Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

Π‘ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… ΠΈ ΠΈΡ… обобщСния

Π”ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

М. ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ с Ρ‚оТдСством (Π―). БлСдуя Бэру, для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΡƒΠΏΡ‹ (X, β€’) рассматриваСтся мноТСство К (Π₯) = { И{Ρ…) — Ρ… € X } Π‘ Π—ΡƒΡ‚ (Π₯), Π³Π΄Π΅ каТдая подстановка Π― (Ρ…) дСйствуСт Π½Π° X ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: уН{Ρ…) := Ρƒ Β¦ Ρ… Π΄Π»Ρ всякого Ρƒ Π΅ X. Π‘ΠΎ ΡΡΡ‹Π»ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΠΏΠ° X ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Π»ΡƒΠΏΠΎΠΉ Π‘ΠΎΠ»Π° Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° мноТСство подстановок К (Π₯) являСтся скручСнным… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • Π“Π»Π°Π²Π° I. Π‘ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄Ρ‹
    • 1. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹
    • 2. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ коллинСарности Π² ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ΄Π°Ρ…
    • 3. ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… симмСтроидах
    • 4. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ симмСтроиды
    • 5. РСшСниС вопросов 1 ΠΈ
  • Π“Π»Π°Π²Π° II. Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ…
    • 1. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹
    • 2. ΠŸΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ ΠΈ Π»Π΅Π²Ρ‹Π΅ подмноТСства
    • 3. Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства
    • 4. Π Π΅Π΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ симмСтричныС подмноТСства
    • 5. Бвязь симмСтричных подмноТСств со ΡΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
  • Π“Π»Π°Π²Π° III. Π”ΠΈΠ²Π΅Ρ€Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ
    • 1. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ свойства Π΄ΠΈΠ²Π΅Ρ€Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠ²
    • 2. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π΄ΠΈΠ²Π΅Ρ€Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΉ
    • 3. ВычислСниС числа Π΄ΠΈΠ²Π΅Ρ€Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΉ
    • 4. Π―Π΄Ρ€Π° Π΄ΠΈΠ²Π΅Ρ€Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΉ
    • 5. Π˜Π½Π΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΈΡ… Π΄ΠΈΠ²Π΅Ρ€Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ
    • 6. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹
  • Π“Π»Π°Π²Π° IV. Автоморфизмы ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹
    • 1. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹
    • 2. Π˜Π½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹
    • 3. Π˜Π½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹
    • A. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
    • B. Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ 2-Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹
    • C. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹
  • Π‘. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹

Π‘ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… ΠΈ ΠΈΡ… обобщСния (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [13] М. ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ понятиС скручСнной ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈ этом скручСнной ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΉ (twisted subgroup) называСтся подмноТСство К Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ G, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ условиям: tsi) 1 Π΅ ΠΊ, ts2) Если Ρ…, Ρƒ Π΅ К, Ρ‚ΠΎ Ρ…ΡƒΡ… Π΅ К.

Π’.Π’. БСляСвым Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€ΡΠ΄Π΅ случаСв вмСсто свойства (ts2) ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойство ts2*) Если Ρ…, Ρƒ G К, Ρ‚ΠΎ xy~lx G К.

ОсновноС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. (БСляСв Π’.Π’.) ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ К Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ G, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ (tsl) ΠΈ (ts2*) Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ скручСнным ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΡΡŽΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ.

НСтрудно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скручСнныС подмноТСства всСгда ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ скручСнными ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌΠΈ. Π’ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… справСдливо ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ любая скручСнная ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ скручСнноС подмноТСство. ΠŸΡ€ΠΈ этом стоит Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ М. ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ Π² [13] Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ….

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ являСтся скручСнным подмноТСством. Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² скручСнных подмноТСств ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ мноТСство ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ 1, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мноТСства = { Ρ… G G | ip (x) = ΠΆ-1 } ΠΈ D (ip) = { x~lcp (x) | Ρ… G G }, Π³Π΄Π΅ ip — ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ G.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ понятия скручСнного подмноТСства ΠΈ ΡΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΊΠ° эти ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π°Π»ΠΈΡΡŒ систСматичСскому ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [13] М. ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ исслСдуСт Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ скручСнныС ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π’. Π€Π΅Π΄Π΅Ρ€Π° ΠΈ М. Π’Π°Ρ€Π΄ΠΈ [18] ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ.

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, понятиС скручСнного подмноТСства ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ связь с Ρ€ΡΠ΄ΠΎΠΌ классичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ происходят ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ· Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚СорСтичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠžΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΉ связи Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π‘? — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ… ΠΎ Ρƒ := Ρ…Ρƒ~Ρ…Ρ… для всСх Ρ…, Ρƒ? Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π‘Π³ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄ (Π‘?, ΠΎ). ΠŸΡ€ΠΈ этом скручСнными подмноТСствами Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ (7 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Ρ‹ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Π° (Π‘, ΠΎ), содСрТащиС 1.

НСслоТно ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства: Π·1) Ρ… ΠΎ Ρ… = Ρ…,.

62) Ρ… ΠΎ (Ρ… ΠΎ Ρƒ) = Ρƒ,.

63) Ρ… ΠΎ (Ρƒ ΠΎ Π³) = (Ρ… ΠΎ Ρƒ) ΠΎ {Ρ… ΠΎ Ρ…).

БиммСтричСскиС пространства.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ симмСтричСского пространства, ΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅Π΅ классичСским ΠΈ Π²ΠΎΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ΅Π΅ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (см. Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ [3], [10], [11]) благодаря Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ Π­. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π°Π½Π° являСтся, ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ видимости, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ историчСским ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ изучСния систСмы тоТдСств (Π·1)—(Π±Π—).

Π‘Π°ΠΌ Π­. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π°Π½ [4] опрСдСлял симмСтричСскоС пространство, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅, любая симмСтрия ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ сохраняСт ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒ.

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ [5], симмСтричСскоС пространство опрСдСляСтся, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅ М, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° бинарная опСрация, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π°Ρ тоТдСствам (Π·1)—(Π±Π—) ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ топологичСскому свойству Π±4) для любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ… ΠΈΠ· М ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ такая Π΅Π΅ ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ равСнство Ρ… ΠΎ ΡƒΠΎ = Ρ‚ Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ равСнство Ρ… = Π³ΠΈ Π΄Π»Ρ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‚ Π• II.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ «ΠΎ» ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, А ΠΈ Π’ — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ повСрхности М, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π³Π΅ΠΎΠ΄Π΅Π·ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ линию / ΠΈΠ· Π’ Π² А. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ I Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, А Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ I Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘ Ρ Ρ‚Π΅ΠΌ условиСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’А = АБ. Полагая, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, А ΠΎ Π’ := Π‘, ΠΌΡ‹ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… повСрхности М. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ данная опСрация удовлСтворяСт условиям (Π²1)-(Π²4).

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ общая тСория симмСтричСских пространств излагаСтся Π² ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„иях [2], [5], [12].

БистСмы ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ систСмы ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ Π»ΠΈΠ΅Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для построСния Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ВСйля [16].

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ V — Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎ пространство размСрности ΠΏ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ…, Ρƒ? V Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· {Ρ…, Ρƒ). Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° V? V ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ V —* V.

2 (Π₯, Π£) Π£)"{Ρ…) := Ρ… — ——Π³-.

ГСомСтричСски шь{Ρ…) Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ гипСрплоскости, ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ V. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π³1 являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ пространства V Π΄Π»Ρ всякого V Ρ„ 0, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ш,(Π³>) = —V.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ЀБК называСтся систСмой ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ пространства V [16], Ссли Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ аксиомы:

1) Π€ — ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

2) Π€ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ V.

3) Если Π³, 5 € Π€, Ρ‚ΠΎ Π³ΡƒΠ³ (5) € Π€.

4) Если Π€, Ρ‚ΠΎ 2(Π³, Π·)/(Π³, Π³) — Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

5) Если Π³, Ля € Π€, Π³Π΄Π΅ Π› € Π•, Ρ‚ΠΎ Π› = ±1.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π€ — систСма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ пространства V. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° Π€ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π³ ΠΎ Π± := Π³ΠΈΠ³ (Π·) для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³, Π² Π• Π€.

НСпосрСдствСнная ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ опСрация «©-» удовлСтворяСт тоТдСствам (Π·2) ΠΈ (Π±Π—). Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ ΠΎΠ³ — —Π³ для всСх Π³ € Π€.

Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (3) слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π³ 6 Π€, Ρ‚ΠΎ— Π³ Ё Π€. Рассмотрим Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π³ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° Π€ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° {Π³,—Π³}, Π³Π΄Π΅ Π³ € Π€. НСтрудно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 7 Π“ являСтся конгруэнциСй Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Π° (Π€, ΠΎ). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Π΅ Π€ = Π€/Ρ‚Π³ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ (Π²2) ΠΈ (эЗ). ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π€ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΈ (Π±1).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ бинарная опСрация удовлСтворяСт тоТдСствам (Π·1)—(эЗ).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π² Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли функция Π³ΠΈ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚авляСт элСмСнтам ΠΈΠ· Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Π° Π€ ΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ Π½Π° V, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· Π³Π¬Ρ„ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ пространства V ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся подмноТСством, Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ «ΠΎ», ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π³ΠΈΠ³*03* = Π³ΠΈ^ ΠΎ Π³Π¬8* для всСх Π³, Π²? Π€.

Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ симмСтричных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°Ρ… ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ классификации симмСтричных Π±ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ 5 — мноТСство симмСтричных ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π‘?. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π• € 5, Π³Π΄Π΅ Π• — Сдиничная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† 6 5 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° X ΠΎ Π£ = Π₯Π£~1Π₯ снова содСрТится Π² ?>. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ нСпосрСдствСнно, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ? совпадаСт с ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ 1(<Ρ€), Π³Π΄Π΅ <Ρ€ — ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ (2, пСрСводящий ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ X Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, мноТСство? являСтся скручСнным подмноТСством Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π‘.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скручСнным подмноТСством Π² (3 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мноТСство ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π²ΠΈΠ΄Π° Π₯Π₯Π’, Π³Π΄Π΅ X Π• 6?. Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ мноТСство совпадаСт сО (^) для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠ° </?.

Π›ΡƒΠΏΡ‹ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [21], [22], Π”ΠΆ. Π“Π»Π°ΡƒΠ±Π΅Ρ€ΠΌΠ°Π½ исслСдовал Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка с Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ: Ρ… 0 Ρƒ ΡƒΡ…^. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° являСтся Π»ΡƒΠΏΠΎΠΉ. Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [21] для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π»ΡƒΠΏ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° ΠΈ Π‘ΠΈΠ»ΠΎΠ²Π°.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли подмноТСство Н Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка содСрТит 1 ΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ «Πž», Ρ‚ΠΎ Π Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ… * Ρƒ — Ρ…ΡƒΡ…, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ…*Ρƒ = Ρ…<οΏ½Π­ (Ρ…<οΏ½Π­Ρƒ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, слСдуя Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ М. ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€Π° [13], мноТСство Н Π΅ΡΡ‚ΡŒ скручСнная ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°. Но Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Н Π΅ΡΡ‚ΡŒ скручСнноС подмноТСство. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли Н — скручСнноС подмноТСство ΠΈΠ· Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Ρ‚ΠΎ Π Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ «Πž» .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, фактичСски, Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [21], [22] ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ скручСнныС подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π°ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ 110″ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π”ΠΆ. Π“Π»Π°ΡƒΠ±Π΅Ρ€ΠΌΠ°Π½ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² [21], Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ тоТдСство:

Π¬) Ρ… О (Ρƒ О {Ρ… © Π³)) = (Ρ… О {Ρƒ 0 ΠΆ)) О Π³.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ [19] тоТдСство (Π¬) называСтся Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ тоТдСством Π‘ΠΎΠ»Π°, Π° Π»ΡƒΠΏΡ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто, соотвСтствСнно, Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΡƒΠΏΠ°ΠΌΠΈ Π‘ΠΎΠ»Π°. Π’ [24, 26] рассматриваСтся двойствСнноС тоТдСство.

И,) ((Π³ © Ρ…) © Ρƒ) © Ρ… = Π³ ® ((ΠΆ © Ρƒ) © Ρ…).

Π›ΡƒΠΏΡ‹ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойством (Π«) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π»ΡƒΠΏΠ°ΠΌΠΈ Π‘ΠΎΠ»Π°. ЕстСствСнно, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅, скаТСм, для ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Ρ… Π»ΡƒΠΏ Π‘ΠΎΠ»Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ пСрСнСсСны Π½Π° Π»Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

М. ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ Π² [14] Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ с Ρ‚оТдСством (Π―). БлСдуя Бэру [15], для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΡƒΠΏΡ‹ (X, β€’) рассматриваСтся мноТСство К (Π₯) = { И{Ρ…) | Ρ… € X } Π‘ Π—ΡƒΡ‚ (Π₯), Π³Π΄Π΅ каТдая подстановка Π― (Ρ…) дСйствуСт Π½Π° X ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: уН{Ρ…) := Ρƒ Β¦ Ρ… Π΄Π»Ρ всякого Ρƒ Π΅ X. Π‘ΠΎ ΡΡΡ‹Π»ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ [19, 25], ΠΡˆΠ±Π°Ρ…Π΅Ρ€ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΠΏΠ° X ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Π»ΡƒΠΏΠΎΠΉ Π‘ΠΎΠ»Π° Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° мноТСство подстановок К (Π₯) являСтся скручСнным подмноТСством Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π—ΡƒΡ‚ (Π₯).

Π“ΠΈΡ€ΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹.

Π“ΠΈΡ€ΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ — это Π»ΡƒΠΏΡ‹ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ видимости, Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ появились Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Абрахама А. Π£Π½Π³Π°Ρ€Π° [30] Π² 1988 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ рассматривался Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ рСлятивистский Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄ Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ бинарная опСрация Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Π½ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π³ΠΈΡ€ΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ рСлятивистского Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Π° .

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄ (Π‘, О) называСтся Π³ΠΈΡ€ΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΉ [17, 20], Ссли Π΅Π³ΠΎ бинарная опСрация удовлСтворяСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ условиям:

1) Π² Π‘ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ 1, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 0 Π΄ — Π΄ Π΄Π»Ρ любого элСмСнта Π΄ ΠΈΠ· Π‘.

2) сущСствуСт элСмСнт 1 ΠΈΠ· Π‘, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ (1), Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для любого элСмСнта Π΄ ΠΈΠ· Π‘? найдСтся элСмСнт Π³ ΠΈΠ· Π‘, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ³ 0 Π΄ = 1.

3) для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π°, Π¬, Π³ ΠΈΠ· Π‘? сущСствуСт СдинствСнный элСмСнт Π΄ΡƒΠ³[Π°, Πͺ){Π³) Π΅ (2, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π° © (Π¬ © Π³) = (Π° © Π¬) © Π΄ΡƒΠ³[Π°, Πͺ]{Π³).

4) ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π³ —> Π΄ΡƒΠ³ [Π°, 6] (ΠΆ) являСтся Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠΈΠ΄Π°.

Π‘,©-).

5) Π΄ΡƒΠ³[Π°, 6] = Π΄ΡƒΠ³[Π° © 6,6] для всСх Π°, Π¬ Π΅ Π‘.

ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΈΡ€ΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΈ ΠΈΡ… Ρ„изичСскиС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ приводятся Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [31],[32] ΠΈ [34].

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… [20], [33] ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая Π³ΠΈΡ€ΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ скручСнной ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, скручСнныС подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ связь с ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚рукциями, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π² Ρ‚СорСтичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅.

Π’ ΡΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ вопрос ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ скручСнных подмноТСств ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ этих структур. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ посвящСны Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° А. Π›. [6, 7, 8, 9] ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° БСляСва Π’. Π’. ΠΈ ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° А. Π›. [1].

Π’ Π½Π°ΡΡ‚оящСй диссСртации продолТаСтся исслСдованиС скручСнных подмноТСств Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ….

Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ I ΠΌΡ‹ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ… ΠΎ Ρƒ := Ρ…Ρƒ~1Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ скручивания ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ свойства скручСнных подмноТСств с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния тоТдСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ удовлСтворяСт эта опСрация.

Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ II исслСдуСтся ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ скручСнных подмноТСств Π² ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ…, ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ся понятиС симмСтричного подмноТСства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ понятиС скручСнного.

1. БСляСв, Π’. Π’. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° порядка Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ скручСнным подмноТСством /Π’.Π’. БСляСв, А. Π›. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². //ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы. Π’Ρ‹ΠΏ.6 /ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€. гос. Π°Π³Ρ€Π°Ρ€. ΡƒΠ½-Ρ‚.— ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2007.—Π‘. 3—5.

2. Π’ΠΎΠ»ΡŒΡ„, Π”ΠΆ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚Π²Π° постоянной ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ /Π”ΠΆ. Π’ΠΎΠ»ΡŒΡ„.— М.: Наука, 1982.

3. Π”ΡƒΠ±Ρ€ΠΎΠ²ΠΈΠ½, Π‘. А. БоврСмСнная гСомСтрия. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ 2 Ρ‚. Π’.2 ГСомСтрия ΠΈ Ρ‚опология ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ /Π‘.А. Π”ΡƒΠ±Ρ€ΠΎΠ²ΠΈΠ½, Π‘. П. Новиков, А. Π’. Π€ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΊΠΎ.— М.: Π­Π΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π» Π£Π Π‘Π‘, 1998.

4. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π°Π½, Π­. ГСомСтрия Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ Π›ΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚ричСскиС пространства: сб. ст. /Π­. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π°Π½— М.: Изд-Π²ΠΎ иностр. Π»ΠΈΡ‚-Ρ€Ρ‹, 1949.

5. Лоос, О. БиммСтричСскиС пространства /О. Лоос— М.: Наука, 1985.

6. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², А. Π›. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ /А.Π›. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² //ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы. Π’Ρ‹ΠΏ. Π— /ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€. гос. Π°Π³Ρ€Π°Ρ€. ΡƒΠ½-Ρ‚, — ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2005.—Π‘. 53—58.

7. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², А. Π›. ΠΠΈΠ»ΡŒΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ /А.Π›.ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² //Π‘ΠΈΠ±. ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ. ΠΆ.—2006.— Π’.47,—N5,—Π‘. 1117−1127.

8. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², A.JI. О ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ΅Π½ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ /A.JI. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² //ВСстник ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ госунивСрситСта.— 2006—N1.-C. 61−67.

9. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², A.JI. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ /A.JI. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² //ВСстник ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ госунивСрситСта.—2005.— N1.-C. 71−76.

10. ΠŸΠΎΡΡ‚Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², М. М. Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. БСмСстр V. Π ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²Π° гСомСтрия. /М.М. ΠŸΠΎΡΡ‚Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²— М.: Изд-Π²ΠΎ «Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»», 1998.

11. Π’Ρ€ΠΎΡ„ΠΈΠΌΠΎΠ², Π’.Π’.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΉ с ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚риями /Π’.Π’. Π’Ρ€ΠΎΡ„ΠΈΠΌΠΎΠ²Πœ.: Изд-Π²ΠΎ ΠœΠ“Π£, 1989.

12. Π₯Слгасон, Π‘. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ гСомСтрия ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚ричСскиС пространства /Π‘. Π₯Слгасон— М.: ΠœΠΈΡ€, 1964.

13. Aschbacher, М. Near subgroups of finite groups /М. Aschbacher //J. Group Theory.—1998.—v.l. N2.-P. 113−129.

14. Aschbacher, M. On Bol loops of exponent 2 /М. Aschbacher //J. of Algebra 288(2005).-P. 99−136.

15. Baer, R. Nets and Groups /R. Baer //Trans. Amer. Math. Soc. 47(1939)—P. 110−141.

16. Carter, R. W. Simple groups of Lie type /R.W. Carter //New York: Wiley and Sons—1972.

17. Feder, T. Strong near subgroups and left gyrogroups /Π’. Feder //J. of Algebra 259(2003).-P. 177−190.

18. Feder, T. The computational structure of monotone monadic SNP and constraint satisfaction: A study through datalog and group theory /Π’. Feder, M. Vardi //SIAM J. Comput. N28. -1998.-P. 57−104.

19. Foguel, T. On twisted subgroups and Bol loops of odd order /T. Foguel, M. Kinyon, J. Philips //submitted for publication.

20. Foguel, T. Involutory decomposition of groups into twisted subgroups and subgroups /T. Foguel, A.A. Ungar //J. Group Theory 3(2000).-P. 27−46.

21. Glauberman, G. On loops of odd order /G. Glauberman //J. of Algebra.— 1964. Nl.-P. 374−395.

22. Glauberman, G. On loops of odd order II /G. Glauberman //J. of Algebra.— 1964. N8—P. 393−414.

23. Gorenstein, D. Finite groups /D. Gorenstein //Harper and Row.—New York, 1968.

24. Kiechle, H. Theory of K-loops, Lecture Notes in Mathematics 1778 /H. Kiechle //Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.—2002.

25. Kreuzer, A. Inner mappings of Bruck loops /A. Kreuzer //Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 123 (1998).-P. 53−57.

26. Robinson, D. A. Bol loops /D.A. Robinson //Trans. Amer. Math. Soc. 123 (1966).—P. 341−354.

27. Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups.—4th ed. /Joseph Rotman //1995 Springer-Verlag New York, Inc.

28. Suzuki, M. Group theory I /Michio Suzuki //1982 Springer-Verlag New York, Inc.

29. Suzuki, M. Group theory II /Michio Suzuki //1986 Springer-Verlag New York, Inc.

30. Ungar, A.A. Thomas rotation and the parametrization of the Lorentz transformation group /A.A. Ungar //Found. Phys. Lett—1988. N1.—P. 57—89.

31. Ungar, A.A. Thomas precession and its associated grouplike structure /A.A. Ungar // Amer. J. Phys—1991. -v.59.-P. 824−834.

32. Ungar, A.A. The holomorphic automorphism group of complex disk /A.A. Ungar //Aequat. Math—1994—v.47—P. 240−254.

33. Ungar, A.A. Thomas precession: its underlying gyrogroup axiom and their use in hyperbolic geometry and relativistic physics /A.A. Ungar //Found. Phys.—1997.—v.27.—P. 881−951.

34. Ungar, A.A. From Pythagoras to Einstein: the hyperbolic Pythagorean theorem /A.A. Ungar //Found. Phys.—1997. —v.28.—P. 1283—1321.Π Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ диссСртации.

35. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π² //ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы. Π’Ρ‹ΠΏ.4 /ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€. гос. Π°Π³Ρ€Π°Ρ€. ΡƒΠ½Ρ‚—ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2005—Π‘. 3—12.

36. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. Π Π΅Π΄ΡƒΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ симмСтричныС подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π² //ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы. Π’Ρ‹ΠΏ.4 /ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€. гос. Π°Π³Ρ€Π°Ρ€. ΡƒΠ½-Ρ‚.—ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2005.—Π‘. 13—17.

37. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΌ с Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌ числом Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹Ρ… классов сопряТСнных элСмСнтов /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π² //ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы. Π’Ρ‹ΠΏ.6 /ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€. гос. Π°Π³Ρ€Π°Ρ€. ΡƒΠ½-Ρ‚.—ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2007.—Π‘. 17—39.

38. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. Об ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ скручивания Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π² //ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы. Π’Ρ‹ΠΏ.6 /ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€. гос. Π°Π³Ρ€Π°Ρ€. ΡƒΠ½-Ρ‚.— ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2007.—Π‘. 6—16.

39. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. Π˜Π½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ дСкомпозиция Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΈ ΡΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства с ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ количСством ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΉ /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², А. Π›. ΠœΡ‹Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² //Π‘ΠΈΠ±. ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ. ΠΆ.-2008.-Π’.49,-Π¨,-Π‘. 275—280.

40. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ подмноТСства Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π² //ΠœΠ°Ρ‚-Π»Ρ‹ Π₯Π«Π£ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€. Π½Π°ΡƒΡ‡. студСн, ΠΊΠΎΠ½Ρ„.— Новосибирск, 2006.—Π‘. 89.

41. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π², Π”. Π’. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΌ с Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌ числом Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹Ρ… классов сопряТСнных элСмСнтов /Π”.Π’. Π’Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅Π² //ΠœΠ°Ρ‚-Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€. ΠΊΠΎΠ½Ρ„. &bdquo-АлгСбра ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ" .—ΠšΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΡΡ€ΡΠΊ, 2007.—Π‘. 29—30.Π£.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ