О классификации кубических форм

Диссертация посвящена классификации кубических форм. Описана стратификация Пале-Луны пространства кватернарных кубических форм $ 3(С4) относительно естественного действия группы JU (А^ • Изучены свойства двух сечении (линейных подпространств, трансвереально пересекающих орбиту точки общего положения) в цространстве S ^ (? ^ «при помощи чего получено описание алгебры инвариантов кватернарных кубических форм. Кроме того, перечислены все пары (п. Для которых алгебра инвариантов к, -арных форм степени t является полным пересечением. Оказывается, что одним из трех случаев, когда алгебра инвариантов форм не свободна, но является полным пересечением, является случай кватернарных кубических форм. Два других — бинарные формы пятой и шестой степени.

Дадим оч^ж истории вопроса. В 1861 году Сальмон. ^20], нашел шесть инвариантов кватернарных кубических форм (пять из которых алгебраически независимы), связанных одним соотношением. Параллельно с Сальмоном пять из этих шести инвариантов были найдены также Клебшем [il^. При этом Сальмон использовал результат Сильвестра о том, что кубическая форма общего положения представляется в виде суммы кубов пяти линейных форм. Нужно отметить, что классики считали, что любая неособая (то есть задающая неособую кубическую поверхность в Р^) кубическая форма представляется в таком виде. Это не так, см. главу II. Хотя наиденная Сальмоном система инвариантов является полной (любой инвариант выражается как многочлен от найденных4), Сальмон полноты не доказывает, а приводит более слабое утверждение, что любои инвариант есть функция ^ которая может содержать дроби и дробные показатели степени, то есть, вообще говоря, неоднозначная) от найденных.

В 1932 году Юнг [31″ ] > используя свой метод диаграмм и символический метод, независимо от Сальмона нашел те же шесть инвариантов и доказал, что эта система инвариантов полна. Правда, Юнгу не удалось доказать, что один из инвариантов,, отличен от нуля. Это легко следует из работы Сальмона, который вычислил значения инвариантов на кубической скорме, приведенной к каноническому виду Сильвестраf = 21 С£ } х =-2L YL. Эдж [30J шшет,.

С-1 i=< что впоследствии Юнг узнал об этой работе.

Попытка классификации кватернарных кубических форм необщего положения была предпринята Пуанкаре в работе Ц18}. Метод Пуанкаре состоял в том, чтобы классифяцаровать формы из пространства неподвижных точек данного полупростого элемента группы SL (A). Однако он полностью реализовал эту идею лишь дня тернарных форм.

Классификация всех особых кватернарных кубических форм, или, эквивалентно, всех особых кубических поверхностей была получена.

Шлефли. в работе [22J, а также Кэли в работе jjO]. С точки зре ния современной теории особенностей [i] эти результаты были проинтерпретированы Брюсом и Уоллом в работе [б] .

Кубические поверхности с нетривиальной группой проективных автоморфизмов изучались Бобеком в работах [32*], [зз]. Он нашел все возможные порядки проективных автоморфизмов неособых кубик, описал конфигурацию прямых на таких кубиках и нашел такие группы автоморфизмов, которыми обладает или единственная кубика, или од-нопараметрическое семейство кубик.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертации. Диссертация содержит три главы. В первой главе находится стратификация Пале-Луны пространства кватернарных кубических форм относительно естественного действия группы SL (4) — в основу положена идея, цринадлежащая Пуанкаре [l8]. При этом используется техника, разработанная в статьях Э. Б. Бинберга [7] и Д. Луны [14]. Основные результаты главы опубликованы в работе [4] .

Дадим важнейшие определения и зафиксируем основные обозначения. Пусть S GL (V^ - представление редуктивной алгебра-ичбской группы над полем С комшеконых^сев. Если Ve V, то пусть Qv — орбита точки V, Q V- - ее замыкание,.

5 — стащонарная подгруппа точки v. Для всякого Уё V определим вектор V^^V как представитель единственной замкнутой орбиты, лежащей в Gif. Тогда класс сопряженности подгруппы G1h в G определен однозначно.

Определение I. Страт Пале-Луны (^короче: PLстрат) есть множество [veV I сопряжена Н, где И — фиксированная редуктивная подгруппа }. Эквивалентное определение дано в работе [14], аналогичным понятием в случае компактной группы преобразований пользовался Пале в работе [l6*] .

Определение 2. Vkстрат высоты к есть множество.

УК = [ve V I гат (с = ьатк.

-•SI.

PLстраты — локально-замкнутые подмножества пространства V) всякий *ckстрат, как и все I/, есть объединение конечного числа Piстратов [14] .

В первой главе находится PLстратификация в случае Доказывается следующее предложение.

Предложение I. Геометрически точкам СГ0 U (F^ соответствуют кубические поверхности, имеющие хотя бы одну особенность типа, отличного от А^ - точкам (Г0 соответствуют кубические поверхности, имеющие хотя бы одну особенность Типа, отличного от A-f и, А г .

Б несколько другой формулировке это предложение (без доказательства) приводится в книге [э] - оно дает геометрическую интерпретацию части результатов главы I. Основные результаты главы I представлены в таблице I. При этом использованы следующие обозначения: f — кубическая" ^ - квадратичная,? — линейная формыА, А В — полупрямое произведение групп, А и.

В «А нормализует 6 — 9 — примитивный кубический корень из I.

Таблица I.

PLстрат dim.

Вид, к которому может быть приведена форма из PLстрата.

Г,.

И 16 ft.

I 1 и 4.

4: < п.

А5″ .

В С.

D В F.

П it.

П П и в м.

1 3.

3Z4 r. i Ап. *).

S,.

И, ч.

— 1.

V. 1 J r< i j Ч.

— и ^ АУ.

4 ч 1 г< у ?

60 г з, а п.

Г< го згЧ*/зж) i xf+xf+xi-f-tf) ьх? +? x ((xj+xf+xf).

Atf+Kxi+xi+xjjl+cxjtafo i.

Любая форма, имеющая вид, указанный в нравом столбце таблицы I, лежит в соответствующем PLстрате или в его замыканиилюбая форма данного PLстрата может быть приведена к указанному в этом столбце виду.

В частности, в таблице I представлены стационарные подгруппы всех неособых кубических форм. Это группы Д®-1 PLстратов А4, AStBtC^tEf F и (Г/.

Замечание. В работе ][4 ] PLстрат А5~ был цропущен.

Вторая глава посвящена инвариантам кубических форм от четырех переменных. Пусть С? vj — алгебра регулярных функщй на пространстве V, (TfvJ^ - алгебра инвариантов, фактор

V/<ц — аффинное алгебраическое многообразие, алгебра регулярных функщй на котором есть факторный морфазм, индуцированный включением.

Определение 3. Подпространство S CZ V называется сечением, если div^S — dim и? —> V/.

В случае такое сечение было, как уже упоминалось, построено Сильвестром.

S = Xi+CiXl+Cttf+Ciitf + CsXi }, где Х£, t = 1,., 4 — координатные функции на v — S* х') О ~~ С •.

Рассмотрим такгке множество $ 1 + +Q3 Х33 +3″ С 1/ .

Это линейное подпространство в V, которое также является сечением.

Пусть 50 с $ - множество форм, для которых все С^ФО^.

Н CZ Q ~ группа автоморфизмов пятигранника из пяти плоскостей — О. Порядок А/ равен 480, И действует на S.

Теорема I. Для точек S0 слои отображения совпадают с орбитами группы // .

Следствие I. Фактор V/Q бирационально изоморфен S/ц.

Сальмоном были найдены ограничения на S шести инвариантов степеней 8, 16, 24, 32, 40 и 100. Как следствие из теоремы I получается полнота этой системы инвариантовдоказательство гео-метрично, в отличие от доказательства Юнга, и является развитием метода Сапьмона.

Следствие 2. Фактор V/& есть гиперповерхность, задаваемая уравнением вида ~ P (Ig } «гДе Р — многочлен.

Замечание. В явном виде многочлен Р был найден Сальмоном в работе [2X3 •.

Предложение 2. Фактор V/Q есть рациональная гиперповерхность .

Доказана также рациональность проективизации У/б? относительно естественного действия С*.

Следующая теорема исправляет ошибку, которую допускали классики.

Теорема 2. Множество точек V, орбита которых не пересекает S0 «есть гиперповерхность {. 1/(0 = О }. Орбита точки общего положения гиперповерхности { = 0} по конечному числу точек пересекается с подпространством faxfx^ + + ] с Si I которое содержится в гиперповерхности {= о } .

В последнем параграфе главы получен полный список групп автоморфизмов неособых кубических поверхностей. Эти группы являются расширениями стационарных подгрупп соответствующих форм с помощью циклической группы порядка 2, 4 или 8.

Основные результаты главы опубликованы в работе [з] .

В третьей главе перечислены все пары (fri ъ), для которых алгебра инвариантов /г- -арных форм степени *с является полным пересечением.

Рассмотрим точку $ ^ V > орбита которой замкнута. Тогда — редуктивная подгруппа G С 15 ]. Пусть Т ($) ~ касательное пространство к орбите 6 s в точке S, T (s^c V> N (s) — Qинвариантное дополнение к в V. о.

Представление в N (s) называется слаис-предсташеи нием в точке S для действия Q в V.

Теорема 3. Если фактор V/fc является полным пересечением, то для любого слакс-представления фактор является полным пересечением.

Б следующей теореме предполагается, что S = Vt = 1 ?[VJGqzC — при.

С [V] ^ =? [А Л, где A (f) — дискриминант квадратичной формы / в. Это свободные алгебры. См. [26 З),.

Теорема 4. Фактор V / G является полным пересечением тогда и только тогда, когда есть °Дна из следующих пар: UiA),(Z, S)) (1,6), (4,3V.

При доказательстве используется следующий фшт [8]. Если алгебра инвариантов конечной линейной группы есть полное пересечение, то группа порождается элементами, у которых не более двух собственных значений отлично от единицы.

Автор приносит глубокую благодарность свошу научному руководителю Э. Б. Винбергу за постановку задачи, помощь и постоянное внимание к работе.

Введем некоторые дополнительные обозначения, которые будут затем использованы в основном тексте. Если F — подгруппа 6гто Z. Q (F) и Nq (F) — соответственно, централизатор и нормализатор F в 6 — Z (F) — центр группы F > VF — пространство неподвижных точек для действия F в V.

Через N О V обозначается нульмногообразие действия.

G в V, то есть слой Т'1(!Г (о),.

Пусть Т — фиксированный максимальный тор в груше Q j где ЭС (Т) — груша характеров;

Д — система весов, V =. 2L Ify — весовое разложение.

АеД вектора V относительно тора Т. Если, А с: F то пусть ?/д = f, для Ue V .

Носитель sujbf) вектора v есть выпуклая оболочка в /Г множества {А | ^ о J.

Конус-нос ит ель С (и) — это выпуклый конус, натянутый на Su^yb if •.

Положим S (v)=- C (v-)C) (-C (v-)) — (sufyf внутренность supfy v-.

Мы будем рассматривать следующие два условия на вектор г^е V: МО Жт C (v) — б — гаи/с ,.

М2Л <^Vv 5 (u^^iWiS ($v) для любого 36 G.

1. Основные результаты.

Пусть по-прежнему? —* (V^ - представление редуктив-ной алгебраической группы над полел (? — если орбита точки.

S

введение

}. .

Теорема I. Если фактор есть полное пересечение, то для любого елайс-представления фактор А/(s) / есть полное пересечение.

В следующей теореме предполагается, что G = SL (ь) у.

Теорема 2. Фактор //<Я есть полное пересечение тогда и только тогда, когда (к, г) есть одна из следующих пер:

ДМ}, (^П, >

2. Доказательство теоремы I.

Пусть В — градуированная конечнопорожденная алгебра над С — В = В:. Б0 = С. Пусть X — аффинное ал.

С ^ о гебраическое многообразие, алгебра регулярных функций на котором есть В. Пусть 0? X — точка, соответствующая максимальному идеалу ?>¦ = S-. Через dim 8 обозначается размерность Крулля кольца В, О* - локальное кольцо точки х? X «~ его пополнение» *их — максимальный идеал точки х G X.

Определение I. Многообразие X (или алгебра В) называется полным пересечением, если существует точная последовательность у о I —> А Вн где, А — градуированная алгебра многочленов, ь — однородный гомоморфизм степени о «а идеал I порожден dim, А ~ - d’t’vn В однородными элементами.

Определение 2. Многообразие X называется локальным полным пересечением в точке х, если существует точная последовательность, о—> J-* fl-*^ (Z) где R, — регулярное локальное кольцо, а идеал J порожден ditvxHdim Ох элементами.

Определение 3. Многообразие X называется аналитическим полным пересечением в точке У, если существует точная последовательность Л / где — кольцо формальных степенных рядов, а л идеал К порожден hrdi^ (9Х элементами.

По следствию из теоремы об этальном слаисе [141, для точки V, такой, что Gs — Gs, существует отображение Y: V/fi, этальное в точке у такое, что V (о) =.

Л А. цирует изоморфизм пополнений локальных колец, то теорема I вытекает из следующего предложения.

Предложение I. i). Если X есть полное пересечение, то X есть локальное и аналитическое полное пересечение в любой точке х е X .

2). Если X есть аналитическое полное пересечение в точке о, то К — полное пересечение.

Локазательство. Пункт i) доказан, например, в работе [29] и получается при переходе от точной последовательности (1^ к точным последовательностям локализаций и пополнений. Для доказательства пункта 2) сделаем следующее замечание. Если X есть полное пересечение (соответственно, локальное и аналитическое полное пересечение в точке X), то для любой точной последовательности вида (i^ (^соответственно, вида (2) и (з^ идеал 1 (соответственно, J и К) порождается dim AJim 8 (соответственно, c/iVw ddiwi О у и б/tWi (ГКх^.-,^!-^^ 0Х) элементами. См. [12], [25}, [28 }. Рассмотрим теперь какую-то точную последовательность (i^, индуцированную точную последовательность локализаций относительно максимального идеала А+ в, А 5 А+ = А • } (2), и индуцированную точную последовательность Anадических пополнений (З4), где Мл — максимальный идеал в кольце ft = А.

Минимальное число образующих J и К равно, по лемме Накаяма, соответственно dim J/mJ и ^/Л К «а минимальное число образующих J равно.

Lf ' см. [24]), поэтому предложение I вытекает из существования изоморфизмов J? = ^/мл К. Действительно,.

Л Т/А/Т/Л так как К = J, то К/ЛК = = «см- [ но tviфильтрация в Rмодуле J / J тривиальна, поэтому J/wJ .Так как J=^S» iIJ fa=S~1A+, где? = А ^ Д4 .то J/wiJ = fe 5'41/A+I^ см * 125. HO S^I/A+I) fe I/A+I > так как любой элемент S имеет вид А+ ct, A € (Г 4 л € А+, и (A+aV1vvi = A" 1w е I/A+I «Д®-1 vn € I /А, I • Предложение I доказано.

3. Доказательство теоремы 2.

В дальнейшем 6=SL (h), V = SZ (C*), [vj^ к. rv^ %, t > 3. Пусть S = Z ^ V • Пусть С t = i подгруппа в (д L в (>ех мономиальных матриц, ненулевые элементы которых равны 1 -AK=S*PiSL (Mt — подгруппа в GL (уЛ всех диагональных матриц вида </?ag (0.

Доказательство. Гессиан формы с точностью до числового множителя равен .П Х^. Для любого? И (s ^ = И (s) «поэтому ^ переставляет и умножает на числа координатные функции X•, причем, очевидно, эти числа в степени t равны I. Таким образом, Наоборот, любой алемент Н п>г оставляет форму з неподвижной, то есть г1П) Ъ — Gs. Предложение доказано.

Предложение 3. Централизатор в б есть конечная груша при к > 3 и при ft =? и четном t} и группа { diaj tt ,-Г1) ieC* } при к = я, и нечетном t.

Доказательство. Найдем все матрицы из алгебры Ли s U централизующие подгруппу Нк^. Пусть к 4. Все матрицу из $>((h), централизующие подгруппу Акс Ми, г «пропорциональны матрице, имеющей нули на диагонали и единицы вне еено эта матрица не коммутирует с любым не скалярным элементом из ft SLOO • Пусть h, = 3. Матрицы из, централизующие.

О f° a М • Ц О a ,.

Id, i О-1 если элшент вида cUag (v92, 63) коммутирует с 2, то подгруппу А^ «имеют вид о f? a ^ 1 либо Я — ^ = о, либо = = 03 .

3). Пусть fv = Л, t четно. Группа г порождена матрицами =) (н о) ' где примитивный корень степени ^ из I. Элементы si (х), коммутирующие с^, диагональныэлементы, коммутирующие с) имеют по диагонали нули.

4). Пусть к. = %, нечетно. Группа Ц % ^ порождена элементом ^ - централизатор ^ в Q есть группа { daj.(-i,) | «Ь € С* } • Предложение доказано.

Следствие I. Орбита Qs точки $ замкнута.

Действительно, эта орбита замкнута тогда и только тогда, когда замкнута орбита Z.^ (GsVs, см. [l3]. Если группа Z^ (Gs) конечна, то орбита ^qC^s)'^ замкнутапри h, — 1 и t нечетном орбита точки Х^ + Х^ под действием группы также замкнута (в пространстве I A^gC} она задается уравнением AjM=/l), Следствие доказано.

Можно теперь рассмотреть слайс-представление в точке S для действия б в V Следующее предложение доказано в работе [8] .

Предложение 4. Если фактор линейного пространства М по действию конечной группы Н есть полное пересечение, то Н порождена элементами L, такими, что tcuik (k-i) ^ I.

С использованием этого 1фитерия будет показано, что фактор пространства N (s) слайс-представления в точке S по действию группы Нщ не является полным пересечением для всех пар (h, z) «кроме перечисленных в формулировке теоремы 2. Отсюда, ввиду теоремы I, следует утверждение теоремы 2.

Касательное пространство T (s) к G[S> в точке S.

Л Иfj,. и,. порождается подпространством 1L л — X h j и вектораг-н • • 1=и L 1=1 /" ми у. х, «*? / • Соответственно, Ниуинвариантное.

I J d '" /С дополнение к Tfe), N (s), натянуто на векторы S и.

A^t^-xlC, где JEIt и O+t^t-i для любого?. t.

Пусть дано разбиение at числа /ъ в сумму (с целых положительных чисел: КeL^ + '^ + oi^. Пусть / -набор целых чисел fc-, i = irK.} ic, таких, что об- - t — > t ^ > ..

Рассмотрим линейное подпространство в V, А/^ натянутое на векторы ^ ^ у*'. ¦ • —Х• * где — перестановка чисел ,.и,) ..

Имеем Mh^UjJ*) > «где т/- - вектор вида (5»)..

Подпространство М^г (<*-, f) инвариантно относительно S^ и .Нц, ч * А/ fs) есть сумма €'S и М^д по всем р, таким, что ^^, и всем соответствующим оО.

Лемма I. Для нетривиальных разбиений сС (таких, что et^iv) представление S^ в точное..

Доказательство. Представление в пространстве.

М^ г (oC} J>) цри любом J) изоморфно представлению в пространстве функций на множестве смежных классов S^/Sat * • Это представление является точным, так как действие S^ на xSoL* точно (Б ^ нет нормальных подгрупп, содержащихся в S^ х — •• х S^ к). Лемма доказана..

Следствие 2. Если N (s) содержит не меньше трех различных модулей М^О*,^) с нетривиальным «С и I^OSLC^ собственная подгруппа в Ни, г «то фактор не есть полное пересечение..

Доказательство. Любой элемент из И^ч представляется в виде сГ-9, где (Те S^, • Если 1, то (Г нетривиально переставляет базисные векторы (5″) в каждом из трех модулей ^jf^ J $ умножает векторы вида (5) на числа. Поэтому (Г-9 нетривиально действует в каждом из модулей M^f^f) и имеет в hi (s) не меньше трех собственных значений, отличных от I. Поэтому любая подгруппа, порожденная элементами вида (4), содержится в l) K|t П SLМ Ф Нп i • Применяем предложение 4. Следствие доказано..

Предложение 5. Алгебры S (2., 2K.) при S (h, t) при) t ^ -Г } S (h, b) при п. } t не являются полными пересечениями..

Доказательство. Группа 1) h г f] S L (h) совпадает с только если /а=Л и t нечетно. Если = Z и t четно, t ^ 4о, то пространство /V (s) содержит следующие 'различные модули ' с нетривиальным ос —.

Х^Х1 /у'НуЗ.

Если ^ = 3 j 4 j t ^ j то Д/ fs) содержит модули.

SJxfVaP ,.

Если то N Cs) содержит модули.

5,(хГХ)>,, ..

Применяем следствие 2. Предложение доказано..

Предложение 6. Алгебра не является полным пересечением при t ^ 9: нечетном..

Доказательство. При t ^ 7, , t нечетном пространство N (s) содержит модули <�Х^Х^" 1) и Нц. Матрица в каждом из выписанных модулей есть, соответственно, dtAfCB*^ и. Чтобы h, в N ($) имело не более двух собственных значений, отличных от единицы, необходимо, чтобы или i (так как 4) .Но t нечетно, поэтому ?3= 1 (порядок к, делит t). Элементы L третьего порядка не порождают группу г Л SLW ПРИ • Предложение доказано..

Предложение 7. Алгебра S }А) не является полным пересечением..

Доказательство. В этом случае имеем.

N (&)= С 'S е < SA (х?х?) > © (х?хгх^>®<�х1×1×3×4> •.

В модулях < SA (xf > и ^^ (х2- х3) > представления точныепоэтому элемент вида <�Г9е Н^ ^ «гДе }.

1 Ф Sл «действует в каждом из них нетривиально. В одномерном модуле Х^Х-^ Х4 > (Г0 действует умножением на c/et 9 = St^M. Поэтому любая подгруппа в Н^^ порожденная элементами вида (4), содержится в а^ • а л slm) .Но не совпадает с этой своей подгруппой. Например, при нечетном б», dia.^. О, 1, 1,-1) в И • Предложение доказано..

Предложение 8. При и. алгебра не является полным пересечением..

Доказательство. Имеем N (s) — C-S Ф) > ,.

Элемент (Те переставляет векторы = x-XjX^ в.

А/) (где оС = ti’J }к.) — мультииндекс, Сл j, к. различны), и разлагается в группе перестановок векторов е в произведение циклов. Поэтому матрица элемента вида из, где (Те, б & 1>нъ «в базисе.

N (S), состоящем из 5 и векторов в^, записанных в подходящем порядке, будет блочно-диагональной. При этом каждый блок имеет вид, ,.

Ai К.

X. и соответствует некоторому циклу длины гл, перестановки (Г векторов •.

Предположим, что 'tank {6**9 и докажем, что тогда. Так как Ъхьк -{), то (Г (как перестановка векторов С^) есть цикл длины 3 или произведение не более двух циклов длины 2, поэтому <Г оставляет неподвижными по крайней мере вектора е^. Существуют хотя бы два неподвижных вектора е^ и, куда входит х^ (то есть вида X^Xj и «так как С¹) ^ 6 при (г ^ 5». Если i, j, к. ж? различны, то (Tx^Xj. Если, например, i=iс, то есть б^С^Хxj) —, xi = X1 X{ X?, то либо (Гх1 = X^, либо =, f^x- .Но существует неподвижный вектор, куда входит либо Х1, либо X-L, но не х1 и х^ вместе, так как X > 4 ЦРИ. Поэтому.

Х[ или, то есть crJx1 = .'Аналогично доказывается, что — х^ для любого к, то есть 6й-1 и любой элемент вида (4} из Нщ лежит в 2>yl/3 -Предложение доказано..

Лемма 2. Пусть Н — конечная группа, действующая в линейном пространстве М, причем М/н — полное пересечение. Тогда для любого An в /Ч М /Н^ - полное пересечение..

Действительно, эта лемма есть в точности теорема I в применении к слайс-представлению в точке ж. для действия И в М, Предложение 9. Алгебра ?(3,4) не является полным пересечением..

Доказательство. Имеем = ..

Стабилизатор F точки + -v Х3 x1xSbe NCs) в H3 ц порождается As и элементом (Гdiag)) где (Те S3, St'^h (Г= -1. Имеем Р ^ - в.

С. Г действует тривиально, а в каждом из модулей И F переставляет векторы базиса. Если? — координата в С S. U^ и координаты в (х^х?)> и < S3 (Х^Х^ > соответственно, то (Г- ^(г/^гг^ггз) } < = /, г, зсистема параметров (см. ^25])для алгебры инвариантов р в N (s) (- элементарный симметрический многочлен степени l) .Мы докажш, что (С f ^ -не полное пересечение. Тогда предложение 9 следует из леммы 2. Имеем свободный Рмодуль, где Р = С [? , (и), (ц (v) 1. Ряд Пуанкаре находится по формуле.

РрМ = IFI" 1 Хи равен 4-i-lx + z-t2+tA+l6^F «[26] ..

5″ .

Поэтому (П [n (sUF = ® P.

3, 4 и 6 при i = o, f,2,3,4,5″ • Параметры и, i = система образующих алгебры. Любое соотношение между ними имеет степень не меньше 4, так как соотношение сте-. пени меньше 4 имело бы вид р0 + р1 ^з^з ~ 0 j где рg Р, что противоречит тому, что свободный рмодуль. Ряд Пуанкаре полного пересечения равен П O-t^) • П О—^')-1, где — степени образующих, г степени элшентов минимальной системы соотношений между ними { см. [25]).

Если — полное пересечение, то мы имеем где все f-, откуда.

П (i-tfi) = i-if* -Xi^-Zii^ -f^, где — сумма членов степени ^ #. Поэтому в произведение входят сомножители))Z и [i-i^)^.

Имеется по крайней мере семь соотношений, а число образующих минус размерность равно пяти. Противоречие..

Предложение доказано..

Предложение 10. Алгебра S (%,$) не является полным пересечением..

Доказательство. Для алгебры Шиодой была найдена минимальная резольвента (^см. 23]). Длина резольвенты равна трем, минимальное число образующих S (l,&) равно 9, минимальное число соотношений равно 5, размерность равна 6. В случае полного пересечения минимальное число соотношений должно равняться минимальному числу образующих минус размерность.

S (l.t) Предложение доказано. Предложения 5−10 исчерпывают все алгебры «не перечисленные в формулировке теоремы 2. Алгебры ?? 3J } и Действительно являются полными пересечениями: > и S (3,3) свободны, a S (Z, 5~) ») и S (4,3) -гиперповерхности, задаваемые уравнениями вида.

Р (Xi, Х^). См. 233, [26], а также главу II..