Равномерное приближение непрерывных функций многих переменных

В диссертации рассматриваются экстремальные задачи для непрерывных действительных функций многих переменных. Вычисляются точные верхние грани функционалов на n-мерных классах, определяемых выпуклыми модулями непрерывности и решаются некоторые экстремальные задачи для периодических функций многих переменных, связанные с нахождением уклонений линейных методов.

Вычисление верхних граней уклонений линейных методов на классах непрерывных периодических функций (классы ШгНш и др.) является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено очень много работ: А. Лебег [18], А. Н. Колмогоров [13], С. М. Никольский [20−23], Б. Надь [19], C.B. Стечкин [33−35], С. А. Теляковский [36, 37], A.B. Ефимов [9−11], Н. П. Корнейчук [14−17], В. К. Дзядык [8], А. И. Степанец [28−32], Л. В. Жижиашвили [12], В. Н. Темляков [39], С. А. Теляковский и В. Н. Темляков [38] и др.

С наибольшей полнотой исследован случай одной переменной. Доказательство большинства точных результатов опиралось на известную лемму Корнейчука-Стечкина [16]. Случай функций многих переменных менее изучен. Многомерный вариант леммы Корнейчука-Стечкина исследовался А. И. Степанцом [31]. В простейшей экстремальной задаче в двумерном случае им было получено полное решение, а для больших размерностей — оценка сверху и решение только в случае симметричных ядер.

Пусть п? Nдля а, Ъ G Мп.

РаЪ = [аМ] X. х [ап, Ьп] n-мерный прямоугольникС (Раь) — множество непрерывных действительных на Раь функций;

H{jPab) = {/ G C (Pab): f (x)-f (y) < ?Wiflsi-y,-1), x, y G Раъ ^ i=i) где cji (xi), i — 1 ,., n — одномерные модули непрерывности [31, с. 12−17].

Первая глава посвящена решению экстремальной задачи о нахождении точных верхних граней функционалов с JL ${x)f{x)dx, ф (х) = Цфг{х^ (0.1).

JPab i = 1 на классах Н^ (Раь) •.

В § 1 рассматривается простейшая экстремальная задача на классе Н^Раъ).

Для, а < j < (3 обозначим через V^[a, f3] множество действительных суммируемых на [а, (3] функций (p (t), удовлетворяющих условиям: Lp (t) > 0 почти всюду на (а, 7),.

< 0 почти всюду на (7,/3), f^(p (t)dt = 0 (см. [31, с. 17−18]). Такие функции называются одномерными простейшими ядрами. Для с, х? Раъ функции вида п.

Ф{х) = П^М' Фг €Vci[ai, bi, г = 1,., п, i=1 называются многомерными простейшими ядрами. Множество многомерных простейших ядер ф обозначим через Vc{nPab). Отметим, что ф (х) > 0 почти всюду на n-мерном прямоугольнике Рас = [abci] х. х [ап, сп].

Для многомерного простейшего ядра ф Е УсПРаь) рассмотрим экстремальную задачу о точной верхней грани функционала (0.1) на классе Н^{Раъ)^ которую также назовем простейшей. Положим.

8(ф, и) = Е{ф, Н^Ра ь))= sup feHin)(Pab) ф (x)f (yx) dx.

РаЪ.

0.2).

А.И. Степанец [31, с. 71] получил оценку сверху ф, со) ^ 2п~1 / ф (х) min tui (gi (xi) — Xi) dx. (0.3).

Рас.

1 ??<71 где Qi (xi) = Qi (xi^i), i = 1,., n — функции, которые определяются на [аг-, сг] посредством равенств pXi PSi (xi) фг^{) dti = / lf>i (ti)dti, di ^ Xi ^ Ci ^ Qi (xi) < bi. (0.4).

J cii J ai.

Множество всех функций Qi (xi, ipi) обозначим через д (ф): д (ф) = {Qi (Xi, ф{): i = 1,., п].

Основным результатом § 1 является построение экстремальной функции, доказывающей точность оценки (0.3) для произвольного ядра ф и произвольных выпуклых (вверх) модулей непрерывности при всех п > 3.

Теорема 1.1 [4]. Если п ^ 3, Ш{(х{), г = 1,. ., п — выпуклые модули непрерывности, ф = ф ¦. ¦ фп Е УсПРаь) — многомерное простейшее ядро, то ф, и) = 2П~1 / ф (х) min Ui (gi (xi) — Х{) dx =.

JPac / ф{х)$*{х)йх,.

JPab где Qi (xi) определяются (0.4) и f*(x) = f*{x, uj, д (ф)) Е H^l)(Pab).

При n = 1 теорема получена Н. П. Корнейчуком и, независимо, С. Б. Стечкиным (лемма Корнейчука-Стечкина [16, с. 190−191]), а при п = 2 — А. И. Степанцом [28].

Для выпуклых модулей непрерывности uji (xi) величина ?(ф, ш) допускает представление свободное от функций Qi (xi), которое дается в § 2 через перестановки.

Пусть.

Фг (жг-) = / ф{{и) dti, Xi Е [аг-, bi], г = 1,., n a, i и для t ^ 0 [а-Л']) = inf{u: mes{х{ E [а,-Д-]: |Фг (^)| > u} < ?}.

0.5) невозрастающие перестановки функций |Фг-(жг-)| = на [аг-, 6г], г = 1,., п, w = Vu{Pab) = min Uiipi — di). (0.6).

1 <�г<�п.

Теорема 1.2 [5]. В предположениях теоремы 1.1 для величины ?(ф, ш) справедливо равенство i= 1 где i = 1,., n — функции (0.5) и определяется (0.6).

При n = 1 теорема получена Н. П. Корнейчуком [16, с. 190−191], а при п = 2 — А. И. Степанцом [30].

В § 1 находится точная верхняя грань функционала (0.1), где каждое из одномерных ядер имеет в точности одну перемену знака на [a, i, bi. В § 3 вычисляется точная верхняя грань функционала (0.1) на классах Липшица в случае, когда одномерные ядра ф{ со специальными свойствами имеют несколько перемен знака на [щ, Ь{]. Пусть, А = (Ai,., An) G Ai > 0,.

Н{А}(Раь) = fe C (Pab): | f (x) — f (y) | < Aixi — у{1 x, ye Pab ^ i= 1 ' класс Липшица. Очевидно, что Н^(Раь) есть частный случай класса Н^раь), определяемого линейными, а, значит, выпуклыми модулями непрерывности uJi (xi) = AiXi, Xi G [о, bi — aj, i = 1,., п.

Для R G N, a < (5 обозначим через множество функций одномерных ядер) (p (t)} удовлетворяющих условию:

— 1)'v е v^ltk, tk+1l k = о, i,., Rl, где tk — а + ^-jr'k и 7*. — некоторая точка из tk+i). Для N G Nn через Vjy ^ (Раъ) будем обозначать множество функций (многомерных ядер) ф (х) = ПГ=1 ^¿-(ж,-), х еРаь, где ^ G Vhbi], i = 1,., п.

На классе Н^ {Раь) рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины.

А (ф) = 8{ф1Н^РаЬ)) = sup ен^ЧРаъ) Jp-b ф{x)f{x) dx с многомерным ядром ф = ф •. • фп? Пусть для г = 1,., п,? ^ О X i.

Vi{xi)= i/>i{ti)dti, (0.7) ai невозрастающие перестановки функций |Фг-| на [а: /3], Ni-l.

P[aM (t, «^^»?(Mi'r'l), 4k)=°i + ~ik (0.8) fc=0 г.

Е-перестановки Корнейчука [16, гл. 6] функций |Ф-| на i = v{AN, Pab) = min Ai^-^. (0.9) l^i^n iVj.

Теорема 1.3. Если n ^ 3, ф = фх ¦. ¦ фп? V^Pab), то л (ф)=2П~1 Г =.

J° i= 1 / ф (х)/* (x) dx,.

РаЬ где Р[а^.](?, Ф-), Фг-, г = 1,., п — функции (0.8), (0.7), ¡-л определяли, А ется (0.9) и /*? Н^Раъ) — экстремальная функция, обладающая свойством: х1,.уак)., хп) = (-1) кГ{х1 к = 1,., п.

При п = 1 доказательство теоремы в более общей формулировке содержится в [31, с. 30−35]. При п = 2 теорема по сути доказана А. И. Степанцом в работе [29].

В § 3 также рассматривается одна экстремальная задача на специальном классе Липшица.

Пусть [0, /]та — гг-мерный куб, / > 0- гг.

НЫ ({0,/Г) = /? С ([0,/Г): I/W-/WI < Е Х’У G М i=1 частный случаи класса Липшица Нд^ ([0,1]п), определяемого константами А{ = 1, г — 1,., п. Обозначим.

0,/]") = {/? #(п)([0,/]п): ДО) = 0}.

Для Л 6 М, Д) 2 введем класс /]п) многомерных ядер

Ф{х) = ПГ=1 Фг{хг)> х ё [0,/]П, УДОВЛеТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ.- фг (Хг) > 0 почти всюду на [0, йх{ = 1, ф4 е Уд-^,/], г = 1.

На классе Н^п[0,1]п) рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины ф (х)/(х) ?X.

8(ф) = 8(ф, Н{0п)([0,1]п))= 8ир ея<�п)([о, Г).

0,1]' с ядром ф = фх •. • ф еу£°([0,/]*). Пусть для г = 1,., п,? ^ 0.

Щх{)= [ Фг{и)<1и, Фг-(^кД) (0.10).

Л XI невозрастающие перестановки функций |Фг[ на [а,(3],.

Д-1.

•) = Е [я. ^тг1]). (°Л1) к= 1.

Е-перестановки Корнейчука функций на.

Теорема 1.4. Если п > 3, ф = фг ¦. ¦ фп? ([0,1]п), то.

Г1/К (п 1 / п \ / ф (х)Г (х)йх, ?[0 Ап где Ф,-), Ф", г = 1,., п — функции (0.11), (0.10) и экстремальная функция /*? Н^п[0,1]п).

При п — 1 теорема в более общей формулировке доказывается также, как ив [31, с. 266]. При п = 2 теорема по сути доказана А. И. Степанцом в работе [29].

Знание величины (0.2) и экстремальной функции в (0.2) играет большую роль при нахождении точных верхних граней уклонений линейных методов на классах ]¥-ГНШ непрерывных периодических функций многих переменных.

Пусть п € М, Тп — [—7г, тт) п — п-мерный тор, С (Тп) — пространство непрерывных 27г-периодических по каждой переменной действительных на Тп функций /(ж) с нормой ||/||с = эир f (x), х Е Тпн^ = {/ е С (ТП): |/М — /(у)I < - угI), х, у е где о-г-(жг), г = 1,., п — одномерные модули непрерывности [31, с. 17].

Вторая глава посвящена точному решению некоторых экстремальных задач на классах функций из С (Тп) (классы Липшица Я^ и др.).

В § 1 находится точная верхняя грань норм функций из класса.

Пусть для произвольного г? М" .

Я^Н——.

5 6 С (Тп): дх? ^дх1&bdquo- 6 ЯН,.

У д (ж) йх^ = 0, г = 1,., п|класс функций с г-й смешанной производной из Н^ и нулевым средним значением по каждой переменной. Если для произвольного хетп п.

Вг{х) = ЦВг,{х^, г-1 где оо.

Ви (Х{) = ~ «' = 1,. .., 71 Аг< = 1 одномерные ядра Бернулли [31, с. 211], то известно [39, с. 31], что т^я^ - вг * н^ = = (Вг * /)(*) = I вг (х — *)/(*) Л: / €.

0.12).

На классе WqH^ рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины.

AfP И = sup \д\с. gew-Hin).

При п = 1 точное значение величины М^ {ио) для выпуклого модуля непрерывности ю нашел Н. П. Корнейчук [15]. В § 1, используя теоремы 1.1 и 1.2, находится точное значение величины МгПи) с выпуклыми модулями непрерывности для произвольного п ^ 2.

Положим оо.

Bq (t) = ~Y^k-qcos (kt — -тг.

П k= 1.

Ы*) = ИГ^ЫО, WiW = (-i)sB2s+1(t +1), bq (t) = / bq (u) du, —7Г ^ t ^ 7 Г, —7Г.

0.13) где [а,/3]) — невозрастающая перестановка функции bq на [a,?].

Теорема 2.1 [5]. Если п ^ 2, Ui (xi), г = 1,. ., п — выпуклые модули непрерывности, то где функции P (t, bri), bri, i = 1,., п определяются (0.13) и = min о-г-(7г).

В § 2 рассматривается близкая к задаче § 1 проблема нахождения величины уклонения линейных угловых методов U на классе.

Линейные угловые методы для полиномов изучались М. К. Потаповым [26, 27], С. А. Пичуговым [25], для сплайнов — В. Гордоном [7], М. Шабозовым [42], Н. П. Корнейчуком [17, § 3 гл. 7]) и др.

Пусть г G Мп, г{ > 0, г = 1,., п,? G Zn, n.

Br?(x) = Y[Bri?i{xi), x етп, г-1 где оо.

Вп/з{{х{) = -^к п с0Б (кх{ - г = 1,., п Аг=1 одномерные обобщенные ядра Бернулли [32, с. 29]. Тогда яг-* нр = вгР * нр (о.14) многомерный класс свертки ядра Вгр и класса Н^, являющийся обобщением класса УУЦН^ (0.12).

Пусть для произвольной функции д? С (Тп) п иА (х, д) = ^(-1)к-1 Е иА11., Лгк (х, д) (0.15) к—1 <—-<�г'/с^та линейный метод приближения «углом». Здесь.

А= (ЛЬ., ЛП), Л, — = {А'*}^, ъ = 1,., п последовательности действительных чисел, для 1 ^ ?1 < • • • < ^ иАч .А{к (я, д)= иАч (хгЧ —) •. • иА (х{к — ик) х.

JTk х д{х,., t{1,., tik,., жп) с^^. с^^ и.

1 /1 °°.

UAi{xi) = -(- + гк coskxi J, г = 1,., n одномерные ядра.

На классе рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины.

S (W-?H.

В § 2 показывается, что.

W^H^Uh)= sup ||БГ/3(Л)*/||С, (0.16) где п.

Вг/3(х, А) = Y[Bri/3i (xi, Ai), г=1 — оо.

Вгфг{хг, Аг) = -У>-П (1 — Ъ) с08(кхг.

7 Г z—' к=1.

При некоторых значениях параметров гг-, /Зги Лгядра Bnf3i (xi, Лг-) (0.17) обладают свойствами ядер Бернулли Bri (x{). В этом случае для величины (0.16) можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 2.1. В п. 1 § 2 выясняются достаточные условия на гг-, /Зги Аг-, при которых ядра Brif3i (xi, А{) обладают этими свойствами. При этом вводится следующее определение.

Пусть q > 0, а Е Z, S = — последовательность действительных чисел, оо.

Bqa (t, 3) = -У2 k~qil ~ &) cos (ktIf), -7T^t<7T 7 Г z—' k= 1 одно из ядер (0.17). Будем говорить, что последовательность S обладает свойством A (qo), и писать.

SG A (q0), если <1, — минимальное, при котором k~q°(l — не возрастает при к ^ 1.

В п. 1 § 2 приводятся некоторые примеры классических линейных методов, удовлетворяющих условию A (qo) с различными qQ.

0.17).

Пусть для г = 1,., п, х? Тп и? ^ О.

Л, — € А (г<�н), г0г- > О, Г г0,-+ 2, А = 2(7,-, (0.18) I Г0< + 1, А = 2(7- + 1, ь, Л л Г (-1)^, 2^,^), А = 2(7,-,.

Гг/ЗДЖЬ ^ I (-1)^, 2^ + 1(^ + 1, Л,-), А = 2<7, — + 1,.

Ж, где Ьгф{ Аг-, [а, /3]) — невозрастающие перестановки функций на [о?,/3].

Теорема 2.2 [3]. Если п ^ 1, о-г-(жг), г = 1,., п — выпуклые модули непрерывности, Г{ и А?- удовлетворяют условиям (0.18), то О г=1 где P (i, (Л,-))} bri? i (xi, Ai), i = 1,., n — функции (0.19) и = min Ui{ 7г).

В § 2 находится величина ?(Wq^Ua) (0.16) для многих классических линейных угловых методов однако, только с ядрами Bri? i Лг-) (0.17), имеющими две перемены знака на периоде. Ясно, что аппроксимативные характеристики методов Ua в этом случае невелики. В § 3 вычисляется величина EiW^Ua*), где Н^ — класс Липшица и Ua* — угловой метод Фавара, для которого ядра Вгфг (хг, к*) имеют много перемен знака на периоде.

Пусть для q ^ 0, а? Z 1 = 1 — ^ в-и^-1' (р^п + (fcVr) (°-2°) ъ — 1 при 0 ^ i ^ 1 и? qa{t) — 0 при 1 ^ t < оо. Если для N? N.

Л" ={СГ°(?.в)}?1. ^>(9,")= * = 1,2,., (0.21) qa то функция.

N-1 и^ (*) = - (V Ё (я,") сов А*) ,.

7 г 2 -' } 1 /.

— 7 г ^? < 7 г 1 называется (д, а)-ядром Фавара порядка ТУ — 1. Отметим, что при д = а, д Е это классическое ядро Фавара [32, с. 258−259]. Пусть, А = (Аи., Ап) е Кп, А{ > О, {/ € С (Тп): /(х) — /(у)I < - Ы, т4 г=1 ' класс Липшицаи^я= вг3 * частный случай класса И^Н^ (0.14).

На классе И7^'8Н^ рассмотрим экстремальную задачу нахождения величины вир \д-иА*(д)\с, где иА* — линейный угловой метод (0.15), определяемый последовательностями чисел А* = (А*,., А*):

А* = 5^, Дг € Н, г = 1,., п. (0.22).

Метод 11А* в этом случае называется угловым методом Фавара. Пусть.

1 °° 1 АЮ (В, о (*, В?>) = с" (М-**), (0.23).

7 г ^ к<1 к= 1.

0.24) (-1- 2а (Г, 2стЛ.

Ь (+ -(7Г -(АО Г Н^т, -тг < * < тг. (0.25) —7Г.

В п. 1 § 3 устанавливаются следующие свойства функций signЪqa (t, Z<q^) = (~1)1Ч31ёп8тт,.

Пусть Ьда (£, [а, &]) — невозрастающая перестановка функции Ьда (г, Е$Р) на [а, Ь],.

N-1.

П-^Ъ^Е^)) =? (0.26) Е-перестановка Корнейчука функции | на [—7г, 7г].

Теорема 2.3. Если п ^ 2, Л* = (Л^,., Л*) определяются (0.20)-(0.22), то П 0.

Wl?Hf, Uk.) = 2−1 / Л, 1 где функции Р^^.Ьгф^А*)), bri? i (xi, А*), i = 1,., п определяются (0.23)-(0.26) и /1 = min Л-?т.

В § 4 рассматривается вопрос о приближении специального класса Липшица квадратными суммами Фавара. Пусть.

Я (п) = {/ е С (Г"): I/W — /Ы1 < Е — Уг|, х, у? Г*}.

0.27) г=1 гг-мерный класс Липшицадля R? N.

Elctsf1' te [-*,*) (0.28) lfcl

Фд (я, /) = т^— / Фr (x — у) f (y) dy =.

ZTTJ JTn.

7г|v | ttv\ 7r|i/n| Tlv.

2Д ° 2R 2R 2R v&nf (~R, R) n.

0.29) квадратная сумма Фавара порядка R функции f (x). Здесь (г/, ж) =.

Н——-h и тЛ^ f dx, V е zn.

27Г)п ут&bdquoкоэффициенты Фурье функции /(ж).

Рассмотрим экстремальную задачу приближения на классе.

Я<�пФд) = sup ||/(Ж)-Фд (Ж,/)||с. ея («).

Пусть.

Йг W = - [ Ыи) du, * G [0? т], (0.30).

71 Jt.

0 ^ ti < r2 < • ¦ • < тд1 < 7 г, 0 < г1 < т2 < • • • < tr < 7 г нули функций FR (t), FR (t) — FR (t, [су,/3]) — невозрастающая перестановка функции Fr на [а,¡-3],.

R-1.

J2FR (t,[rk, rk+1]) (0.31) к= 1.

Е-перестановка Корнейчука функции Fr на.

Теорема 2.4 [6]. Если п ^ 3, то '7Г/я.

Я^Фд) = J (nFR (t) + ((l + 2P[7r/R^(t, FR))n — 1 dt, где Р[7Г/я)7г](№), — Функция (0.31) я (0.30).

При п = 1 теорема получена Ж. Фаваром [41]. Им было установлено, что метод (0.29) является в этом случае наилучшим линейным методом приближения на классе (0.27) и Фд) = Ец (Н^), где.

Ец (Н^) — наилучшее приближение класса тригонометрическими полиномами порядка К — 1. При п — 2 теорема получена А. И. Степанцом [29].

В диссертации нумерация утверждений идет по главам, а формул — по параграфам. В нумерации формулы сначала указывается номер параграфа, а затем — номер формулы внутри параграфа.

Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях по теории приближений и гармоническому анализу в г. Калуге (1996 г.), в г. Туле (1998 г.), на семинаре С. Б. Стечкина и С. А. Теляковского в МИР АН, на семинаре В. И. Иванова в ТулГУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах [2−6].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. И. Иванову за помощь в подготовке диссертации.

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

2. ГОРБАЧЕВ Д. В. Экстремальная функция для одного функционала на классе Н^ (Раь) // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 51−66.

3. Горбачев Д. В. Приближение многомерных классов сверток линейными методами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2. Вып. 1. С. 56−70.

4. Горбачев Д. В. Построение экстремальной функции для одного функционала на классе Н1п) // Матем. заметки. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 519−529.

5. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче на классе дифференцируемых функций многих переменных // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вып. 2. С. 192−205.

6. ГОРБАЧЕВ Д. В. Приближение функций многих переменных суммами Фавара // Известия ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 8−13.

7. Gordon W.J. Spline-blending surface interpolation trough curve networks // J. Math. Mech. 1969. V. 18. P. 931−951.

8. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых ядрами, являющимися интегралами от абсолютно монотонных функций // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1959. Т. 23. № 6. С. 933−950.

9. Ефимов А. В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1960. Т. 24. № 2. С. 243−296.

10. Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1960. Т. 24. № 5. С. 743−756.

11. Колмогоров А. Н. Zur Grossenordnung des Restgliedes Fourier-schen Reihen differenzierbaren Functionen // Ann. Math. 1935. V. 36. R 521−526.

12. Корнейчук Н. П. Об оценке приближений класса На тригонометрическими полиномами // Исследование по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Физматгиз. 1961. С. 148−154.

13. Корнейчук Н. П. Об экстремальных свойствах периодических функций // Докл. АН УССР. 1962. № 8. С. 993−998.

14. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.17. корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.18. lebesgue H. Sur les integrales singulieres // Ann. de Toulouse. 1909. V. 1. P. 25−117.

15. Потапов М. К. О приближении «углом» // Proceedings of Conference on Constructive Theory of Function. Budapest. 1969.

16. Потапов М. К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения «углом» // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1972. Т. 117. С. 256−291.

17. Степанец А. И. Об одной экстремальной задаче в пространстве непрерывных функций двух переменных // Вопросы теории приближения функций и ее приложений. Киев: Изд-во Ин-т матем. АН УССР. 1976. С. 160−178.

18. Степанец А. И. Точная оценка отклонений сумм Фавара на классах Н1,1 // Исследования по теории приближения функций и их применения. Киев. 1978. С. 174−181.

19. Степанец А. И. Решение одной экстремальной задачи для классов непрерывных функций двух переменных в перестановках // Укр. мат. журн. 1979. Т. 31. № 1. С. 95−101.

20. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова Думка, 1981.

21. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. Киев: Наукова Думка, 1987.

22. СтЕЧКИН С. Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах //Успехи матем. наук. 1956. Т. 10. Вып. 1. С. 159−166.

23. СТЕЧКИН С.Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1956. Т. 20. № 6. С. 643−648.

24. Теляковский С. А., Темляков В. Н. О сходимости рядов Фурье функций многих переменных ограниченной вариации // Матем. заметки. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 583−595.

25. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1986. Т. 178.

26. Шабозов M. Оценки приближения дифференцируемых периодических функций двух переменных интерполяционными смешанными сплайнами // Вопросы теории аппроксимации функций. Киев. 1980. С. 166−172.