Рациональные аппроксимации некоторых классов голоморфных функций

Как обычно, символами N, Z, R и С обозначим соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел. Пусть С (Е) — пространство непрерывных функций / на замкнутом множестве Е С С с равномерной нормой f\c (E) =max|/(z)|. zbtb.

Если тип принадлежат множеству целых неотрицательных чисел Z+, то rmn (Rmn) — совокупность рациональных функций с действительными (комплексными) коэффициентами, степень числителя которых не превосходит т, а степень знаменателя — п. Для непрерывной на Е функции д положим rm, n (f> Е] д) = inf ||(/ - г) д\с (Е), Rm, n{f, Е-д) = inf ||(/ - г) д\С{Е)vdzri т, п.

Запись, А ~ 5, означает, что при т -± п —> оо эти величины эквивалентны. Символом о (-) обозначаются различные бесконечно малые величины (по отношению к стоящему в скобках) при m + п —>¦ оо.

В главе I получены асимптотики наилучших рациональных прибли-. жений со специальным весом в равномерной норме некоторых экспоненциальных функций на отрезке [—1,1] и на замкнутых односвязных областях из комплексной плоскости С, ограниченных лемнискатами, определяемыми аппроксимируемой функцией.

Теорема 1. Если заданы числа т, п Е, а? К, действительная величина (3 = о (у/т + п) при т + п оо и фиксирован многочлен Чебы-шева Tk (x) = cos (&arccos ж), то справедлива асимптотика rkmkn (eaTkix[-1,1]- е^^) ~ ' 1 w -—, m + n оо. m’A" v 'L ' J' У 2m+n (m + ro)!(m + го + 1)!

Эта теорема, в частности, показывает, что найденная асимптотика имеет главный член, который не зависит от весовой функции несмотря на то, что в каждом из концов отрезка [—1,1] вес может или достаточно быстро расти или убывать к нулю. В случае к = 1 приведенная теорема даёт асимптотическое равенство г л am+n+lmn rmn (е, -1,11- ер~ ——————, m + п оо, v L J ' 2m+n (m + n)!(m + n + l)!' которое при m — n и /3 = — а получено Г. Неметхом в работе [18], при {3 = 0 и, а = 1 —Д. Браессом [25], при j3 = — (m + 3n)/2(m + n) и, а = 1 — Д. Ньюманом [32].

Теорема 2. Если заданы числа m, n? Z+, а > 0, действительная величина /3 = о (у/т + п) при m + п —"¦ оо и многочлен Р^ с действительными коэффициентами степени к такой, что лемниската С{а) = {(? С: |Fa-(C)I = а) ограничивает односвязную замкнутую область Ga, то при т + п —> оо справедливы асимптотики пт+п+1гпп т + п)!(т + п + 1)!

Приведённая теорема при JPa (C) — «С?^а =? С: z < 1} и /3 = О содержит результат JI. Трефетена [40]:

Rm., n (e 1{z < I}? l) ~ 7——^77-г——гтт, m + n->oo. v (m + n)!(m + п + 1)!

1. Вернштейн С. Н. Собрание сочинений. Т. 1. Конструктивная теория функций. М.: Изд-во АН СССР, 1954.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Москва, 1965.

3. Вейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986.

4. Буланов А. П. Асимптотика для наименьших уклонений х от рациональных функций // Матем. сб. 1968. Т. 76(118). N 2. С. 288−303.

5. Вячеславов Н. С. О равномерном приближении функции |ж| рациональными функциями // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220. N 3. с. 512 515.

6. Вячеславов Н. С. О наименьших уклонениях функции signx и ее первообразных от рациональных функций в метриках Lp, 0 < р < оо // Матем. сб. 1977. Т. 103(145). N 5. с. 24−36.

7. Вячеславов Н. С. Об аппроксимации ха рациональными функциями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. N 1. с. 92−109.

8. Вячеславов Н. С. О рациональных приближениях функций, аналитических в угле // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1992. N 4. С. 53−60.

9. Вячеславов Н. С. Рациональные аппроксимации некоторых классов аналитических функций // Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» (27 апреля-3 мая 1995 г.). Тезисы докладов. Москва. 1995. С. 87−88.

10. Гончар А. А. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями // Матем. сб. 1967. Т. 73(115). N 4. С. 630−638.

11. Гончар А. А. Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения // Матем. сб. 1967. Т. 72(114). N 3. С. 489−503.

12. Гончар А. А. О рациональной аппроксимации функции ха // Тр. Международной конференции по конструктивной теории функций. Варна. 19−25 мая. 1970.

13. Гончар А. А. Скорость рациональной аппроксимации и свойство однозначности аналитической функции в окрестности изолированной особой точки // Матем. сб. 1974. Т. 94(136). N 2. С. 265−282.

14. Гончар А. А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Матем. сб. 1978. Т. 105. N 2. С. 147−163.

15. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва. «Наука». 1971.

16. Дзядык В. К. Об асимптотике диагональных аппроксимаций Паде функций sin 2, cos z, shz, chz // Матем. сб. 1979. Т. 108. N 2. С. 247 267.

17. Математическая энциклопедия. Москва. «Советская энциклопедия». 1985.

18. Неметх Г. Об одном относительном приближении функции еж // Матем. заметки. 1977. Т. 21. N 4. С. 581−586.

19. Пекарский А. А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. Вып. 2. С.121−132.

20. Рамазанов А. К. Приближение функции ха рациональными дробями // Тезисы конференции «Молодежь и общественный прогресс». Махачкала. 1978.

21. Уолш Дж. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М. ИЛ. 1961.

22. Шталь Г. Наилучшие равномерные рациональный аппроксимации х на -1,1] // Матем. сб. 1992. Т. 183. N 8. С. 85−118.

23. Andersson J. Rational approximation to functions like xa in integral norms // Anal. Math. 1988. V. 14. N 1. P. 11−25.

24. Braess D. On the conjecture of Meinardus on rational approximation of ex. I // J. Approx. Theory. 1982. V. 36. P. 317−320.

25. Braess D. On the conjecture of Meinardus on rational approximation of ея. II // J. Approx. Theory. 1984. V. 40. P. 375−379.

26. Braess D. On rational approximation of the exponential and the square root function // Lect. Notes Math. 1984. V. 1105. P. 89−99.

27. Ganelius T. Rational approximation to xa on 0,1] // Anal. Math. 1979. V. 5. N 1. P. 19−33.

28. Meinardus G. Approximation of functions: Theory and Numerical Methods. Springer. N.-Y. 1967.

29. Newman D. Rational approximation to |a-| // Michigan Math. J. 1964. V. 11. N 1. P. 11−14.

30. Newman D., Reddy A. Rational Approximation to ex and to Related Functions // J. Approx. Theory. 1979. V. 25. P. 21−30.

31. Newman D. Rational Approximation to ex j j J. Approx. Theory. 1979. V. 27. P. 234−235.

32. Newman D. Optimal Relative Error Rational Approximations to ex // J. Approx. Theory. 1984. V. 40. P. 111−114.

33. Perron O. Die Lehre von den Kettenbriichen, II. 3 Aufl. Teubner. Stuttgart. 1957.

34. Saff E. The convergence of rational functions of best approximation to the exponential function, II // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V. 32. P. 187−194.

35. Saff E. On the Degree of Best Rational Approximation to the Exponential Function //J. Apptox. Theory. 1973. V. 9. N 2. P. 97 101.

36. Stahl H. Uniform Rational Approximation of x // Methods of Approximaion Theory in Complex Analysis and Mathematical Physics. USA-USSR Workshop. International Euler Institute. Leningrad. 1326 May. 1991.

37. Stahl H. Best uniform rational approximation of xa on 0,1] // Bui. Amer. Math. Soc. 1993. V. 28. N 1. P. 116−122.

38. Stenger F. Polynomial, sine and rational function methods for approximation analytic functions // Lect. Notes Math. 1983. N 1105. P. 49 72.

39. Trefethen L. Rational Chebyshev approximation on the unit disk // Numer. Math. 1981. V. 37. P. 297−320.

40. Trefethen L. The Asymptotic Accuracy of Rational Best Approximations to ez on a Disk //J. Approx. Theory. 1984. V. 40. P. 380−383.

41. Воротников В. В. О рациональной аппроксимации экспоненты в равномерной метрике // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1997. N 5. С. 21−24.