΅ΠΉΡ…ΠΌΡŽΠ»Π»Π΅Ρ€Π°
      • 5. 2. 4. ДСйствиС ΠΈΠ·ΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ²
    • 5. 3. Π˜Π½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹
      • 5. 3. 1. Π˜Π½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹
      • 5. 3. 2. ГСомСтричСскиС ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ пСособых плоских ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊ
      • 5. 3. 3. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹
    • 5. 4. Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ Ρ€ΠΎΠ΄Π°
      • 5. 4. 1. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° КлСйна
      • 5. 4. 2. Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ абСлсвы многообразия
      • 5. 4. 3. Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ большСй размСрности

АсимптотичСскиС свойства Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ДиссСртация состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… основных частСй. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ посвящСна ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ асимптотичСских свойств Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π¬-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ полями. ЦСль Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ части — ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ якобианов срСди Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ. Π’Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΡˆΠΈΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ описаниС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ части ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ‹.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

АсимптотичСская тСория Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Π»Π° Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² 1990Π΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ Π‘. Π“. ВлэдуцСм ΠΈ М. А. Цфасманом, сначала для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏ Π΄Π»Ρ числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ для развития Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ послуТила ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°: для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа Π΄ ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ простого числа Π΄ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимальноС число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π΄ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ¥-Π΄. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° оказываСтся вСсьма слоТной ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΡΡ‚оящСС врСмя извСстСн лишь для Π΄ = 1 ΠΈ Π΄ — 2. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ частичныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ для Π΄ = 3, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ рассмотрСния якобианов срСди Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ размСрности 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ изучСния Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ части этой диссСртации.

Π‘. Π“. Π’лэдуц, Π’. Π“. Π”Ρ€ΠΈΠ½Ρ„Π΅Π»ΡŒΠ΄ ΠΈ М. А. Цфасман ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ интСрСсныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, рассматривая эту ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ нСсколько Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎ, ΠΈΠΌ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ асимптотичСскиС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ для максимального числа Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ —>Β¦ ΠΎΠΎ, Π° Ρ„иксировано. Π­Ρ‚ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Π΄ — ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π˜Ρ… ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ многочислСнныС прилоТСния Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ кодирования, Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΡƒΠΏΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΊ сфСр ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

Π‘Π°ΠΌΠ° асимптотичСская тСория Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚Π° Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ этих Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† для числа Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΡΡ‚оящСС врСмя самыС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹. НСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²: обобщСнная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Брауэра-ЗигСля для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ для рСгуляторов ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ², асимптотичСская тСория Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ для числа Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡΡ… Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями. .

ЦСлью ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ части диссСртации являСтся, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ асимптотичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π² ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ случаС ΠΈΠ·-Π·Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… аналитичСских трудностСй. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ситуации, Π³Π΄Π΅ асимптотичСская тСория ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π°. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ случая с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ зрСния: Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ большСй размСрности Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями, ¿-/-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ эллиптичСских повСрхностСй Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями ΠΈ ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ. ДумаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ случая — лишь прСдвСстники ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π΅Ρ‰Π΅ прСдстоит Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΡŒ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ опишСм содСрТаниС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π³Π»Π°Π².

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ обобщСния классичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Брауэра-ЗигСля для числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. ΠœΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ алгСбраичСских чисСл ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли сущСствуСт конСчная башня числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ Q = Kq Π‘ Ki Π‘ β€’ β€’ β€’ Π‘ ΠšΡ‚ = К Ρ‚Π°ΠΊΠ°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ Ki/K^i ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Ослабляя условиС ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ классичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Брауэра-ЗигСля, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΈ числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 0.0.1 (см. Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ 1.1.1), ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ /Π‘ = {К— сСмСйство ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числовых ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ nxj logDKi 0, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ —Ρƒ ΠΎΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° log hK.RK. hill -7=== = 1,.

->ΠΎΠΎ l0g y/DK. Π³Π΄Π΅ Кк, Rk ΠΈΠΊ число классов ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΎΠ², рСгулятор ΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ поля, К ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎ.

АсимптотичСски Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ случай (Ρ‚. Π΅., ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° limn^/ logDk > 0) Π±Ρ‹Π» ΡƒΠΆΠ΅ извСстСн Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ общности благодаря Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ Π‘. Π“. Влэдуца ΠΈ М. А. Цфасмана. Однако, ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π² Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚отичСски ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎΠΌ случаС. ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ X. Π‘Ρ‚Π°Ρ€ΠΊΠ°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ нСравСнства Π‘. Π›ΠΎΠ±ΡƒΡ‚Π΅Π½Π° для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° нашСго Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ К. ΠœΡΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ Π€. Π₯Π°Π΄ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ башни асимптотичСски Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ (башни ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ классов) со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Брауэра-ЗигСля lim logмСньшими, log VI At I Ρ‡Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… извСстных Ρ€Π°Π½Π΅Π΅.

Π­Ρ‚Π° Π³Π»Π°Π²Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° Π² ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚орствС с Π€ΠΈΠ»ΠΈΠΏΠΏΠΎΠΌ Π›Π΅Π±Π°ΠΊΠΎΠΌ.

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ асимптотичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ логарифмичСских ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΡΡ‚Π²Π°Ρ… Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ. Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π²Π°ΠΆΠ½Π° ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚СрСсна Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны, ΠΎΠ½Π° связана с ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ нСравСнством Цфасмана-Влэдуца (Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΎΠ½ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ), Π°, с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, с ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Брауэра-ЗигСля. Наш основной Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 0.0.2 (см. Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 2.1.1 ΠΈ 2.1.2). Для всякого глобального поля К, Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа N > 10 ΠΈ Π΅ = Π΅ΠΎ + Π³Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎ = Re Π΅ > 0, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто:

1. Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ поля К, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Fr (i),.

Π€Π³/, 1 7 Π›, V 1.

Π“ (М/ 1 Β¦ log Π³ ' / - 1.

2. Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ числового поля К Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° для Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄Π° j^logq 1.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π€Π΄ — число ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΎΠ² поля К Ρ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ q, Π΄ΠΊ Ρ€ΠΎΠ΄ поля К Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ случаС ΠΈ Π΄ΠΊ = log Ρƒ/Ок Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ случаС, Zx{s) = C’k{s)/(k (s) — логарифмичСская производная Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄Π° поля К.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ остаточный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Брауэра—ЗигСля, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π€. Π›Π΅Π±Π°ΠΊΠΎΠΌ.

Основной ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ — явныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ А. ВСйля. Однако, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ случаС сопряТСно с Π²Π΅ΡΡŒΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠΌΠΈ аналитичСскими рассмотрСниями.

Π“Π»Π°Π²Π° 3.

Π­Ρ‚Π° Π³Π»Π°Π²Π° посвящСна ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ распрСдСлСния Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ. КаТдой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ модулярной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ / вСса kf ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π“ΠΎ (А/) сопоставляСтся ΠΌΠ΅Ρ€Π°.

Lf (s)β€’, здСсь 5Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ (ΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ Π”ΠΈΡ€Π°ΠΊΠ°), ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Π°.

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 0.0.3 (см. Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ 3.1.1). Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹ Π ΠΈΠΌΠ°ΠΏΠ° для Π¬-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ, для любого сСмСйства {/,(.-)} ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ вСса ΠΊ^ ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Ρ Nj с /с7 + А^- —)> ΠΎΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» сущСствуСт Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ роста Π½Π° Π¨ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ с ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 1 (Ρ‚. Π΅. Π½ΡƒΠ»ΠΈ Π¬-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ становятся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ распрСдСлСнными). ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π³Π°Π΅Ρ‚ всС Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π” = Нт = Нт А/.

2—^ΠΎΠΎ 3~>ΠΎΠΎ.

3 ^ΠΎΠΎ.

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ асимптотичСскиС свойства сСмСйств Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°ΠΈ ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями. ΠœΡ‹ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ трСмя ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ: основноС нСравСнство, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Брауэра—ЗигСля ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. ΠœΡ‹ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ичСски опрСдСляСм класс Π΄Π·Π΅Ρ‚Π° ΠΈ ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ наши ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π‘. Π“. Влэдуца, Π–. Π›Π°ΡˆΠΎ ΠΈ М. А. Цфасмана ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сходных ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ для Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π½Π°ΡˆΡƒ схСму. ΠœΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Π΄ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ для ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ контСкстС.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π΅ΠΌ нСсколько ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ интСрСсный случай — это случай ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ сСмСйств эллиптичСских повСрхностСй, Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ Π‘. Π­. ΠšΡƒΠ½ΡΠ²ΡΠΊΠΈΠΌ, М. А. Цфасманом, М. Анд-Ρ€ΠΈ ΠΈ А. ΠŸΠ°Ρ‡Π΅ΠΊΠΎ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΡ… Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·, связанных с ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Брауэра-ЗигСля Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ сСмСйства ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… асимптотичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π¨Π°Ρ„Π°Ρ€Π΅Π²ΠΈΡ‡Π°-Π’Π΅ΠΉΡ‚Π° ΠΈ Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° эллиптичСских повСрхностСй. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, наши ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π€. МишСля ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ распрСдСлСнности ΠΏΡƒΠ»Π΅ΠΉ ¿—Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ эллиптичСских ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π½Π°Π΄? Π΄ (Π¬).

Π’ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌ случаС ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², Π½Π°ΠΌ удаСтся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π·Π΅Ρ‚Π°-функциях, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π―. Π˜Ρ…Π°Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ± Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡ‚отичСском ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ постоянных Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ.

Вторая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

Π­Ρ‚Π° Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° Π² ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚орствС с Π–. Π›Π°ΡˆΠΎ ΠΈ К. Π ΠΈΡ‚Ρ†Π΅Π½Ρ‚Π°Π»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ вопросы, рассматриваСмыС Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ части диссСртации, ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ части: Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимальноС число Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полями. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ нас интСрСсуСт случай ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Ρ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π΄, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ части, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ², ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ —> ΠΎΠΎ. Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… ситуациях вСсьма Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Один ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΊ ΡΡ‚ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π–.-П. Π‘Π΅Ρ€Ρ€ΠΎΠΌ, состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ сформулированный вопрос для Π°Π±Π΅-Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ (Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСслоТно, благодаря Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π₯ΠΎΠ½Π΄Ρ‹-Π’Π΅Π½Ρ‚Π°), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ срСди всСх Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ, Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ якобианам. Π­Ρ‚ΠΎΠΉ послСднСй ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΈ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ части диссСртации.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ модулярныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ЗигСля ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ вопрос Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ = 3 ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅ опрСдСлСния Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ ΠΊ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚ся Π² Π‘. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ, ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡΡ‚Ρ€Π°Ρ‚Π΅Π³ΠΈΡŽ. Для поля ΠΊ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ЗигСля / Π½Π°Π΄ ΠΊ Π²Π΅ΡΠ° К > 0 ΠΈ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π΄ > 1 ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Β£:-классов ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠ° главнополяризованных Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ (А, Π°). ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ссли (А, Π°) являСтся якобианом Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ плоской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ / классичСский плоский ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

Как ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слСдствиС этих конструкций, для Π΄ = 3 ΠΈ ΠΊ Π‘ Π‘ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ (строгоС) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ КлСйна, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ЗигСля Xi8 с Π΄ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ плоских ΠΊΠ²Π°Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊ.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ слСдствиСм являСтся ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ вопрос этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹. Он Π΄Π°Π΅Ρ‚ся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ ЗигСля Xi8 ΠΈ Π•Ρ‰ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π”.-И. Π˜Π³ΡƒΡΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Ρ‚Π°-ΠΈΡƒΠ»ΡŒ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ характСристиками ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ пятая элСмСнтарная симмСтричСская функция ΠΎΡ‚ Π²ΠΎΡΡŒΠΌΡ‹Ρ… стСпСнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Ρ‚Π°-Π½ΡƒΠ»ΡŒ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ характСристиками соотвСтствСнно. ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 0.0.4 (см. Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ 5.4.5). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ (А, Π°) — главпополяризовапноС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ΠΊ Π‘ Π‘. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ базис, Π° 7ь β€’ β€’ - 7Π± ~ симплСктичСский базис (для поляризации Π°) пространства Н{А, Πͺ), max Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏ = [Qi ΠΏ2] =: являСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² {А, Π°). ПолоТим Ρ‚ — ^ И3.

1. Если Si4o® = 0 ΠΈ Xis (T) = 0, Ρ‚ΠΎ (А, Π°) Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΎ Π½Π°Π΄ ΠΊ. Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся якобианом.

2. Если Ei4o® Ρ„ 0 ΠΈ XieC?") — сущСствуСт гипСрэллиптичСская кривая X/ΠΊ такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (JacX, j) ~ (А, Π°).

3. Если Xis® Π€ 0) Ρ‚ΠΎ (Аа) ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½ΠΎ якобиану Π½Π°Π΄ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°.

2Ρ‚Π³)54 Π₯18(Π“) det (^2)18 являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π² ΠΊ.

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ Π–.-П. Π‘Π΅Ρ€Ρ€Π° ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ якобианов срСди Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ. Π•Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚, Π²ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ КлСйна, Π°, Π²ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, описаниС дСйствия ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ² Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ модулярных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ ЗигСля.

Благодарности.

Π― Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€ΡŽ ΠΌΠΎΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠœΠΈΡ…Π°ΠΈΠ»Π° ΠΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠ΅Π²ΠΈΡ‡Π° Цфасмана ΠΈ ΠΡ€ΠΌΠ΅Π½Π° Π“Π»Π΅Π±ΠΎΠ²ΠΈΡ‡Π° Π‘Π΅Ρ€Π³Π΅Π΅Π²Π° Π·Π° ΠΏΠΎΡΡ‚оянноС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ совСты. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π–. Π›Π°ΡˆΠΎ, Π€. Π›Π΅Π±Π°ΠΊΡƒ ΠΈ К. Π ΠΈΡ‚Ρ†Π΅Π½Ρ‚Π°Π»Π΅Ρ€Ρƒ Π·Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΎΠ°Π²Ρ‚орствС. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€ΡŽ М. Π‘Π°Π»Π°Π·Π°Ρ€Π°, Π‘. Π“. Влэдуца, Π‘. Π›ΠΎΠ±ΡƒΡ‚Π΅Π½Π° ΠΈ Π­. Π ΡƒΠ°Π΅ Π·Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ обсуТдСния.

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ I.

АсимптотичСскиС свойства Π΄Π·Π΅Ρ‚Π° ΠΈ.

Π¬Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

1. Atkin, А. О. L.- Lehner, J. Hecke operators on Π“0(m). Math. Ann. 185 (1970), 134−160.

2. Bilu, Y. F. ЧастноС обсуТдСниС.

3. Brauer, R. Oil zeta-functions of algebraic number fields. Amer. J. Math. 69, Num. 2, 1947, 243−250.

4. Birkenhake G.- Lange, H. Complex abelian varieties. Second edition. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 302 Springer-Verlag, Berlin, 2004.

5. Brieskorn, E.- Knorrer, H. Plane Algebraic Curves. Birkhauser Verlag, 1986.

6. Bramer, A. The average rank of elliptic curves. I. Invent. Math. 109 (1992), no. 3, 445−472.

7. Chai, C.-L. Siegel moduli schemes and their compactiiications over C. Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), 231−251, Springer, New York, 1986.

8. Deligne, P. Formes modulaires et representations Z-adiques. Seminaire Bourbaki, 11 (1968;1969), Expose No. 355.

9. Deligne, P.- Mumford, D. The irreducibility of the space of curves of given genus. Inst. Hautes tudes Sei. Publ. Math. 36 (1969), 75−109.

10. Deligne, P.- Serre, J.-P. Formes modulaires de poids 1. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (1974), 507−530- Β¦= Serre, J.-P. ?uvres, vol. III, No 101, 193−216.

11. DiPippo, S.- Howe, E. Real polynomials with all roots on the unit circle and abelian varieties over finite fields. J. Number Theory 73 (1998), no. 2, 426−450.

12. Влэдуц, Π‘. Π“.- Π”Ρ€ΠΈΠ½Ρ„Π΅Π»ΡŒΠ΄, Π’. Π“. Πž числС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ алгСбраичСской ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ. Π€ΡƒΠ½ΠΊ. Анализ ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ». 17 (1983), no. 1, 68−69.

13. Faltings, G.- Chai, C.-L. Degeneration of abelian varieties. Ergebnisse der Matheinatik und ihrer Grenzgebiete (3), 22. Springer, Berlin, 1990.

14. Van Der Geer, G. Siegel modular forms. ΠŸΡ€Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ‚, arXiv: math/60 5346v2 math. AG] (2007).

15. Gel’fand, I.M.- Kapranov, M.M.- Zelevinsky, A.V. Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Birkhauscr, Boston, (1994).

16. Gizatullin, M. On covariants of plane quartic associated to its even theta characteristic. Algebraic geometry, 37−74, Contemp. Math., 422, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007.

17. Goldfeld, D. M. A simple proof of Siegel’s theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 71 (1974), c. 1055.

18. Gradshteyn, I. S.- Ryzhik, I. M. Table of integrals, series, and products. Translated from the fourth Russian edition. Fifth edition. Translation edited and with a preface by Alan Jeffrey. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1994.

19. Guardia, G. Jacobian nullwertc and algebraic equations. J. Algebra 253 (2002), 112— 132.

20. Hajir, F.- Maire, Π‘. Tamely ramified towers and discriminant bounds for number fields II. J. Symbolic Comput. 33 (2002), no. 4, 415−423.

21. Hindry. M. Why is it difficult to compute the Mordell-Weil group. Proceedings of the conference «Diophantine Geometry», 197−219, Ed. Scuola Normale Superiore Pisa, 2007.

22. Hindry, M.- Pacheco, A. Un analogue du theoreme de Brauer-Siegel pour les varietes abeliennes en characteristique positive. ΠŸΡ€Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ‚.

23. Hoyt, W.L. On products and algebraic families of Jacobian varieties. Ann. of Math. 77, (1963), 415−423.

24. Ichikawa, T. On Tcichmiiller modular forms. Math. Ann. 299 (1994), no. 4, 731−740.

25. Ichikawa, T. Teichmiiller modular forms of degree 3. Amer. J. Math. 117 (1995), no. 4, 1057−1061.

26. Ichikawa, T. Theta constants and Teichmiiller modular forms. J. Number Theory 61 (1996), no. 2, 409−419.

27. Ichikawa, T. Generalized Tate curve and integral Teichimiller modular forms. Amer. J. Math. 122 (2000), no. 6, 1139−1174.

28. Igusa, J.-I. Modular forms and projective invariants. Amer. J. Math, 89, (1967), 817 855.

29. Ihara, Y. On the Euler-Kronecker constants of global fields and primes with small norms. Algebraic geometry and number theory, Progr. Math., 253 (2006), Birkhauser Boston, Boston, MA, 407−451.

30. Iwaniec, H.- Kowalski, E. Analytic number theory. American Mathematical Society Colloquium Publications, 53. AMS, Providence, RI, 2004.

31. Iwaniec, H.- Sarnak, P. Dirichlet ?-functions at the central point. Number theory in progress, Vol. 2 (Zakopane-Koscielisko, 1997), 941−952, de Gruyter, Berlin, 1999.

32. Katz, N. M. p-adic. properties of modular schemes and modular forms. Modular functions of one variable, III (Antwerp, 1972), 69−190. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 350, Springer, Berlin, 1973.

33. Katz, N. M.- Sarnak, P. Random matrices, Probenius eigenvalues, and monodromy. American Mathematical Society Colloquium Publications, 45, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

34. Klein, F. Zur Theorie der Abelschen Funktionen. Math. Annalen, 36 (1889−90) — = Gesammelte mathematische Abhandlungen XCVII, 388−474.

35. Koblitz, N. Jacobi sums, irreducible zeta-polynomials, and cryptography. Canad. Math. Bull. 34 (1991), no. 2, 229−235.

36. Kunyavskii, B. E.- Tsfasman, M. A. Brauer-Siegel theorem for elliptic surfaces. Int. Math. Res. Not. IMRN 2008, no. 8.

37. Lachaud, G.- Ritzenthaler, C. On a conjecture of Serre on abelian threefolds. Algebraic Geometry and its applications (Papeete, 2007), 88−115. Series on Number Theory and Its Applications 5. World Scientific, Hackensack, NJ, 2008.

38. Lachaud, G.- Tsfasman, M. A. Formules explicites pour le nombre de points des varietes sur un corps fini, J. Reine Angew. Math. 493 (1997), 1−60.

39. Lagarias, J. C.- Odlyzhko, A. M. Effective versions of the Chcbotarev density theorem. Algebraic number fields: L-functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, London, 1977, 409−464.

40. Lang, S. On the zeta function of number fields. Invent. Math. 12 (1971), 337−345.

41. Lang, S. Algebraic number theory (Second Edition), Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York, 1994.

42. Lauter, K. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields, with an appendix by J. P. Serre. Journal of Algebraic Geometry 10 (2001), 19−36.

43. Lcbacquc, P. Generalised Mcrtens and Brauer-Sicgcl Theorems. Acta Arith. 130 (2007), no. 4, 333−350.

44. Lockhart, P. On the discriminant of a hyperelliptic curve. Trans. Amer. Math. Soc. 342, (1994), 729−752.

45. Louboutin, S. R. Explicit upper bounds for residues of Dedekind zeta functions and values of L-functions at s = 1, and explicit lower bounds for relative class number of CM-fields. Canad. J. Math, Vol. 53(6), 2001, 1194−1222.

46. Louboutin, S. R. Explicit lower bounds for residues at s = 1 of Dedekind zeta functions and relative class numbers of CM-fields. Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 30 793 098.

47. Louboutin, S. R. On the Brauer-Siegel theorem. J. London Math. Soc. (2) 72 (2005), no. 1, 40−52.

48. Martinet, J. Tours de corps de classes et estimations de discriminants. Invent. Math. 44 (1978), no. 1, 65−73.

49. Mestre, J.-F. Formules explicites et minorations de conducteurs de varietes algebriques. Compositio Math. 58 (1986), no. 2, 209−232.

50. Michel, P. Sur les zeros de fonctions L sur les corps de fonctions. Math. Ann. 313 (1999), no. 2, 359−370.

51. Mumford, D.- Fogarty, J.- Kirwan, F. Geometric invariant theory. Third edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994.

52. Oort, F.- Ueno, K. Principally polarized abelian varieties of dimension Uvo or three are Jacobian varieties. J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 20, (1973), 377−381.

53. Poitou, G. Sur les petits discriminants. Seminaire Delange Pisot Poitou, 18e annee (1976/77), Theorie des nombres, Fase. 1, Exp. No. 6, Secretariat Math., Paris, 1977.

54. Salmon, G. Traite de geometrie analytique a trois dimensions. Troisieme partie. Ouvrage traduit de l’anglais sur la quatrieme edition, Paris, 1892.

55. Schwartz, L. Theorie des distributions. Hermann, Paris, 1966.

56. Serre, J.-P. Rational points on curves over Finite Fields. Notes of Lectures at Harvard University by F. Q. Gouvea, 1985.

57. Serre, J.-P. Two letters to Jaap Top. Algebraic Geometry and its applications (Tahiti, 2007) 84−87. World Scientific, Singapore, 2008.

58. Shafarcvich, I. Extensions with prescribed ramification points. Publ. Math. I.H.E.S. 18 (1964), 71−95.

59. Silverman, J. H. Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 151, Springer-Verlag, New York, 1994.

60. Stark, H. M. Some effective cases of the Brauer-Siegel Theorem. Invent. Math. 23(1974), 135−152.

61. Tate, J. Classes d’isogenie des varietes abeliennes sur un corps fini. Seminaire Bovrbaki, 11 (1968;1969), Exp. No. 352, 95−110.

62. Taylor, R. Galois representations. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 449−474, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.

63. Tsuyumine, S. Thetanullwerte on a moduli space of curves and hyperelliptic loci. Math. Z. 207 (1991), 539−568.

64. Tsfasman, M. A. Some remarks on the asymptotic number of points. Coding Theory and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math. 1518, 178−192, Springer—Verlag, Berlin 1992.

65. Tsfasman, M. A.- VladuC, S. G. Asymptotic properties of zeta-functions. J. Math. Sci. 84 (1997), Num. 5, 1445−1467.

66. Tsfasman, M. A.- Vladut-, S. G. Infinite global fields and the generalized Brauer-Sicgcl theorem. Moscow Mathematical Journal, Vol. 2 (2002), Num. 2, 329−402.

67. Tsfasman, M. A.- Vladu^, S. G.- Nogin, D. Algebraic geometric codes: basic notions. Mathematical Surveys and Monographs, 139, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.

68. Xaries, X. ЧастноС обсуТдСниС.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ