Применение теории точных штрафов в негладких задачах вариационного исчисления

Вариационное исчисление имеет более чем трехвековую историю, является составной частью теории оптимизации и по сей день не стоит на месте. Сложные задачи, возникающие в механике, экономике, биологии и других науках, предъявляют все более жесткие требования, новые конструктивные методы решения. Благодаря развитию негладкого анализа появилась реальная возможность решать многие из этих задач, осмыслить предыдущий опыт, по-новому взглянуть и обобщить уже знакомые вещи. Большие возможности в развитии вариационного исчисления возникли в результате развития выпуклого анализа, теории минимакса, квазидифференциального исчисления.

В работах по гидродинамике JI. Эйлер заметил (см. [67], [43], [25], [2]), что на поведение жидкости в данный момент времени влияет ее поведение в предыдущие моменты времени, т. е. предыстория. Задачи, связанные с геометрией, привели Эйлера к изучению уравнений, в которых производная в текущий момент зависит от значений функции в предшествующие моменты. Аналогичные явления также были замечены в механике сплошных сред и в изучении полета электрона. Однако систематическое изучение свойств уравнений с последействием началось только с 1910 г., именно с работ О. А. Полосухиной, Э. Шмидта, Ф. Шюрера и Г. Хильба. Начиная примерно с 1937 г. почти одновременно Р. Беллманом, А. Д. Мышкисом, Е. Райтом эти изучения были связаны с потребностями прикладных наук и в первую очередь потребностями теории автоматического регулирования, а именно, с резким усложнением систем авто регулирования.

Известно, что электронная система передачи и обработки сигналов содержит емкости, индуктивности, трансформаторы с длинными проводами, по которым с конечной скоростью перемещается ток. Все это замедляет скорость реагирования системы по сравнению с реальным временем протекания процесса, например процесса работы другого электронного прибора.

Еще одним примером задержки сигнала в цепи обратной связи является ЭВМ, работающая как составная часть большой системы. Например, на космическом аппарате вычислительная машина, решающая большое количество задач, не способна обработать все сигналы сразу и мгновенно. И тогда приходится формировать управляющие воздействия со значительной задержкой.

Следующая задача оптимального управления приводится к рассматриваемым в диссертации задачам. Пусть управляемая система описывается уравнением с отклоняющимся аргументом вида x (t) = / (x (t), x (t — h), x (th), t) + cu (t), (0.1) где x (t) — функция, описывающая поведение системы, a u (t) — управление, действующее лишь на отрезке [О, Т].

При заданном управлении u (t) поведение системы (0.1) определяется, если задать начальную функцию на отрезке длиной h. Пусть известно поведение.

Условие (0.2) можно трактовать как требование о минимизации энергии, используемой для управления системой. Выражая u (t) из уравнения (0.1) и подставляя в функционал (0.2), приходим к задаче о минимуме функционала, оТ [x (t)~ f (x{t), x (t-h), x (t-h), t)]2 dt. (0.3).

Jo с краевыми условиями.

Очевидно, что задержка сигнала происходит и в том случае, когда управление некоторыми техническими объектами ведется на большом расстоянии. При этом необходимо время на доставку сигнала управления к объектам.

В экономических системах отклоняющийся аргумент обычно содержится в управлении, и запаздывание управляющего сигнала может измеряться годами, а иногда и десятилетиями [35], [25].

Характерными примерами экономических задач с отклоняющимся аргументом (запаздыванием) в управлении являются задачи, в которых имеет.

• запаздывание ввода в разработку производственных мощностей в зави.

• задержки в пути, на складах, в производстве и т. д.

Все большее проникновения математики в социологию, медицину, биологию и другие разделы приводит к созданию математических моделей процессов. При этом многие из моделей содержат уравнения с последействием.

Проблемы поиска экстремума сложных целевых функций при наличии ограничений естественным образом появляются при решении самых разнообразных прикладных задач. Для численного решения задач оптимального управления не существует универсальных методов. Принцип максимума JI.C. Понтрягина [48] и метод динамического программирования Беллмана [3] являются мощными математическими методами для исследования задач оптимального управления. Диапазон прикладных задач, в которых эти методы.

0.2) x (t) = ip (t) при t? [-м]- х (Т) = хъ место: симости от выделенных ресурсовнашли эффективное приложение, очень разнообразен. Заметим, что предположения о гладкости использовались существенно и входили в формулировки основных результатов теории оптимальности.

Существует большое количество практических задач, где как функционал качества, так и ограничения описываются негладкими функциями [12], [9], [14], [19], [53]—[59], [60], [63], [72], [73], [74], [37]. Такие задачи требуют разработки специальных методов исследования. Теория и методы исследования негладких функций получили в 70-х годах существенное развитие в работах Д. Варги, Дж. Данскина, В. Ф. Демьянова [48]—[69], А. Д. Иоффе [29], Ф. Кларка [33], Б. Ш. Мордуховича, Е. А. Нурминского, Б. Н. Пшеничного [49]—[50], Р. Рокафеллара [51], A.M. Рубинова [20], В. М. Тихомирова, В. В. Федорова [60], Н. З. Шора [63] и др. Одновременно с исследованием необходимых условий оптимальности в различных задачах теории управления шла разработка численных методов их решения. Здесь можно отметить наряду с выше указанными работы Ф. П. Васильева [6], Т. К. Виноградовой [8]-[9] и [37], H.JT. Григоренко, Ю. Г. Евтушенко, А. П. Жабко [25], В. И. Зубова [27]-[28], В. В. Карелина [37], Н. Е. Кирина, И. А. Крылова, В. В. Кулагина [37], А. Б. Куржанского, Н. Н. Моисеева [40], С. К. Мышкова [37], М. С. Никольского, Л. Н. Полякова [18] и [37], Р. П. Федоренко, Ф. Л. Черноусько [61] и др.

Одним из примеров задач оптимального управления с негладким критерием качества являются задачи на минимакс.

В работах [14], [9] для функционала.

Гт.

J (и) = max I д (х, и, z, r) dr, (0.4).

J0 где Z — компакт в ff, с использованием различных видов вариаций [20] управления были получены необходимые условия в форме поточечного, пакетного и интегрального принципов минимакса.

В [12] необходимые условия в виде принципа максимума для функционала (0.4) были получены с использованием техники, развитой А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным.

Как и при решении практических задач, так и в самой математике возникают задачи недифференцируемой оптимизации. В настоящее время численные методы решения задач оптимального управления даже с гладким функционалом строятся в основном на необходимых условиях оптимальности.

Приведем в качестве примера еще две минимаксные задачи оптимального управления, которые могут быть исследованы методами, рассмотренными в диссертации.

Задача об оптимальной стабилизации спутника. Следуя работе [61], рассматривается задача о торможении вращательного движения спутника при помощи установленных на нем двигателей. Минимизируемой величиной в задаче является тормозной импульс.

Движение спутника относительно его центра инерции в некоторых случаях можно рассматривать как вращение твердого тела вокруг неподвижной точки и описывать это вращение динамическими уравнениями Эйлера dw do dv.

А-£ + (СB)qr = ai"i, + (А — C) rp = a2"2, С~ + (В — A) pq = o3u3.

0.5).

Здесь А, В, С — главные центральные моменты инерции, q, г — проекция угловой скорости на главные центральные оси инерции. В правых частях системы стоят моменты сил относительно этих осей.

Предполагается, что моменты создаются тремя двигателями, закрепленными на теле. Двигатели создают тяги щ, щ, щплечи приложения сил сц, «2, а3.

Предполагая, что в начальный момент тело вращается, запишем начальные условия для системы (0.5):

Р = Ро, q = qo, r = г0у при t = 0.

Задача заключается в определении управлений щ, и^ щ, затормаживающих к фиксированному моменту t = Т вращение спутника р = о, q = 0, г = 0, при t = Т и минимизирующих функционал (максимальный импульс).

Л ,.

J = max I щ dt.

Wo.

Второй пример. Математические модели автономных подводных морских подвижных объектов (МПО). Данная задача более подробно изучена в работе [7]. Рассмотрим полную систему, представленную в виде x = F (xiS, fout), ' (0.6) где х — полный вектор состояния МПО, fout — вектор внешних сил и моментов, не зависящий от вектора х, S — вектор состояния исполнительных органов системы управления. Наряду с объектом (0.6), введем в рассмотрение математическую модель динамики приводов:

8 = Fs (6,u), (0.7) а также некоторую конкретную математическую модель алгоритмов автоматического управления, т. е. уравнения законов управления и = L (x, 5, t),.

0.8) где через и обозначен вектор управляющих сигналов, а через L — некоторый оператор, заданный на движениях МПО и приводов, и в общем случае зависящий от времени. В частности, в качестве (0.8) можно принять уравнения некоторых упрощенных тестовых законов управления.

Рассмотрим какое-либо определенное движение x (t) МПО, удовлетворяющее замкнутой системе управления (0.6)-(0.8) при определенных начальных условиях ж (0) = хо, (5(0) = So и определенных внешних воздействиях font = f (t).

Теперь введем в рассмотрение упрощенную по отношению к (0.6) математическую модель МПО, которую мы представим в виде системы дифференциальных уравнений xs = Fs (xs, 6, font, к), (0.9) где через xs обозначен вектор такой же размерности, что и х, определяющий состояние полной математической модели (0.6) объекта управления. Выбор вектор функции Fs определяется заданием структуры уравнений упрощенной системы.

При выбранной структуре, а следовательно — при заданном виде вектор-функции Ps, необходимо указать те числовые параметры, назначения которых регулируют меру адекватности упрощенной модели по отношению к исходной. В уравнениях (0.9) эти параметры объединены в вектор к G Мр, который подлежит выбору на последующем этапе упрощения.

Выбор вектора к Е Жр настраиваемых параметров упрощенной модели осуществляют в процессе решения задачи идентификации, существо которой сводится к следующему. Зафиксируем некоторый вектор к и найдем движение xs (t, к) МПО в замкнутой системе (0.9), (0.7), (0.8) при тех же начальных условиях жв (0) = xq, <5S (0) = (50 и внешних воздействиях font — f{t), при которых строилось движение x (t) в системе с моделью МПО (0.6). Введем вектор e (t, k) = x (t) — x (t, k) невязки между двумя рассмотренными движениями МПО, удовлетворяющими исходной и упрощенной системам, соответственно. В качестве числовой характеристики невязки, можно принять следующее выражение.

I (k) = max I xi (t)-xi (t, k) dt (0.10) i=l:n J о.

Очевидно, что качество представления динамики МПО с помощью ее упрощенной модели будет тем выше, чем меньше величина 1(к). В связи с этим ставится следующая оптимизационная задача.

1(к) —>• min, кеПк где через обозначено допустимое множество настраиваемых параметров.

Допустимое множество, в простейшем варианте, представимо в виде: {к Е | kji < kj < kj2, j = 1: р} .

Здесь величины kji, kj2, ограничивающие искомые параметры снизу и сверху, задаются заранее из физических соображений.

Вариационные методы и принципы играют важную роль во многих разделах механики, математической физики и прикладной математики [61]. Интерес к вариационным задачам объясняется рядом причин: многие фундаментальные законы механики и физики имеют характер вариационных принциповв теории управления вариационные формулировки возникают при требовании оптимальности управляемого процессавариационные методы часто оказываются эффективным средством численного решения разнообразных задач.

В начале развития теории оптимизации применялись простейшие вариа-, ции — вариации по направлениям [21], [22], [29]. Так были получены необходимые условия в задачах конечномерного анализа и в классическом вариационном исчислении. Помимо вариаций по направлениям, в вариационном исчислении применялись вариации иной природы, метод локальных вариаций [61]. Вейерштрасс для вывода необходимых условий сильного экстремума применял вариации, получившие название «игольчатых» [11], [69]. В теории оптимального управления использование игольчатых вариаций позволило получить новые условия («принцип максимума» JI. С. Понтрягина [48]). Ниже применяется двухточечная вариация игольчатого типа (компенсирующая вариация см. [16], [15]), с помощью которой удается получить необходимые условия, пригодные и для исследования некоторых негладких задач вариационного исчисления (см. [53]-[59]).

В настоящей работе изучается задача нахождения экстремальных значений функционала / на множестве Q метрического пространства X. Такая задача называется задачей условной оптимизации [15]. В данной работе реализуется следующая общая схема решения задачи условной оптимизации (случай Q ф X). Задача нахождения экстремума функционала / на множестве Q сводится к задаче оптимизации некоторого (вообще говоря, отличного от /) функционала на всем пространстве X. Указанное сведение проводится с помощью точных штрафных функций. Присутствующий в точной штрафной функции неизвестный множитель Л при помощи двухточечной «компенсирующей» вариации игольчатого типа «исчезает» .

Разработанный аппарат позволяет не только вывести единообразным и стандартным способом большинство известных классических результатов вариационного исчисления, но и получить «новые» условия в форме, допускающей их конструктивную реализацию. В качестве других применений изложенного подхода, не описанных здесь, отметим задачи теории оптимального управления как с гладкими, так и негладкими функционалами.

Содержание диссертационной работы включает в себя данное введение, список основных обозначений, три главы, содержащих основные результаты, приложения, списка литературы из 75 наименований и имеет общий объем 149 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Полученные в диссертации результаты являются развитием теории оптимизации в задачах вариационного исчисления с отклоняющимся аргументом и содержащих ограничения сложной структуры. Теоретическая значимость работы определяется тем, что в ней предложены математические методы и вычислительные алгоритмы на основе аппарата теории точных штрафов, с помощью которых можно существенно повысить эффективность решения достаточно сложных задач оптимального управления движением динамических объектов. При этом очевидна и практическая направленность работы, состоящая в применении полученных теоретических результатов для решения специфических задач, возникающих в практике исследования и проектирования систем управления движением динамических объектов. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на решение проблемы реализуемости, как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения. Результаты работы подтверждаются теоретическими данными и совпадают с известными ранее результатами, полученными для ряда частных случаев. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широко доступных вычислительных средств типа ЭВМ.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

1. приведены доказательства того, что в рассматриваемых задачах оптимизации к построенным штрафным функциям, полученным при сведении исходных задач с ограничениями к задачам безусловной оптимизации, применим аппарат теории точных штрафов;

2. предложены способы построения точной штрафной функции в задачах, содержащих ограничения сложной структуры;

3. выведены необходимые условия оптимума и на их основе описаны алгоритмы решения поставленных задач;

4. для ряда классов вариационных задач с помощью двухточечной игольчатой вариации и теории точных штрафов, единообразным способом, получены новые условия экстремума, а также ряд известных результатов;

5. созданы программы, реализующие предложенные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.