Вопросы теории циклотронных колебаний в открытых ловушках и токамаках

I" Актуальность и основная цель диссертации. Обзор теории циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле.

Электромагнитные колебания при распространении в плазме, находящейся в магнитном поле, могут резонансно взаимодействовать с заряженными частицами. Для этого нужно, чтобы частота колебаний была близка к частоте циклотронного вращения частиц или к одной из ее гармоник ОО^уии^, где ^ = е, ^ - - целое число. Такие колебания часто называют циклотронными в широком смысле этого слова.

Если в плазме распространяются электромагнитные колебания с волновым вектором к, условие циклотронного резонанса имеет вид со — къ — о. (I).

В общем случае в этом выражении следует учесть также релятивистскую зависимость циклотронной частоты от скорости частицы еи где СО- -, д — , — масса покоя частицы.

Магнитное поле в реальных ситуациях всегда бывает неоднородным. Это оказывает существенное влияние на циклотронный резонанс. При распространении электромагнитных колебаний в неоднородном магнитном поле резонансное взаимодействие происходит вблизи точки, где =. От этой области, называемой резонансной, о.

часть энергии колебаний может отражаться, а внутри нее наряду с поглощением может происходить трансформация колебаний в плазменные.

Способность циклотронных колебаний передавать энергию частицам широко используется для нагрева плазмы в различных термоядерных установках. Поэтому одной из основных задач теории циклотронных колебаний является задача о циклотронном нагреве, и прежде всего определение доли энергии, поглощаемой плазмой, то есть коэффициента поглощения^. Часто его находят, интегрируя вдоль лучевых траекторий коэффициент затухания, полученный для случая однородного магнитного поля. Этот подход, полезный для некоторых целей, не позволяет, однако, исследовать вопрос об отражении и трансформации колебаний. Для этого нужно более корректно учесть неоднородность магнитного поля.

Циклотронные колебания применяются также для диагностики плазмы. Задачей теории в этой области является разработка новых методов диагностики, применимых в различных экспериментальных ситуациях. Как правило, неоднородность магнитного поля является при этом существенным фактором.

Взаимодействие циклотронных колебаний с неравновесной плазмой может приводить к различным неустойчивостям, например, в открытых ловушках. Следовательно, в теорию циклотронных колебаний следует включить задачу об устойчивости плазмы. Неоднородность магнитного поля и здесь вносит ряд существенных особенностей, поэтому ее следует учитывать.

Таким образом, исследование взаимодействия циклотронных колебаний с плазмой в неоднородном магнитном поле, что составляет основную цель диссертации, является, несомненно, актуальным как для физики плазмы, так и для исследований по управляемому термоядерному синтезу. В диссертации рассмотрен ряд задач, входящих в перечисленные области теории циклотронных колебаний. Конкретные постановки задач будут описаны ниже, а здесь представляется целесообразным изложить основные положения теории циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле. Это облегчит чтение основного содержания диссертации и позволит понять, какое место в теории занимает настоящая диссертация.

Следуя / I /, рассмотрим процессы, происходящие в окрестности резонансной точки. Рассмотрим движение электрона под действием электрического поля, перпендикулярного магнитному, и вращающегося в сторону циклотронного вращения электронов с частотой ЬО. Пусть величина магнитного поля изменяется в продольном направлении, где ось 02 направлена по п (это справедливо, например, вблизи оси открытой ловушки). Уравнение движения сводится к виду где М".-^ - и, Е ~ • Можно найти асимптотическое выражение для V" (А) на больших интервалах времени. При где — момент резонанса — сО>, получаем ^.

При выражение изменяется из-за вклада резонансной точки.

Ч I) ^ со-и^ОгСО:) '.

Размер резонансной зоны найдем из условия, что в ней разность фаз циклотронного вращениями колебаний не превышает: ч.

Полагал вблизи резонансной точки И fe") е Н 0 0 «» получаек. оценку времени резонансного взаимодействия размера резонансной зоны Д" £ с:, где vu Нетрудно получить оценку приращения энергии электрона в резонансной зоне Д ?.. Можно считать, что за время пролета резонансной зоны A" t циклотронная частота электрона равна частоте электрического поля, при этом Д с.= ~ 1 aV = ——v^no = ;

2. Zvw WV"U? в д£- не включен член, линейный по Е, так как при рассмотрении группы электронов, равномерно распределенных по фазе циклотронного вращения, он в среднем равен нулю).

Рассмотрим теперь поток электронов, имеющих одинаковую скорость V, вдоль магнитного поля и равномерно распределенных по пространству. В резонансной точке электроны получают приращение скорости, то есть модулируются волной. Затем это приращение скорости сносится электроном вдоль поля со скоростью V, и вращается с локальной циклотронной частотой СО^). За резонансной точкой, таким образом, появляется электрический ток круговой поляризации * и индуцируемое им поле. Фазу этого тока найдем из (2). Подставляя в выражение для фазы приращения скорости civ.

— ч.

СЛ^^^Х)) I уравнение траектории электрона Ха= X — • ^ г- * и находил, что.

3).

Так как процесс стационарный, токи имеют частоту волны.

Таким образом, в резонансной точке происходит возбуждение вторичных волн, которые мы будем называть модулированными пучками. Эти волны аналогичны волнам Ван-Кампена / 2 /, с тем отличием, конечно, что в волнах Ван-Кампена модулирована плотность пучков, а в нашем случае — скорость поперечного движения.

Е> предыдущих рассуждениях для простоты рассматривалось переменное электрическое поле, однородное в пространстве. Реально в плазме существуют электромагнитные колебания, причем их амплитуда неоднородна, так как токи, индуцируемые волной, влияют на саму волну. В работе / 3 / был изучен циклотронный резонанс электромагнитной волны, распространяющейся вдоль магнитного поля в плазме, все электроны которой движутся с одинаковой скоростью V,. Пусть поле спадает. линейно с расстоянием: СО^ С.^") в со (ЛН V, > О • При этом можно получить следующее волновое уравнение: ^.

0 =0 • ^.

Это интегро-дифференциальное уравнение сводится к дифференциальному уравнению третьего порядка с малым коэффициентом при старшей производной. Вдали от резонансной точки оно имеет два типа решений: крупномасштабное, соответствующее электромагнитной волне, и мелкомасштабное, представляющее собой поле модулированного пучка. Выражение для фазы мелкомасштабного решения совпадает с (3). Вблизи резонансной точки происходит трансформация электромагнитной волны в мелкомасштабные колебания.

В работе / 3 / методом преобразования Лапласа было найдено решение, соответствующее волне, падающей на резонансную точку со стороны большого магнитного поля. Из этого решения следует, что амплитуда электромагнитных колебаний уменьшается после прохождения резонансной точки, причем коэффициент прохождения равен следующей величине: — Т^ксл- ^.

С со с.

Коэффициент трансформации равен, соответственно.

Пусть теперь функция распределения электронов по продольным скоростям обладает тепловым разбросом. Будем рассматривать ее как набор пучков. Каждый из этих пучков модулируется в резонансной точке., однако из-за того, что фаза модулированного пучка зависит от, на некотором расстоянии от резонансной точки поля отдельных пучков из-за интерференции погасят друг друга. Нетрудно оценить по порядку величины это расстояние. Из (3) следует, что фазы отдельных пучков сдвинуты на ЧГ при где А4″ /, — величина теплового разброса. Если ДУ"~УИ, как при максвелловском распределении, то После интерференции полей модулированных пучков движение утрачивает упорядоченность, поэтому можно считать, что энергия модулированных пучков переходит в тепловую.

Волновое уравнение, учитывающее резонансное взаимодействие для плазмы с максвелловской функцией распределения электронов, было рассмотрено в работе / 4 /. Это уравнение оказывается весьма сложнюл, интегральным (в отличие от (4) в нем проводится еще интегрирование по продольным скоростям). Анализ его показал, что поле модулированных пучков необходимо учитывать в окрестности резонансной точки ?

С, к н£) и в некогАш тором секторе нижней (а при > О — верхней) половины плоскости комплексной переменной 2. Вне этих областей полное волновое уравнение можно свести к упрощенному и²- {,. со а.

5).

А*4- ' слЛ^* ° >

Гл — о где у^. Здесь по-прежнему считается, что величина магнитного поля изменяется лишь в продольном направлении.

Это уравнение отличается от случая однородного магнитного поля лишь тем, что магнитное поле считается изменяющимся параметром. Такие уравнения принято называть адиабатическими. В резонансной точке, где, адиабатическое волновое уравнение имеет особенность. Вблизи этой точки становятся важны кинетические эффекты, связанные с движением электронов вдоль поля, которые данное уравнение не учитывает. Для продолжения решения через резонансную точку нужно выйти в комплексную плоскость, причем при особенность следует обходить сверху, а при Л 15. (лъ снизу.

Епервые уравнение (5) было применено для исследования циклотронного резонанса в работе / 5 /. Там исследовались необыкновенные колебания, распространяющиеся вдоль магнитного поля. Уравнение (5) было получено при гидродинамическом описании движения электронов, а для продолжения решения через особую точку использовалось правило обхода Ландау. Поясним, что оно означает в данном случае. Будем считать, что частота волны имеет небольшую мнимую часть, соответствующую переходу к нарастающим колебаниям. Особая точка уравнения при этом смещается с действительной оси вниз при < о и вверх при х^г > о. Таким образом, сЛы особенность надо обходить сверху прид— <0 и снизу при.

0 .В упомянутой выше работе / 4 / правило обхода Лана" ?: дау для этого случая было обосновано строго.

С помощью адиабатического уравнения, дополненного правилом обхода Ландау, были определены коэффициенты прохождения, отражения ^ и поглощения. Выражения для коэффициентов взаимодействия различаются в зависимости от направления распространения волны. Будем для определенности считать, что величина магнитного поля монотонно убывает с координатой 2: НС^" ^^. Тогда при распространении колебаний со стороны меньшего поля.

Р). (б) 0 ' ю с.

При распространении колебаний в обратном направлении г=еГг, о, ^ = л-е г.

Б работе / 6 / применимость адиабатического уравнения, дополненного правилом обхода Ландау, была обоснована для произвольных.

I ^ | ^ углов = и^^И и 9 = К" 4 Н (кроме ® и V, близких к Там было показано, что ив этом более общем случае вне резонансной зоны и в соответствующей половине комплексной плоскости интегральное уравнение переходит в дифференциальное адиабатическое уравнение. При наклонном распространении колебаний (®^ 0) в этом уравнении нужно учитывать тепловые поправки, соответствующие электронному давлению при гидродинамическом описании.

Циклотронное резонансное взаимодействие колебаний, распространяющихся наклонно под произвольным углом в к магнитному полю (отличным, однако, от ^)" было проанализировано в работах / 7,8 /. В / 7 / при анализе полагалось, что О, а в / 8 / рассмотрен случай Ч*^ о .

Заканчивая краткое изложение основных положений теории циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле, можно резюмировать, что к настоящему времени имеется достаточно ясная физическая картина этого явления. Для многих случаев получены также количественные характеристики резонансного взаимодействия. Имеется, однако, несколько вопросов, интересных как для теории, так и для практики, не подучивших еще корректного рассмотрения. Эти вопросы рассматриваются в настоящей диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Сформулируем основные физические результаты, полученные в диссертации.

1. Проведено исследование электронного циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле, не ограниченное рамками адиабатического приближения. Показано, что для определения коэффициентов поглощения и отражения колебаний, распространяющихся со стороны меньшего магнитного поля, вообще говоря, необходимо пользоваться волновыми уравнениями, основанными на кинетическом описании движения электронов и полностью учитывающими резонансные эффекты. Установлены пределы применимости адиабатических уравнений.

2. Подробно изучен случай поперечного распространения колебаний (4). Показано, что релятивистская зависимость электронной циклотронной частоты от энергии приводит к уменьшению отражения и увеличению поглощения колебаний в резонансной зоне, если I 1. Для обыкновенных колебаний на первой гармонике и необыкновенных — на второй, учитывая практическую важность этих случаев, были проведены численные расчеты коэффициентов взаимодействия в широком диапазоне параметров.

3. Показано, что в плазме малой плотности циклотронный резонанс при продольном распространении представляет собой нелокальное явление. Такое представление позволило наглядно объяснить многие особенности циклотронного резонанса в неоднородном магнитном поле. Показано, что следующие кинетические эффекты: релятивизм, продольное ускорение электронов под действием неоднородности магнитного поля и нелинейный профиль магнитного поля приводят к уменьшению отражения при.

С2- ^.

4. Установлено, что в поперечно-неоднородном магнитном поле ^ нЬ Ц) ограничение продолжительности резонансного циклотронного взаимодействия, вызванное эффектом захвата электронов волной конечной амплитуды, приводит к уменьшению поглощения при.

1 «где Е» — амплитуда волны, Л — ширина.

СчН ' волнового пучка, измеренная вдоль И.

5. Показано, что существует принципиальная возможность экспериментального определения параметров функции распределения высокоэнергичных электронов в токамаке по циклотронному поглощению колебаний, зондирующих плазму в вертикальном направлении.

6. Показано, что анизотропия функции распределения ионов по скоростям, характерная для открытых ловушек, может приводить к раскачке магнитозвуковых колебаний. Эта неустойчивость в отличие от хорошо известной неустойчивости альфвеновских колебаний раскачивается не только на ионной циклотронной частоте, но и на ее гармониках. Возможно, что обсуждаемая неустойчивость наблюдалась на установке ТМХ.