Функционально-геометрический метод решения задач со свободной границей для гармонических функций

В диссертации разработан функционально-геометрический метод исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций двух переменных. Этот метод заключается во взаимосвязанном анализе функциональных и геометрических характеристик исходных задач со свободной границей и соответствующих им нелинейных задач Римана-Гильберта с нелинейными функциональными ограничениями. Этот метод позволил найти условия существования или несуществования, сдинствсн.

————ности или неединственности решений рассмотренных в диссертаципзадачл установить некоторые качественные свойства решений. В диссертации рассмотрены прямая и обратная задачи о равновесии плазмы в токамаке, задача о течениях с минимальным отношенном экстремальных значений давления па свободной границе, задача об обтекании криволинейного частично абсорбирующего препятствия, задача Стокса-Лепбензона для Хпле-Шоу течения. Кроме того, разработанный в диссертации фупкцпоналыю-гео-метрический метод позволил по-новому подойти к вопросу о высокочастотных асимптотиках для гармонических функций и получить в сильной метрике экспоненциально точные вплоть до границы области асимптотики.

Актуальность представленной работы обусловлена как трудностью изучения задач со свободной границей, так и разнообразием важных приложений этого круга задач. К их числу относятся проблемы нелинейной динамики свободной поверхности идеальной жидкости [31], включая проблему цунами [91], потенциальные течения однофазных (см. например, § 3 и § 4 диссертации) и многофазных сред [15, 56, 77, 78], кавптацнонные и струйные течения [5, 14] (см. также § 4 диссертации), задачи фильтрации [38] (см. также § 5), экстремальные задачи со свободной границей (см., например, § 3 и § 4 диссертации) и ряд других задач (см. в частности, обзор [53]).

Одной пз таких задач является задача, которая была нами поставлена, и решена в связи с вопросом, поднятым Е.ГТ. Велиховым в 1972 году о возможности распада на отдельные компоненты связности плазменного разряда. Простейшая задача, соответствующая этому вопросу, такова.

Заданы число М > 0 и симметричная относительно осей х и у плоская спрямляемая кривая Г, ограничивающая одиосвязную область 6 С М2.

Требуется выяснить существует ли расположенные в © «плазменные» области ии>2, представляющее ортогональные сечения шнура плазменного разряда, состоящие, соответственно, из одной и двух односвязиых компонент связности (см. рис. 0.1). спрямляемые границы которых ji ау2 = «/2¹² симметричны относительно осей х и у, причем эти области u>i и U2 таковы, что выполнено следующее свойство. X а) ~ b).

Рис. 0.1.

В «вакуумных» областях Qi = & (u>i U 71) и в О, 2 = © (и>2 U 72) существуют определенные в где k = 1 или к — 2, гармонические функции и = w/-: —" Ш. удовлетворяющие таким граничным, условиями.

Ыг= М, и и = 0. 17 ди дv 1 Ы.

0.1).

Здесь I > 0 — заданная константа (равная 4 в случае наличия двух осей симметрии), а |7| — заранее не заданная длина1 искомого контура 7 = 7/с. у.

JV (e).

Пи = о.

В — О.

B = N (s (u)).

Л/ ' ' а) /?).

Рис. 0.2. Сепаратриса { (х, у) Е | и (х, у) = С*} проходит через начало координат. Она разделяет топологически различные типы линий уровня функции и: 0,2 —> МЧерез обозначена область Q2 П.

Функционально-геометрический метод в отношении случая Ь) этой задачи характеризуется взаимосвязанным изучением следующих двух объектов Ими являются.

1) геометрия области Q — Q2 (см. 2 рис. 0.2а) с заданным углом.

N (s) между осью х и внешней нормалью i/кГв точке Ps Е Г П п.

2) соответствующая этой геометрии и условию (0.1) нелинейная задача Римана-Гильберта для аналитической функции, А + гВ комплексного переменного w = и + iv, определенной в прямоугольнике.

Q = {0 < и < М, 0 < v < 1}.

Q = w (Q).

0.2) и подчиненной таким нелинейным граничным условиям:

S (tt, 0) = 0, B (M, v) = ip (v), В (и, 1) = ф*(и), Bu (0,v) = 0. (0.3).

Нормальная производная Ои/ди | определена почти всюду, ввиду сделанного предположения о спрямляемости 7. 2 Здесь и ниже def.

4f > 0, у > 0}.

Здесь.

J о ф*(и) = 7Г/2 при С* < M, = 7 Г при 0 < п < С*, а число С* (заключенное между нулем и М) характеризуется тем, что выполнено следующее нелинейное функциональное ограничение:.

J (v) V Г cos В (0, «)*, (= ° «Р» «= 1 ,. (0.4) v у 70 v и > 0 при v G (0,1). v '.

Отметим здесь же, что рассмотрение поставленной задачи в случае а), т. е. задачи (иллюстрируемой на рис. 0.1а) о существовании кривой 7 = 7i, гомеоморфпой окружности, связано с задачей Римана-Гильберта для функции A + iB в том же прямоугольнике Q, при тех же граничных условиях (0.3), но при ином функциональном ограничении, а именно:.

С, = 0, a J (v) > 0 при 0 < V < 1. (0.5).

В случае задачи Римана-Гильберта для аналитической функции A + iB, подчиненной необходимым условиям разрешимости (0.3) и (0.4) или необходимым условиям (0.3) и (0.5), термин функционально-геометрический метод означает не только то, что указанные необходимые условия были получены на основе геометрических рассмотрений, учитывающих геометрический смысл еществеиной и мнимой частей функции A+iB, названной в диссертации функцией Гельмгольца-Кирхгофа, или ГК-функцни. Термин «функционально-геометрический метод» в данном случае означает также следующее: i) анализ условий (0.3) и (0.5), использующий эллиптическую теорию, теорию интеграла Лебега, а также вариант теории степени отображений Лере-Шаудера, учитывающий (что особенно важно) геометрические характеристики исходной задачи со свободной границей: ii) анализ условий (0.3) и (0.4) с помощью принципа максимума для эллиптических уравнений..

Это позволило установить, что при 0 < N (s) < тг/2 есть разрешимость исходной задачи со свободной границей 7 = 71, гомеоморфной окружности, но не существует области си = UJ4 с границей 7 = 72 (как па рис. 0.2)..

Цели диссертации таковы..

Во-первых, разработка функционально-геометрического метода исследования широкого круга задач со свободной границей для гармонических функций, изучение которых ранее вызывало затруднения..

Важный класс таких задач характеризует следующее.

Условие Гелъмголъца [102]. Пусть w = u + iv — комплексный потенциал скорости V = Vu течения несжимаемой жидкости в некоторой искомой области Q С К2. Требуется, чтобы искомая область О однолистно отображалась на фиксированную односвязную область Q функцией w:?l3z = x—iyi-} w (z) = и (х, у) + iv (x, у) 6 Q ..

Вслед за пионерской работой Гельмгольца [102J о форме вытекающей из щели плоской струи было решено (см., в частности, [5, 14, 37]) немало задач этого класса с помощью метода годографа в интерпретации, восходящей к Кирхгофу [106] и получившей развитие в работах М. Планка [118], Н. Е. Жуковского [33], С. А. Чаплыгина [61], Т. Леви-Чивита [107] и многих других авторов. Метод годографа применим в случае, когда может бытьявио охарактеризована область/С = dz/dw 7 Н о в емееобл астыо weQ.

Кирхгофа. Она очевидным образом связана с так называемой областью de f годографа % = dw/dz (от гр. hodos — путь), т. е. множеством на комzeo. плексной плоскости, которое кончик вектора комплексно-сопряженной скорости Vu: П Э 2- 4 ^ е Н проходит, двигаясь по пути, определяемому точкой (ж,?/), пробегающей всю искомую область течения. При заданной области /С = dz/dw, искомая область Q = { z (w) = j Фdw, w е Q} wgQ ' 'w может быть найдена путем построения отображения х: Q —> К, посредством однолистных отображений к и q в следующей диаграмме.

-Л с+э k{*(w)) tx w е Q С+Э q (w) ..

Согласно этой диаграмме, dz/dw = где ус (w) = /с-1, а коэффициенты а, Ь, с и d дробно-линейпого автоморфизма полуплоскости С+ находятся (с точностью до пропорциональности) из соответствий, заданных отображениями к и q. В этом и заключается суть метода годографа..

Итак, в тех простейших случаях, т. е. когда область Кирхгофа может быть описана явно3, задачу построения искомого отображения ^ можно свести к построению однолистного отображения ус: Q —> /С. Это то, чем занимались классики. Но в общем случае область /С (и, соответственно, область годографа) не поддается явному описанию, поскольку она характеризуется (например, как в (0.3)-(0.4) или в (0.3), (0.5)) решением, вообще говоря, нелинейной задачи Римана-Гильберта с нелинейными ограничениями для функции.

А + гВ: Q = w (Q) Э w = и + iv ^ А (и, v) + iB (u, v) In. dw.

3 В таких случаях область Кирхгофа обычно выявляется из общефизических соображений, которые могут быть обоснованы апостериори. В случае задачи Кирхгофа о кавитационом обтекании отрезка [—г, г] потенциальным потоком с единичной горизонтальной скоростью па бесконечности, область /С есть полукруг. При этом, Q = С R+, a x (w) = где и0 = w (i) > 0..

Эта функция названа в диссертации функцией Гельмгольца-Кирхгофа. Она полностью4 решает исходную задачу нахождения искомой области течения и его скорости, ибо.

Jnw eA (u, v)+iB (u, v) dw 5 щ € Q, Zq — z (w0) }, (O.G) wa.

V (z) = e Wo a p-A{u, v)+iB{u, v) I.

I u+iv—w{z).

Именно такая общая ситуация, в том числе та, когда область Q — w (Q) не является фиксированной и/или одпосвязной, представляет особый интерес и значимость. Именно ей посвящена диссертация, в которой вместо метода годографа разработан функционально-геометрический метод для непосредственного построения и анализа функции, А + гВ, т. е. решения задачи Римаиа-Гильберта, соответствующей исходной задаче со свободной границей..

Вторая цель диссертации — применение функционально-геометрического метода при решении широкого спектра задач со свободной границей для гармонических функций, инициированных прикладными запросами (физики, механики, .). Этому посвящены первые три главы диссертации..

Третья цель диссертации состоит в том, чтобы показать возможности применения разработанного функционально-гсомстрпчсского метода к иного рода задачам. Этому посвящена глава 4 (о высокочастотных асимптотиках) ..

Методы исследования — это взаимосвязанный анализ геометрических характеристик исходной задачи со свободной границей и функциональных свойств соответствующей ей линейной или нелинейной задачи Римана-Гильберта с нелинейными функциональными соотношениями па ее решение, методы общей теории эллиптических дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теория степени Лере-Шаудера и теория функций комплексного переменного. В ряде случаев проводимые исследования дополняются построением асимптотик и численным анализом..

Научная новизна и основные результаты..

Все результаты диссертации впервые получены автором. При этом был применен разработанный в диссертации функционально-геометрический метод. Вкратце, результаты таковы..

1) Получена двусторонняя поточечная оценка ди ди е-ш < ди Ре г dv ди < — р=р (Р)е 7 dv ekAI, k = к{Г) (0.7-.

Per.

При условии, что формула (0.6) определяет однолистное отображение Это надо проверять отдельно для искомой гармонической функции и, определенной в двусвязноп области П (7,Г, М), ограниченной искомой линией уровня 7 = {и (х, у) = 0} и заданной кривой Г = {и (х, у) = М} при условии, что fr dujdv d, T=l (ср. с (0.1)). Отметим, что dujdv| = dujdvjr е2пМ = (½тгр) в случае, когда Г и 7 — концентрические окружности радиусов, равных, соответственно, R = 1 и р = ехр (—2тгМ). Первая, но более слабая оценка е была ранее получена, автором и его аспиранткой в работе [29]. Оценка (0.7) имеет отношение к одной из центральных проблем управляемого термоядерного синтеза, а именно, к так называемой обратной задаче о равновесии плазмы, «которой ставится вопрос о~возможностггкласспфикации различных-типов распределения тока в плазме по данным магнитной диагностики, т. е. п «по значениям Математическая формулировка заключается в реконструкции функции j: © —> R, исходя из приведенных ниже соотношений (1.18)—(1.22)..

ПРИМЕЧАНИЕ (об имеющихся на данный момент математических результатах по обратной задаче). В работах [23, 89] доказана,.

Теорема, А (е — 0). Если одиосвязная область со не круг, то при s = 0 существует не более конечного числа аффинных функций f: и i—> /(и) — аи + Ъ, которые могут быть решениями обратной задачи (в отличии от континуального числа таких функций в случае, когда и есть круг)..

Эта теорем, а обобщает результат работ, ы [132] а предложенный автором метод доказательства теоремы А, позволил недавно: 1) усилить теорему А, показав для широкого класса областей единственность решения- 2) показать, что справедлива.

Теорема В (б > 0). Если? > 0, то даже в классе аффинных функций f для любого, а > 0 найдется такое счетное мноэюеетво распределений тока jk (x> у) = у) + которые в равном, ерной метрике попарно различаются более ч, е. м, на а. Эти распределения являются членами 'последовательности, сходящейся к току, сосредоточенному на 7..

Алгоритм поиска существенно различных f в классе полиномиальных функций предложен в работе[28]..

Вспомогательной в решении проблемы классификации распределения тока в плазме является прямая задача. Один из ее вариантов — это обобщение задачи о гармонической функции и в области Г2. у которой задана внешняя граница Г, а внутренняя 7, являющаяся искомой, подчинена, условиям (0.1). Обобщение заключается в том, что условие dujdv| = //|7| заменяется па условие du dv, (0.8) ls€ 7 171 т. е. условие того типа, которое фигурирует в оценке (0.7). Здесь s — натуральный параметр искомом контуре 7, a q — заданная положительная функция на [0,1]. Задание функции q частично определяет прямое, т. е. непосредственное задание распределения тока в плазме. В терминах функции q и геометрических характеристик заданной кривой Г = {и (х, у) = М} для этой прямой задачи получены достаточные условия как для существования, так п для несуществования, как для единственности, так и для неединственности равновесных плазменных конфигураций 7 = в заданном топологическом классе, соответствующем к компонентам связности плазмы. Для скицированного тока, что соответствует условию.

——— - ————— du/dvlrl/j, (0.9) и для специального семейства внешних контуров Г, имеющих две оси симметрии, дано полное описание всех симметричных, а также несимметричных плазменных конфигураций, включая их бифуркацию и топологические перестройки. Кроме того, в случае q = const доказано существование выпуклой кривой 7 = 7i для произвольного выпуклого контура1' Г..

Сделаем два замечания относительно научной новизны результатов по прямой задаче..

Замечание 1. Условие (0.9) было сформулировано в работах автора в соответствии с анализом размерности. Если пренебречь этой физической аргументацией и заменить условие (0.9) на более ''простое" ди/ди| = С, С = const, (0.10) то возникнут трудности [16] даже при полярной симметрии: если Г — окружность единичного радиуса, а р < 1 — искомый радиус окружности 7, концентричной с Г, то при С > Me задача имеет два решения, определяемых из уравнения Ср1п (1/р) = М, но не имеет ни одного решения, если С < Me.

Впрочем, таких трудностей не возникает, если свободная граница 7 (го-меоморфпая окружности) является внешней по отношению к заданной границе Г. В частности, при полярной симметрии однозначная разрешимость есть следствие того, что функция рп (1/р) строго монотонно убывает при р > 1 Соответствующая этому случаю физическая задача приводит [73] к условию (0.10). При этом имеется теорема об однозначной разрешимости [63]..

Замечание 2. Различным постановкам прямой задачи о равновесии (те. различным способам задания распределения тока) посвящено множество вычислительных работ физиков6. Первая математическая работа [26] по этой тематике была начальной для того направления математического исследования этой задачи, которое развивалось диссертантом. Спустя год.

5Параллельно, этот результат, как решение задачи А. С. Демидова, был получен с помощью вариационных неравенств Пингом Лю (диссертантом Авнера Фридмана) в работе [110]..

С.м., в частности, библиографию в книгах [30, 74, 93]. после публикации [26] возникло второе направление математического исследования прямой задачи о равновесии плазмы в токамаке Оно было начато в статье Р. Темама [129], последующей заметке А. Берестпки и X. Брезиса [68] и продолжено в исследованиях многих авторов (см., в частности, [65, 69, 120, 126, 130]). Если говорить коротко, в этом направлении исследований задается функция /: М. э и н-> f (u) > Отавная пулю при и > 0, и анализируется вопрос существования решения и Е С1{&-) уравнения Аи = f (u), подчиненное условию: w|e= М > 0, fe f (u (x, y)) dxdy = 1. Однако при этом возникает (отнюдь не простой) вопрос: чем является множество нулей этого решения? Частично этот вопрос был изучен в работах [76, 104, 105] (см. также библиографию в книге [60]).

Первое же направление исследований имеет непосредственное отношение к физике дела. Здесь речь заранее идет о (спрямляемой) нулевой линии уровня функции г/, а вовсе не о каком-то множестве пулей этой функции. Кроме того, в качестве аргумента прямой задачи здесь предъявляемся не та характеристика, которая является искомой в основной (т.е. обратной) задаче о равновесии, а функция q в условии (0.8), т. е. та величина, которая может бымъ в какой-то мере известна, в частности, благодаря оценке (0.7)..

2) В качестве одного из примеров задачи о плоском стационарном потенциальном течении несжимаемой жидкости (или, в другой интерпретации, о стационарном тепловом потоке) с минимальным отношениемэкстремальных значений модуля скорости на свободной границе, рассмотрена задача, возникшая в авиационном научно-техническом комплексе им. А. Н. Туполева. Задача связана с проблемой обледенения элементов корпуса летательных аппаратов. Речь идет о выборе формы полоски фольги, по которой пропускается электрический ток. Требуехся мпшшизировахь риск перегорания фольги за счет выбора формы полоски фольги, обе кромки которой 7± вынуждены (в силу некоторых конструктивных особенностей) проходить через заданные точки. Математическая формулировка макова: выбрать такую криволинейную полоску Г2, кромки которой 7± проходят через заданные точки, чтобы было минимально значение функционала где и — гармонична в П, а д > 0 — заданная константа. Доказаны теоремы о разрешимости, даны конструктивные формулы для кривых и их асимптотических приближений при ц —> 0. Диссертанту неизвестны работы других авторов по экстремальной задаче для функционала (0.11).

3) Получены теоремы о разрешимости, а также конструктивные формулы для решения стационарной задачи о максимизации отбора энергии у плоского потенциального бездивергентного потока, набегающего (по схе.

0.11) ме Кирхгофа) на объект, частично поглощающий этот поток и, соответственно, его энергию. Такой объект, являясь препятствием для частично обтекающего его потока, моделирует [94] турбину в открытом потоке реки, океанского течения. Как максимизировать отбор энергии у потока?.

Если сопротивление, которое турбина оказывает потоку, слишком мало, то поток почти беспрепятственно просачивается. Если сопротивление слишком велико, то ноток стремится обойти турбину-препятствие. Золотая середина достигается выбором оптимальных управляющих параметров, задающих вектор скорости вхождения потока в объект. В диссертации дано весьма существенное обобщение предложенной рапсе модели [95]: получены теоремы о разрешимости и даны конструктивные алгоритмы при весьма общем распределении углов входа течения в это препятствие (а не пластины, ортогональной симметричному потоку с одним варьируемый углом входа [95])..

4) Для задачи Стокса-Лсйбензона, одна из интерпретаций которой есть динамика контура нефтеносного пласта (или динамики зажатого между пластинами пятна вязкой жидкости с нулевым поверхностным натяжением), получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для соответствующей этой задаче функции Гельмгольца-Кирхгофа. Анализ этого уравнения и его матричного приближения позволил впервые получить объяснение следзчощего «загадочного» явления: некоторые вполне регулярные контура, охватывающие жидкость, казалось бы, ничем не отличающиеся от подавляющего большинства других, вдруг при отводе этой жидкости из скважины, резко меняют свою форму с образованием так называемых «языков» (в терминологии П. Я. Кочиной [39]), или иначе говоря [123], «пальцев» ..

В диссертации представлена теорема [11] автора о тех Я" 2-возмущениях окружности, которые в случае источника, т. е. подвода жидкости, деформируются бесконечно долго. Другие полученные к настоящему времени результаты [101, 113] о бесконечно долгой эволюции в случае источника предполагают аналитичность или существенную гладкость начального контура..

5) С помощью функционально-геометрического метода построена, согласно оценке (0.12), экспоненциально точная при е —> 0 асимптотика иЕ решения U? следующей краевой задачи для уравнения Лапласа в плоской области Q с кусочно-аналитической границей Г = дО,. Здесь / б На~½(Г), а > 0, a s — натуральным параметр на Г. Доказана оценка.

A UE — 0, Ue f (s/e) и£ - С4||я"(П) < Сае т/(Г, где т > 0 ..

0.12).

Есть три отличия от традиционных [54] построении: 1) не исключен случай, когда граничные значения Ue принадлежат почти максимальному классу в шкале соболевских пространств, в которых есть единственность соответствующей гармонической функции U? 2) асимптотика экспоненциально близка к решению краевой задачи- 3) оценка погрешности дается в наиболее сильной норме, в которой ограничена сама функция U?..

Дано также обобщение такого построения асимптотики для решения двумерного квазилинейного эллиптического уравнения 2-го порядка..

6) Рассмотрена поставленная О. А. Олейник и Р. Темамом (см., в частности, [117]) задача о построении при~е~—ГО рагшомерной вплоть до границы Г = области О асимптотики для решения краевой задачи.

Д[4 = 0 в Q, Ue = F{x/e, y/e) на Г, где F (x, y) — периодическая по каждому переменному функция, знакопостоянная на полупериоде, равном единице. С помощью функционально-геометрического метода построена экспоненциально точная (в смысле, аналогичном оценке (0.12)) асимптотика для любой кусочно-аналитической границы Г = дО, в случае двузначной функции F..

7) Функционально-геометрическим методом построена экспоненциально точная при? —> 0 асимптотика решения краевой задачи для уравнения Лапласа в областях с сильно гофрированной границей с частотой волны гофра порядка 1/е. При этом оценка остаточного члена получена в наиболее сильной норме, в которой существует решение. Известные к настоящему времени иные методы (см., например, [116]) построения асимптотики дают для этой задачи оценку остаточного члена только порядка е3/2 и то лишь в метрике Н1..

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее значимость заключается в разработке такого функционально-геометрического подхода, который позволяет получать.

• теоремы существования п несуществования, единственности и неединственности в отношении широкого спектра двумерных задач со свободной границей для гармонических функций-.

• явные конструкции и формулы, задающие решения этих задач-.

• экспоненциально точные (относительно сильной нормы) асимптотики для гармонических функций, быстро осциллирующих весьма сложным образом на границе области определения..

Как уже было отмечено, обозначенный класс задач богат приложениями. Явные же конструкции и формулы, задающие решения этих задач, могут быть использованы при тестировании вычислительных алгоритмов более сложных, например, трехмерных задач и при выборе подходящего начального приближения в соответствующих итерационных алгоритмах..

Апробация работы:.

• приглашенный докладчик на международных конференциях «Singular Perturbations and Boundary Layer Theory», Lyon (1976) /France/, «Inverse Problems, Control and Shape Optimization», Carthage (2002) /Tunisie/ и «two months» E. Magenes-Scminar «Free Boundary Problems», Pavia (1979) /Italy/-.

• докладчик па многих международных конференциях, в том числе: «Differn.Eq. and Related Topics «dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow (1978, 1983, 1986, 1998, 2001, 2004) — «Complex Analysis and FBR», St.-Pctersburg «(1994)—» PDE and Applications», Lyoir (1999)7France/- «Parabolic and-Elliptic-Problems», Gaeta (2001) /Italy/- «Free Boundary Problems», Tours (2003) /France/- «Kolmogorov and Comtemporary Mathematics», Moscow (2003) — «Comput. Methods in Appl. Sciences», Jyvaskyla (2004) /Finland/- «Global and Geometric Aspects of Nonlinear PDF», Erevan (2004) — «System Modeling and Optimization», Turin (2005) /Italy/- «Tikhonov and Contemporary Math.», Moscow (2006) — «New Trends in Complex and Harmonic Analysis», Voss (2007) /Norway/- «Pontryagin 100-Anniversary Conference», Moscow (2008),.

• докладчик на многочисленных научных семинарах в научных центрах России, Германии, Италии, Португалии, США. Франции,., в том числе: в институте АН СССР им. И. В. Курчатова на семинаре (1973 г.) п/р М. А. Леонтовича и Б. Б. Кадомцевав МГУ на семинаре им. И. Г. Петровского (1974 г.) п/р В. И. Арнольда, М. И. Вишика, О. А. Оленник и Я. Г. Синаяв Rutgers University, Depart. Math, па семинаре (1997 г.) п/р И. М. Гельфандав МИРАН им. В. А. Стеклова на семинаре (2002 г.) п/р О. В. Бесова, С. М. Никольского и С. И. Похожасвав РНЦ «Курчатовский институт» на семинаре (2006 г.) п/р В. Д. Шафранова..

Поддержка работ автора по теме диссертации: 1992 — 1995: Soros Foundation grant (NAW000, NAW300) руководитель- 1998 — 2000: PAST grant Министерства Образования и Науки Франции- 1994 — по настоящее время: гранты РФФИ — исполнитель, руководитель-.

2001 — 2003: French-Russian grant PICS/RFBR — координатор-.

2002 — 2004: Grant of the Liapunov French-Russian Institute — исполнитель- 2005 — 2008: French-Russian grant PICS/RFBR — руководитель..

1. Л. Н. Александров (1985) Кинетика кристализации и перекристали-зации полупроводниковых пленок. «Наука», Новосибирск..

2. В. И. Арнольд (2000) Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 2-ое изд. Удмурд. гос. унпв-т..

3. А. Баджади, А. С. Демидов (1983) Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Матем. сборник АН СССР, Т. 122(164), № 1(9), 64−81..

4. С. И. Безродных, В. И. Власов, А. С. Демидов (2009) О числе решений обратной задачи для уравнения Гельмгольца. Матем. заметки..

5. Г. Биркгоф, Э. Сарантонелло (1964) Струи, следы и каверны. «Мир», Москва..

6. О. И. Богоявленский (2000) Точные глобальные равновесия плазмы. УМН, Т. 55, № 3, 63−100..

7. К. В. Брушлинский, В. В. Савельев (1999) Магнитные ловушки для удержания плазмы. Матем,. моделирование, Т. 11, № 5, 3−36..

8. А. Д. Валиев, А. С. Демидов (1997) О неотрицательных тригонометрических полиномах с фиксированным средним, проходящих через заданные точки. Матем. залгетки, 62, N2 3, 468−471..

9. О. А. Васильева, А. С. Демидов (1999) Конечноточечная модель задачи Стокса-Лейбензона для Хил-Шоу течения. Фундаментальная и прикладная матем., Т. 5, № 5, 67−84..

10. В. Н. Видарович, А. Е. Вальпян, Г. М. Курдюмов (1976) Направленная кристаллизация и физико-химический анализ. «Химия», Москва..

11. Ю. П. Виноградов, П. Г1. Куфарев (1948) Об одной задаче фильтрации. Прикл. Матем. Мех., Т. 12, № 2, 181−198..

12. Л. А. Галин (1945) Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью. ДАН СССР, Т. 47, № 4, 250−253..

13. Г. М. Голузин (1966) Геометрическая 'теория функций комплексного переменного. 2-ое изд., «Наука», Москва..

14. М. И. Гуревич (1979) Теория струй идеальной жидкости. Отрывные и кавитационные течения. 2-ое изд. «Наука», Москва..

15. В. Г. Данилов, Г. А. Омельянов, Е. В. Радкевич (1995) Асимптотическое решение системы фазового поля и модефицированная задача Стефана. Дифф. уравнения Т. 31, № 3, С. 483−491..

16. И. И. Данилюк (1972) Об интегральных функционалах с переменной областью интегрирования. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, Т. 118..

17. А. С. Демидов (1970) Асимптотика решений краевых задач для линейного эллиптического уравнения 2-го порядка с коэффициентами, имеющими «всплеск». Труды ММ О, Т. 23, 77−112..

18. А. С. Демидов (1975) Асимптотика решения краевой задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений с малым параметром при старшем операторе. Труды ММО, Т. 32, 119−146..

19. А. С. Демидов (1978) Об одной задаче со свободной границей в теории равновесной плазмы. Труды семинара им. И. Г. Петровского, Т. 4. 6582..

20. А. С. Демидов (1983) Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Успехи матем. паук, вып 5, 151−152..

21. А. С. Демидов (1996) Полная асимптотика решения задачи Дирихле для 2-мсрного уравнения Лапласа с быстро осцилпрующими граничными данными. Доклады РАН, Т. 346, № 6, 732−734..

22. А. С. Демидов (1998) Полигональная модель для течения Хпл-Шоу. Успехи Матем. Наук, Т. 53, № 4, 195−196..

23. А. С. Демидов (2000) Об обратной задаче для уравнения Трэда-Шафранова с аффинной правой частью. Успехи Матем. Наук, Т. 55, № 6, 131−132..

24. А. С. Демидов (2002) Об эволюции слабого возмущения окружности в задаче о течении Хил-Шоу. Успехи Матем. Наук, Т. 57, № 6, 177−178.

25. А. С. Демидов, Л. Е. Захаров (1974) Прямая и обратная задачи в теории равновесия плазмы. Успехи Матем. Наук, Т. 29, № 6, 203..

26. А. С. Демидов, А. А. Созыкин (1986) Об одной экстремальной задаче со свободной границей. Успехи Матем. Наук, Т. 41, 4, 190−191..

27. А. С. Демидов, А. С. Кочуров и А. Ю. Попов (2009) К задаче о реконструкции нелипейиостей в уравнениях математической физики. Труды семинара им. И. Г. Петровского, вып. 27..

28. А. С, Демидов, В. В. Петрова (1994) Обратная задача со свободной границей в теории равновесной плазмы. Дифф. уравнения, Т. 30, № 6, 10 341 038..

29. Ю. Н. Днестровский, Д. П. Костомаров (1993) Математическое моделирование плазмы. «Наука», Москва..

30. А. И. Дьяченко, В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов (1999) Нелинейная динамика свободной поверхности идеальной жидкости. Физика плазмы, Т. 22, № 10, 916−929..

31. В. В. Жиков, С. М. Козлов, О. А. Олейник (1993) Усреднение дифференциальных операторов. «Физико-матем. лит-ра», А/1осква..

32. А. К. Звонкин, М. А. Шубин (1984) Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, Т. 39, №, 77−127..

33. Е. Н. Каблов (2001) Литые лопатки газотурбинных двигателей. «МИ-СИС», Москва..

34. А. Картан (1963) Элементарная теория, аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. «ИЛ», Москва..

35. Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе (1963) Теоретическая гидромеханика. 6-ое изд. (в двух частях), «Физматгиз», Москва..

36. П. Я. Кочина /П.Я. Полубаринова-Кочина/ (1991). Избранные труды. Гидродинамика и теория фильтрации. «Наука», Москва..

37. П. Я. Кочина, А. Р. Шкирич (1954) К вопросу о перемещении контура нефтеносности (эксперимент) Известия АН СССР, отд. технич. наук, № 11, 105−107..

38. Р. Курант (1962) Уравнения с частными производными, «Мир», Москва..

39. П. П. Куфарев (1948) Решение задачи о контуре нефтеносности для круга. ДАН СССР, Т. 60, № 8, 1333−1334..

40. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат (1973) Методы теории функций ком,-плексного переменного. 4-ое изд., «Наука», Москва..

41. Г. Ламб (2003) Гидродинамика, (в двух частях), «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск..

42. Л. С. Лейбензоп (1934) Нефтепромысловая механика. Часть II, Нефте-пздат, Москва..

43. Э. Маджеиес (1966) Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных. У МИ Т. 21, № 2, 169−218..

44. С. Н. Мергеляп (1956) Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа. УМН Т. 11, № 5, 3−26..

45. С. Г. Михлин (1962) Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, «Физматгиз», Москва..

46. В. Н. Монахов (1977) Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. 2-ое изд., «Наука», Новосибирск..

47. Н. И. Мусхелишвилп (1933) Некоторые задачи теории упругости. АН СССР, Ленинград..

48. И. П. Натансон (1974) Теория функций веи^ественной переменной. 3-е изд., «Наука», Москва..

49. А. И. Некрасов (1922) О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга. Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та, Ш 5..

50. Л. Ниренберг (1977) Лекции по нелинейному функциональному анализу. «Мир», Москва..

51. Дж.Р. Окендон, С. Д. Ховисон (2002) Кочина и Хиле-Шоу в современной математике, естественных науках и технике. Прикл. Мат. и Механика, Т. 66, вып. 3, 515−524..

52. Г. П. Панасенко (1979) Асимптотические разложения высокого порядка для решений контакных задач с периодической структурой. Матем. Сборник Т. 110(152), № 4, 505−538..

53. И. Г. Петровский (1961) Лекции об уравнениях с частным, и производными. «Гостехиздат», Москва..

54. П. И. Плотников, В. Н. Старовойтов (1993) Задача Стефана, как предел системы фазового поля. Дифф. уравнения, Т. 29, № 3, 461−471..

55. П.Я. Полубаринова-Кочнна (1945) К вопросу о перемещении контура нефтеносности. Доклады АН СССР, Т. 47, № 4, 254−257..

56. П.Я. Полубаринова-Кочина. (1945) О неустановившихся движениях в теории фильтрации: О перемещении контура нефтеносности. Прикл. Матем,. и Мех., Т. 9, вып. 1, 79−90..

57. В. Л. Поляченко, A.M. Фридман (1976) Равновесие и устойчивость гра-витирующггх систем. «Наука», Москва..

58. А. Фридман (1990) Вариационные принципы и задачи со свободными границами, пер. с англ., «Наука», Москва..

59. С. А. Чаплыгин (1897) О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости, Мат. сб., Т. XX..

60. В. Д. Шафранов (1957) О магнитогидродинамических равновесных конфигурациях. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, Т. 33, № 3(9), 710−722. Soviet Physics JETP, 6, (1958)..

61. A. Acker (1989) On the qualitative theory of parametrized families of free boundaries. J. Reine Angew. Math., V. 393, 134−169..

62. M. C Altan, St. Luckhaus (1990) A review of fiber-reinforced injection molding: flow kinematic and particle orientation. Journ. of Thermoplastics Composite Materials, 3, 275−313..

63. A. Ambrosetti, G. Mancini (1980) A free boundary problem and a related scmilinear equation Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., v. 4, 909−915..

64. A. Antontsev, A.M. Meirmanov, V. Yurinsky (1999) Hele-Shaw flow in two dimensions: Global-in-time classical solutions. Universidade da Beira Interior. Portugal, preprint 6..

65. R. Ayrnar, P. Barabaschi, Y. Shimomura (2002) The ITER design. Plasma, Phys. Control. Fusion, 44, 519−565..

66. H. Berestycki, H. Brezis (1976) Sur certains problemes de frontiere libre. C.R. Acad. Sci. Pans 283, Serie A, 1091−1094. ..

67. H. Berestycki, H. Brezis (1980) On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 4, 415−436..

68. E. Beretta, М. Vogelius (1991) An inverse problem originating from magnethohydrodynamics. Arch. Rat. Mech. Anal. 115, 137 152..

69. E. Beretta, M. Vogelius (1992) An inverse problem originating from magnethohydrodynamics, II. The case of the Grad-Shafranov equation. Indiana Univ. Math. J. 41, 1081−1118..

70. E. Beretta, M. Vogelius (1995) An inverse problem originating from magnethohydrodynamics, III. Domains with corners of arbitrary angles. Asymptotic Analysis 11, 289−315..

71. A. Beurling (1957) On free-boundary problems for the Laplace equation. Semin. on Analytic Functions. N.Y. Inst. Adv. Study, V. I, 248−263..

72. J. Blum (1989) Numerical Simulation and Optimal Control in Plasma Physics (With Applications to Tokamaks). Chichester-New York-Brisbane-Toronto-Singapore. John Wiley & Sons..

73. L.A. Caffarelli, G. Spruck (1982) Convexity properties of solutions" of some classical variational problems. Commun. in P.D.E. 7, 1337−1379..

74. G. Caginalp (1989) Stefan and Hele-Shaw type problems as asymptotics limits of the phase field equations. Physics Review A 39, No. 11, 5887 5896..

75. G. Caginalp, X. Chen (2000) Convergence of the phase field model to its sharp interface limits. Eur. J. Appl. Math. 12, 20−42..

76. A.S. Demidov (1975) The form of a steady plasma subject to the skin effect in a tokamak with non-circular cross-section. Nuclear Fusion 15, 765 768..

77. A.S. Demidov (1977) Sur la perturbation «singuliere» dans un probleme a frontiere libre. Proceedings of the Conference held in Lyon, 1976, Lect. Notes Math. 594 123−130..

78. A.S. Demidov (1978) Equilibrium form of a steady plasma. Physics of Fluids 21, 902−904..

79. A.S. Demidov (1980) Configurations du plasma stationnaire equilibre. Proceedings of a seminar held in Pavia, 1979, V. I, Roma, 467−485..

80. A.S. Demidov (2000) Some Applications of the Helmholtz-Kirchhoff Method. (Equilibrium Plasma in Tokamaks, Hele-Shaw Flow, and High-Frequency Asymptotics). Russian J. Math. Ph., V. 7, No. 2, 166−186..

81. A.S. Demidov (2004) Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw flows. Journ. of Math. Sciences, 123, No. 8, 4381−4403 (http://www.wkap.nl/journalhome.htm/1072−3374)..

82. A.S. Demidov (2006) Evolution of a perturbation of a circle in a problem for Hele-Shaw flows. Part II. Journ. of Math. Sciences, 139, No. 6, 7064−7078..

83. A.S. Demidov, J.-P. Loheac (2001) A quasi-contour model of Stokes-Leibenson problem for Hele-Shaw flows. CNRS UMR 5585 preprint 328..

84. A.S. Demidov, J.-P. Loheac (2003) The Stokes-Leibenson Problem for Hele-Shaw Flows. Patterns and Waves (Eds. A. Abramian, S. Vaculenko, V. Volpert), Saint Peresburg, 103−124..

85. A.S. Demidov, M. Moussaoui (2004) An inverse problem originating from magnetohydrodynamics. Inverse Problems 20, No. 1, 137−154..

86. A.S. Demidov, V.V. Petrova, V.M. Silantiev (1996) On inverse and direct free boundary problems in the theory of plasma equilibrium in a Tokamak. C.R. Acad. Sci. Paris 323 Serie I, 353−358..

87. S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B. Volkov (2006) Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model. Rus. J. Earth. Sci., 8, ES4003, doi: 10.2205/2006 ES000215..

88. J. Escher, G. Simonett (1997) Classical solutions of multidimensional Hele-Shaw models. SI AM J. Math. Anal., 28, No. 5, 1028−1047..

89. J.P. Freidberg (1987) Ideal Magnetohydrodynamics, Plenum, New York..

90. A.N. Gorban', A.N. Gorlov, V.M. Silantyev (2001) Limits of the Tuibinc Efficiency for Free Fluid Flow. Journal of Energy Resources Technology 123, no. 4, December, 311−317..

91. A. Gorban', M. Braverman, V. Silantyev (2002) Modified Kirchhoff flow with a partially penetrable obstacle and its application to the efficiency offree flow turbines. Mathematical and Computer Modelling 35, no. 13, June, 1371−1375..

92. A.M. Gorlov (1995) The Helical turbine: a new idea for low-head hydropower. Hydro Review, 14, No.5, 44−50..

93. A.M. Gorlov (1998) Helical turbine for the Gulf Stream. Marine Technology, 35, No.3, 175−182..

94. H. Grad, H. Rubin (1958) Hydromagnetic equilibria and force-free fields. Proceedings of the 2nd. United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva, Vol. 31, 190—. Columbia University Press, New York (1959)..

95. B. Gustafsson (1985) Applications of variational inequalities to a moving boundary problem for Hele-Shaw flows. SIAM J. Math. Analysis 16, 279 300..

96. B. Gustafsson, A. Vasil’ev (2004) Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells, Stockholm-Valparaiso..

97. B. Gustafsson, D. Prokhorov, and A. Vasil’ev (2004) Infinite lifetime for the starlike dynamics in Hele-Shaw cells Proc. of American Math. Soc., v. 132, No.9, 2661−2669..

98. S.D. Howison, J.R. Ockendon (1999) Papers from the conference held in Oxford. Euro. J. of Applied Mathematics, 10, 511−709..

99. D. Kinderlehrer, L. Nirenberg (1977) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Serie IV, 4 No. 1, 373−391..

100. D. Kinderlehrer, G. Spruck (1978) Regularity in free boundary problems. Ann. Scu. Norm. Sup. Pisa, Serie IV, 5 No. 1, 131−148..

101. G. Kirchhoff (1869) Zur Theorie freier Fliissgkeitsstrahlen. J. reine angew. Math. Grell. Berlin TO, 269−298 (см. также: Механика,. Лекции по лм-тематической физике, АН СССР, Москва, 1962)..

102. Т. Levi-Civita (1907) Scie e leggi di resistenzia. Rend. Circolo Math. Palermo, 23, 1- 37..

103. J. Leray, J. Schauder (1934) Topologie et equations fonctioimelles. Ann. Sci. Ecole Normale super. 13, 45−78 (русск. перевод в УМЫ (1946) T. l, вып. 3−4, 71−95)..

104. J.-L. Lions, E. Magenes (1971) Неоднородные граничные задачи и их приложения, «Мир», Москва..

105. Y. Liu (1995) The equilibrium plasma subject to skin effect-. S1AM J. Math. Anal., 26, No. 5(Sept.), 1157−1183..

106. T.C. Luce (2005) Development of steady-state advanced t. okamak research in the DIII-D tokamak. Fusion Science and Technologic, 48, No. 10(0ct.), 1212−1225..

107. R. Liist, A. Schliiter (1957) Axialsymmetrische magnetohydrodynamische glcichgewichtskonfiguratioiien. Zeitschrift fur Naturforschiing, 12A, 850..

108. A.M. Meirmanov, B. Zaltzman (2002) Global in time solution to the Hele-Shaw problem with a change of topology. Euro. Jnl of Applied Mathematics. 13, 431−447..

109. J. Mossino (1982) A priori estimates for a model of Grad-Mercier type in plasma confinement. Appl. Anal., Vol. 13, №№ 3, 185−207..

110. J. Mossino (1987) Isoperimetric inequalities and nonexistence rcsultat for the Grad-Shafranov equations. Nonlinear Anal, Vol. 11, No 2, 231−244..

111. N. Neuss, M. Neuss-Radii, A. Mikelic (2006) Effective laws for the Poisson equation on domains with curved oscillating boundaries Applicable Analysis, Vol. 85, No. 5, 479−502..

112. O.A. Oleinik, R. Ternam, G.A. Yosifian (1995) Some nonlinear homogenization problems Applicable Analysis Vol. 57, No. 1−2, 101−118..

113. M. Planck (1884) Wiedemann Arm., V. XXI, ser. 2..

114. G. Prokert (1999) On evalution equations for moving domains. Zeitschrift fur Analysis und Hire Anwendungen 18, No. 1, 67−95..

115. J.-P. Puel (1977) Sur un probleme de valeur propre non lineaire et de frontiere libre. C.R. Acad. Sci. Paris 284 Serie A, 861−863..

116. V.D. Pustovitov (2001) Magnetic diagnostics: General principles and the problem of reconstruction of plasma current and pressure profiles in toroidal systems. Nuclear Fusion, 41, No. 6, 721−30..

117. S. Richardson (1972) Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel. J. Fluid Mech. 56, 609 618..

118. P.G. Saffman, G.I. Taylor (1958) The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. Proc. Royal Soc. A, 245, 312−329..

119. D.G. Schaffer (1977) Non-uniqueness m the equilibiium shape of a confined plasma. Commun. P.D.E. 2 587−600..

120. M. Sermange (1979) Une methode numerique en biffurcation: application a une probleme a frontiere librc de la physique des plasmas. Appl. Math, fnd Opt. 5, 127−151..

121. M. Sermange (1980) Bifurcation of free boundary plasma equilibria. Duke Math. J. 47 923−942..

122. V.D. Shafranov (1957) On equilibrium magnetohydrodynamic configurations. Terzo Congresso Intemazionale Sm Fenomeni D’wnizzazione Nei Gas, tenuto a Venezia dall’ll al 15 giuyuo, 1957. Milano, 990−997..

123. J. Steinbach (2002) A Variational Inequality Approach to the free Boundary Problems with Applications in Mould Filling, Intern. Scries of Numerical Math., 136 Birkhauser Verlag Basel/Switzeizerland..

124. R. Temarn (1975) A non-linear eigenvalue problem: The shape at equilibrium of a confined plasma. Arch. Ration. Mech. 60, № 1, 51 73..

125. R. Temam (1977) Remarks on a free boundary problem arising in plasma physics. Commun. P.D.F. 2, № 6, 563−585..

126. B.G.Thomas, Ch. Beckermann (1998) Modeling of casting, welding advanced solidification processes San Diego, California..

127. M. Vogelius (1994) An inverse problem for the equation, А и = —си — d. Ann. Inst. Fourier 44, No. 4, 1181−1209..