О неподвижных точках многозначных отображений

Настоящая диссертация посвящена неподвижным точкам многозначных отображений — обычных и случайных.

Всем известна та значительная роль, которую играют в анализе принципы неподвижной точки, скажем, теорема о неподвижной точке Брауэра и принцип сжимающих отображений Банаха. На них основано огромное число теорем существования — в линейной алгебре, математическом анализе, теории дифференциальных уравнений и т. п.

С момента появления первых общих теорем о неподвижных точках стала расширяться область их применимости (Лере, Шаудэра, Тихонов и т. п.). Затем эти результаты были распространены на многозначный случай (Какутани, Ки Фан, Гальперн, Надлер и др.). Сравнительно недавно появился новый объект исследования — «случайные неподвижные точки» (Щпасек, Ханс, Боксан, Рейд, Энгль, Итог, Мукериа и др.).

Целью настоящей работы является доказательство существования неподвижных точек для многозначных отображений множеств при возможно более слабых условиях на множество и отображение.

Работа содержит 9 параграфов и разбита на 3 главы. Первая глава носит предварительный характер. Основные результаты диссертации содержатся в двух последующих главах.

В первой главе изложены необходимые сведения о многозначных и измеримых многозначных отображениях. В § I.I сначала дается определение многозначных отображений без топологии, а затем рассматриваются многозначные отображения топологических пространств.

Пусть F: X ЛУ — многозначное отображение из топологического пространства J[ в топологическое пространство У. Мы говорим, что F полунепрерывно снизу в точке эса.

X. * если Для любого открытого множества GTCI У «для которого f~jc0 CQфФ* сУИ1еС! гвУет окрестность Uo0J точки такая, что р* С ф ф для всех x^U^)».

Мы говорим, что F полунепрерывно сверху в хо, если для любого открытого множества G «содержащего р*0 «существует окрестность Uc^o) такая, что? € 3с*0) ==> Fx CI Сл.

F называется непрерывным в xQ, если оно одновременно полунепрерывно сверху и снизу в х0. р называется полунепрерывным снизу (полунепрерывным сверху, непрерывным), если оно полунепрерывно снизу (полунепрерывно сверху, непрерывно) во всех точках пространства .

Пусть (Xj°0 ~ метрическое пространство. Через С[Х] и С5ГХ] обозначим семейство всех непустых замкнутых подмножеств X и семейство всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств X" соответственно. Для положим: dcx, 5) = in/Ы*,*) :ge5l d (А, 3) = euf{dC*jВ) я е А}.

Расстоянием Хаусдорфа называется числовая функция.

ГА, в) = m^{.

Хорошо известно, что свщ ю является метрическим пространством.

Пусть л — банахово пространство,.

UX) — семейство всех ограниченных подмножеств в JT. Мера некомпактности Куратовско-го: б [Jf] —* R определяется следующим образом: о ((А) = 1п/{б>0: А г Ц At, diet т. А{ < tjt-^-n}.

Определение. Пусть С С X. Отображение F: С —• называется сгущающим, если (F А) ^ (А) для всех ограниченных, но не вполне ограниченных множеств, А СГ С.

§ 1.2 посвящен измеримым многозначным отображениям.

Измеримое пространство, по определению, есть пара (£^27>)^ где Q есть множество, а z- - некоторая 6 — алгебра подмножеств множества Q.

Положительная мера у*, определенная на Z, называется о — конечной, если можно представить в виде объединения счетного числа множеств конечной меры. называется Аполной, если из бС/4 и J*G4)^0 следует В<£ Z и у^СВ)-0. Измеримое пространство Z^,) называется полным, если ^ Сконечна, а 22л полна. В этом случае будем говорить, что полно.

Пусть.

X, Л) — метрическое пространство. Множество, А CZ (X, d) называется полным, если (Ajd) является полным метрическим пространством.

Определение. Многозначное отображение р из измеримого пространства (?t! 2Z) в топологическое пространство называется измеримым (слабо измеримым), если для любого замкнутого (соответственно, открытого) множества В множество.

F~(B) = [cveQ: FcHB фф] принадлежит z:.

Теорема Куратовского — Рилл надзевского (I.I9). Пусть JC ~ сепарабельное метрическое пространство, (?~i)} 21) — измеримое пространство, р: —ci^ ~ многозначное слабо измеримое отображение с образами, являющимися полными множествами. Тогда F имеет измеримое сечение, т. е. существует однозначное измеримое отображение & такое, что & 6°)? Fto для всех а>? Q.

Пусть, А подмножество в линейном топологическом пространстве. Через со, А и с/со /4 обозначим выпуклую оболочку, А и выпуклое замыкание, А •.

Через ^ обозначим борелевскую $ - алгебру подмножеств в топологическом пространстве X «а через Z1 -наименьшую б* - алгебру подмножеств в X «содержащую все множества вида /4* В «Ае 27» •.

Пусть р — многозначное отображение из множества X во множество ~Y • Множество | С*^)? ^ х У- #? FjcJ называется графиком отображения р и обозначается через Grp.

Теорема Ауманна (I.2I). Пусть Q — <гконечно, Х-борелевское множество в сепарабельном метрическом пространстве, F: Q —* £Х — отображение с измеримым графиком: Gr F € ® • Тогда существует измеримая функцияf: X такая, что /(to)? ра> для всех us е С*) за исключением множества меры нуль.

Переходим к формулировке основных результатов диссертации. Глава П посвящена неподвижным точкам многозначных отображений. Хорошо известны теоремы о неподвижных точках выпуклознач-ных отображений в банаховых пространствах. Эти теоремы восходят к исследованиям Какутани. В дальнейшем они многократно обоща-лись. Анализ логической структуры рассуждений, приводящих к доказательству такого рода теорем показывает, что и требование банаховости и требование выпуклозначности не связаны с существом дела. Фактически используется лишь наличие ослабленной метрики (симметрика) и оператора замыкания с некоторыми свойствами компактности. Эта идея была оформлена Лиепиныпем в ряде работ [?, 32] для однозначных отображений. В § 2.1 доказывается обобщение этих результатов для многозначных отображений. Кроме того, получено несколько результатов о неподвижных точках полунепрерывных снизу отображений. В настоящее время такого рода теорем немного. Нам известен лишь результат теоремы 1.9 в [35] .

Пусть X — непустое множество. ^.

Определение 2.1. Отображение S ' т ^^v называется оператором замыкания на Jf, если для любых A j Ь е Zx выполнено: I) А С В => 5M) CS (6). 2) А С S (A) •.

3) S (S (/|)) = S (A) .

Определение 2.2. Оператор замыкания S на X называется алгебраическим, если для любого л С 2. и х € S (A) существует такое конечное множество KCZ, А «что 6fS (Kj».

Пусть S — оператор замыкания на X • Назовем множество Л? л* о — замкнутым, если, А. SCA).

Отметим, что множество S (Д^О всех S — замкнутых подмножеств множества Jf инвариантно относительно пересечений, т. е. пересечение любой системы S — замкнутых множеств S — замкнуто.

Обратно, если множество (SX С инвариантно относинельно пересечений (в частности ГФ)" 10 ото~ бражение — >^ЗГ, определенное для любого, А € равенством:

S'(A) = Г\Ъе &: 5Э А/, является оператором замыкания на X, причем 5 (z^) — (?l. В этой ситуации условимся говорить, что оператор S' порождается множеством а. «.

Пусть рX—> % ~ многозначное отображение. Очевидно, что множество {ACL X: FAc: А} инвариантно относительно пересечений. Оператор замыкания, порождаемый этим множеством, обозначим через Sp .

Если Я^, оператops замыкания на X" so оператор замыкания, порождаемый множеством S^CZ^jf^S (Z^) «обозначим через у.

Назовем множество j~i? Z ^ ~ компактным, если для любого множества (QCZ S «Для которого Г) {АПН: /? (£Х? = ф «существует такое конечное множество.

FcQl, ч"? .ЩА (Н ¦ А € F/ =.

Определение 2.3. Отображение JT* jf—> $ (-множество вещественных неотрицательных чисел) называется симметрией, если для любых .

1) i (z}2) = о а: =г у .

2) — -t .

Назовем топологическое пространство субсимметризуемым, если на нем существует непрерывная симметрика.

Пусть, А, В б Я*, ге $. Положим:

J ГА, 6) = sup [i (x)9): *еА, у? ?>},.

В (A, t) = fztX: $(А, х) * r}J diam A =: xj $ € A}.

Определение 2.4. Пусть S — некоторый оператор замыкания на X • Симметрика i называется S — непрерывной, если cLianv г1 ~ лСлугх.

SCA) для любого, А 6 Z •.

Пусть F: X—$ • * называется неподвижной точкой для F «если ас е Fx •.

Определение 2.5. Последовательность {^j п = оZ • ¦ j называется орбитой отображения F ючки зс, если = ¦* и F^n i n^Oji,*. .

Теорема I (2.6). Пусть (Xrf) ~ некоторое непустое множество с симметрикой на нем, F: X—*¦ «S — некоторый оператор замыкания, S ~ inf { S} Sp J и непустое.

S — компактное множество. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) симметрика i S — непрерывна^.

2) =>

Далее, для любого % существует орбита (З^О^я^пгр^.^ t для которой выполнено:

3) ~S'(Qc*)) ПН ^Ф,.

4) из того, что? ф pjc следует.

Тогда существует такое X 6 Н «что X 6 Fx. Далее, доказывается теорема о неподвижной точке для полунепрерывного снизу отображения, из которой получен следующий результат:

Следствие (2.10). Пусть X. непустое выпуклое слабо компактное подмножество нормированного пространства, i (Xjу) = II и полунепрерывное снизу отображение р — ][—gX при любых удовлетворяет неравенству $ (F*> Fy) s Сх, Fx) + Fy)) ¦

Предположим, что для любого выпуклого замкнутого множества/1 С содержащего более одного элемента и инвариантного относительно р, существует такое * в, А, что $(*, Fz) < s"t>№(f, Ff):yeA}.

Тогда р имеет неподвижную точку.

§ 2.2 посвящен неподвижным точкам отображений сжимающего типа в метрическом пространстве. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 2 (2.12). Пусть X — метрическое пространство, F С[Х] - отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

I) существуют действительные числа jf ' такие, что.

Ж (F*- Fx) 4% d (Xjу) + Ь { d (*J Fx) + dCy, Fy), d (zjF9) + dfyF*)} для всех л и с Г.

2) Существует орбита [^п. j п — Oj i —, содержащая две последовательные сходящиеся подпоследовательности п. — ** - хп£ + 1 — ** •.

Тогда Р^ .

В [l7] Сириком было доказано существование неподвижной точки отображения р, действующего в полном метрическом пространстве и удовлетворяющего обобщенному условию сжатости: fcCFMj Fcs)) ч<

Отметим, что здесь не требуется условие непрерывности р.

В § 2.2 показано, что класс отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 2 строго шире, чем класс, исследованный Сирином. Показано также, что утверждение теоремы 2 неверно, если заменить ^ на единицу.

§ 2.3 посвящен неподвижным точкам многозначных отображений в линейных топологических пространствах. Фундаментальным результатом в этом направлении является теорема Тихонова — Какутани — Ки Фана, которая утверждает, что каждое полунепрерывное сверху отображение из выпуклого компактного множества локально выпуклого пространства с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями в этом же множестве имеет неподвижную точку. Различные обобщения этой теоремы можно найти в работах [l3], [22] ,.

2з], [зб]. Обычно рассматриваются замкнутое выпуклое множество С в линейном топологическом пространстве и полунепрерывное сверху отображение F — С —> • Для гарантии существования неподвижных точек F даются ограничения на множество С, на пространство JC «на образ FC «а также на образы F от точек на границе множества С. В этом параграфе получены некоторые результаты для отображений, нигде не удовлетворяющих внешним нормальным граничным условиям в банаховых и гильбертовых пространствах, содержащие, для этих пространств, теорему Тихонова-Какутани-Ки Фана. Один результат такого рода был получен Гальперном фактически для лишь конечномерных пространств (см. Г23], теор. 20, 24).

Норма 11−11 в пространстве X называется строго выпуклой, если никакой открытый отрезок единичного шара не пересекает единичной сферы. Пространство со строго выпуклой нормой называется строго выпуклым пространством. Мы говорим, что пространство X обладает свойством (Н), если из х. и Цд: к || —|| х 1| следует II — эс Ц о .

Пусть С — непустое замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве X* Через обозначим проекцию на С* Через с^С обозначим алгебраическую границу С «т.е.

С = { к еС + при всех 3>о].

Множество 3Tq = fy^X: ^gCy)-5^} называется нормальным внешним множеством множества С в точке sc .

Определение 2.19. Отображение F: С—называется нигде не удовлетворяющим внешним нормальным граничным условиям, если для всех х € Ъ^С имеет место Jfg CZ {х.} .

Обозначим класс всех таких отображений через .

Теорема 3 (2,21). Пусть С — непустое замкнутое выпуклое множество в рефлексивном строго выпуклом банаховом пространстве, F: С «полунепрерывное сверху многозначное отображение с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что.

1) Feb,.

2) Образ FC относительно компактен.

Тогда, если С компактно или X обладает свойством (Н) «то F имеет неподвижную точку.

Далее, рассмотрим случай гильбертова пространства. Впервые введен комплексный конус Nq С*) =? х € X ' Re — х: — и } { о для всех и, € С }. Доказано, что совпадают.

Теорема 4 (2.26). Пусть С — непустое замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве X «F: С^ ~ нерастягивающее отображение с непустыми компактными значениями. Предположим, что.

I) FC ограничено л г) Fe <.

Тогда р имеет неподвижную точку.

Глава Ш посвящена случайным неподвижным точкам многозначных случайных отображений. Пусть 22) — измеримое пространство, топологическое пространство, Q — некоторое множество В X И F: О. к С —V ЯХ.

— многозначное отображение. Ставится вопрос, при каких условиях существует измеримая функция X (со) такая, что # (со) € F (u>, *(«>)) для всех со Если такая функция существует, то она называется случайной неподвижной точкой р. Таким образом, если р имеет случайную неподвижную точку, то F (cи.,.) должно иметь неподвижную точку. Поэтому для каждой теоремы о неподвижной точке естественно ставится вопрос существует ли случайная неподвижная точка, если рассматриваемое в теореме отображение зависит еще от случайного параметра to. В [24] Ханс получил случайный вид принципа сжимающих отображений Банаха. В [33] Му-кериа и Рейд получили случайный вид теоремы Шаудера [39]. Эти результаты играют важную роль в исследовании случайных интегральных уравнений Вольтера, Фредгольма, Урысона. В [27] Итот доказал существование случайной неподвижной точки для случайных многозначных сжимающих отображений. Ряд вопросов о случайных неподвижных точках был поставлен и обсужден в обзорной статье [37] .

Определение 3.1. Пусть X — метрическое пространство. Отображение называется сепарабельным, если оно является измеримым и существует счетное множество Z, С X. такое, что для каждого ь> Z П С С40) = Q М.

Определение 3.2. Отображение р: Qr Q^ назы~ вается случайным оператором со случайной областью определения.

С у если С измеримо и для всякого X 6 X отображение f (-jX) измеримо, р называется измеримым по обеим переменным, если для всякого открытого множества D CI X множество? (to, х) €.

Gr С: F (V,*) п D ф ф ] принадлежит 72 0 где ~ борелевская^{-алгебра} в, aZ ® — наименьшая 6*- алгебра подмножеств в х X * содержащая все множества вида Ах В «А € «Ъ € • Определение 3.3. Случайный оператор называется полунепрерывным сверху (полунепрерывным снизу, непрерывным), если для каждого w 6 Q отображение F (w,-) •' СУш).

2х полунепрерывно сверху (полунепрерывно снизу, непрерывно, соответственно).

В § 3.1 получен следующий результат, обобщающий подобный результат в [25] на случай некомпактных отображений.

Предложение 3.5. Пусть JTбанахово пространство, С .—С С ЕХ] сепарабельно, счетное множество, участвующее в определении сепарабельности и рQr (2 —С [X].

— компактнозначный полунепрерывный сверху случайный оператор. Рассмотрим отображение Н — С —Z «определенное следующим образом: оо.

НС",*) = HcfcoUfFM, г е 2 Л См П &.

Тогда а) для всякого (<*>, х) 6″ GrC ~ (vo}x) ф Ф и.

И Go,*) С F&i,*) «б) ДЛЯ ВСЯКОГО ьо и ВСЯКОГО SC € C (w)| I/».

Н г) = FOvjX) 1 в) Н измеримо по обеим переменным, г) для всякого ю в Q, Нс", .) полунепрерывно сверху. § 3.2 посвящен случайной неподвижной точке непрерывных отображений. Мы имеем следующий общий результат.

Теорема 5 (З.б). Пусть Хполное сепарабельное метрическое пространство, С .* —> С [X] сепарабельно, F: Gr С —^ С LK ] ~ случайный непрерывный оператор. Предположим, что для всякого со 6 Q отображение имеет неподвижную точку. Тогда р имеет измеримую неподвижную точку.

Мы заметим, что во многих теоремах о неподвижной точке рассматриваются непрерывные отображения. Поэтому теорема 5 позволяет сразу сформулировать случайный вид этих теорем. В частности, из теоремы 5 можно получить случайный вид результатов Эделынтейна, Сегала, Шмидсона. Сюда относится также теорема 2.26, где рассматривается нерастягивающее отображение. Из этой теоремы следует результат в [2?], где рассматривается случайная неподвижная точка для сжимающего отображения.

В § 3.3 получены некоторые результаты для случайных полунепрерывных сверху операторов, нигде не удовлетворяющих внешним нормальным граничным условиям. Общий результат получен лишь при условии, что F измеримо по обеим переменным.

Теорема б (3.7). Пусть Хрефлексивное банахово пространство, С: Сс? —С С [X] - сепарабельное отображение, F — Gr С —- полунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми замкнутыми выпуклыми значениями. Предположим, что.

1) для всякого фиксированного со? С^, отображение.

Fc"v) ?

2) FО*9j См) относительно компактно,.

3) либо X обладает свойством (Н), либо Cfa) компактно для всякого to €. Тогда F имеет измеримую неподвижную точку.

Теорема 7 (3.8). Пусть Хсепарабельное гильбертово пространство, С — как в предыдущей теореме,/" - GrC —Zполунепрерывный сверху случайный оператор с непустыми выпуклыми компактными значениями. Предположим, что для всякого собСЗ.

1) С (.

2) F (wj С fa)) ограничено,.

3) F&v) € <*?.

Тогда p имеет измеримую неподвижную точку. Теорема 8 (3.9). Пусть X.- полное сепарабельное метрическое пространство, С * —С [.ХЗсепарабельно,.

F: GrC — С Ш.

— случайный полунепрерывный сверху оператор. Предположим, что.

1) для всякого со €.

О, р (со,.) имеет неподвижную точку,.

2) р измеримо по обеим переменным. Тогда F имеет измеримую неподвижную точку.

В § 3.4 получена следующая теорема. Теорема 9 (3.IO). Пусть X — полное сепарабельное метрическое пространство,.

С: Q — С [X] сепарабельно, F .• GrC С CXJ — случайный оператор, удовлетворяющий условию р (cofx.) а С (Ц) ДЛЯ любого ^х) 6GrC. Пусть для каждого «о 6 Q.

I) существует ^Сю) € [оу + оо), (со) 6 fOj, 1) такие, что j + J Су, Ffa, x)) f для всех &euro-СС*>)}.

2) отображение F (Ч.): С fc) г ¦ имеет неподвижную точку. Тогда F имеет измеримую неподвижную точку.

Отметим, что эта теорема позволяет сразу сформулировать случайный вид почти всех известных теорем о неподвижной точке в метрическом пространстве. Такими теоремами являются теоремы для сжимающих отображений (как однозначных, так и многозначных отображений), теоремы для отображений, удовлетворяющих условию Липшица, теорема Кананна [зо], теорема Сирика [17], теорема 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В. М. Тихомирову за постоянную заботу и многостороннюю помощь. Автор также благодарит кандидата физико-математических наук С. В. Конягина за чтение рукописи и полезные замечания.

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализ а, М. 1981.

2. Кон П. .Универсальная алгебра, М. 1968.6.^{гратовский} К., Топология, т. I, Мир 1966.

3. Лиепинын А. X. .Топологические пространства и их отображения/Сборник научных трудов/, Рига 1983, с. 61−69.

4. ХалмошП., Теория меры, ИЛ, 1953.9. дитапп Д. J., Measurable utility and the measurable choice theorem, Proc. Int. Colloq., Ia Decision, C.N.B.S,, Aix en Provence (1977), 15~26.

5. Berge C., Espaces topologiaues. Dunod Paris*, 1966.

6. Bocsan G., 0n some fixed point theorems in random normed spaces.Proc. 5-th Conference on probability Theory (1974), 153−156.

7. Browder F., A new generalization of the Shauder fixed point theorem, Math. Annal. 171, 1967,285−290.

8. Browder P. The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector spaces, Math. Annal. 177,1968,283−301.

9. Castaing Ch., Sur les multifonctions measurables, These, Paculte des Sciences de Caen, 1967.

10. Castaing Ch, Valadier M., Convex Analysis and measurable multifunction, Xecture Hotes, 580, Spriger-Veifeg, 1977.

11. Chuong P. V., On an approximation theorem for sed-valued mappings, Acta Math. Vietnam., 1976, t.1,2,97−104.

12. Ciric L., д. generalization of Banach contraction principle, Proc. Amer. Math. Soc., 45,2,1974,267−273.

13. Darbo G., Punti uniti in transformazioni a codominio non compacto, Eend. Sem. Math. Univ. Padova, 24″ >1955,84−92.19″ Dugundji J. and Granas A., Fixed point theory, vol. 1, WarszaVa 1982.

14. Edelstein M., 0n fixed point under contractive mappings, J. London Math. Soc., 37,1962,74−80.

15. Fan? y, Fix*d point and minima* theorems in locally convex topological linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 38,1952, 121−126.

16. Halpern В., Bergman G., A fixed point theorem for inward maps, Iran. Amer. Math. Soc., 130,2,1968,353−358.

17. Halpern В., Fixed point theorems for set-valued maps in infinite dimensional spaces, Math. Ann. 189,1970,87−98.

18. Himmelberg C. J., Measurable relations, Fund. Math., vol. 87, 1975,52−72.2?. Itoth S., A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping, Рас. J. Math., 68,1977"85−90.

19. Xakutani S., A generalization of Brouwerfi fixed point theo-. rem, Duke Math. J., 8,1941,457−459"29″ Kannan R., Fixed point theorems in reflexive Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc., vol. 38,1975,111−118.

20. Kannan В., Some results on fixed point 2, Amer. Math. Monthly, vol. 76,1969,405−407.

21. Mukherja A. and Reid A.'T. Br., Separable Random Operators 1, Rev. Roumanie Math. Pares and Appl., 14,1 969,1553−1561.

22. Eadler S., Multi-valued contractions, Pacifl с J. Math., 30, 1969,475−488.

23. Keich S., Fixed points in locally convex spaces, Math. Z.fvol. 125,1972,17−31.

24. Eeich S., Fixed points of contractive fundH. ons, Buletino U. N. 1.(4), 5,1972,26−42.37″ Eeid д. T. Br., Fixed point theorems in probabilistic analysis, Bull. Amer. Math. Soc., 82,5,1976,641−657.

25. Bhoades B., A comparison of various definitions of contractive mappings, Irans. Amer. Math. Soc., 226,1977,257−290.39* Schauder J., Die Fixpunktsatz in Funktionalraume. Studia Math. 2,1930,171−180.

26. Sehgal V., 0n fixed and periodic points for a class of map. pings, J. London Math. Soc., 5,1972,571−576.

27. Smithson R., Fixed points for contractive mult if unctions, Proc. Amer. Math. Soc., 27,1972,409−417.

28. Spaceк A., Zufollige Gleichungen, Czechoslovak Math. J., 580, 1955,462−468.

29. Tan D. H., 0n The contraction principle, A eta Math. Vietnam., 4,2,1979,88−102.

30. Tichonoff A. H., Ein Fispunktsatz, Math. Ann., 111,1935,767−776.45* Tuy H. jOombinatorical method for solving nonlinear eauations, Preprint ZIMM Berlin, 1978.

31. Wong C. S., A generalized contractions and fixed point. theorems, Proc. Amer. Math. Soc., 42,1974,409−41?.47* Viet ft. H., Some fixed point theorems for nowhere normal outward seii valued mappings, Acta Math. Vietnam., vol. 7,2,i 1982,59−66.

32. Нгуен Хыу Вьет, К теореме о. случайной неподвижной точке для случайных многозначных отображений, Мат. заметки, 1984(в печати).

33. Нгуен Хыу Вьет, Неподвижные точки многозначных отображений субсимметризуемых топологических пространств, Весник МГУ, 1984 (в печати).