Характеристики роста аналитических функций и их приложения

Рост функций, аналитических в С, rv, П>, I или в некоторой области Q сС7 П>/1 давно привлекает внимание математиков. Изучение характеристик роста целых функций — это традиционное направление комплексного анализа, в меньшей степени изучен рост функций, аналитический в областях О с пъ I (Q — ограниченная или неограниченная, (х ф€п).

В одномерном случае рассматривается рост функций как в неограниченных областях, например, в полуплоскости, в угле, в полосетак и в ограниченных областях: в круге, в произвольной выпуклой односвязной области. Ж. Валироном, А. Виманом в 20-е годы для функций, аналитических в круге, введены характеристики роста и найдены их основные свойства. В 50-е годы изучение этих характеристик роста было продолжено Н. В. Говоровым [21], М. Н. Шереметой [29]-[31], Г. Мак-Лейном [ 9] и другими.

В настоящее время в связи с развитием многомерного комплексного анализа приобретает все большее значение изучение роста аналитических функций многих комплексных переменных. Необходимость учитывать рост функций возникает в теории степенных рядов, рядов Дирихле, а также рядов более общей природыв теории дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, в теории аппроксимации функций.

В данной работе рассматривается рост функций только лишь в ограниченных областях. Систематического исследования задач, связанных с ростом аналитических функций в ограниченных областях С ранее не проводилось. Можно назвать отдельные результаты, которые принадлежат Кякичеву В. А., Лаленко Ю. П. [23], К. М. Мурадову.

25]. В последнее время интерес к этому вопросу значительно возрос в связи с тем, что найден ряд приложений в теории рядов (В.П.Громов [56]), в теории дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений (Б.А.Державец [57], автор 152]).

В работе ставится задача: ввести различные характеристики роста функций, аналитических в ограниченных круговых и кратно-круговых областях пространства €^ - изучить свойства этих характеристикполучить приложения введенных понятий в теории степенных рядов (зависимость свойств степенного ряда функции от ее характеристик роста), в теории дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений (утверждения о росте их решений), к свойствам бесконечных произведений.

Поскольку ограниченная полная круговая и кратно-круговая области являются непосредственным обобщением на случай многих переменных круга.

4*=/* • /2/.

Порядок (Э и нижний порядок, А, тип 6″ и нижний тип. i функции f € Л (& ?) введены рядом авторов (Г.Мак-Лейн [9, стр.50|- Ж. Валирон [3, стр. 19^- [4] - Говоров Н. В. [21] - а также см. [32], [40],[4l], [39]) следующим образом:

О = 6u*t-^- - л —й- :

0.1) t {-*-)<> 7 ^ > (0.2) где.

M (г) = тая It-1, = mQX (o, bx).

В работах [21], [44J установлена связь величин р, б" с коэффициентами тейлоровского разложения функции f .

Укажем несколько направлений одномерного комплексного анализа, где указанные характеристики роста (0.1) и (0.2) нашли свое дальнейшее развитие и применение.

1. В работах Ж. Валирона Гз], гл.IXМ.Н.Шереметы [29], а также см. работы С 32], [40] для аналитических в круге.

UKR}, < *> ^^ diis, {еА (А.) (0.3) s =o изучены соотношения между максимумом модуля tM (л) = ЩЯХ I максимальным членом /и (г) = тяэе. I ars I l? l.<�оо 4 I' и центральным индексом «V (Г) = maocS: / сз^ J гs = функции (0.3). Полученные результаты составляют содержание так называемого метода Вимана-Валирона, который позволяет исследовать свойства алгебраических дифференциальных уравнений (ГЗ, гл. IX], [43]), изучать связь между порядком (0, нижним порядком, А и величиной пропусков в степенном разложении f [32J, [29] .

2. Для аналитических в круге Ал функцийf", имеющих нулевой ели бесконечный порядок, введены новые шкалы роста:

А, А а) логарифмический порядок р и логарифмический тип 6 |3б]:

О < ^ < оо б) Цпорядок и С]-тип [35] - q ж. — ^ 6X9)= «и* /? >, л.

ГR 7 P—^R n cql ОСЧ-ПГд о R — <>Э X — faI Wi-OCj в.

Более общие шкалы роста функции, А (Дд) изучались Шереметой М. Н. [30], [31] .

3. Для функций $ € Я (Дд) распределение нулей связано с ее порядком, верно и обратное: по некоторой последовательности точек { из можно построить бесконечное произведение типа произведения Вейерштрасса, представляющее в Д R аналитическую функцию, которая имеет нули в точках последовательности ^ а$ и порядок, зависящий от распределения точек Qg в круге Д R [26], [36], [41], [42] .

Перечисленные задачи одномерного комплексного анализа вполне естественно переносятся на многомерный случай. Их решение и сравнение полученных результатов с фактами из теории целых функций и составляет содержание диссертационной работы.

Заметим, что общая теория банаховых пространств [8], 1.13], [15],[l7], позволила изучать рост аналитических в ограниченных областях функций в произвольном конечномерном банаховом црост-ранстве (см. § 1−4 гл.1) а затем уже, как следствия, получить результаты душ ограниченных круговых & и кратно-круговых $ областей многомерного комплексного пространства С1, (см. * 5 гл. П).

В §§ 1−4 гл. 1 определены различные характеристики роста функций, аналитических в ограниченных областях банахова пространства X: порядок и тип аналитической функции в единичном шаре & (§ 1), порядок и тип по совокупности переменных аналитической функции в полных кратно-крутовых областях (§ 2), сопряженные порядки и типы аналитической функции в кратно-крутовых областях (§ 3). В каждом из параграфов получены формулы, связывающие введенные характеристики роста функции с компонентами ее тейлоровского разложенияприведены примеры, иллюстрирующие изложение.

Вторая глава посвящена росту аналитических функций в ограниченных круговых и кратно-крутовых областях пространства С" «.

В § 5 рост аналитической функции в ограниченной кратно-круговой области & рассматривался с точки зрения роста ее максимумов модуля.

MM = mqa* {, = о<�г<�л.

Величины М (г-) и М (Q ,.,.

Р>ее, гс >о} р,^, f. «n!t, ?xpcvx d (г) — непрерывная на ГОД] функция, при этом соответственно были получены порядок и тип по совокупности переменных, соцряженные порядки и типы, уточненный порядок, логарифмические порядок и тип, — порядок и тип. Результаты о связи введенных характеристик роста функции с коэффициентами ее тейлоровского разложения следовали непосредственно из теорем 1-ой главы. Применением методов 1-ой главы оказалось возможным распространить часть результатов на ограниченные круговые области. В этом же параграфе получен результат об экстремальных скоростях роста: существуют аналитические в полицилиндре функции, имеющие как угодно различающиеся нижний и верхний порядки.

В § 6 изучался рост по каждой из переменных функции, аналитической в области $, при этом обнаружено существенное отличие от случая целых функций: порядок функции / по переменной для аналитических в области % функций, вообще говоря, зависит от способа фиксирования оставшихся переменных. Исследованию связей между введенными в §§ 5,6 характеристиками роста посвящен § 7.

В третьей главе даны некоторые приложения характеристик роста, рассмотренных в 1-ой и П-ой главах.

В § 8 разработан метод Вимана-Валирона для функций, аналитических в ограниченной кратно-круговой области, и црименен к исследованию свойств решений алгебраических дифференциальных уравнений вида.

— оператор, введенный И. И. Бавриным в L2] .

В § 9 получены результаты о свойствах функций иррегулярного роста, доказаны формулы для вычисления нижнего порядка и нижнего типа некоторого класса функций. где Ф — полином от указанных переменных, 4- - функция, аналитическая в области 9) ,.

Б § 10 построено бесконечное произведение, которое определяет в области © аналитическую функцию с заданными нулевыми поверхностями. Порядок этой функции зависит от свойств семейства нулевых поверхностей.

Данная работа примыкает к исследованиям по изучению роста целых функций многих комплексных переменных, а также тесно связана с теорией роста функций, аналитических в круге. Используемые методы доказательства — это, в основном, модификация методов названных выше теорий, а полученные результаты либо аналогичны соответствующим результатам из теории целых функций и функций, аналитических в круге, либо проявляют специфику рассматриваемого многомерного случая (см., например, § 6, п.1- § 8, п. 4,5).

Укажем основные результаты работы:

1. Введены характеристики роста для абстрактных аналитических функций в ограниченных областях банахова пространства. В качестве примера рассмотрен рост голоморфных отображений (пример 2.2.1).

2. Изучены характеристики роста функций в ограниченных круговых областях пространства С^ (теорема 5.2.1),.

3. Получено утвервдение: рост функции, аналитической в ограниченной кратно-круговой области, по одной из переменных зависит, вообще говоря, от фиксирования оставшихся переменных (§ 6, п.1).

4. Установлены соотношения мевду различными характеристиками роста функции, аналитической в ограниченной кратно-круговой области (§ 7).

5. Найдены приложения характеристик роста: а) развит метод Вимана-Валирона (§ 8, п. 1−4), применением которого доказано, что функция бесконечного порядка не может быть решением уравнения вида: да Ф, ф — полиномы, б) изучены свойства лакунарных степенных рядов: установлены теоремы разложения аналитической функции в сумму двух рядов, подчинённых специальным условиям на рост (теоремы 9.2.1−9.2.6) — дана оценка нижнего порядка через верхний порядок и величину пропусков в степенном ряду (теорема 9.I.I). в) построено бесконечное произведение для аналитических функций (теорема 10.1.2), в частном случае оценен порядок его роста (теоремы 10.2.1, 10.2.2).

Основные результаты работы доложены на семинарах кафедры математического анализа МОПИ игл.Н. К. Крупской под руководством профессора Баврина И. И., профессора Громова Б.П.- кафедр теории функций и математического анализа Уральского Госуниверситета под руководством член-корр. АН СССР Иванова Б.К.- кафедры математического анализа Казанского Госуниверситета под руководством профессора Аксентьева Л.А.- на конференции молодых учёных при Башкирском филиале АН СССР в 1983 г.- на межвузовской конференции в г. Хмельницкий в 1983 г. и опубликованы в работах [491- [55].

Используемые в работе обозначения, о 7 п >, х у гь — мерное комплексное пространство, i -(^л,. j irv) ~ точка пространства ^ .

— единичный полицилиндр:? (j) = [i в С ft': ((|<1];

Ar — круг радиуса R: Д^/аеС1: /г| 0 < R < -о ;

Д — единичный круг.

2. N — множество натуральных чисел.

7 Л/.

3. {<=(К/,.3КГ7) — мультииндекс,.

— одномерные индексы.

1. Ба. врмн И. И. Классы голоморфных функций многих комплексных переменных и экстремальные вопросы для этих классов функций.-Москва: Просвещение, 1976. — 93 с.

2. Баврин И. И. Операторы и интегральные представления. М: Просвещение, 1974. — 129с.

3. Валирон Ж. Аналитические функции. М: Гос. изд-во техн.-теор. л-ры, 1957. — 236с.

4. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М: Физматгиз, I960. — 319 с.

5. Дяфбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М: Наука, 1966. — 671 с.

6. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд.Ш., М: Наука, 1972. — 496 с.

7. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М: 1956. -632 с.

8. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. М: Высшая школа',' 1982. — 272 с,.

9. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М: Мир, 1966. — 103 с.

10. Полка Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М: Наука, 1978. — ч.1, 392 с.

11. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных.-М: Наука, 1971. 432 с.

12. Ронкин Л. И. Элементы теории аналитических функций многих переменных. Киев: Наукова Думка, 1977. — 167 с.

13. В. А. Треногин. Функциональный анализ. М: Наука, 1980. — 496 с.

14. Фукс Б. А.

Введение

в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М: Гос. изд-во физ-мат. л-ры, 1962. 420с.

15. Э. Хилле, Р.Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. М: Иностранная литература, 1963. — 830 с.

16. Шабат Б. Б.

Введение

в компл. анализ. ч. П, М: Наука, 1976. -400 с.

17. Л.Шварц. Анализ. М: Мир, 1972. — т.1, 824 е.- т. П, 528 с. Журнальные статьи.

18. Агранович П. З. О непрерывности типа целой функции многих комплексных переменных. Дифференциальные уравнения и некоторые методы функционального анализа. — Киев: 1978, с.3−12.

19. Битлян И. Ф., Гольдберг А. А. Теоремы Вимана-Валирона для целых функций многих комплексных переменных. Вестник Ленингр. университета, 1959, J? 13, с.27−41.

20. Гирнык М. А. Аналог, теоремы Линделефа о типе канонического произведения. Теория функций, функц. анализ и их приложения. (Республ.межведомств. научн. сб.), 1978, & 29, с.16−24.

21. Говоров Н. В. О связи мезэду ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами её степенного ряда. Труды Новочеркасск. политехнич. ин-та, 1959, 100, с.101−115.

22. Копаев А. В. Интегральные представления функций 2-х комплексных переменных и их приложения к решению краевых задач. Автореферат диссертации кандидата физико-матем, наук. М: 1980. — 22 с.

23. В. А. Какичев, Ю. П. Лапенко. Характеристики роста функний, голоморфных в ограниченных кратно-круговых областях. -Мат.анализ и его приложения,-т.Ш Ростов-на-Дону: 1971, с.131−140.

24. Майергойз Л. С. Функция порядков и шкалы роста целых функций многих комплексных переменных. Сиб.мат.ж., 1972, 13, IS I, с.118−132.

25. Мурадов В. М. Сопряженные порядки и сопряженные типы для функций, аналитических в кратно-круговых областях, Баку, 1982. — 18 с. — Рукопись представлена АГПИ. Деп. в ВИНИТИ 13 мая 1982 г.,)Ь 2416−82Деп.

26. Нафталевич А. Г. Об интерполировании функций, мероморфных в единичном круга. Лит.м.сб., 1961, I, Fa 1−2, с. 159−180.

27. Б.И.Одвирко-Будко. Обобщение двух классических формул на случай функций многих переменных. Мат. записки Ур1У, 1966, т.5, В 4, с.76−85.

28. Саркисян С. Ц. Некоторые аналоги теорем Вимана-Валирона для целых трансцендентных функций. Метрические вопросы теории функций, Киев, 1980, с.115−125.

29. Шеремета М. Н. О максимальном члене и центр, индексе степенного разложения аналитической в круге функции, Укр.мат.журн., 1981, 33, В 6, с.846−848.

30. М. Н. Шеремета. О зависимости меэду ростом функции, аналитической в круге, и модулями коэффициентов её ряда Тейлора. -Вестник Львовск. университета, сер.мех.-мат., 1965, в. 2, с. I0I-II0.

31. М. Н. Шеремета. Связь меэду асимптотикой аналитических функций и коэффициентами их степенных разложений: Автореферат диссертации кандидата физико-матем. наук. Ростов-на-Дону, 1969,14 с. Иностранная литература.

32. Kapoor &/? On eovbremz rode* of erouJtU ofШ Рыта., 194,1,N4, аоа-лоь.09L i (uL ofQyT.

33. Карооп- (y.P to pel K.^ompoKlUHT. tUcr-^n^ lora f+vfc Imat.Qnzt. Off*.,.

34. Kafoor 6, R, O. R 0K bU ^o^r or-oOu~ Ж ршяШп*, CLnatgiib ly^tem илйе aide. Xvdicui, J. /9*6, ?, лГз,&-44.

35. Ibn-ofa J4t^{г-ыЫяАьогъ} of с&>и?а*>fu*Mu>M. J, Lotvden mat. Зое., /964,39, !9-ЪО.39. -Sa/fr-u^e T S. Чш-Mjl a^ot я*^ ^.

36. L.R. Refuearity of orouMi cnut oop' J. WUdL&ncd. Op ft, /Ш, A if, л 96 -306.

37. TwjL M. Poibdutf tUoru in м^гЛг, Ufietu*.1959. «.

38. T-MCjL Mr. CoAbOnitod proeUctf forou rrwronbOrfyUefusittion LK, a илйЫ cirdt. J. Mail Joe. tf J^a^ MXJ,?-*.

39. Кг&лод. Q Fotveicons &tешеаЛсопб oUffcrertLe^. J. Meet. Рим d Qfft., №г, 3 ^ Л 91−506.

40. Ча&с-Оп.? ы. (to, (WOLWZAbtt oUc mooL WLv> Zntuiw., Лое. FrouLGt, 19/6.

41. Гайдай Н. Н. О теоремах типа Вимана-Валирона для функций, аналитических в кратно-круговых областях. М., 1981. 8 с.-Рук. представлена МОЛИ им. Н. К. Крупской. Деп. в ВИНИТИ5 марта 1981 г., J8 1016−81Деп.

42. Гайдай Н. Н. Характеристики роста, аналитических функций. -М., 1982. 9 с. — Рук. представлена МОПИ им. Н. К. Крупской.

43. Гайдай Н. Н. Рост аналитических функций многих комплексных переменных. М., 1982 — 8 с. — Рук. представлена МОПИигл. Н. К. Крупской. Деп. в ВИНИТИ 28 декабря 1982 6429−82 Деп.

44. Гавдай Н. Н. Метод Вимана-Валирона в приложении к алгебраическим Дифференциальныгл уравнениям. Уфа, 1983 г. — Тезисы докл. на Ш-ей конф. молодых учёных Башкирии, 24−25 мая I9S2r.

45. Раздай Н. Н. Теорема В иман а-В, а лир он, а для аналитических функций многих комплексных переменных. Пенза, 1983 г. — Тезисы докл. на ХЛ1 научной конф. ПВАИУ, 2−2 марта 1983 г.

46. Гайдай Н. Н. Характеристики роста аналитических функций б банаховом пространстве. Пенза, 1983 г. — Доклад на ХУЛ научн. конф. ПВЛИУ, 2−3 марта 1983 г.

47. Державец Б. А. О системах уравнений в частных производныхв пространстве функций, аналитических в шаре и тлеющих заданный рост вблизи границы. Ростов-на-Дону, 1982 — 12 с. -Рук. представлена Р1У. Деп. в ВИНИТИ 19 января 1983 г., J3 298−83Деп.