Асимптотические модели для несжимаемых армированных композитов

Существует множество новых технологий, например в аэрокосмической промышленности или при проектировании сложных механических конструкций, которые требуют наличия материалов с конкретными динамическими характеристиками, некоторые из которых не встречаются в обычных, монолитных системах. Композитные материалы являются одним из решений этой проблемы. Такие материалы обычно являются разнородной смесью двух или более составляющих, которые объединены вместе. Среди составляющих композитов, одна фаза, так называемая армирующая фаза или арматура, часто в форме волокон или листов, внедрена в другой материал, матрицу. Арматура — это твердые, прочные материалы, состоящие обычно из углерода, стекла, керамики или металла. В аэрокосмической индустрии широкое применение находят матрицы на основе эпоксидных или резиноподобных материалов, см. Daniel & Ishai (1994) и Kelly et al. (1993). Композитные материалы, включая ламинированные и волокнистые, играют значительную роль во многих реальных научных и инженерных задачах, в первую очередь благодаря их уникальным физическим и механическим характеристикам, таким, как особая прочность, стойкость к разрушению и износостойкость. В настоящее время исследование и разработка композитов принадлежит к одному из наиболее интенсивно изучаемому разделу в науке о материалах и инженерной науке. В диссертации мы будем исследовать композиты, армированные волокнами.

Рассматривая механические свойства армированных композитов, мы сосредоточимся только на макроскопическом поведении композитов. Таким образом, мы не будем рассматривать задачи, включающие локальные взаимодействия между волокнами и матрицей. С этой точки зрения принято использовать непрерывные теории при описании механических или динамических характеристик композита, как единого целого. В рамках данных теорий предполагается, что волокна являются скорее неотъемлемым свойством материала, чем некоторой формой включения. Идея разработки непрерывной теории для описания армированных материалов, по-видимому, берет начало в серии статей Адкинса, см. например Adkins (1958) и Green & Adkins (1960) в теории больших деформаций резиноподобных материалов, армированных нерастяжимыми струнами.

Хотя мы ограничиваемся непрерывными теориями и макроскопическими моделями, свойства рассматриваемых нами композитных материалов происходят от свойств и геометрического расположения их составляющих. Мы полагаем, что волокна представляют собой одно семейство параллельных прямых линий, представленных в композите в одном направлении. Таким образом, в макроскопическом масштабе композит будет вести себя как локально трансвер-сально изотропный материал с осью трансверсальной изотропии совпадающей с направлением волокон. Трансверсально изотропное линейно-упругое твердое тело характеризуется пятью константами, см. например Green (1982).

Однонаправленные упорядоченные волокна могут иметь большую прочность если нагрузка направлена параллельно волокнам. Такие композиты имеют сильно выраженное анизотропное поведение и их модули зависят от направления нагрузки и волокон. Для того, чтобы решить эту проблему, волокна зачастую упорядочивают в слои, которые располагают определенным образом, получая так-называемые ламинаты. Теоретическое и экспериментальное исследование распространения волн и колебаний в таких структурах является областью, к которой проявляется огромный интерес в последние несколько лет, благодаря большому количеству промышленных приложений таких структур. Подробный список ссылок может быть найден в обзорных статьях Chimenti (1997) and Lowe (1995). Однако, постановка трехмерных динамических задач и построение асимптотически приближенных теорий применительно к многослойным структурам является достаточно сложной задачей, когда возможная физическая интерпретация часто теряется в алгебраических деталях. Следовательно, представляется оправданным использование некоторых идеализированных теорий для выявления особенностей таких материалов и обеспечения улучшенного физического понимания их поведения.

Для некоторых классов композитов, например резины, армированной углеродными или нейлоновыми волокнами, их свойства могут быть идеализированы при предположении, что композит является несжимаемым и (или) нерастяжимым в направлении волокон. Механический эффект введения данных ограничений обсуждается в контексте конечной упругости в Green к. Adkins (1960) и Truesdell & Noll (1965). Заметим, что такие идеализированные теории следует применять с осторожностью, поскольку они могут быть менее реалистичны в некоторых обстоятельствах, например по отношению к теориям бесконечно малых деформаций. Однако, потенциальное упрощение достигаемое при использовании данных ограничений обычно оправдывает использование таких приближенных упрощенных теорий.

В диссертации мы будем накладывать ограничение несжимаемости в обычной трансверсально изотропной теории, получая уравнения состояния, имеющие только три константы материала. Такая непрерывная модель была детально исследована и ее упрощения использовались в Musgrave (1970) и позже, в серии статей Чадвика, см. Chadwick (1993), Chadwick (1994а) и Chadwick (1994b) .Для многих реальных композитов, волокна являются прочными и жесткими по отношению к матрице. Таким образом, сопротивление композита к растяжению в направлении волокон может быть на несколько порядков больше по величине, чем их сопротивление к поперечному растяжению или к осевому или поперечному сдвигу. Это свойство позволяет рассматривать композит в качестве сильно анизотропного твердого тела, с большим модулем Юнга в направлении волокон по отношению к модулю Юнга в других направлениях. В предельном случае, это может быть идеализировано с помощью предположения нерастяжимости в направлении волокон. Подробный перечень механических свойств идеализированных материалов и точные ограничения, накладываемые на непрерывную модель, могут быть найдены в Spencer (1972).

Несколько статей было посвящено сравнению результатов полученных с помощью идеализированной теории для несжимаемого материала с нерастяжимыми волокнами с результатами получаемыми из линейной анизотропной теории упругости (Lekhnitskii (1963)). Результаты показывают, что методы теории по-гранслоя или теории сильного возмущения, могут быть применены для анализа задач, включающих сильно анизотропные материалы. Rogers & Pipkin (1971) успешно применяли такие теории к задаче плоского изгиба консольной балки. Этот анализ показывает, что идеализированная теория дает корректное решение первого порядка во внутренней области балки. Однако, на верхней и нижней гранях балки идеализированная теория предсказывает большие концентрации напряжений, которые связаны с погранслоями напряжения сильного растяжения или сжатия.

Одной из основных характеристик некоторых типов сред является дисперсия волн, указывающая, что фазовая скорость волны (и частота) являются функциями волнового числа. Хотя дисперсия и не является атрибутом распространения гармонических упругих волн в бесконечной области, она является свойством упругих слоистых структур. Дисперсионное уравнение, или частотное уравнение, получается подстановкой решения в форме распространяющейся волны в уравнения движения и граничные условия и одновременного их удовлетворения. Бесконечное число решений дисперсионного уравнения для каждого волнового числа описывает частотный спектр бесконечного количества мод. Это уравнение обеспечивает нас фундаментальными свойствами распространения волн. Дисперсионная природа распространения волн в бесконечной упругой плите была впервые обнаружена Lord Rayleigh (1888−1889) и Lamb (18 891 890), где были выведены частотные уравнения для волн сжатия и изгибных волн плоской деформации. Природа низких (фундаментальных) мод передачи волн и физика волн которую они формируют были позднее установлены Lamb (1917) и Davies (1948). Более поздние работы Holden (1951), Tolstoy к Usdin (1957), Mindlin (I960) и другие открыли природу более высоких действительных мод, называемых гармониками. Позднее эти исследования были расширены на более сложные случаи, включая анализ трансверсально изотропного упругого слоя в Green (1982), многослойных армированных волокнами композитов в Achenbach & Herrmann (1968) и Baylis к. Green (1986) и структур периодически слоистых моноклиническими слоями в Nayfeh (1991). Из-за сложности основных дисперсионных уравнений, большинство результатов в этих статьях были получены с помощью численного анализа дисперсионных уравнений. В недавних статьях показана ценность и потенциально высокая полезность асимптотического анализа дисперсионных уравнений, особенно по отношению к определению динамической реакции на высокоскоростные ударные воздействия или построению приближенных теорий, см. например Kossovitch &- Rogerson (1999), Kaplunov et al. (2000). В частности, подробное исследование природы дисперсионного уравнения требуется до численного обращения интегральных преобразований при определении реакции на ударные воздействия, см. например Rogerson (1992) и Green (1993).

Аналитические и численные методы для анализа дисперсионных уравнений были также обобщены для предварительно напряженной несжимаемой плиты, см. Ogden & Roxburgh (1993) и Rogerson & Fu (1995), для некоторых типов многослойных сред, см. Rogerson & Sandiford (1996) и Rogerson & Sandiford (2002), для почти несжимаемой среды, см. Sandiford & Rogerson (2000) и для трансверсально изотропных плит, см. Kossovitch et al. (2002а). Однако, алгебраическая сложность дисперсионных уравнений для некоторых структур делает привлекательными приближенные теории, где упрощенные модели позволяют предсказать динамическое поведение для некоторых режимов распространения волн. Существуют хорошо известные структурные теории более низкого порядка, в основном основанные на физических гипотезах, например теории плит Кирхгофа и Миндлина, теория оболочек Кирхгофа-Лява и улучшенные теории Тимошенко-Рейсснера, см. например Lord Rayleigh (1877), Love (1927), Timoshenko (1938), Mindlin (1955), Reissner (1964). В этих теориях делаются попытки совместить обычную физику точной теории (высокой размерности) с упрощениями элементарных теорий. Диапазон применимости этих теорий обычно ограничен, например низкочастотная и длинноволновая область фундаментальной моды в частотном спектре. Корректно предсказывая распространение волн в ведущем порядке, эти теории не всегда полностью согласуются с точной трехмерной теорией.

Позже были многочисленные попытки доказать корректность приближенных теорий без каких-либо физических предположений. Для этого применялся метод асимптотического интегрирования точных трехмерных уравнений движения, см. например Goldenveiser (1966). Совсем недавно этот метод был расширен для динамических задач, также позволяя улучшить приближеиные теории, учитывая длинноволновый и коротковолновый вклад мод, см. Achenbach (1969) в контексте стационарных колебаний изотропного упругого слоя и Berdichevskii (1977), см. также Kaplunov (1990) для нестационарных задач. Полный и подробный перечень асимптотических методов, требуемых для определения динамической реакции тонкостенных упругих конструкций может быть найден в Kaplunov et al. (1998). Недавно были разработаны некоторые предварительные приближенные теории для трансверсально изотропной и несжимаемой предварительно нагруженной плиты, см. Kaplunov et al. (2000), Pichugin &- Rogerson (2002).

Целью данной диссертации является вывод серии длинноволновых моделей для выявления динамической реакции несжимаемых трансверсально изотропных плит. Диссертация организована следующим образом. Вывод основных разрешающих уравнений и анализ дисперсии гармонических волн в упругой плите из несжимаемого трансверсально изотропного материала приводится в главе 1. Рассматривается несжимаемое трансверсально изотропное упругое тело, находящееся в естественном состоянии равновесия при отсутствии деформаций. Относительно этого состояния, бесконечно малые, зависящие от времени движения, задаются в форме распространяющихся волн. Сначала выводятся линеаризованные уравнения движения и линеаризованное условие несжимаемости. Характеристическое уравнение выводится из условия существования нетривиальных решений для плоской волны из разрешающих уравнений и условия несжимаемости. Мы рассматриваем распространение гармонических волн t в плите со свободными лицевыми поверхностями, имеющей конечную толщину и бесконечную в продольном направлении. Решения характеристического уравнения могут быть использованы для представления соответствующих волновых решений в перемещениях и напряжений как суперпозиции линейно независимых функций. После подстановки этих решений в граничные условия, получаем однородную систему из шести уравнений с шестью неизвестными. Симметрия задачи позволяет разделить систему на симметричные и антисимметричные решения, которые приводят к, так называемым, дисперсионным уравнениям расширения и изгиба. Данные уравнения затем анализируются численно для выявления их принципиальных свойств, а также для того, чтобы выделить различные асимптотические режимы распространения волн.

После проведенного в главе 1 численного анализа, во второй главе мы сосредоточиваемся на асимптотическом анализе дисперсионных уравнений, соответствующих распространению гармонических волн в несжимаемой транс-версально изотропной плите при отсутствии напряжений на лицевых поверхностях. Исследование включает вывод асимптотических разложений для малых и больших значений волнового числа, задающих фазовую скорость (или частоту) как функцию волнового числа для каждой ветки. Сначала выводятся длинноволновые асимптотические разложения для фундаментальных волн изгибной и продольной составляющих. Полученные асимптотические приближения второго порядка согласуются с численным решением дисперсионного уравнения в приемлемом диапазоне волновых чисел. В длинноволновом высокочастотном режиме получены разложения третьего порядка для двух семейств частот запирания для изгибной и продольной составляющих. Проведенное сравнение этих разложений с численным решением показывает совпадение в окрестности частот запирания. Коротковолновые приближения дисперсионного уравнения выводятся для многих возможных комбинаций параметров материала, описывая различную реакцию материала, включая осцилляции гармоник при kh —> оо. Для коротковолнового низкочастотного типа движения показано, что предел при большом значении волнового числа для фундаментальных мод изгибной и продольной составляющих является скоростью соответствующей поверхностной волны Релея. Материал второй главы послужил основой для статьи Kossovitch et al. (2002а).

Вывод моделей более низкой размерности мотивируется стремлением сократить количество существенных параметров таким образом, чтобы было возможно выявлять качественные особенности процесса. В главе 3 мы начинаем с двух длинноволновых низкочастотных моделей, одна для симметричных, а другая для антисимметричных движений. Численный и асимптотический анализ соответствующих дисперсионных уравнений был выполнен в первых двух главах, показывая, что существуют два конечных длинноволновых предела дисперсионного уравнения, связанного с продольной составляющей и один предел в случая изгибного движения. Полученные асимптотические разложения позволяют нам проанализировать асимптотическую структуру распространения волн в соответствующем длинноволновом низкочастотном режиме. Затем определяются относительные порядки перемещений и вводится соответствующее масштабирование пространственных и временных переменных для представления уравнений движения, условия несжимаемости и граничных условий в форме, подходящей для асимптотического интегрирования. Это позволяет получить иерархическую систему краевых задач для различных асимптотических порядков. Решая данную систему для каждого порядка, мы получаем решения для компонент перемещения и давления в терминах прогиба срединной поверхности для изгибных волн и в терминах разрешающих расширений для продольных перемещений. Данные функции могут быть получены как решения соответствующих разрешающих уравнений. Корректность данного подхода демонстрируется тем фактом, что дисперсионное уравнение, связанное с асимптотическим разрешающим уравнением более низкого порядка, совпадает с соответствующим приближением точного дисперсионного уравнения, выведенного во второй главе. Для иллюстрации потенциальных приложений данных длинноволновых низкочастотных моделей более низкого порядка сформулированы и решены некоторые модельные задачи на ударную нагрузку.

Закончив вывод асимптотически корректных моделей для длинноволнового низкочастотного движения, в главе 4 мы обращаемся к длинноволновым высокочастотным моделям в трансверсально изотропной несжимаемой плите. Асимптотический анализ, проведенный в главе 2 показал, что существует два различных асимптотических случая, связанных с двумя семействами частот запирания. Разложения второго порядка, полученные в главе 2 позволяют определить относительные порядки перемещений и давления для данного типа движения. Также вводится соответствующее масштабирование пространственных координат и времени. Асимптотически приближенные уравнения выводятся для построения асимптотической модели, позволяющей нам представить перемещения и давление в терминах одной функции, называемой длинноволновой амплитудой. Разрешающие уравнения ведущего и уточненного второго порядка получаются из условия существования решения в процессе вывода модели. Корректность полученных двумерных моделей демонстрируется сравнением каждого точного дисперсионного уравнения связанного с разрешающими уравнениями с соответствующим асимптотическим разложением дисперсионного уравнения, связанного с полной трехмерной теорией, полученным в главе 2. В конце данной главы коротко обсуждаются некоторые интересные особенности асимптотических моделей, связанные с возможным существованием отрицательной групповой скорости.

Заключительная пятая глава посвящена построению длинноволновых асимптотических моделей более низкой размерности применительно к нерастяжимому в направлении волокон материалу. Мы начинаем с короткого обзора разрешающих уравнений и вывода дисперсионных уравнений для симметричных и антисимметричных движений в плите, состоящей из данного материала. Затем выполняется численный и асимптотический анализ, позволяющий выявить, что, в отличии от растяжимого случая, длинноволновый предел антисимметричной фундаментальной моды не равен нулю. Это объясняется тем, что наложенное условие нерастяжимости препятствует изгибу в классическом смысле. Для полноты, приведены также коротковолновые асимптотические приближения. Затем выводится асимптотическая модель более низкой размерности для длинноволнового движения в окрестности частот запирания. Способом, похожим на описанный в главе 4, выводится иерархическая система, приводящая к системе краевых задач, которая решается способом асимптотического интегрирования. НДС определяется в терминах одной функции, называемой длинноволновой амплитудой, в терминах которой и получены разрешающие уравнения ведущего и уточненного второго порядка. На каждом порядке дисперсионное уравнение, связанное с разрешающим уравнением для длинноволновой амплитуды, совпадает с приближениями точного дисперсионного уравнения. Похожий анализ проводится для длинноволнового низкочастотного движения, связанного с фундаментальной модой. Асимптотическая корректность снова показывается по отношению к длинноволновому низкочастотному движению.