Некоторые вопросы теории устойчивости классов липшицевых отображений

Теория устойчивости классов отображений играет значительную роль в современном анализе. Одним из ведущих направлений в ней являются исследования по устойчивости плоских и пространственных конформных отображений. После ранних работ М. А. Лаврентьева [37−40], основные результаты здесь были получены П. П. Белинским [2−5] и Ю. Г. Решетняком [41−51]. Среди остальных публикаций по данной тематике отметим статьи В. И. Семенова об оценках отклонения квазиконформного отображения от конформного [52−56]. Из недавних работ по устойчивости конформных отображений упомянем результаты для четных размерностей при минимальных предположениях о степени суммируемости производных (на базе подхода Т. Иванца-Г. Мартина, см., например, [63, 73]), а также построение соответствующей теории для случая неевклидовых пространств — групп Гейзенберга (см., например, [12]).

Альтернативное направление исследований было предложено Ф. Джоном в его работах по устойчивости класса изометрических преобразований [64−66]. Более сильные теоремы устойчивости для изометрий были получены в [50], где доказана устойчивость в Wр-норме в целых областях весьма общего вида.

Говоря в общем, на этих направлениях устанавливается близость (в Сили W1-нормах) (1+е)-квазиконформных (квазиизометрических) отображений к конформным (соответственно изометрическим).

Близкие по духу исследования были проведены JI. Г. Гуровым для класса псевдоизометрий [8].

Классы конформных и изометрических отображений совпадают с классами решений дифференциальных соотношений д' (х) 6 М-)-б'О (п) и д'(х)? SO (n) соответственно (g'(x) —дифференциал отображения д). Множества Ж)15,(9(п) и SO{n) являются наиболее характерными 4 примерами так называемых квазивыпуклых множеств, так что упомянутые исследования по устойчивости примыкают к теории квазивыпуклости, берущей начало от работ Ч. Морри [70, 71] и интенсивно развивавшейся в последнее время усилиями Д. Болла, С. Мюллера, В. Шверака и др. (см., например, [58, 61, 72]). В последней теории имеются некоторые аналоги теорем устойчивости для классов решений дифференциальных соотношений д'{х) € G почти всюду (п. в.) с квазивыпуклым множеством G.

Новое развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым общих подходов к изучению проблем устойчивости классов отображений, названных им концепциями и и-устойчивости [18−20]. Первая из них восходит к теории устойчивости конформных отображений, в то время как вторая имеет дело с классами липшицевых отображений и регулярным образом согласуется с упомянутой теорией Ф. Джона. А именно,^{-устойчивость} класса изометрических отображений и устойчивость этого класса по Ф. Джону суть одно и то же (см. [19]). Понятия и (^-устойчивости означают, по существу, что из локальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса (3 следует его близость к ним в С-норме. В частном случае, когда отображение / дифференцируемо, локальная w-близость / к отображениям класса © эквивалентна малости расстояния (абсолютного) от дифференциала f'(x) до множества линейных отображений класса б (см. точную формулировку этого утверждения в лемме 1.1.1). Отметим, что в теории^{-устойчивости} локальная близость дифференцируемого отображения / к отображениям класса 0 равносильна малости относительного расстояния от f'{x) до множества линейных отображений из (5 (см. [20]).

Вопросам^{-устойчивости} классов отображений посвящен ряд работ А. П. Копылова и Н. С. Даирбекова [9−11, 20−24]. В этих работах, в частности, были доказаны теоремы о устойчивости классов многомерных голоморфных отображений, пучков решений эллиптических систем уравнений с частными производными, классов сепаратно-конформных отображений. В последнее время теория си-устойчивости разрабатывалась А. А. Егоровым [13−14], который получил интересные результаты, касающиеся классов аффинных отображений, а также пучков решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Главная часть диссертации посвящена дальнейшему развитию теории устойчивости классов липшицевых отображений в рамках концепции^{-устойчивости.} При этом большинство результатов касается классов отображений <25 следующего вида. Пусть имеется разбиение G = (J Gt непустого компактного подмножества G пространства teT.

1/(Жп, Жт) линейных отображений из Е71 в Rm. Тогда класс (5 состоит из всевозможных локально липшицевых отображений д: Д —> Мт областей Д С Rn, для каждого из которых существует элемент разбиения Gt такой, что д есть решение дифференциального соотношения д'(х) 6 Gt п. в. в Л (см. определение 3.1.1).

В процессе исследований автора выявилось внутреннее родство между задачами устойчивости и обобщением таких классических теорем дифференциального исчисления, как теоремы Дарбу и Лагран-жа.

Согласно утверждению Дарбу, образ производной дифференцируемого отображения /: (а, Ъ) —У R является связным множеством. Проблема распространения этой теоремы на случай числовых функций нескольких переменных исследовалась с разных подходов в работах С. Д. Нойгебауэра [74], К. Е. Вейля [76], Я. Малы [69] (доказавшего связность образа производной дифференцируемого отображения /: А С Rn —> R) и др. (см., например, [59]). Однако, как хорошо известно, в отличие от ситуации с числовыми функциями, образ производной векторнозначных отображений может быть несвязным. 6.

Теорема Дарбу тесно соприкасается с формулой Лагранжа о среднем для функций /: [a, b} —М. Существуют различные пути обобщения этой теоремы на случай вектор-функций (см., например, [57, 62]), в основном, на уровне соответствующих оценок. Наиболее элегантный вариант принадлежит МакЛеоду [68] (см. также [75]), который доказал, что, при дополнительном предположении о непрерывности справа или слева производной f'(x) дифференцируемой функции /: [а, 6] Мт, отношение (f (b) — /(а))/(6 — а) есть выпуклая комбинация т значений производной /'(&)•.

Одной из целей диссертации является получение новых обобщений теорем Дарбу и Лагранжа для вектор-функций в связи с проблемами теории устойчивости классов отображений.

Автором получены следующие основные результаты: а) найдены новые семейства устойчивых классов решений дифференциальных соотношений, порожденных разбиением компакта G на выпуклые и квазивыпуклые компактыб) доказана устойчивость некоторых классов аффинных отображений, причем установлены явные оценки устойчивости во всей области с учетом близости производныхв) получена исчерпывающая классификация устойчивых классов липшицевых отображений интервалов вещественной прямой Ж со значениями в Km, т > 1, причем установлены оценки устойчивости с учетом близости производныхг) получены обобщения теорем Дарбу и Лагранжа на случай вектор-функций и доказана устойчивость в теореме Дарбу.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы. Мы используем подчиненную нумерацию утверждений и формул. Опишем кратко содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена изучению^{-устойчивости} классов отображений вида 3(G), порожденных компактами G С L (En, Mm) в еле7 дующем смысле: 3(G) = {g G Lip | 3 компонента связности К множества G такая, что д'{х) Е К п.в. в domд} (определение 1.1.3). Здесь Lip — множество всех локально липшицевых отображений д: Д —>• Мт областей ДсГ.

В § 1.1 напоминаются основные определения концепции а—устой-чивости классов липшицевых отображений, в том числе определения функционалов локальной и глобальной близости отображения / к отображениям изучаемого класса (3, и ставится задача устойчивости.

Основной теоремой первой главы является.

Теорема 1.2.9. Пусть непустой компакт G С L (Rn, Mm) допускает представление в виде где Gf — выпуклые компактные множества. Тогда класс отображений 3 (G) является си-устойчивым.

Следует отметить, что множество, А индексов, а в (0.1), вообще говоря, может быть бесконечнымпо поводу точного определения ш-устойчивости мы отсылаем к § 1.1. Совокупность требований на G в теореме 1.2.9 называется «условием (Т)» (см. определение 1.2.7).

В § 1.3 мы показываем, что условию (Т) можно придать естественное геометрическое истолкование, используя следующее понятие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.1. Пусть X — метризуемое локально выпуклое пространство. Множество U С X называется слабо связным, если его нельзя представить в виде объединения U = (J Ut семейства множеств Ut таких, что Ut ф U, Ut П cl (U Ut) — 0 для каждого t ЕТ и Utl П cl со Ut2 — 0, если t, ^ € Т и t ф ±-2аеА г— 1.

G?CiGnG? = 0, аеА, гф], Ь j € {1,., *Q}> (0.2) t? T 8.

Здесь cl Е и со Е — замыкание и выпуклая оболочка множества Е соответственно. Всякое связное множество слабо связно, обратное в общем случае неверно.

Теорема 1.3.3. Непустой компакт G С L (Rn, Мт) удовлетворяет условию (Т) в том и только том случае, когда все компоненты слабой связности множестваG выпуклы.

В § 1.4−1.5 проблема устойчивости классов 3© полностью решается для случая, когда одна из размерностей п или m равна 1. А именно, при п — 1 критерием^{-устойчивости} классов 3© является условие (Т) (теоремы 1.4.1, 1.4.4), а при m = 1 — выпуклость компонент обычной связности множества С (теорема 1.5.1).

В § 1.6 с помощью доказанных результатов получены теоремы об устойчивости классов липшицевых решений систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Пусть Q — произвольный дифференциальный оператор следующего вида: (Qg)K (x) = Y2=ff^' к = ^—-Л где.

G М, и пусть q — вектор пространства Шк. Зададим систему.

Qg (x) = q. (0.3).

Выберем компакт G С L (Mn, Rm), содержащий хотя бы одно решение системы (0.3) и рассмотрим класс отображений 3g, g©, состоящий из тех отображений g класса 3©, которые являются W^-решениями системы (0.3).

Теорема 1.6.1. При сделанных предположениях, если компакт G удовлетворяет условию (Y), то класс 3Q, g© со-устойчив.

Если оператор Q эллиптический, то накладываемое на С в предыдущей теореме условие (Т) оказывается излишним (теорема 1.6.2).

В первой части второй главы (§ 2.1−2.2) получены теоремы устойчивости, аналогичные теоремам из главы I, но вместо выпуклости 9 используется более тонкое свойство порождающих множеств — квазивыпуклость (см. [70−72], а также § 2.1).

Теорема 2.1.3. Пусть для компакта G С L (Kre, Rm) имеет место представление (0.1)-(0.2) с квазивыпуклыми компактными множествами Gf. Тогда класс отображений.

0 = {g G Lip | Va 6 Л 3i е {1,. ., ka} д'(х) G Gf для п. в. х е dom g} является ujустойчивым.

Из теоремы 2.1.3, в частности, вытекает, что класс 1П всех изометрических отображений (как сохраняющих, так и меняющих ориентацию) является и—устойчивым. (следствие 2.1.5). Это усиливает предшествовавший результат [19] об (^-устойчивости класса изо-метрий, сохраняющих ориентацию.

Кроме того, теорема 2.1.3 влечет w-устойчивость класса аффинных отображений, производные которых лежат в объединении G — SO (n)a 1 U. U SO (n)aki det щ ф 0, SO[n)a, i П SO (n)a, j = 0 при i ф j (следствие 2.1.6). Эти результаты имеют отношение к актуальной задаче теории квазивыпуклых множеств, так называемой проблеме /г-колец (/c-well) (об этой проблеме см., например, [72, 77, 61]).

В § 2.2 вводится определение qc-связности множеств в L (Kn, Ж77г), которое можно получить из определения слабой связности, заменив в нем символ выпуклой оболочки («со») символом квазивыпуклой оболочки. Всякое связное множество дс-связно, а всякое дс-связное множество слабо связно, обратное в общем случае неверно. Доказано, что для компакта G существует описанное в теореме 2.1.3 представление в том и только том случае, когда все компоненты qc-связности компакта G квазивыпуклы (теорема 2.2.4). Отсюда и из теоремы 2.1.3 выводится, что если все компоненты дс-связности непустого компакта G квазивыпуклы, то класс отображений 3qc{G) = {g 6 Lip | 3 компонента qc-связности К множества G такая, что g'(x) Е К п.в. в domg} является си-устойчивым (теорема 2.2.5).

Следующий параграф § 2.3 посвящен изучению строения образа производной дифференцируемой вектор-функции.

Теорема 2.3.2 (обобщенная теорема Дарбу). Пусть X — метри-зуемое локально выпуклое пространство, и пусть f: Л —> X — дифференцируемое отображение в X области Л С Мп. Тогда образ Im f производной отображения / является слабо связным множеством в пространстве Хп.

При п — 1 и наложении некоторых дополнительных условий установлена и обратная теорема, а именно: если G — непустой слабо связный компакт в пространстве Фреше X, который является к тому же локально слабо связным множеством, то тогда G есть образ производной некоторого дифференцируемого отображения /: [0, 1] —> X (теорема 2.3.5). Специфику многомерного случая подчеркивает построенный пример дифференцируемой функции /: [0,1] —> К2, образ производной которой является вполне несвязным компактом (теорема 2.3.1).

Если в теореме 2.3.2 X = Rm и функция / локально удовлетворяет условию Липшица, то образ Im f обладает более сильным свойством — qc-cвязностью (теорема 2.3.14).

Используя обобщенную теорему Дарбу (теорему 2.3.2), в том же параграфе мы докажем следующий аналог формулы Лагранжа. Если функция /: [а,/?] —у Жт непрерывна на [а,/3] С К. и дифференцируема в (а,/3), m > 1, то существуют числа ^ 6 (а,/?) и рг > 0, m г = 1,.., т, £>г = 1, такие, что (f (p)-f (a))/{(3-a) = EiliPi/'te) i= 1 теорема 2.3.12). Таким образом, процитированный в начале результат МакЛеода [68] верен без всяких дополнительных предположений о регулярности производной f.

Материал § 2.3 используются при доказательстве некоторых теорем устойчивости классов отображений, например, приведенных выи ше теорем 1.4.1 и 1.4.4.

В § 2.4 на основе доказанных ранее результатов изучается устойчивость классов аффинных отображений 21 © с линейной частью из компактного множества G С L (Rn, Km). Полученные утверждения придают характер устойчивости установленным в предыдущем параграфе многомерным аналогам теоремы Дарбу. Одной из основных является.

Теорема 2.4.1. Пусть G С L (Mn, Mm) — непустой компакт, все компоненты qc-связности которого одноточечны. Тогда класс аффинных отображений 21(G) ш-устойчив.

Из теоремы 2.4.1, в частности, вытекает, что класс 21 © является w-устойчивым, если все компоненты слабой связности множества G одноточечны (следствие 2.4.5). Отметим, что при п — 1 или m = 1 сформулированные в только что упомянутых следствии 2.4.5 и теореме 2.4.1 условия эквивалентны. При n = 1 эти условия являются не только достаточными, но и необходимыми для со-устойчивости класса 21© (теорема 2.4.6), а при m — 1 для^{-устойчивости} 21© оказывается достаточной одна только вполне несвязность компакта G (теорема 2.4.3). Замечательным свойством классов аффинных отображений является то обстоятельство, что для них удается получить оценки устойчивости следующего вида.

Теорема 2.4.7. В условиях теоремы 2.4.1 существует функция 7: [0, +оо) —> [0, + оо) такая, что.

1) 7(e) 7(0) — 0 прие 0;

2) для каждого отображения /: А —> Кт области, А с Кп с Г2(/, 21(C)) < е найдется аффинное отображение g <Е 21©, для которого выполнены неравенства.

II/ -^Цс (А) < 7Й diaminn А,.

II/ - д'\ь00(А){= ess sup \f (х) -д'(х) ||) < 7(е). же А.

Здесь символом diamjnn Л обозначен диаметр области Л относительно ее внутренней метрики, а символом П (/, 21(C)) — функционал локальной близости отображения / к классу 21 (G). Для случаев, когда все компоненты слабой связности компакта G одноточечны или когда т = 1 и компоненты обычной связности G одноточечны, удается получить явный вид функции 7 (теоремы 2.4.9, 2.4.12).

В третьей главе проведена исчерпывающая классификация со-устойчивых классов липшицевых отображений интервалов вещественной прямой Е со значениями в Mm, т > 1 (т. е. п — 1). Оказывается, что всякий о—устойчивый класс 0 порождается некоторым компактом G С Ет и частичным предпорядком 7 Г на G по следующему правилу: 0 состоит из всех липшицевых отображений д: А С М Ет, таких, что д'{х) 6 G п. в. и производная д' возрастает относительно тг (теорема 3.1.2). При этом для w-устойчивости классов, порожденных по указанному правилу, необходимо и достаточно, чтобы предпоря-док 7 Г удовлетворял введенному нами (см. определение 3.1.1) условию расщепляемости, а компакт G удовлетворял условию (Т) (см. предложение 3.1.6).

С помощью найденной классификации мы доказываем, что при значениях размерностей, рассматриваемых в третьей главе (п = 1, т > 1)> Для всех w-устойчивых классов справедливы оценки устойчивости внорме (теорема 3.1.4).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [15−16], [25−35].

В заключение я выражаю бесконечную признательность своему научному руководителю А. П. Копылову за постановку задач, всестороннюю поддержку и терпение.

1. Безрукова О. Л., Даирбеков Н. С., Копылов А. П. Об отображениях, близких в С-норме к классам решений линейных эллиптических систем уравнений в частных производных // Тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Т. 8., 1987. С. 19−30.

2. Белинский П. П. О непрерывности пространственных квазиконформных отображений и о теореме Лиувилля // ДАН СССР. 1962. Т. 147, № 5. С. 1003−1004.

3. Белинский П. П. Устойчивость в теореме Лиувилля о пространственных квазиконформных отображениях // Некоторые проблемы математики и механики. Л., 1970. С. 88−102.

4. Белинский П. П. О порядке близости пространственных квазиконформных отображений к конформным // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 759−761.

5. Белинский 17. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1974.

6. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965.

7. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов. М.: Мир, 1975.

8. Гуров Л. Г. Об устойчивости псевдоизометрий j j Современные проблемы геометрии и анализа. Тр. Ин-та математики: Т. 14 (Под ред. С. С. Кутате-ладзе.) Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1989. С. 89−98.

9. Даирбеков Н. С., Копылов А. П.^{-устойчивость} классов отображений и системы линейных уравнений с частными производными // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 2. С. 73−90.

10. Даирбеков Н. С. Квазирегулярные отображения нескольких n-мерных переменных // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 65−69.

11. Даирбеков Н. С. Устойчивость классов квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 47−59.

12. Даирбеков Н. С. Устойчивость отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 2. С. 281−294.

13. Егоров А. А. Об устойчивости классов аффинных отображений j j Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1081−1095.

14. Егоров А. А. Об устойчивости классов липшицевых решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 3. С. 538−553.

15. Егоров А. А., Коробков М. В. Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 5. С. 1046−1059.

16. Егоров А. А., Коробков М. В. К устойчивости классов аффинных отображений // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1259−1277.

17. Егоров А. А. Письмо в редакцию // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1443−1444.

18. Копылов А. П. Об устойчивости классов многомерных голоморфных отображений. I. Концепция устойчивости. Теорема Лиувилля. // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 2. С. 83−111.

19. Копылов А. П. Об устойчивости изометрических отображений // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 2. С. 132−144.

20. Копылов А. П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск: Наука, 1990.

21. Копылов А. П. К устойчивости классов конформных отображений. I // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 348−369.

22. Копылов А. 17. К устойчивости классов конформных отображений. II // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 2. С. 326−343.

23. Копылов А. П. К устойчивости классов конформных отображений. III // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 4. С. 825−842.

24. Копылов А. П. Устойчивость в Сг-норме классов решений систем линейных уравнений с частными производными эллиптического типа // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 2. С. 352−351.

25. Коробков М. В. Устойчивость классов отображений // Материалы 34 международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический128прогресс», Математика. Новосибирск: изд. НГУ, 1996. С. 41−42.

26. Коробков М. В. Слабая связность множеств и теорема Дарбу // Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов», выпуск 2. Москва: изд. Московского государственного университета, 1998. С. 56−57.

27. Коробков М. В. Об одном обобщении понятия связности и его применении в дифференциальном исчислении и в теории устойчивости классов отображений // Докл. РАН. 1998. Т. 363, № 5. С. 590−593.

28. Коробков М. В. Об одном обобщении теоремы Дарбу на многомерный случай // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 1. С. 118−133.

29. Коробков М. В. Об устойчивости классов липшицевых отображений, порожденных компактными множествами пространства линейных отображений // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 4. С. 792−810.

30. Коробков М. В., Егоров А. А. Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества j j Докл. РАН. 2000. Т. 373, № 5. С. 583−587.

31. Коробков M. В Обобщение теоремы Лагранжа о среднем на случай векторнозначных отображений // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 349−353.

32. Коробков М. В. К обобщению теорем Лагранжа и Дарбу на векторнозначные функции // Докл. РАН. 2001. Т. 377, № 5. С. 591−593.

33. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1969. Т. 2.

34. Лаврентьев М. A. Sur une classe de representations continues // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 4. С. 407−423.

35. Лаврентьев М. А. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфных отображений трехмерных областей // ДАН СССР. 1938. Т. 20, № 2. С. 241−242.

36. Лаврентьев М. А. Об устойчивости в теореме Лиувилля // ДАН СССР. 1954. Т. 95, № 3. С. 925−926.

37. Лаврентьев М. А. Квазиконформные отображения // Тр. /3-й Всесоюз. мат. съезд, г. Москва, июнь-июль 1956 г. Т. 3. М., 1958. С. 198−208.

38. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства // Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, 1961. С. 219−223.

39. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости в геореме Лиувилля о конформных отображениях пространства // Доклады АН СССР. 1963. Т. 152, № 2. С. 219−223.

40. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости конформных отображений в многомерных пространствах // Сиб. маг. журн. 1967. Т. 8, № 1. С. 91−114.

41. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости для отображений с ограниченным искажением // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, № 3. С. 667−684.

42. Решетняк Ю. Г. Об оценке устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях многомерных пространств // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11, № 5. С.1121−1139.

43. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространств для областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1976. Т. т. 17, № 2. С. 361−369.

44. Решетняк Ю. Г. Устойчивость в теореме Лиувилля и Lp-интегрируемость производных квазиконформных отображений // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 4. С. 868−896.

45. Решетняк Ю. Г. Оценки в классе Wp устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях для замкнутой области // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 6. С. 1382−1394.

46. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в некоторых вопросах дифференциальной геометрии и анализа // Мат. заметки. 1978. Т. 23, № 5. С. 773−781.

47. Решетняк Ю. Г. Об устойчивости изометрических преобразований // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 4. С. 860−878.

48. Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. 2-е изд. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1996.

49. Семенов В. И. О равномерных оценках устойчивости для пространстрен-нных квазиконформных и квазиизометрических отображений // Доклады АН. 1986. Т. 286, № 2. С. 295−297.

50. Семенов В. И. Об одной оценке в теореме устойчивости о конформных отображениях круга // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, № 2. С. 176−181.

51. Семенов В. И. Интегральное представление следа на сфере одного класса векторных полей и равномерные оценки устойчивости квазиконформных отображений шара // Мат. сб. 1987. Т. 133, № 2. С. 238−253.

52. Семенов В. И. Оценки устойчивости для пространственных квазиконформных отображений звездной области // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, № 6. С. 102−118.

53. Семенов В. И. Оценки устойчивости, теоремы искажения и топологические свойства отображений с ограниченным искажением // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 5. С. 109−113.

54. Aziz А.К., Diaz J.B. On a mean value theorem of the differential calculus of vector-valued functions, and uniqueness theorems for ordinary differential equations in a linear-normed space // Contrib. to Diff. Eqns. 1963. V. 1. P. 251−269.

55. Ball J. M. Sets of gradients with no rank-one connections // J. Math. Pures Appl. 1990. V. 69, N 3. P. 241−259.

56. Brucner A. M. Differentiation of integrals j j Supplement to Amer. Math. Monthly. 1971. V. 78, N 9, Part II. P. .131.

57. Chlebi’k M., Kirchheim В. Rigidity for the four gradient problem. Leipzig, 2000. 7 p. (Препринт/Max-Plank-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften- № 35 (http://www.mis.mpg.de/jump/publications.html)).

58. Dolzmann G., Kirchheim В., Miiller S., Sverak V. The two-well problem in three dimensions. Leipzig, 1999. 15 p. (Препринт/Max-Plank-Institut fur Mathematik in den NaturwissenschaftenN 21).

59. Flett T.M. Mean value theorems for vector-valued functions // Tohoku Math. J. 1972. V. 24, N 2. P. 141−151.

60. Iwaniec TMartin G. Quasiregular mappings in even dimensions // Acta Math. 1993. V. 170, N 1. P. 29−81.

61. John F. Rotation and strain // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14, N 3. P. 391−413.

62. John F. On quasi-isometric mappings. I // Comm. Pure Appl. Math. 1968. V. 21, N 1. P. 77−110.

63. John F. On quasi-isometric mappings. II // Comm. Pure Appl. Math. 1969. V. 22, N 2. P. 265−278.

64. Kinderlehrer D. Remarks about equilibrium configurations of crystals j I Material instabilities in continuum mechanics and related mathematical problems. Oxford: Oxford Univ. Press, 1988. P. 217−242.

65. McLeod R.M. Mean value theorems for vector valued functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. (Ser. 2). 1965. V. 14. P. 197−209.

66. Maly J. The Darboux property for gradients // Real Anal. Exchange. 1996/97. V. 22, N 1. P. 167−173.

67. Morrey С. B. Multiple integrals in the calculus of variations. BerlinHeidelbergNew York: Springer-Verl., 1966.

68. Morrey С. B. Quasi-convexity and lower semicontinuity of multiple integrals // Pacific J. Math. 1952. V. 2, N 1. P. 25−53.

69. Miiller S. Variational models for microstructure and phase transitions. Leipzig: Max-Plank-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften, 1998. (Lecture notesN 2. http://www. mis.mpg.de/jump/publications.html).