Конечные группы с системой обобщенно центральных элементов

В 1963 году Гашюц опубликовал работу [57], в которой был предложен новый метод исследования групп. Суть его определяется двумя концепциями: концепцией формации и концепцией /-центрального фактора. Формация — это класс групп, замкнутый относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Если функция / сопоставляет каждой группе некоторую формацию, то фактор А/В группы С, где, А и В нормальны в С, называется /-центральным, если С/Сс{А/В) € /(А/В). Элемент х группы С? называется ф/-центральным, если х? АВ для некоторого /-центрального фактора А/В группы С. Ряд нормальных подгрупп некоторой группы называется /-центральным, если все его факторы /-центральны в этой группе. Понятно, что класс всех групп с /-центральными главными рядами является формацией.

В последние 40 лет теория формаций развивалась очень интенсивноона нашла применение не только в теории групп, но и при изучении других систем с условиями конечности (таких, как конечномерные алгебры Ли, п-арные группы, универсальные алгебры). В теории групп выделились два направления. Первое из них связано с изучением^{-критических} подгрупп. Если # формация, а О — конечная группа, не принадлежащая то в С? найдется подгруппа Я, которая не принадлежит, но у которой каждая собственная подгруппа входит в такая подгруппа Я называется^{-критической} (или минимальной не ^-подгруппой). Изучение^{-критических} групп восходит к О. Ю. Шмидту, который в 1924 году впервые исследовал 01-критические группы, т. е. ненильпотентные конечные группы, все собственные подгруппы которых нильпотентны (сейчас эти группы называют группами Шмидта).

Другое направление, тесно связанное с первым, состоит в изучении групп с заданной системой (^/-центральных элементов. Классическая теорема Хуп-перта утверждает, что конечная группа С сверхразрешима, если факторгруппа (2/Ф ((2) сверхразрешимав условии этой теоремы все порождающие (т.е. не входящие в Ф ((?)) элементы группы (2 являются (^/-центральными, где / функция, определяющая класс Я всех конечных сверхразрешимых групп. Характеризацию конечных сверхразрешимых групп с помощью порождающих элементов силовских подгрупп нашли В. А. Ведерников и Н. И. Кулешов [44]- они доказали, что конечная группа С? сверхразрешима, если каждая ее силовская подгруппа Р обладает следующим свойством: если х € РФ (Р), то (ж) перестановочна с некоторой не содержащей ее максимальной подгруппой из (2- можно заметить, что в условии этой теоремы элементы из РФ (Р) (^/-центральны, как и в теореме Хупперта.

Серия работ была посвящена изучению конечной группы с различными условиями для минимальных и максимальных подгрупп силовских подгрупп (Хупперт [И], Ито [18], Бакли [19), Йокояма [21−22], Лауэ [23], Дерр, Дескинс и Мухерджи [24], Вэй [25], Массаротти [29], Гаоцай [30], Ванг [27, 54], Горчаков [34], Го, Шам и Баллестер-Болинше [37], Асаад, Баллестер-Болинше и Педраза-Агвилера [38], Асаад и Шорго [39], С. Н. Черников [43], Ли и Ванг [55], Баллестер-Болинше и Ванг [53], Баллестер-Болинше, Ванг и Ксюун [56], Шринавасан [40], Ли и Го [41], Ванг Я., Ли и Ванг Дж. [58]). Анализ этих работ показывает, что все они на самом деле посвящены изучению групп с определенной системой (^/-центральных элементов.

В данной работе исследуются свойства^{-критических} подгрупп и на этой основе доказываются общие теоремы о группах с системой (^/-центральных элементов, из которых вытекают многие известные результаты. В частности, решается задача о распространении упомянутой теоремы Ведерникова-Кулешова на произвольные насыщенные формации конечных групп. Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

В 1924 году в работе [13] О. Ю. Шмидт доказал разрешимость и установил основные свойства ненильпотентной группы, все собственные подгруппы которой нильпотентныв настоящее время такую группу называют группой Шмидта. С. А. Чунихин первым обратил внимание на важность теоремы Шмидта для теории групп. Значение теоремы Шмидта становится сразу же понятным из следующего сделанного С. А. Чунихиным простого наблюдения: если в ненильпотентной группе <3 взять минимальную по вложению ненильпотентную подгруппу 5, то такая подгруппа 5 оказывается группой Шмидта. Таким образом, возникает задача изучить множество подгрупп Шмидта в группе С в зависимости от ее свойств. Изучению таких множеств (в терминологии С. А. Чунихина, комплектов подгрупп типа 5) был посвящен ряд его работ (см. [14]).

С.А.Чунихин использовал также группы Шмидта для установления критериев нильпотентности. Прием, использованный С. А. Чунихиным, состоял в следующем. Если надо установить нильпотентность группы бг, обладающей свойством Э, то С. А. Чунихин вначале проверяет, что свойством 9 обладает ее подгруппа Шмидтаесли при этом возникает противоречие со свойствами группы Шмидта, указанными в теореме Шмидта, то нильпотентность исследуемой группы становится доказанной. Более того, в 1929 году С. А. Чунихин этот метод исследования сформулировал в общем виде [15], предложив рассматривать подгруппы, которые не входят в заданный класс, но у которых все собственные подгруппы входят в т. е.^{-критические} подгруппы. В дальнейшем^{-критические} группы изучались многими авторами. Общим свойствам ^" -критических групп посвящена фундаментальная работа В. Н. Семенчука [16]. Идеи С. А. Чунихина были подхвачены Н. Ито [17], который обратил внимание на то, что давно известный критерий р-нильпотентности, принадлежащий Фробениусу, позволяет связать существование подгрупп Шмидта с фиксированным простым числом р. А именно, если группа С? не р-нильпотентна, то в ней существует р-замкнутая подгруппа Шмидта порядка, делящегося на р. Еще один критерий существования подгрупп Шмидта предложил Я. Г. Беркович [12]- он доказал, что каждая не 2-замкнутая группа обладает 2-нильпотентной подгруппой Шмидта четного порядка.

Другое направление, тесно связанное с первым, состоит в изучении свойств конечной группы С при условии, что все минимальные или максимальные подгруппы ее силовских подгрупп хорошо вложены в Пожалуй, первый результат в этом направлении получил Н. Ито [18]- он доказал, что группа нечетного порядка нильпотентна, если все ее минимальные подгруппы лежат в центре. Этот результат улучшил В. Гашюц следующим образом: если каждая минимальная подгруппа группы (2 нормальна, то силовская 2-подгруппа Р из С нормальна, а С/Р нильпотентна (см. [3], теорема IV.5.7). Дж. Бакли [19] и Р. Ван-дер Вааль [20] также изучали группу, в которой все минимальные подгруппы нормальныв современной терминологии это означает, что эти подгруппы Я-центральны. Позже в работах [21−24) отмеченные результаты были расширены с помощью теории формацийа именно, исследовались группы, минимальные подгруппы которых лежат в^{-гиперцентре,} т. е. в наибольшей^{-гиперцентральной} нормальной подгруппе. Другие обобщения были получены в [25, 26, 29] с привлечением концепции с-нормальной подгруппы, введенной в [27]. Подгруппа Н группы С назыраетга с-нормальной, если в С? существует такая нормальная подгруппа Ы, чтёхн 'п N С НоЯсно, что если Н = (а) — с-нормальная примарная циклическая подгруппа группы то Н/Но либо нормальна в О ¡-Но, либо обладает нормальным дополнением в О/Но', в этом случае аВ лежит в некотором циклическом, а значит, И-центральном главном факторе А/В группы О. Таким образом, понятие с-нормальности связано с Н-центральностью главных факторов. Это наблюдение было распространено на произвольные насыщенные формации в работе [32], в которой была предложена новая концепция центрального элемента. А именно, элемент, а группы С? называется центральным [32], если найдется такой центральный главный фактор А/В группы С, что, а € А, но, а 0 В. Таким образом, все отмеченные выше работы укладываются в общую линию исследований, суть которой состоит в изучении групп с заданной системой центральных элементов. Интересно, что группы с системой дополняемых, 5-квазинормальных или с-добавляемых (в смысле [33]) минимальных подгрупп или циклических подгрупп порядка 4 на самом деле оказываются группами с системами ¿-¡-^-центральных элементов (см. работы [30, 31, 38, 58]). Итак, анализ отмеченных работ приводит к выводу, что они посвящены решению различных специальных случаев следующего вопроса.

Вопрос А: Пусть $ — насыщенная формация, Н — нормальная подгруппа группы (?. Предположим, что все элементы простого порядка из Н центральны в (2. Предположим также, что все элементы порядка 4 из Н.

— центральны в (2. Верно ли, что подгруппа Н гиперцентральна в О?

Серия исследований связана с максимальными подгруппами силовских подгрупп. Так, в 1961 году Хупперт доказал [11], что разрешимая группа (т с силовской базой Р,., Рп сверхразрешима, если каждая максимальная подгруппа из Р{ перестановочна с для любых г,].

В 1980 году Шринивасан доказал [40], что группа О сверхразрешима, если максимальные подгруппы ее силовских подгрупп нормальны. Выберем в каждой силовской подгруппе Р{ группы <3 какую-нибудь максимальную подгруппу г 6 I. Если все Mi нормальны в (3, то факторгруппа (3/(М{: г € I) имеет порядок, свободный от квадратов, а значит, сверхразрешима. Это означает, что любой элемент из РДМ* будет фЯ-централен в Таким образом, в условии теоремы Шринивасана каждая силовская подгруппа группы? обладает следующим свойством: любой элемент из РДФ (Д) является фЯ-центральным в (3. Теорема Шринивасана была обобщена в работах [25, 27, 41] путем замены условия нормальности на более слабое условие с-нормальностипри этом в работе [25] условие накладывалось на максимальные подгруппы силовских подгрупп нормальной нильпотентной подгруппы. Из условий этих обобщений сразу же следует центральность элементов из РФ (Р), где Р — силовская подгруппа группы или ее нормальной подгруппы. Неожиданным фактом оказалось то, что к данной линии исследований относятся и работы, посвященные изучению групп с заданной системой дополняемых или добавляемых подгрупп. Заметим, что группам с системой дополняемых подгрупп были посвящены многие работы С. Н. Черникова, а также его учеников и последователей (см. [42]). Еще в 1960 году Ю. М. Горчаков установил [34] сверхразрешимость группы, у которой все минимальные подгруппы дополняемы. Отметим также теорему С. Н. Черникова [43] о сверхразрешимости группы с абелевыми силовскими подгруппами, у которой примарные циклические подгруппы, дополняемые в их содержащих силовских подгруппах, дополняемы во всей группе. Результаты Ю. М. Горчакова и С. Н. Черникова были обобщены В. А. Ведерниковым и Н. И. Кулешовым [44], которые доказали следующую теорему: группа (3 сверхразрешима, если для любого простого р каждая неединичная примарная циклическая подгруппа, обладающая собственным добавлением в Ср, обладает собственным добавлением и в (3. Что означает, что (а) ф {1} имеет собственное добавление в силовской р-подгруппе С1р группы (3? Это эквивалентно тому, что, а? Ф (СР), т. е. а 6 СРФ (СГР). Нетрудно заметить, что при таких условиях элемент, а оказывается фЦ-центральным. Можно заметить, что и другие работы с различными условиями, накладываемыми на максимальные подгруппы силовских подгрупп, на самом деле посвящены изучению групп с обобщенно центральными элементами из РФ (Р) (см., например, [36] и теорему 3.5 из работы В. А. Ведерникова [35]). Итак, анализ отмеченных работ приводит к заключению, что они посвящены решению различных специальных случаев следующего вопроса.

Вопрос В: Пусть $ — насыщенная формация, Н — нормальная подгруппа группы Предположим, что каждая силовская подгруппа Р из Н удовлетворяет следующему условию: любой элемент из Р (Ф (Р) иФ (£?)) являетсяцентральным в <2. Верно ли, что каждый нефраттиниев С-главный фактор подгруппы Н является $-центральным в С?

В настоящей работе найдены новые свойства^{-критических} подгрупп и на этой основе получен положительный ответ на вопросы, А и В. В частности, теорема 3.5 В. А. Ведерникова [35], теоремы В А. Ведерникова-Н.И.Кулешова [44] и С. Н. Черникова [43] о характеризации сверхразрешимых групп распространены нами на произвольные насыщенные формации.

Цель и задачи исследования

:

1. Изучить свойства^{-критических} подгрупп, связанные с наличием в группе системы обобщенно центральных элементов.

2. Найти общие закономерности строения групп с заданной системой обобщенно центральных элементов.

3. Решить задачу расширения теорем В А. Ведерникова [35], В.А.Ведерникова-Н.И.Кулешова [44] и С. Н. Черникова [43] о характеризации сверхразрешимых групп на произвольные насыщенные формации.

Методы исследования. В работе используются методы теории групп и теории формаций.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты работы являются новыми.

Практическая ценность. Результаты, изложенные в работе, носят теоретический характер и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по теории классов групп, так и при чтении специальных курсов по алгебре в университетах.

Структура и объем работы. Работа состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав и списка литературы, содержащего 64 наименования. Общий объем работы — 81 страниц.

Основные результаты. Основными результатами работы являются следующие:

1. Установлена связь критических подгрупп группы С с множеством ее (^-центральных элементов (теорема 3.2.1).

2. Доказана /-гиперцентральность нормальной подгруппы Я группы С при условии, что каждый элемент простого порядка и порядка 4 из Я <5/-централен в (2 (теорема 4.2.1).

3. Доказана /-центральность любого нефраттиниева (^-главного фактора нормальной подгруппы Н группы Ст при условии, что все порождающие элементы силовской подгруппы из Я, являющиеся порождающими и в О, являются <5/-центральными в <2 (теорема 4.3.3).

Апробация результатов работы. Результаты работы были представлены на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры алгебры МГУ (Москва, 26 мая — 2 июня 2004 г.), на Международной конференции «Алгебра, логика и кибернетика» (Иркутск, 25 — 28 августа 2004 г.) и на VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (Саратов, 13 — 17 сентября 2004 г.

Публикации. Все основные результаты работы опубликованы в [59−64].

выводы.

1. В диссертации найдены новые свойства критических подгрупп конечных групп, учитывающие наличие в группе ОД-центральных элементов.

2. Установлена /-гиперцентральность нормальной подгруппы в конечной группе при условии, что элементы простого порядка и порядка 4 из этой нормальной подгруппы ^/-центральны во всей группе.

3. Установлена /-гиперцентральность нормальной подгруппы в конечной группе при условии, что порождающие элементы силовских подгрупп этой нормальной подгруппы ф/-центральны во всей группе.

4. Найдены новые характериз&Ц^класса всех конечных р-нильпотентных групп и класса всех конечных р-сверхразрешимых групп с помощью системы С2/-центральных элементов.

5. Теоремы В. А. Ведерникова [35], В.А.Ведерникова-Н.И.Кулешова [44] и С. Н. Черникова [43] о характеризации сверхразрешимых конечных групп распространены на произвольные насыщенные формации конечных групп.