Спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом измеримых функций

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом S = 5 Е°>11 измеримых по Лебегу функций и измеримые поля линейных ограниченных операторов на основе систематического изучения обших пространств с 5-значной метрикой и их разложении в измеримые поля метрических пространств.

Построение спектральной теории эндоморфизмов банаховых модулей над кольцом $ -измеримых по Лебегу функций естественным образом возникает в связи с необходимостью изучения спектральных свойств измеримых семейств ограниченных линейных операторов.

Систематическое изучение измеримых полей гильбертовых пространств и линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, а также измеримых полей операторных алгебр было начато в 30−40-х годах в серии основополагающих работ Дж. фон Неймана и Ф.Дж.Мюррея [бо], [5l]. Построенная ими теория получила дальнейшее развитие и нашла важные приложения в теории С* и W^-алгебр, а также в теории локально компактных групп при рассмотрении вопросов, связанных с разложением их представлений в прямые интегралы неприводимых представлений.

Одно из направлений, использующих теорию измеримых полей ограниченных и неограниченных операторов, составляют разработанные Ю. М. Березанским и его сотрудниками метода исследования совместного спектра измеримых семейств таких операторов в гильбертовом пространстве [бЗ — [ю]. Эти исследования связаны с общей теорией случайных операторов в гильбертовом пространстве и теорией случайных матриц, построенной в работах A.B.Скорохода и других авторов [ioj, [3l], [зэ], [49], [55], имеющихинтересные и важные приложения в ряде разделов математической физики, а также с теорией стохастических дифференциальных уравнений [16], [38] .

Изучение обших измеримых полей метрических и нормированных пространств тесно переплетается с теорией случайных метрических и нормированных пространств, получившей существенное развитие в работах А. Вальда [5б], Б. Швайцера [52] - [54], А.Н.Шерстне-ва [42] - [44] и других математиков [27J, [28], [40] .

Близким к этому направлению исследованием является также теория случайных замкнутых множеств в метрических пространствах и ее приложения к задачам интегральной геометрии, распознаванию образов и ко многим другим задачам прикладного характера [и], [19], [21], [33], [47], [48] .

Наиболее естественным методом изучения измеримых полей метрических и банаховых пространств является, на наш взгляд, рассмотрение определенных ими пространств с 5 -значной метрикой и S-значной нормой, в частности, банаховых S-модулей. При таком подходе изучение этих объектов непосредственно примыкает к обшей теории метрических и нормированных пространств над полуполями и модулей над полуполями, развитой в работах М. Я. Антоновского, В. Г. Болтянского, Т. А. Сарымсакова [l],[2],[3],[34], Дж. Хаджиева, А. В. Миронова, Я. Х. Кучкарова [20], [23], [Зб], [Зб], [38] и других математиков [4], [24] - [27], поскольку рассматриваемое нами пространство ¡-эизмеримых функций яв— ляется одним из наиболее важных и содержательных примеров полуполей.

В связи с этим следует также отметить, что исследование широкого класса векторных пространств нормированных над (<(-пространствами проводились в серии работ Л. В. Канторовича и его учеников [l3], [l4], [l8] .

Исследования в диссертации группируются в следующих основных направлениях:

— изучение пространств с Бзначной метрикой и их разложение в измеримые поля метрических пространств;

— описание класса 5-ограниченных линейных операторов в пространствах с 5-значной нормой, в частности, Бограниченных эндоморфизмов банаховых Бмодулей, опирающееся на их представление в виде измеримых полей ограниченных линейных операторов в банахрвых пространствах;

— описание спектра, резольвенты и других характеристик ¿—ограниченных эндоморфизмов банаховых 5 -модулей и построение для этих эндоморфизмов голоморфного функционального исчисления.

Перейдем к краткому обзору основных результатов диссертации.

Работа состоит из введения, нулевого параграфа и трех глав. Нулевой параграф содержит ряд известных, используемых в дальнейшем, определений и результатов: свойства пространства^), определения пространства с Бзначной метрикой и бзначной нормой, банахова Бмодуля.

В первой главе изучаются полные и сепарабельные пространства с Бзначной метрикой, а также измеримые поля метрических пространств. В первом параграфе этой главы вводится понятие измеримого поля X абычных метрических пространств Х-ъ, -Ь^Х /ИПМП/ и описывается класс насыщенных измеримых полей^{определение} 1.1.1, предложение 1.1.2/. Основными результатами этого параграфа являются теоремы 1.1.4 и 1.1.5, описывающие связь между ИПМП и пространствами с Б-значной метрикой. Показано, что каждое ИПМП X каноническим образом определяет некоторое полное сепарабельное пространство с Бзначной метрикой и, обратно, каждое произвольное полное сепарабельное пространство с 5-значной л метрикой X допускает представления в виде X X для некоторого ИПМП X /теорема 1.1.4/, причем это представление единственно /теорема 1.1.5/. Во втором параграфе рассматриваются замкнутые подмножества пространств с 5 -значной метрикой. Вводится понятие измеримого поля замкнутых подмножеств /ИПЗП/ /определение 1.2.1/ и доказывается теорема о представлении произвольного замкнутого подмножества А. с. Хв виде, А = А, где, А — множество классов эквивалентных им? с10 измеримых полей из некоторого ИПЗП А^-Х /теорема 1.2.2/. Выделяется класс насыщенных ИПЗП и соответствующих им насыщенных замкнутых подмножеств в /определения: 1.2.3, 1.2.5, 1.2.6/. Показано также, что каждое сепарабельное пространство Хс 5 -значной метрикой допускает каноническое вложение в некоторое насыщенное пространство Хс с Бзначной метрикой, называемое насыщением ОС /предложение 1.2.7, предложение 1.2.8/.

В последнем параграфе первой главы вводится класс Бкомпактных подмножеств пространств с 5 -значной метрикой /определения: 1.3.5, 1.3.6/ и изучаются его свойства. Эти подмножества характеризуются тем, что для соответствующих им измеримых полей, А замкнутых подмножеств А-ь ^ Х-ъ, подмножества А-*. компактны в Хь в обычном смысле /предложение 1.3.7/.

Вторая глава посвящена изучению пространств с Бзначной нормой и класса 5 -ограниченных линейных операторов в них, измеримых полей банаховых пространств и измеримых полей линейных ограниченных операторов /ИПОО/.

В § I этой главы вводится понятие измеримого поля банаховых пространств /ИПБП/ /определение 2.1.1/ и приводится простой критерий насыщенности ИПБП /предложение 2.1.2/. Определение 2.1.1 согласовано с более общим определением 1.1.1 ИПМП из главы I и, в свою очередь, является непосредственным обобщением известного определения измеримого поля гильбертовых пространств [46]. Основными результатами этого параграфа являются теорема 2.1.3, описывающая разложение произвольного сепарабельного полного пространства с 5 -значной нормой в ИПБП, и теорема 2.1.4 о разложении сепарабельного банахова Бмодуля в насыщенное ИПБП. Отметим, что из последней теоремы следует, в частности, что пространство с Б-значной нормой изометрически изоморфно некоторому банахову Бмодулю тогда и только тогда, когда оно насыщенно. Более того, каждое пространство с Бзначной нормой допускает каноническое линейное изометрическое вложение в банахов Б-модуль ГГС, являвшийся насыщением ОС /теорема 2.1.3/.Описывается также разложение замкнутых подпространств с Бзначной нормой в измеримые поля замкнутых подпространств /теорема 2.1.7/.

Кроме того, в этом параграфе описаны три важных класса измеримых полей банаховых пространств и соответствующих им банаховых 5-модулей. Это измеримые поля гильбертовых пространств и гильбертова Бмодуля, измеримые поля пространств и измеримые поля пространств непрерывных функций.

Второй параграф главы П посвяшен изучению класса Бограниченных линейных операторов в пространствах с Бзначной нормой. Приводятся определения 2.2.1 и 2.2.2 Бограниченного оператора и измеримого поля ограниченных операторов /ИПОО/. Показано, что всякий линейный 5 -ограниченный оператор допускает естественное представление в виде ИПОО /теорема 2.2.3/.

Важным результатом этого параграфа является предложение 2.2.6, утверждающее, что каждый 5 -ограниченный оператор Т: Х—^пространств с бзначной нормой однозначно продолжается до гомоморфизма «Т^ ' 'банаховых б-модулей и, являющихся насыщениями пространств X и’У соответственно. Это утверждение позволяет сводить многие вопросы, связанные с изучением обших линейных 5-ограниченных операторов в пространствах с Бзначной нормой, к исследованию соответствующих свойств гомоморфизмов банаховых 5 -модулей. Кроме того, всякий 5-ограниченный линейный оператор банахова 5 -модуля X в У обязательно является гомоморфизмом /предложение 2.2.5/.Непосредственно из определения следует, что любое 5 -ограниченное отображение непрерывно. Однако, существуют непрерывные отображения пространств с 5 -значной нормой, не являющиеся эограниченными. В то же время, как показывает предложение 2.2.10, всякий непрерывный гомоморфизм банахова 5 -модуля ОС в банахов Бмодуль У Ъограничен. В этом же параграфе получены теоремы о разложении в измеримые поля подмодулей и фактор-модулей /теоремы: 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9/, а также ряд результатов, касающихся обратимости б-ограниченных гомоморфизмов банаховых бмодулей /теоремы: 2.2.11, 2.2.13/.

В качестве примеров рассмотрены измеримые поля бистохасти-ческих операторов и ИП00, определенное измеримыми семействами интегральных операторов.

В главе Ш получены основные результаты спектральной теории эндоморфизмов банаховых модулей. На протяжении этой главы всюду, А под 5 понимается множество классов комплекснозначных измеримых функций на X — } и рассматриваются линейные пространства над полем комплексных чисел. Предварительно, в первом параграфе, вводится класс Б-аналитических функций и описывается их представление в виде измеримых полей обычных аналитических функций /ИПАФ/ /Определения: 3.1.6, 3.1.7,и теорема 3.1.8/.

Во втором параграфе этой главы рассматривается спектр и резольвента Б-ограниченных эндоморфизмов банаховых Бмодулей. Введенные в работе определения спектра с (Т) с ?3 и резольвенты Я (Т) 5-ограниченного эндоморфизма~Т позволяют получить для них многие свойства, аналогичные свойствам спектров и резольвент ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах. В частности, показывается, что спектр <5″ (т) является не пустым, 5-компактным, насыщенным подмножеством в теорема 3.2.2/, а резольвента {^(Х) является Баналитической функцией на своей области определения р (Т) /теорема 3.2.4/.

Центральными результатами § 2 главы Ш являются теоремы 3.2.2, 3.2.4 о разложении спектра и резольвенты. Спектр <�э (Т) допускает представление в виде измеримого поля спектров <5″ С~Ц.), а резольвента — в виде измеримого поля резольвент > где «Ь-^Т^ДеХ есть ИПОО, соответствующее эндоморфизму На основе этих результатов в последнем параграфе главы Ш строится голоморфное функциональное исчисление для Бограниченных эндоморфизмов. По каждому Бограниченному эндоморфизму ~Г и каждой Бзначной, 5 -аналитической функции, определенной в окрестности спектра ^Ст), строится Бограниченный эндоморфизм £(Т) * обладающий тем свойством, что его представление в виде измеримого поля совпадает с ИПООЬ —- ^(Ть), где «Ь —-Ть ИПОО, соответствующее т.

•Ь -^ - ИПАФ, соответствующее функции ^.

Построенное таким образом функциональное исчисление — обладает многими свойствами обычного голоморфного функционального исчисления для операторов в банаховых пространствах. В частности, для него справедливы теорема 3.3.6 о суперпозиции и теорема 3.3.5 об отображении спектра. В последней части § 3 главы Ш вводится точечный спектр <5^, (т) с=. 5 — ограниченного эндоморфизма и описываются его основные свойства /теорема 3.3.10/.

§ 0. Предварительные сведения.

В этом параграфе приводятся основные свойства пространства измеримых функций 5 и некоторые, связанные с ним определения и обозначения, используемые в дальнейшем.

Пусть (Х,^) — измеримое пространство, где — отрезок Сод!, а Я7 (Г-алгебра измеримых по Лебегу его подмножеств. Через ?5=5(Т, 9Г) мы будем обозначать совокупность всех измеримых относительно 6″ -алгебры 9- вещественных функций на отрезке Г0"*-]. Совокупность (1,9^ иаО — вероятностное пространство, то есть измеримое пространство (±., 5-) с числовой мерой Лебега, определенной на элементах 6″ -алгебры 9-. Пространство й = БСХ/Х) снабженное поточечными операциями сложения, умножения и умножения на скаляр, а также поточечным отношением порядка образует упорядоченную алгебру с единицей над полем вещественных чисел.

Будем говорить, что некоторое свойство выполнено почти всюду /п.в./, если оно выполнено всюду, кроме, может быть, множества меры нуль. Измеримые функции хСЬ) и у (НО, называются эквивалентными, если х~ у СЬ) почти всюду. Эквивалентные между собой функции мы условимся отождествлять друг с другом.

Обозначим через ?>0 С БСХ. З7) идеал алгебры SCX, 9r), состоящий из тех функций из ЗСХ.'Х), которые У^ь почти всюду равны нулю, а фактор алгебру ^(Т^т^БСХ/ЗО/Бо через.

5= ЭО-^и^) — множество классов эквивалентных вещественных функций, и если хеЗСХ,^, класс эквивалентных функций, то хСЬ) есть любая измеримая функция из этого класса. Пространство ?>= ЗСХ^т-) является упорядоченной алгеброй относительно операций индуцированных из $. Нулевой элемент В и единичный л элемент ъ. алгебры S есть классы функций равных нулю и единице соответственно для почти всехtel .

Пространство 5 является векторной решеткой. Для обозначения точной верхней и нижней границ в S используем символы V и А.

Л. Векторная решетка 5 является условно полной векторной решеткой счетного типа. л.

Пространство 5 наделяется топологией сходимости по мере.

А. и Б становится полным топологическим линейным пространством, которое метризуемо, например, с помошью метрики.

— А Л.

А А.

— окрестностью точки х е Б назовем множество.

Система всех множеств вида = {9 е Э: образует базу окрестностей нуля топологии определяемой метрикой р .

Так как (Х^т,) не является пространством с дискретной мерой, то топологическое векторное пространство Б = БСГ. Т, и^) не локально выпуклоесли же мера пь дискретна, то 3 = - локально выпукло. |^хе5: ^ =х] множество идемпотентов, тогда существует множество такое, что.

1, «Ь еД О, -Ье1 А.

— fc) =.

Произвольный элемент х принадлежит у тогда и только тогда, когда хОЬ) является характеристической функцией множеств, то есть х А.

В некоторых случаях мы будем рассматривать естественную комплексификацию — Б + I 5 пространства Б. Очевидно, является топологической алгеброй над полем комплексных чиселС. «с.

Действительная и мнимая часть элемента Ъ е ь<�с обозначается соответственно через Res и .

Через SJ9 /соответственно через S+ / обозначим множество классовэквивалентных функций определяемых на I со значениями в расширенной полупрямой 001 /соответственно со значениями в (0,+°(c)) /.

Под Sзначной метрикой на множестве X понимается отобА ражение J3: ос. * сс —3 удовлетворяющее следующим условиям:

1. «тогда и только тогда, когда х = у ¦

2. = где е X, а 0 нулевой элемент алгебры 5.

Пространство X с S-значной метрикой р будем в дальнейшем обозначать парой (X^J3). В пространстве X вводится топология С определенная S-значной метрикой р и топологией сходимости по мере в 5. Базисом окрестностей точки ХбХ этой топологии служат множества вида 52ц-(эс.) = е X: с U}, где и.

— окрестность нуля в топологии сходимости по мере в в. Топология ЯГ метризуема, например с помощью метрики сЬс^лОIrr^^ - ^.

Пространство X называется полным относительно метрикир, если для всякой последовательности {х^}с.Х такой, что р (х^, ——^ о в $, существует элемент xgX, для которого Xvv-^x в топологии Т. Сходимость, сепарабельность и т. п. в X всюду в дальнейшем понимаются относительно топологии Т .

Два пространства (Х, р) и (Х', р) с 5-значными метриками называются изометрически изоморфными, если существует биекция Р. •'X —^ X' такая, что •.

Определение. Пусть X линейное пространство. Отображение II — И X называется Б-значной нормой, если.

1. ||зИ1>9, ||ос, Ц = © тогда и только тогда, когда х = О.

2. 11Ыоо|1 = К1-||ос, Ц, с* еЯ, осе %.

3. Исх^И ^ II ос. Цр И^||, ос,^еХ.

Очевидно, что р С*"^) = ||ос-^ Ц является Б-значной метрикой на X. Пространство с 5 -значной нормой называется банаховым пространством с Бзначной нормой, если оно полно относительно метрики = ос — ||.

Определени е. Модулем над ?3 /или Б-модулем/ называется вещественное линейное пространство X, в котором задана операция умножения /внешнее умножение/3. сю, где^еБ и ос-еХ, т. е. определено отображение ХхБ-^Х такое, что.

1. й О+'М) = .

2. р) ОС= рх.

3. й (рх) = (5 (Ь)сс.

4.? Оос) = (ха.

5. Л — Ос. = ¦ л для всех З^реЗ, ос, е ОС ^ X € И^.

Б-значная норма в Б-модуле называется Б-однородной, если 11^x11 ==|51-Цх||, хбХ, Йе Э.

Нормированным Б-модулем будем называть 5 -модуль с 5 -значной и Боднородной нормой. Полный нормированный Бмодуль назовем банаховым Бмодулем.

Пусть Х,^ некоторые Б-модули. Отображение: Х-*- ^ называется гомоморфизмом Б-модулей / или Блинейным отображением/, если.

Ч> (ах) = а. Ц'Ссс) для всех сие 5 и ^^ ?

Эндоморфизмом Б—модуля X назовем гомоморфизм Б-модуля в себя.

F Л, А В, А. I.

ПРОСТРАНСТВА С S-ЗНАЧНОЙ МЕТРИКОЙ И ИЗМЕРИМЫЕ ПОЛИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ.

§ I. Измеримые поля метрических пространств.

В этом параграфе вводится понятие измеримого поля X обычных метрических пространств Х^, -fc е Т и описывается класс насыщенных измеримых полей. Описывается связь между измеримыми полями метрических пространств и пространствами с sзначной метрикой. Доказано, что каждое измеримое поле метрических пространств X каноническим образом определяет некоторое полное сеперабельное пространство с S-значной метрикой X и, обратно, каждое полное сепарабельное пространство с Sзначной, А метрикой X допускает представление в виде СС = X для некоторого измеримого поля метрических пространств X. Показана единственность разложения ОС в измеримое поле.

Пусть ! = [О, l]} vn, — мера Лебега на [О.А], 3-" — (Галгебра измеримых по Лебегу множеств. Рассмотрим алгебру 5 = = 5(1,9^ всех измеримых функций снабженную топологией сходимости по мере nvu эквивалениные функции отождествляются.

Определение I.I.I. Измеримым полем X метрических пространств (X-fcjoL^), -ЬеТ /ИПМП/ называется совокупность функций х: -Ь x (t) е X-t определенная почти всюду на X, такая, что.

Aj существует последовательность с X «для которой плотно в для почти всехЬ еХ — А-2 функция 4- —" — - измерима по» Ь для всех х,^- е X — А3 если X, Ч «Ь некоторая функция и 0 почти всюду при и- °°, то у е X Измеримое поле X метрических пространств назовем насыщенным если выполнено следующее условие:

А4 пусть у: •Ь — некоторая функция такая, что «Ъизмерима для любого х е X. Тогда ^ е X Отметим, что из условия А^ вытекает, что почти все пространства Х^ - сепарабельны. Всюду, в дальнейшем, будем полагать, что пространство Х^ полно для почти всехЬ е Т.

Замечание. Из условий А2 и А^ следует условие Ад .

Действительно, пусть ^'• «Ь -^^(Юв-Х^.- некоторая функция и с^(уибЬ), ^^ О для почти всех еТ. По условию А£ для любого х еХ ^(х&О^Сь)) — измеримая поЬ функция. Так как ^(^(ь)"^ КО) 0 почти всюду, то с1^(х (-Ь), ^иШ)—» с1ь • Следовательно измерима для всех хеХ и по условию кА 46 X Пусть X — ИПМП (Х^с^) ,-ЬеХВведем следующие обозначения:

Хс — множество всех функций X: «Ь —Х-ь, для которых функцияЬ измерима при любом ^ е X — Р = 7 ^ = - подмножество X такое, что множество^х (-Ь), хеГ^ плотно в Х-^ для почти всех «ЪеХ, назовем Г порождающим множеством пространства X ;

— 17- счетная плотная в 9- подалгебра (ГалгебрыТ3^ ;

XI — множество всех функций X — «Ь —x (t)eX-t таких, что функция — измерима для любого Г ;

П, — множество функций ^ «Ь —^ ^ 0k) е Xt, каждая из которых представима конечной суммой видаbel, где {Ajfсовокупность попарно непересекающихся подмножеств из 9», таких, что UAw = T, х^е Г ;

Хсмножество х: «t —* x (t)eXt, для которых существует последовательность ^^еГ^ такая, что C^C-t), х C-bi) 0 для почти всехfc еТ.

Предложение I.I.2 /О насыщении/. Для любого ИПМП X Хс ^ Хс = Хс и Хс — насыщенное измеримое поле метрических пространств X-t .

Доказательство: Установим вначале, что.

Г. сХс. Для любого^еХ функция Ь dt0*ct), x*.00), где х^еГ, измерима /в силу условия Ag/ для всех v^ и, следовательно, функция t —, где ^д^х^еЦ, также измерима, т. е. П, сХс .

Покажем, что Х^ 0 Хс. Действительно, если в Х^, то существует последовательность ^^еТ^,, для которой clfcC^Cfc),^))",-!^ О. Тогда.

Следовательно, функция «fc -—d^feoOt),^^) — измерима для всех в.

X ! 4. бХс .

Включение Xc, ci Xr ~ очевидно. х Т. е. для любого 8.^0 и Ae^F существует такое, что о С.

Далее, убедимся, что Хс СХ°. Пусть хе Х£ • Покажем, что существует последовательность v^ е Г^, такая, что сЦ.(чД-Ь), хСЬ))о почти всюду при vu-^oo, т. е., чтохеХ Положим 2(t)= eL (x (#, x~Ct)). Так как х (-fc) в Х-ь почти всюду и (ху^с-ь)^ плотно в Xt почти всюду, to 2rct)=0 почти всюду. Пусть «UK (-t) =, -Ъ"=Т, где ku (t, K) e {1,2.,. , — минимальный номер, для которого.

Lni cLfc (x (t)?x Тогда функции fcч-t измеримы и для почти всех ~t & ! cl. OC-t^u^C-tO) монотонно убывая /т.к. z (-t)=0 для почти всехЬ еТ /.

Рассмотрим при каждом К измеримое множество Cn, jV^ = = ?-fcОчевидно, что сикDc. vvl)K = ф при ф wb и U с-^.к =^. Так как — плотная подалгебра ,.

И = 1 то можно выбрать с^, , так, что сЛ^Лс™ к. 1 *. ' при U ^(^Уд^^Пс^))^. Рассмотрим функцииt —* 4c (t)eXt, где v^ft) = дляЬе C"ixVC .

Тогда .Далее, cl., C^Ct), v^t-b))^ cijxC-fc), ЧкС*))-*-^^^), v* Ct)). Мера wis [i — c (t (ь)) ф о} ^^, поскольку uKC-b^=vK (-fc)-Хк.Ы для любыхt есмкПс'. Следовательно, для почти всех tel и с^С^Х^^^Одля почти всех «tel .А так как /к (ьГ0, то хеХ°, т. е. Хо СХС Таким образом, объединяя полученные включения получаем, что Хс=Хс = X.

Покажем, что Хс. — насыщенное поле метрических пространств. Так как.

ГсХсХг то для Хс. справедливо условие Ат. Условие А£ выполнено очевидным образом для Г, следовательно оно выполнено для П,, а значит и для Хс /равное /..

Условие Ag для Хс — очевидно. И если для х: -Ь —*• xCt) функцияbd^Cx^t),^^) измерима для любых тоt —измерима для любых ^ е X, т. е. Х€:Хе" Следовательно, Хс — насыщенное..

Следствие. ИПМП X является насыщенным тогда и только тогда, когда для любого х^еХ и любых измеримых подмножеств Х^с таких, что UX^X и Хк П Х.^ ф если, функция «t ^ (X) = содержится в X. ИПМП Хс будем называть насыщением ИПМП X. Пример. Пусть Х0- полное сепарабельное метрическое пространство с числовой метрикой cfo. Рассмотрим множество X"S (X?-Xo) всех too) — измеримых функций Х-*-х (Х)еХо, где К>в — <Галгебра всех борелевских подмножеств в Хс •.

Предложение 1,1.3 X = S (Х/З7, Х°) — насыщенное измеримое поле метрических пространств (X-t)d^)= (X0id0), ХеТ. Доказательство. Пусть {хиУЛ, последовательность всюду плотная в Хо. Тогда постоянные функции х.^, определенные равенством, X еХ, содержатся в X и для г 00 i*vOn=i выполнено условие Aj. Если х.^-бХ «т0 функция X С*(Х),^о * Хо и, следовательно, функция.

Ь измерима, т. е. для X выполнено условие Ag..

X также удовлетворяет условию Ag. Покажем, что X — насыщенное. Пусть X принадлежит насыщению Хс ИПМП X. По предложению I.I.I существует последовательность функций такая, что do (fl* ft) &-))-«-о почти всюду /т.е. ^(i) для почти всех ХеТ / и = для некоторого разбиения Х = и а' ic. на попарно непересекнюшиеся измеримые множества А^^. Очевидно, функции, а, следовательно и х? Ь) — измеримы, так что ХссХ т. е. X — насыщенное..

ИПМП X в 5(1,^Хо) назовем тривиальным ИПМП..

Установим теперь соответствие между измеримыми полями метрических пространств и пространствами с 5-значной метрикой..

Функции х.^еХ назовем эквивалентными если х (ъ)= ^-СЪ) для почти всехЬ еТ. Пусть X — множество классов эквивалентных функций из X. Через х будем обозначать класс из X содержащий хеХ. Для х,^ е X обозначим через с|Сх," 5) класс из содержащий функцию Очевидно, что является Б-значной метрикой на X ..

Теорема 1.1.4 Для любого измеримого поля X полных сепа-рабельных метрических пространств пространство — сепарабельно и полно.^.

Доказательство. Пусть {." 9⁵ с X и в топологии 5, т. е. по мере. Тогда для представителей ^^ из классов ^^найдутся последовательность и множество.

N нулевой меры такие, что при для всехЬеХЫ. Так как метрические пространства Х-ьполны, то для найдется ^(^е Х-ь такое, что сЦ^С^и.- при. По условию Ад функция ^ содержится в X .А так как СЬ)" ^(«Ь)) О почти всюду и тем более по мере, то сЪС^-, ^) —О в 5. Но и поэтому в 6 ..

Таким образом, (Х, сО — полно..

Докажем, что X сепарабельно. Предположим сначала, что ИПМП X — насыщенно, т. е. Хс. ~ X, тогда по предложению 1.1.1 Х= Хс, где Ха такое же, что и в предложении 1.1.1. х) Напомним, что полнота, сепарабельность, сходимость и т. д. в пространствах с S-знaчнoй метрикой понимаются в смысле топологии «ТГопределенной этой метрикой /см.§О/..

Множество Го, с помощью которого определялось Хс, счетно и для каждого ^ е Хс существует последовательность «такая, что сЦ («^^(-Ъ), почти всюду. Следовательно, для любого ^ 6 Х = Хс существует принадлежащие счетному множеству: х еГ»,}, такое, что в 5 ..

Т.е. X — сепарабельно..

Пусть теперь X — произвольное, не обязательно насыщенное.

ИПМП, и Хс, — его насыщение. Тогда соответствующее Хс простых ранство Хс с 5-значной метрикой сепарабельно. Из аксиомы Ад следует, что X — замкнутое относительно метрики с1 подмножество Хс и, следовательно, также сепарабельно..

Напомним, что два пространства и (О^,?1) с взначными метриками называются изометрически изоморфными если существует биекция: X — X' такая, что.

Следующая теорема решает вопрос о возможности разложения пространства с 5-значной метрикой в измеримое поле метрических пространств..

Теорема 1.1.5 Всякое полное сепарабельное пространство X, А с Б-значной метрикой изометрически изоморфно (Х, сЬ), где X некоторое измеримое поле метрических пространств (Х-ъ, с1-ь) ..

Доказательство. Пусть Г и, ="-1/г.,-• - } - плотное счетное подмножество в X'. Рассмотрим счетное множество ^(х.^)''. Ввберем произвольным образом по одному представителю '¦ «Ь Ф) из каждого класса рСх>^е§ •.

Отображения о^- (.*"$) СЪ) являются полуметриками на.

Г для почти всех Ь^Т. Обозначим через множество классов о/^- эквивалентных элементов из Г — и пусть сЦ — метрика на Г^, определяемая полуметрикой оЦ., и Щ, — * —Эц.ОО^Г^хеГ ~ проекция из Г в Г-. Пусть далее.

Х^- пополнение Ц. по метрике сЦ. Метрику в Х^ обозначим также сЦ.. Через —^Х^ обозначим каноническое вложение.

Ц в Х-ь. Для хеГ положим ¡-^(Х) = ЦДЗПь (х)). Рассмотрим отображение у У —X 7 х еГ, где хЬ —^ (х), •ЬеТ и пусть X — множество всех отображений ^ «Ь ?» ^('t)eXt «для которых существует последовательность [Хи^. к = ^Я-«—. }сГ такая, что с^ (Хи^С^), ^СЬ)), почти всюду..

Покажем, что X ИПМП Х^, «Ь е X.

Множество^х — ^(х): X е ГЗ — счетно, и по построению = - плотно в Х^. для почти всех t, т. е. выполнено условие Ар.

Если Х.^еГ, Х = = у (^), то по построению.

-Ъ сЦСхС^.уС^)) «сЦ-С^Ос'), — измеримая функция. Если, далее, е X, то существуют Г такие, что С^(^и)^СЬ)) при для почти всех ь и сЦ/^Ь -*» 0 при УЬгоо почти всюду. Фогда с1-Ь (ъСк)г ч [±)) = Ыт, С1^) для почти всех..

VIО©- ^.

Ь*еТ. Следовательно, функция у (-Ь)) -измерима, т. е. выполнено условие Ад..

Проверим справедливость условия Ад. Пусть^еХ и у i —^ е Xt такое, что почти всюду. Тогда существуют Хк, уихвГ такие, что с!^ (у^ (Х^уО.^СЪ)) О при почти всюду для любых. Далее, существует возрастающая последовательность номеров илх^ э для которой 0 почти всюду при И. Следовательно ^ еХ, т. е. верно Ад..

Рассмотрим пространство X с 5-значной метрикой сЬ, определяемое измеримым полем X метрических пространств (Х-ь,^). Покажем, что изометрически изоморфно хд)..

ДляхеГ положим е X .Длях,^е класс.

S содержит функцию «Ъ (t). для почти всехbei и 4 (К W' - класс из содержащий функцию.

-л ^.

C^-t 00″ Y-t Oa^ «T*e> Y: ^ «изометР0я' Множество Г плотно в X. С другой стороны из определения X для любой функции «fc —СЧ из X существует функция «b^jw (t) из множества, для которых clfcCSj вО 0 почти всюду. Следовательно, множество.

Чх) xeri плотно в X. Поэтому у однозначно продолжается до изометрического изоморфизма ОС? на X.

Полученное разложение единственно в следующем смысле..

Теорема I.I.6 Пусть X, X' - измеримое поля метрических пространств X-t, Х-ь соответственно, -Ъ е J. X, X — соответствующие пространства с s-значной метрикой..

1°. Если задано семейство {.R-ti-tej такое, что.

G-) Rt — изометрический изоморфизм Х^. на Х^ для почти всех «Ъ еТ — (i-C) для любых х — Ь —^ х C-fc) v^a X, функция з: -fc — СЦ = R^ содержится в X' - (ui) для любого ^ '¦ Ь —^ («Ь) из X существует х: «b —из X такое, что ^(-t) = Rt (x (i)) почти всюду 7 то равенство ^ = Rx определенное соотношением x (fc)), «Ь ei, задает изометрический изоморфизм л, А /.

R •• X —> X ..

•Л. !.

2°. Если R: X —* X произвольный изометрический изоморфизм X на X, то существует единственное wu) d, О семейство {К-ъ^Ьет удовлетворяющее (С) — (ul) такое, что.

Г) ^.

Rx, хе/.

Доказателъство. 1°. Для хе X и сК*." ^) есть элемент 5 содержащий есть элемент Б содержащий функцию ъ — В си^ (I) сЦД^хСЬ),^^)сЦ.0йМ,^СЬ)) почти всюду и, значит, сЫКх^Яу) = сЬ (х,<�д). Вследствие (и) и (¿-«О отображение Я является изометрическим изоморфизмом X на X ..

2°. Пусть Г — счетное подмножество X такое, что Г=Чх, ХеГ) плотно в X • Тогда Г'= {,?х:хеГ1 плотно в X. Выберем по представителю х' из каждого класса Яхер'. И пусть Г'=-^х', х е Г]г. Имеем с1-(хьх^ = сС’Сх,' 7 х^), где ХьХг. еГ, тогда для всехЪеХ^М > где N — некоторое множество нулевой меры. ДляЬ" е1№ соответствие хСЬ) —^х'СЬ) — изометрический изоморфизм П-=4хеО, хеГ} наГ^ = [х'(-Ь), хеГ} Так как Г плотно в X, а Г7 плотно в X «то для почти всех •ЬеХ Г^ плотно в X, а П^ плотно в Х^.. Действительно, в силу условия к-^ существует счетное множество ЕСХ такое, что для почти всех «ЬеТ множество ЕхеЕ1 плотно в X. Существует множество N нулевой меры такое, что для всех е I N и хеЕ существует последовательность ^^ с ^ такая, что сЦ (^и (-Ь), х («ЬУ) —¦> О при и/^оо. Следовательно, дляЪ еТЫ Г^ плотно в X^ • Аналогично проверяется плотность П^ в Х^ для почти всех «ЬеТ.

Пусть М с1 — множество меры нуль такое, что для «ЬеХМ соответствие х (У) —-изометрический изоморфизм и Г^. плотны в Х+, Г*' плотны в X'. Для-ЬеХМ С соответствие хСЬ^) продолжается до изометрического изоморфизма^{пространства} Х^ на Х{.. Пусть х—Ь —^ хСЬ) изХ иЬ, а (НО, где = СХС-Ь)).

Покажем, что ^еХ' и. Для хеГ это утверждение выполняется по построению. Для любого хе X существует последовательность СГ такая, что оЦх^^^сЬ'^х^^О-^о при 1л, ->оо. Обозначим й, = Ях. Заменяя, если нужно, ее подпоследовательностью, можно считать, что с1/ (съС^)Д^О^иД-Ю)-«- О почти всюду и сЦСхШ^^а))-^О почти всюду, где Ъ^- представитель класса Тогда почти всюду, т. е. сЬ^С^СЬ), для почти всех-ЬеТ. Так как ~Ь —>¦ Я* С^иЛ'Ь)) содержится в Г7, тоЬ ^СЬ) содержится в X', причем сх^СЪ) = ^С» Ь) почти всюду, т. е..

Проверим единственность тяс (/0 семейства • Пусть Я-ь'-Х^-^Х^,^еТ и Я-ь-Х-ь-^Х-^ - два семейства отображений удовлетворяющих условию теоремы. Гс X — определено как и выше. Тогда для любого хеГсХ имеем ^ = и, гдеЬ — ^(хС-ьУН ^СЬ) иЬ-^Я^СхС..

Существует множество N с-1 меры О такое, что для всех хеГ и «Ь е Т N выполнено (хСЬ)) = (хС-Ь)). Так как Гь плотно в Xt, то Я-ь для всех, что и доказывает единственность..

1. Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А. Топологические полуполя. Ташкент, Фан, 1960, 49с..

2. Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А. Метрические пространстванад полуполями. Труды ТашГУ, I961, вып.191..

3. Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А. Очерк теории топологическихполуполей. Успехи мат. наук, 1966,21,М, с.185−218..

4. Акмалов Н. Гильбертовы модули над полуполями, ДАНУзССР, 1976,№ 5,с. 3−4..

5. Б е р е з, а н с к и й Ю. М. Представление положительноопределенных ядер посредством континуальных интегралов. В кн.: Операторы математической физики и бесконечномерный анализ. Сб. науч. тр-в., Киев, 1979, с.5−35..

6. Березанский Ю. М. Интегральное представлениеположительно определенных функционалов типа Уайтмана. Укр.мат.журн., 1967,19, Щ, с. 89−95..

7. Березанский Ю. М. Представление функционаловтипа Вайтмана посредством континуальных интегралов. Функ.анал. и его приложение, 1969,3,№ 2, с.1−18..

8. Березанский Ю. М. О разложении по совместнымобобщенным собственным векторам произвольного семейства коммутирующих нормальных операторов. ДАН СССР, 1976, 229, № 3, с. 531−533..

9. Березанский Ю. М. Разложение по обобщенным собственным векторам и интегральное представление положительно определенных ядер в форме континуального интеграла. Сиб.мат.журн., 1968,9,Ж5,с.998−1013..

10. Б е р е з, а н с к и й Ю. М. Самосопряженные операторы впространствах функций бесконечного числа переменных, Киев, Наукова думка, 1978, 360с..

11. Б л я ш к е В. Лекции по интегральной геометрии, Успехимат. наук, 1938, вып. У, с.97−149..

12. Бухвалов A.B., В е к с л е р А.И., Л о з, а н о вс к и й Г. Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. Успехи мат. наук, 1979,34,вып.2,с.137−183..

13. Бурбаки Н. Спектральная теория. М., Мир, 1972, 183с..

14. В у л и х Б.З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств, М., Физматгиз, 1961,407 с..

15. Г и р к о В. Л. Случайные матрицы. Киев, Вища школа, 1975,447с..

16. Г и х м, а н И.И., Скороход A.B. Стохастическиедифференциальные уравнения и их приложения, Киев, Наукова думка, 1982, 610с..

17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Обшая теория, М., ИЛ, 1962, 896с..

18. Канторович Л. В., А к и л о в Г. П. функциональныйанализ, М., Наука, 1977, 741с..

19. К, а х, а н Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М., Мир, 1973, 302с..

20. Кучкаров Я. Вероятностные распределения со значениями в пространстве измеримых функций. Ташкент, Фан, 1984, 176с..

21. Матерон Ж. Случайные множества и интегральнаягеометрия. М., Мир, 1978, 318с..

22. Матвейчук М. С. Мера и случайная норма в кольцеизмеримых операторов. Канд. диссерт, Казань, КГУД974..

23. Миронов A.B. 0*-топология в полуполях I рода, Труды ТашГУ, 1972, вып.418, с.220−226..

24. Мухамедиева В. Ш. Непрерывные поля банаховыхпространств и банаховы модули над полуполями, ДАН УзССР, 1977, № 9. ..

25. Мухамедиева В. Ш. О разложении банахова модулянад полуполем в непрерывное поле банаховых пространств, ДАН УзССР, 1977, МО..

26. Мухамедиева В. Ш. Гомоморфизмы банаховых модулей над полуполем, Изв. АН УзССР, 1978,№ 3, с.21−29..

27. Мухамедиева В. Ш. Гомоморфизмы банаховых модулей над полуполями. Канд.диссерт., Ташкент, 1979..

28. М у ш т, а р и Д. Х. Случайные метрики и пространства случайных величин, Канд.диссерт., КГУ, Казань, 1969..

29. Н, а й м, а р к М. А. Нормированные кольца, М., Наука, 1968,664с..

30. Н е в ё Ж. Математические основы теории вероятностей, М., Мир, 1969, 409с..

31. П, а с т у р Л. А. Спектры случайных самосопряженных операторов, Успехи мат. наук, 1973,28,ЖЕ, с.3−64..

32. Р у д и н У. Функциональный анализ, М., Мир, 1975,444с.-10 233. С, а н т, а л о JI. Интегральная геометрия и геометрическиевероятности, М., Наука, 1983, 358с..

33. Сарымсаков Т. А. Топологические полуполя и теория вероятностей, Ташкент, Фан, 1969, 128с..

34. Сарымсаков Т. А., Миронов B.A.B. К понятию нормы линейного оператора в локально выпуклом пространстве, ДАН СССР, 1972,204,И, с.38−41..

35. Сарымсаков Т. А. «Хаджиев Дж. Топологические модули над полуполями I рода, ДАН СССР, 1971,200,№ 5,с.I04I-I043..

36. Сарымсаков Т. А., Бендерский О. Я., Ч и л и н В. И. Меры со значениями в полуполях и их.