Вопросы теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами

1. Задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В. И. Романовским [87,108], приводится к интегральному уравнению вида.

Это уравнение он исследовал методом, аналогичным методу определителей Фредгольма, в предположении непрерывности заданных функций m (t, s, cr) и f (t, s). Для уравнения (1) характерно то, что сначала производится перестановка переменных в неизвестной функции под знаком интеграла и только потом интегрирование. Теория этого уравнения существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма, так как оператор, стоящий в правой части (1), — не интегральный и не вполне непрерывный.

Уравнение (1) является частным случаем уравнения типа Романовского с частными интегралами, где s) = t), а (Kx)(t, s) = s, a) x (t, a) da.

Свойства оператора (3) и уравнения (2) достаточно подробно исследованы в [42], там же приведены многочисленные приложения уравнений с частными интегралами, а также библиография работ по теории операторов и уравнений с частными интегралами.

Оператор (3) в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (J.Appell), П. П. Забрейко, А. С. Калитвиным,.

1) x (t, s) = KHx (t, s) + f (t, s).

2).

3).

О.П.Околеловым, Е. В. Фроловой в работах [20, 24, 29, 42, 47, 59, 8385, 89−94, 97, 109]. Операторы и уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций изучались JI.3.Битовой [3−6], с симметричными ядрами В. В. Болтянским, JI.3.Битовой, Л. М. Лихтарниковым в [2, 6, 74], случай жордановых ядер рассмотрен в [6−8]. Свойства оператора (3) в других функциональных пространствах приведены в работах [29, 36, 42, 47, 102, 103].

Спектральные свойства линейных операторов с частными интегралами рассматривались в работах [2−4, 6, 7, 20, 26−29, 33, 34, 37, 42, 47, 97, 102, 103]. Достаточные условия фредгольмовости и обратимости уравнения x{t, s) = {Kx){t, s) + f{t, s) (4) с непрерывными ядрами, а также достаточные условия существования решений получены с использованием техники определителей Фредгольма в [83−85]- здесь же найдено представление решений с помощью резольвентных ядер. Условия нётеровости, фредгольмовости и обратимости в случае вырожденных, непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер приведены в [42, 47, 57, 58, 90−94, 97, 103]. Детальный анализ спектральных свойств различных классов операторов с частными интегралами в функциональных пространствах проведен А. С. Калитвиным [26−29, 33−35, 37, 42, 47], в пространстве непрерывных функций Е. В. Фроловой [90−94], А. С. Калитвиным [42, 47].

Важнейшие частные случаи уравнения (4) — уравнения Воль-терра и Вольтерра-Фредгольма, которые впервые изучены В. Воль-терра [9] для случая непрерывных ядер. Операторы и уравнения более общего вида исследовались П. П. Забрейко, А. С. Калитвиным,.

В.А.Калитвиным, Е. В. Фроловой в работах [23, 40−42, 44, 45, 47, 48, 54, 60−62, 95−97, 104, 106]. Приближенные методы решения таких уравнений разработаны в [60, 61].

Уравнение (1) является частным случаем уравнений x (t, 8) = {Kix)(ti8) + f (t, s), (5) где К{ (г = 1,., 6) — операторы типа Романовского.

Кг = L о П + М + N, К2 = L о П + М + N о П, /<Г3 = L + М о П + N, IQ = L + MoIl + NoIl,.

К5 = L + М + N о П, К6 = L о П + М о П + N.

Здесь pb pb (Lx)(t, s) — / /(<, s, т) гс (г, s) dr, (Mx)(t, s) = I m (t, s, a)x (t, a) da, J a J a pb pb.

Nx)(t, s)= I I n (t, s, r, a)x (r, cr) dTda, J a J a заданные функции l (t, s, r), m (t, s, cr), n (t, s, r, cr) измеримы по совокупности переменных t, s, r, a 6 [а, Ь], а интегралы понимаются в смысле Лебега.

Вопросы разрешимости уравнений (5) тесно связаны со свойствами операторов IQ (г = 1,., 6). Операторы К{ являются операторами с частными интегралами, так как в первых двух слагаемых их правых частей интегрирование неизвестной функции ведется по части переменных. Свойства операторов типа Романовского зависят от пространств, в которых они изучаются, и сильно отличаются от свойств обычных интегральных операторов.

Линейные операторы типа Романовского с частными интегралами исследовались А. С. Калитвиным [25−29, 30−34, 38, 42, 47, 55,105],.

JI.M. Лихтарниковым [70−73, 75−77], Л. Л. Морозовой [79−82]. Наиболее подробно разработана теория оператора К о П для различного вида ядер. Свойства этого оператора с вырожденными ядрами рассматривались в работах [25, 42, 47], с симметричными ядрами — в [70−73, 82], с симметризуемыми ядрами — в [27−29, 42]. Спектральные свойства операторов типа Романовского для различных классов ядер изучались в [26−29, 30−34, 42, 47, 105]. Структура собственных чисел и собственных функций операторов типа Романовского изучалась в [38, 42, 82].

Уравнение (1) двусвязных цепей Маркова исследовано В. И. Романовским методом определителей Фредгольма в случае непрерывного ядра [87,108], в случае вырожденных ядер уравнение изучалось В. А. Щелкуновым [99, 100]. Спектральные свойства оператора двусвязных цепей Маркова приведены в [42, 47], там же рассмотрены условия обратимости, нётеровости и фредгольмовости уравнения (!)•.

Приближенные методы решения уравнений типа Романовского с частными интегралами рассматривались в [56, 79−81, 88]. Следует отметить, что найти решения таких уравнений удается в редких случаях.

Из приведенного обзора видно, что задача изучения операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами имеет важное прикладное значение и актуальна. При этом следует заметить, что многие вопросы теории таких операторов и уравнений были не исследованы.

2. В диссертации изучаются условия действия операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C (D) непрерывных на D = [a, b] х [а, Ь] функций ив Lp = LP (D) (1 < р < оо), их непрерывность, регулярность, вид сопряженного оператора. Исследуются нётеровость, фредгольмовость и обратимость операторов и уравнений типа Романовского, рассматриваются их спектральные свойства. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 109 наименований (всего 112 страниц машинописного текста).

В главе 1 изучаются общие свойства линейных операторов типа Романовского с частными интегралами в пространствах C (D) и Lp.

В § 1 формулируется задача теории марковских цепей, решение которой приводит к интегральному уравнению (1) [87, 108].

В § 2 проведена классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в зависимости от вида ядер операторов L, М и N (вырожденные, симметричные и др.) и пределов интегрирования (постоянные, переменные, смешанные).

В § 3 изучаются свойства операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций. С применением теоремы Банаха о замкнутом графике доказывается теорема 3.1, утверждающая, что если оператор К{ (г = 1,., 6) действует в пространстве C (D), то он непрерывен.

В теоремах 3.2 — 3.3 приводятся достаточные условия действия оператора Ki в пространстве C (D) и формулы для вычисления норм операторов типа Романовского с частными интегралами.

Из критерия действия оператора Ki (г = 1,., 6) в пространстве C{D) вытекает равенство ii^ii — \т s, -)\l* + im*> + in*, on lawd).

Далее в § 3 изучаются соотношения между пространством С — непрерывных линейных операторов, действующих в C (D), и множествами С и Со, действующих в C (D) операторов.

CoU—LoU + MoU + NoU = KoU и.

CoU + LoU + MoU + N соответственно. Здесь (Cx)(t, s) = c (t, s) x (t, s).

Критерий действия даёт полную характеристику операторов, входящих в С{ (г = 1,0). Из него следует, что, А — замкнутое собственное подпространство пространства С.

Действие в C (D) операторов СоП, Loll, МоП, iV о П равносильно действию в C (D) операторов С, L, М, N соответственно. Следовательно, замкнутость пространств Ас, £ц, Am, Ап, Действующих в C (D) операторов СоП, LоП, МоП, iVon, совпадает с замкнутостью пространств Cqc, Az, Am, An действующих в C (D) операторов С, L, М, N соответственно. Отсюда вытекает, что прямая сумма С{с@ Ср1®СЯт ® ?>jn (hj, P, Q? {0? 1}) является замкнутым подпространством пространства Cr действующих в C (D) операторов R = С о Пг' + L о Пр + М о П9 + N о Ш.

Для того чтобы оператор R действовал в пространстве C (D) достаточно, чтобы в C (D) действовали операторы L, М и N. Обратное утверждение не верно. В примере 3.1 показывается, что из действия в C (D) оператора R не следует действие в C (D) операторов СоП, LoU, М о П и iV о П.

Пространство С с естественной операцией композиции операторов в качестве умножения является банаховой алгеброй. В работах [42, 102, 109] показано, что подпространство операторов вида К = С + L + М + N является подалгеброй алгебры, А причем композиция таких операторов является оператором с частными интегралами того же типа. Для операторов типа Романовского аналогичное утверждение не имеет места. В теореме 3.8 выделены множества операторов, композиции которых есть интегральные операторы (операторы с частными интегралами).

В § 4 свойства операторов типа Романовского с частными интегралами рассматриваются в пространстве Lp. В теореме 4.1 устанавливается, что если операторы L, М, N действуют в 1р, то.

Шс (Ы>) < PILc (LP) + WMWc (Lr>) + IMLc (LP) (i = 1,.. ., 6).

Регулярность операторов типа Романовского изучается только для операторов вида К = К о П, К2 = С + L о П + М о П + N, К3 = C-hLoIl+MoU+NoU, КА = C+L+M+NоП. Регулярность оператора К совпадает с регулярностью оператора К = С + L + М + N и означает действие из Lp в Lq оператора лЬ >

I.

J a / m (t, s, cr) x (t, a) da + / / n (t, s, r, cr)|a:(r, a) drda.

Ja J JD.

В теоремах 4.2−4.3 устанавливаются условия регулярности оператора I.

Далее в § 4 определяются условия существования и вид операторов, сопряженных к операторам К{ (г = 1,., 6). Устанавливается, что если операторы L, М, N действуют из Lp в Lq и регулярны, то оператор К{ (г = 1,., 7) действует из Lp в Lq и регулярен. При этом.

К{ = П о L* + М* + N*, IQ = П о L* + М* + П о N*,.

К* = L* + П о М* + N*, IQ = L* + П о М* + П о N*,.

Kl = L* + М* + П о N*, К- = П о L* + П о М* + N*, К* = Uo (L* +М# +N*), где — операторы, транспонированные к операторам.

L, М, N..

В главе 2 рассматриваются условия нётеровости, фредгольмо-вости и обратимости оператора I — К{ (г = 1,., 4) и соответствующего ему уравнения {I — Ki) x = /, где I — тождественный оператор, a Ki (г = 1,., 4) — операторы типа Романовского с частными интегралами вида Kl = L о П + Мf iV, К2 = L о П + М + N о П, К3 = L + М оП + Ny КА = L + М о П + N о П. Здесь под нётеровым (фред-гольмовым) оператором понимается линейный оператор с замкнутой областью значений, у которого размерности ядра и коядра конечны (размерности ядра и коядра конечны и совпадают)..

В § 5 для уравнения х = К{ХЬ / получены критерии фред-гольмовости в практически важном случае непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер. Установлено, что если ядра /(?, s, t), m (t, s, cr) и n (t, s, T, cr) непрерывны в целом и интегрально ограничены на D х [а, Ь] и D х D соответственно, то при г = 1,2 оператор I — Ki фредгольмов в C{D) тогда и только тогда, когда в C (D) фредгольмов оператор I — М, а при i = 3,4 — тогда и только тогда, когда в C (D) фредгольмов оператор I — L (теорема 4.1). В условии этой теоремы фредгольмовость уравнения х = К{Х + / (г = 1,., 4) равносильна при г = 1,2 обратимости уравнения х = Мх + /, а при г = 3,4 — обратимости уравнения х = Lx + /..

В теоремах 5.5 и 5.6 показано, что фредгольмовость уравнения х = К{Х + / с вырожденными ядрами р я l (t, s, т) =^Г /,•(*, s) aj®, m (t, s, a) — ^ s) bj (a), 2=1 j=l Г n (t, s, Т,<7) = ]Г nfc (f, s) cfc (r, a), k=l где li, ai (г = 1,2,., р), mj, bj (j = 1,2, ., g), тгк, ск (к = 1,2,., г) — непрерывные функции, а системы функций {а,|г = 1,., р} и {bj|i = 1, ортонормированы, равносильна условию .Di (0 Ф 0 для г = 1,2 и условию D2{s) ф 0 для г = 3,4, где и D.

1 -1/ц (<). • «МО.

-МО • • 1 — МО.

-Mpi (s) ¦ ¦ • 1 — Mpp (s).

2(s) =.

Vjk (t)= / bj (cr)mk (t, cT) dcr (i, k G 1,.,.

§ 6 содержит условия нётеровости и фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1,., 4) в пространстве LP (D) (1 < р < оо). Показывается, что в случае непрерывности операторов L, М, iV и компактности 2 *.

L о П) и NoTV+Mo^LoU) в пространстве Lp нётеровость оператора I — Ki (г = 1, 2) (I — К{ (i = 3,4)) равносильна нётеровости оператора I — М (I — L), а фредгольмовость / — К{ (г = 1,2) (I — К{ (г = 3,4)) равносильна фредгольмовости I — М (/ — L). Теорема 6.2 устанавливает условия фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1,., 4) в случае вырожденных ядер операторов L, М и компактности оператора iV..

В § 7 исследуются условия обратимости оператора I — К (г = 1,., 4) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами. Установлено, что, если операторы I — L оИ и I — М обратимы, то обратимость оператора I — К равносильна обратимости оператора 7 — Р, где.

Р = (7 — L о П)" 1 о (7 — М)" 1 о (N + М о (L о П)). В этом случае операторы (7 — L о П)-1, (7 — М)-1 имеют вид гЬ.

I — LoH) 1x (t, s) = x (t, s) + / l (t, s, r)x (s, r) dT.

J a pb лЬ / / ri (t, 5, г, сг) х (т, a) drda, J a J a.

-1 ГЬ.

7 — M) x (t, s) = x (t, s) -f / Г2 (i, S, <J (7)б?<7,.

J a где ri и Г2 — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции..

В случае, когда ядра операторов L, М и N удовлетворяют равенствам р г=1 Я m (t, s, ст) = m (s, сг) = ^^ rrij (s)bj (cr), n (ty s, г, сг) = О, i=i где /г-, аг- (г = 1,. mj, bj (j = — непрерывные функции, а системы функций {ai|i = 1,., р} и {bjj = l,., g} ортонорми-рованы, обратимость оператора 7 — Ki равносильна разрешимости матричного уравнения У = JF+CY*, которое при условии существования обратной матрицы С-1 приводится к виду.

FY — УС* = D, (6) где D = С-1Р, Р = С-1. Уравнение (6) есть матричное уравнение Ляпунова. Решение таких уравнений приведено, например, в [10], в операторной форме — в [6]. В [6] установлено, что после приведения матриц F и С к жордановой форме решения уравнения (6) совпадают с решениями одного из уравнений.

HPY — YFq = 0, (7).

Y + Hp-YFq = 0(А⁰), (8).

HPY — YFq = DpXq, (9).

ЛУ + HPY — YFq = DpXq (А ф 0). (10).

Здесь Hp — квадратная матрица порядка p, Fq — матрица, транспонированная к Hq, DpXq — известная матрица..

Приводятся условия, при которых уравнения (7)-(10) имеют решения..

§ 8 содержит теоремы об обратимости и фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1, ., 4) в пространстве Lp. В частности доказывается, что если операторы (L о П)2 и N о Пг + М о (L о П) компактны в Lp, то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 1,2) следует из обратимости оператора I — М. Аналогично, если операторы (М о П)2 и N о Пг + L о (М о П) компактны в то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 3,4) следует из обратимости оператора I — L..

В § 9 устанавливаются условия фредгольмовости уравнений вида х = Kix + f (г = 1,., 4), (И) где К{ (г = 1,., 4) — операторы типа Романовского. Теория таких уравнений существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма. Поэтому важное значение имеют условия фредгольмовости линейных уравнений с частными интегралами и их сведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы, приведенные в § 9, вытекают из результатов § 5 в случае пространства C (D), и § 6 — в случае пространства LP (D). В теоремах 9.1−9.4 устанавливаются условия, при которых для уравнения (11) справедлива альтернатива Фред-гольма..

В работе принята единая нумерация параграфов. Нумерация формул своя в пределах каждого параграфа. Формулы имеют двойную нумерацию: например, (3.1) означает, что речь идет о формуле 1 из § 3..

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (1996;2005 годы), в Елецком государственном университете имени И. А. Бунина, на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе, посвященной 60-летнему юбилею профессора Ю. В. Покорного (Воронеж, 2000), на международных научных конференциях «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (Воронеж, 2000), «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2001), на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 2002) и опубликованы в работах [12−19, 49−53, 101], из которых [17, 49−53, 101] — совместно с научным руководителем А. С. Калитвиным..

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю А. С. Калитвину за постоянный интерес и внимательное отношение к работе, а также за многочисленные беседы и ценные указания, способствовавшие её написанию..

1. Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учебное пособие. / А. Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 1987. — 164 с..

2. Болтянский В. В. Об одном классе линейных интегральных уравнений с частными интегралами/ В. В. Болтянский, Л. М. Лихтарников // Дифференц. уравнения. — 1982.— Т.18, № 11.— С. 1939 1950..

3. Витова Л. З. Вид собственных функций и собственных чисел интегрального оператора с частными интегралами и вырожденными ядрами/Л.З.Витова // Функц. анализ: Сб. науч. тр./ УГПИ.— Ульяновск, 1975. — Вып. 6. — С. 34−43..

4. Витова Л. З. Присоединенные функции интегрального оператора с частными интегралами и вырожденными ядрами/ Л. З. Витова // Функц. анализ: Сб. научн. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 6. — С. 35−44..

5. Витова Л. З. Разрешимость интегрального уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами/ Л. З. Витова // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. — С. 41−53..

6. Витова Л. З. К теории линейных интегральных уравнений с частными интегралами: Дисс.. канд. физ.- матем. наук/ Л. З. Витова. — Новгород, 1977. — 146 с..

7. Витова Л. З. Вид собственных чисел и собственных функций линейного интегрального оператора с частными интегралами и жордановыми ядрами/ Л. З. Витова //Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1984. — Вып. 23. — С. 52−61..

8. Витова Л. З. О разрешимости линейных интегральных уравнений с частными интегралами и жордановыми ядрами/ JI.3. Витова. — Новгород, 1988. — 12 е.— Деп. в ВИНИТИ 17.02.88,№ 1280-В88// РЖ: 13Б. Математический анализ — 1988 — № 6.—6Б624ДЕП..

9. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро дифференциальных уравнений/ В. Вольтерра. — М.: Наука, 1982. — 304 с..

10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц/ Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1988.— 552 с..

11. Гливенко В. И. Интеграл Стильтьеса/ В. И. Гливенко. — M.-JI.: ОНТИ, 1936. — 216 с..

12. Елецких И. А. Действие и непрерывность операторов типа В. И. Романовского с частными интегралами/ И. А. Елецких // Операторы с частными интегралами. 2: Сб. науч. тр. — Липецк, 1997.— С. 23−30..

13. Елецких И. А. Критерий действия операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций/ И. А. Елецких //Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 29−39..

14. Елецких И. А. Алгебры операторов типа Романовского с частными интегралами/ И. А. Елецких. — Елец, 2000.— 13 с.— Деп. в ВИНИТИ 31.07.00, № 2119-В00// РЖ: 13. Математика.— 2001.— № 1 — 13Б762ДЕП..

15. Елецких И. А. О нётеровости и фредгольмовости уравнений типа Романовского с частными интегралами и вырожденными ядрами/ И. А. Елецких. — Елец, 2000.— 6 с.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.00, № 3214-В00// РЖ: 13.Математика.— 2001 — Ш — 13Б347ДЕП..

16. Елецких И. А. Нётеровость и фредгольмовость уравнений типа Романовского с частными интегралами и нерерывными ядрами/ И. А. Елецких. — Елец, 2000 — 9 е.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.00, № 3215-В00// РЖ: 13. Математика.— 2001.— № 6 — 13Б348ДЕП..

17. Елецких И. А. О фредгольмовости уравнений типа Романовского с частными интегралами/ И. А. Елецких, А. С. Калитвин //Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тез. междунар. конф.— Минск, 2001. —С. 59−60..

18. Елецких И. А. Об обратимости одного класса операторов с частными интегралами/ И. А. Елецких //Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 5.— С. 48−56..

19. Елецких И. А. Нётеровость и фредгольмовость операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве Lp/ И. А. Елецких //Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 6.— С. 59−65..

20. Забрейко П. П. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ П. П. Забрейко, А. С. Калитвин, Е. В. Фролова // Дифференц. уравнения, 2002.Т. 38, № 4. — С. 538−546..

21. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. — М.: Наука, 1966.— 500 с..

22. Интегральные уравнения/ П. П. Забрейко, А. И. Кошелев, М. А. Красносельский, С. Г. Михлин, Л. С. Раковщик, В. Я. Стеценко.М.: Наука, 1968. — 488 с..

23. Забрейко П. П. Интегральные операторы Вольтеррав пространствах функций двух переменных/ П. П. Забрейко, А.Н. Ломако-вич //Укр. матем. журн.— 1990. — Т. 42, № 9. — С. 1187−1191..

24. Калитвин А. С. Об операторах с частными интегралами/ А. С. Калитвин. — Ленинград, 1983. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 27.06.83, № 3461−83// РЖ: 13Б. Математический анализ.— 1983.— № 10.—10Б698ДЕП..

25. Калитвин А. С. О спектре и собственных функциях оператора с частными интегралами и оператора типа В.И. Романовского/ А. С. Калитвин // Функц. анализ: Сб.науч. тр. — Ульяновск, 1984. — Вып. 22. — С. 35−45..

26. Калитвин А. С. О спектре некоторых классов операторов с частными интегралами/ А. С. Калитвин //Операторы и их приложения. Приближение функций. Уравнения: Сб.науч. тр. — Ленинград, 1985. — С. 27−35..

27. Калитвин А. С. О мультиспектре линейных операторов/ А. С. Калитвин //Операторы и их приложения. Приближение функций. Уравнения: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1985. — С. 91−99..

28. Калитвин А. С. Исследование операторов с частными интегралами: Дисс.. канд. физ.-мат. наук/ А. С. Калитвин.— Ленинград: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1986. — 143 с..

29. Калитвин А. С. Интегральные уравнения типа В. И. Романовского с частными интегр, а л ами.1/ А. С. Калитвин. — Липецк, 1987.— 11с. — Деп. в ВИНИТИ 22.01.87, № 503-В87// РЖ: 13Б. Математический анализ. — 1987. — № 5 —5Б423ДЕП..

30. Калитвин А. С. Интегральные уравнения типа В. И. Романовского с частными интегралами.2/ А. С. Калитвин. — Липецк, 1987.—11 е.— Деп. в ВИНИТИ 22.01.87, № 502-В87// РЖ: 13Б. Математический анализ. — 1987. — № 5 —5Б424ДЕП..

31. Калитвин А. С. Интегральные уравнения типа В. И. Романовского с частными интегралами. З/ А. С. Калитвин. — Липецк, 1988.—12 с. — Деп. в ВИНИТИ 26.04.88, № 3229// РЖ: 13 В. Математический анализ. — 1988. — № 8 —8Б889ДЕП..

32. Калитвин А. С. О позитивных собственных числах операторов с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Межвузовская конференция молодых ученых: Тез. докл. конф. — Липецк, 1988. — С. 101..

33. Калитвин А. С. О спектре линейных операторов с частными интегралами и положительными ядрами/ А. С. Калитвин // Операторы и их приложения: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1988. — С. 43−50..

34. Калитвин А. С. О разрешимости некоторых классов интегральных уравнений с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1989.— Вып. 29.— С. 68−73..

35. Калитвин А. С. Норма операторов с частными интегралами в L°° и в L1/ А. С. Калитвин // Современные методы нелинейного анализа: Тез. докл. конф., Воронеж, 26−29 апр. 1995 г. — Воронеж, 1995. — С. 43−44..

36. Калитвин А. С. О спектральном радиусе операторов с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — VII», Воронеж, 17−23 апр. 1996 г.: Материалы шк. — Воронеж, 1996.— С. 90..

37. Калитвин А. С. Теорема о замкнутом графике в теории операторов с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Операторы с частными интегралами. 2: Сб. науч. тр. — Липецк, 1997. — С. 3−7..

38. Калитвин А. С. Об операторах Вольтерра с частными интегралами/ А. С. Калитвин //Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения IX», Воронеж, 3−9 мая 1998 г.: Материалы шк. — Воронеж, 1998. — С. 89..

39. Калитвин А. С. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами теории упругости/ А. С. Калитвин // Сб. Математическое моделирование систем. Методы, приложения и средства, Воронеж, 12−16 окт. 1998 г.: Материалы конф. — Воронеж, 1998. — С. 85−89..

40. Калитвин А. С. Линейные операторы с частными интегралами/ А. С. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с..

41. Калитвин А. С. Уравнения с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Международная конференция «Нелинейный анализ и функционально дифференциальные уравнения», Воронеж, 15−20 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. — С. 112−113..

42. Калитвин А. С. Уравнения Вольтерра с частными интегралами в функциональных пространствах/ А. С. Калитвин // Труды института математики НАН Беларуси. — Минск, 2000. — Т. 5. — С. 72−76..

43. Калитвин А. С. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Дифференц. уравнения.2001. — Т. 37, № 10. — С. 151−152..

44. Калитвин А. С. Нелинейные операторы с частными интегралами/ А. С. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2002. — 208 с..

45. Калитвин А. С. Операторы и уравнения с частными интегралами и их приложения: Дисс.. доктора физ.-матем. наук/ А. С. Калитвин.— Липецк, 2003. — 267 с..

46. Калитвин А. С. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами/ А. С. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 6. — С. 52−58..

47. Калитвин А. С. Регулярность операторов типа Романовского с частными интегралами/ А. С. Калитвин, И. А. Елецких // Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 39−44..

48. Калитвин А. С. Пространства операторов типа Романовского с частными интегралами/ А. С. Калитвин, И. А. Елецких // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2000.С. 21−28..

49. Калитвин А. С. К теории уравнений типа Романовского с частными интегралами/ А. С. Калитвин, И. А. Елецких // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтенияXIII», Воронеж, 3−9 мая 2002 г.: Материалы шк. — Воронеж, 2002.С. 70−71..

50. Калитвин А. С. Линейные операторы Вольтерра с частными интегралами в С (Т X S)/ А. С. Калитвин, В. А. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр.— Липецк, 2003.— Вып. 6.— С. 3−24..

51. Калитвин А. С. Об интегральных уравнениях типа В. И. Романовского с частными интегралами/ А. С. Калитвин, Л. М. Романова // Конференция молодых учёных: Тез. докл. — Липецк, 1993. — С. 15..

52. Калитвин А. С. Об уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ А. С. Калитвин, Е. В. Фролова // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения XI», Воронеж, 3−9 мая 2000 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2000. — С. 74..

53. Калитвин А. С. Линейные уравнения с частными интегралами. С-теория/ А. С. Калитвин, Е. В. Фролова. Липецк: ЛГПУ, 2004. 194 с..

54. Калитвин А. С. Операторы с частными интегралами в пространстве нерерывных функций. I/ А. С. Калитвин, Е. В. Янкелевич // Вестник Чел. гос. ун-та. Сер. мат., мех. — 1994. — № 1. — С. 61−67..

55. Калитвин В. А. Об одном алгоритме численного решения уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В. А. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. Липецк, 2000. — Вып. 4. — С. 41−50..

56. Калитвин В. А. О решении уравнений Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В. А. Калитвин // Труды института математики НАН Беларуси. — Минск, 2000. — Т. 5. — С. 77−79..

57. Калитвин В. А. Об уравнениях Вольтерра Фредгольма с частными интегралами/ В. А. Калитвин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2001. — Т. 8. — Вып. 2. — С. 602..

58. Калитвин В. А. О двух обобщениях уравнения Романовского/ В. А. Калитвин // Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 25−30 янв. 2002 г.: Тез. докл. — Воронеж, 2002. — С. 33−34..

59. Калитвин В. А. Операторные методы исследования уравнений Вольтерра и Вольтерра Фредгольма с частными интегралами: Дисс.. канд. физ.-матем. наук/ В. А. Калитвин. — Липецк, 2003.132 с..

60. Канторович Л. В. Функциональный анализ/ Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: Наука, 1977. — 744 с..

61. Канторович Л. В. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах/ Л. В. Канторович, Б. З. Вулих, А.Г. Пин-скер. — М.- Л.: Гостехиздат, 1950. — 548 с..

62. Като Т. Теория возмущений линейных операторов/ Т. Като. — М.: Мир, 1972. — 740 с..

63. Курбатов В. Г. Интегральные операторы: Учебное пособие/B.Г. Курбатов. — Липецк: ЛГТУ, 1998. — 100 с..

64. Ланкастер П. Теория матриц/ П. Ланкастер.—М.: Наука, 1982. — 272 с..

65. Лихтарников Л. М. О спектре интегрального оператора с частными интегралами типа В.И. Романовского/ Л. М. Лихтарников // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. —C. 95−105..

66. Лихтарников Л. М. О спектре интегрального оператора с частными интегралами типа В. И. Романовского, содержащего вполне непрерывный оператор/ Л. М. Лихтарников // Дифференц. уравнения (в частных производных): Сб. науч. тр. — Рязань, 1980. — С. 42−51..

67. Лихтарников Л. М. О разрешимости линейного интегрального уравнения с частными интегралами типа В. И. Романовского, содержащего вполне непрерывный оператор/ Л. М. Лихтарников // Дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. — Рязань, 1981. — С. 64−73..

68. Лихтарников Л. М. О спектре интегрального оператора типа В. И. Романовского в самосопряженном случае/ Л. М. Лихтарников // 12-ая школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. шк. — Тамбов, 1987.— Ч. 1. — С. 128..

69. Лихтарников Л. М. О разрешимости линейного интегрального уравнения с частными интегралами/ Л. М. Лихтарников, Л. З. Витова // Укр. матем. журн.— 1976. — Т. 28, № 1. — С. 83−87..

70. Лихтарников Л. М. Об уравнениях типа В.И. Романовского/ Л. М. Лихтарников, А. С. Калитвин // 14-ая Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах, Новгород, 8−14 сент. 1989 г.: Тез. докл. — Новгород, 1989. — Ч. 2. — С. 57..

71. Лихтарников Л. М. О разрешимости интегрального уравнения с частными интегралами типа В.И. Романовского/ Л. М. Лихтарников, Л. В. Спевак // Функц. анализ: Сб. науч. тр. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. — С. 106−115..

72. Лихтарников Л. М. Линейное интегральное уравнение с частными интегралами типа В. И. Романовского с двумя параметрами/ Л. М. Лихтарников, Л. В. Спевак // Дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. — Рязань, 1976. — Вып. 7. — С. 165−176..

73. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям/ С. Г. Михлин. — М.: Физматгиз, 1959. — 232 с..

74. Морозова JI.JI. Структура собственных функций и собственных чисел интегрального оператора с частными интегралами типа В.И. Романовского/ JLJI. Морозова // Дифференц. уравнения в частных производных: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1986. — С. 58−63..

75. Околелов О. П. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралами/ О. П. Околелов // Дифференциальные и интегральные уравнения. — Хабаровск, 1967. — Т. 3. — С. 142−149..

76. Околелов О. П. Аналоги некоторых теорем Фредгольма для интегральных уравнений с частными и кратными интегралами/ О. П. Околелов // Тр. Иркутского ун-та. — 1968..

77. Околелов О. П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами: Дисс.. канд. физ.-матем. наук/ О. П. Околелов. — Иркутск, 1967. — 147 с..

78. Радон И. О линейных функциональных преобразованиях и функциональных уравнениях/ И. Радон // Успехи матем. наук. — 1936. — Вып. 1. — С. 200−227..

79. Романовский В. И. Избранные труды. Т.2: Теория вероятностей, статистика и анализ/ В. И. Романовский. — Ташкент: Наука, 1964. — 390 с..

80. Смирнова Т. И. О численном решении нелинейного интегрального уравнения типа В. И. Романовского с частными интегралами/ Т. И. Смирнова // 6-ая межвузовская конференция молодых ученых: Тез. докл. конф. — Липецк, 1992. — С. 188..

81. Фролова Е. В. Критерии действия операторов с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е. В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 1996. — С. 3−12..

82. Фролова Е. В. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е. В. Фролова. — Липецк, 1998. — 20 с. — Деп. в ВИНИТИ 14.08.98, № 2577-В98// РЖ: 13. Математика. — 1999. —№ 1. — 1Б447ДЕП..

83. Фролова Е. В. Об обратимости оператора с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е. В. Фролова. — Липецк, 1998. — 18 с. — Деп. в ВИНИТИ 14.08.98, № 2577-В98// РЖ: 13. Математика. — 1999. — № 1. — 1Б448ДЕП..

84. Фролова Е. В. О фредгольмовости операторов с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е. В. Фролова // Операторы с частными интегралами. 3: Сб. науч. тр. — Липецк, 1999. — С. 13−22..

85. Фролова Е. В. Фредгольмовость оператора с частными интегралами// Воронежская зимняя математическая школа, Воронеж, 28 янв.-4 февр. 2000 г.: Тез. докл. шк. — Воронеж, 2000. — С. 167−168..

86. Фролова Е. В. Некоторые признаки равенства нулю спектрального радиуса операторов Вольтерра с частными интегралами/ Е. В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2000. — Вып. 4. — С. 33−41..

87. Фролова Е. В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами в пространстве непрерывных функций/ Е. В. Фролова //Труды института математики HAH Беларуси. — 2000. — Т. 5.С. 131−135..

88. Фролова Е. В. Линейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций: Дисс.. канд. физ, — матем. наук/ Е. В. Фролова. — Липецк, 2000. — 123 с..

89. Фролова Е. В. Линейные операторы с частными интегралами в С/ Е. В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. — Липецк, 2003.— Вып. 5.— С. 65−76..

90. Щелкунов В. А. Интегральные уравнения, ядра которых зависят от трех переменных/ В. А. Щелкунов // Сб. науч. тр. кафедры высшей матем. — Тула, 1972. — Вып. 1. — С. 34−38..

91. Щелкунов В. А. Интегральные уравнения, ядра которых зависят от трех переменных/ В. А. Щелкунов // Сб. науч. тр. кафедры высшей матем. — Тула, 1974. — Вып. 2. — С. 45−51..

92. Appell J. A note on the Fredholm property of partial integral equations of Romanovskij type/ J. Appell, I.A. Eletskikh, A.S. Kalitvin //J. Integral Equ. Applications. — 2004. — V. 16, № 1. — P. 25−32..

93. Appell J. Partial integral operators and integro-differential equations/ J. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. — New York: Marcel Dekker, 2000. — 560 p.p..

94. Kalitvin A.S. On the theory of partial integral operators/ A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko //J. Integral Equ. Applications. — 1991. — V. 3, № 3.P. 351−382..

95. Kalitvin A.S. Spectral properties of partial integral operators of Volterra and Volterra-Fredholm type/ A.S. Kalitvin // Zeitschr. Anal. Anw. — 1998. — Vol. 17, № 2. — P. 297−309..

96. Kalitvin A.S. Romanovskij Type Equations with Partial Integrals/ A.S. Kalitvin // International conference on functional analysis: Abstracts, Kyiv, August 22−26, 2001/ IM HAH Украши. — Kyiv, 2001. — P. 43−44..

97. Kalitvin V.A. On Volterra Fredholm equation with partial integrals/ V.A. Kalitvin // International conference on functional analysis: Abstracts, Kyiv, August 22−26, 2001/ IM HAH Украши. — Kyiv, 2001. — P. 44..

98. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov // Kluwer Academic Publishtrs. Dordrecht BostonLondon, 1999. — 428p.p..

99. Romanovsky V. Sur une classe d’equation integrales lineares/ V. Romanovsky // Acta Mathematica. — 1932. — Vol. 59. — P. 99−208..

100. Partial integral operators on C (a, b. x [c, d])/ J. Appell, E.V. Frolova, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko // Integr. equ. oper. theory, — 1997.— V. 27. — P. 125−140..