Метод граничных состояний в задачах теории упругости об установившихся колебаниях изотропных тел

Диссертация посвящена развитию относительно нового общего численно-аналитического метода решения задач теории упругости (ТУ) об установившихся колебаниях изотропного тела, базирующегося на концепции состояния среды.

Актуальность темы

заключается в том, что современные потребности машиностроения, строительства, авиаи космических технологий, приборостроения стимулируют изучение распространения волн в трёхмерных телах. Решение пространственных задач ТУ даёт возможность адекватно определять напряжённо-деформированное состояние (НДС) объектов и выявить закономерности, присущие рассматриваемым процессам. Особое внимание уделяется аналитическому исследованию колебаний упругих тел.

Сложно переоценить важность решения задач по определению внутренних характеристик тела по его внешним (граничным) проявлениям. В ТУ к таким задачам следует отнести задачи восстановления напряжений или смещений во внутренних точках тела по усилиям или смещениям в точках поверхности тела. Число точных решений таких задач в трёхмерной постановке мало — решение пространственных задач представляет собой математическую проблему. Однако существенное упрощение решения пространственных задач достигается благодаря применению вариационных принципов. Обычно эти задачи решаются приближённо.

Возникает необходимость совершенствования существующих методов решения в следующих направлениях:

— снижение уровня инструментальной ошибки;

— построение аналитического решения.

Вариационный «метод граничных состояний» (МГС) заявил себя как надежный способ решения задач об установившихся колебаниях изотропных тел. МГС обеспечивает: снижение уровня инструментальной ошибкилёгкость тестированияпостроение аналитического решения.

Всё это обусловливает актуальность темы диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является развитие метода граничных состояний для решения задач об установившихся колебаниях изотропных упругих тел.

Задачи, решаемые в диссертации для достижения цели:

— формулировка понятий пространств состояний для задач ТУ при колебательном процессе;

— конструирование счётных базисов пространств состояний в задачах об установившихся колебаниях изотропных тел;

— введение скалярного произведения для каждого из пространств состояний, установление их гильбертова изоморфизма, ортогонализация базисов;

— постановка краевых задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных тел в терминах МГС;

— решение основных задач об установившихся колебаниях.

Научная новизна работы содержится в следующих положениях:

— построено общее решение уравнений Н. А. Кильчевского для изотропного тела в классе установившихся колебаний;

— МГС развит для решения задач ТУ об установившихся колебаниях изотропных упругих тел;

— выполнены конкретные решения новых задач об установившихся колебаниях изотропных упругих тел.

Теоретическая ценность:

— построены общие решения уравнений Н. А. Кильчевского для установившихся колебаний изотропного тела;

— в терминах МГС выполнены постановки первой, второй и основной смешанной задач;

— средствами МГС обусловлена возможность эффективного построения аналитических выражений для полей НДС.

Практическая ценность:

— получены новые решения задач ТУ для установившихся колебаний од-носвязных тел;

— разработан алгоритм назначения базисов пространств внутренних и «граничных» состояний тел;

— разработаны алгоритмы и выполнены конкретные расчёты колебательных движений односвязных тел в условиях первой и второй задач ТУ.

Достоверность обусловлена:

— использованием корректных классических моделей в механике деформируемого твёрдого тела (МДТТ);

— применением фундаментальных математических основ при построении МТС для задач ТУ об. установившихся колебаниях изотропных тел и решением конкретных задач;

— тестированием: исходных данных на непротиворечивость и соответствие условию постановки задачи, промежуточных результатов счёта в отношении точностирезультатов решения линейной краевой задачи (насыщение суммы Бесселясравнение расчётных данных с граничными условиями, визуальный контроль), среднеквадратической интегральной невязкой.

Апробация работы. Основные результаты и материалы диссертации в целом докладывались на:

1) регулярных докладах в рамках семинара научной школы «Математические методы и модели механики» под руководством В. Б. Пенькова (Липецк, ЛГТУ);

2) совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики Южного федерального округа (г. Новочеркасск, 22−25 апреля 2008 г.);

3) международной научно-технической конференции «Теория и практика производства листового проката» (г. Липецк, 29−30 мая 2008 г.);

4) IX Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (АКТ-2008) (г. Воронеж, 29 мая 2008 г.- г. Москва, 10−12 сентября 2008 г.);

5) IV школе молодых учёных Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» (г. Липецк, 24−25 сентября 2008 г.);

6) XI Всероссийской научно-технической конференции и школе молодых учёных, аспирантов и студентов «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010) (г. Воронеж, 14 мая 2010 г.- г. Москва, 29 сентября — 1 октября 2010 г.);

7) II Международной конференции «Математическая физика и её приложения» (г. Самара, 29 августа — 4 сентября 2010 г.);

8) международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики информатики и механики» (г. Воронеж, 20−22 сентября 2010 г., 26−28 сентября 2011 г.);

9) I Всероссийской конференции молодых учёных «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред» (г. Томск, 16−19 октября 2010 г.);

10) международных конференциях «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 22−26 ноября 2010 г., 19−23 сентября 2011 г.);

11) семинаре кафедры теории упругости МГУ (г. Москва, МГУ, 12 декабря 2012 г.).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертационной работы изложены в опубликованных работах [52- 53- 43- 78- 64- 79- 49- 80- 81], в том числе одна статья [49] в журнале «Вестник СамГТУ», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации. Работы [52- 53- 43- 49- 64] выполнены в соавторстве с научным руководителем.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка использованных источников и четырёх приложений. Общий объём работы составляет 77 страниц, в том числе 64 страницы основного текста, включая 12 рисунков и 3 таблицы.

Список использованных источников

содержит 110 наименований на 13 страницах. Приложения составляют 24 страницы.

4.6 Выводы по разделу.

Решение конкретных задач позволяет сделать ряд выводов:

1) выполнено и представлено в аналитическом виде решение первой и второй основных задач для плоского деформированного состоянии круга и прямоугольника соотретственно. Основные характеристики состояния представлены в графической форме (изолинии). Важной особенностью задач является то, что результирующие поля напряжений и перемещений восстанавливаются при использовании короткого базиса (до семи элементов). Сравнение заданных усилий и найденных в решении показала почти абсолютное совпадение;

2) решена первая основная задача для прямоугольной призмы и цилиндра. Основные характеристики НДС каждой задачи представлены в графической форме (изолинии);

3) проведено исследование насыщения суммы Бесселя для первой и второй основных задач ТУ. Графики показывают уверенное стремление суммы Бесселя к насыщению. Эта тенденция свидетельствует о практически наблюдаемой устойчивости решения БСЛАУ;

4) произведено сравнение МТС с методом решения задач об установившихся колебаниях изотропного тела, описанного В. Т. Гринченко и В. В. Ме-лешко [11]. Сопоставление полученных решений обнаруживает высокую точность их взаимного приближения;

5) элементы пространств состояний среды, колеблющейся с фиксированной частотой, восстанавливаются умножением на ехрЦш) функций формы состояний среды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Отметим основные результаты работы:

1) новый общий численно-аналитический метод решения задач механики сплошных сред (МТС) развит на класс задач о колебаниях изотропных упругих тел. Метод опирается на формализм гильбертовых пространств и использует понятия пространств внутренних и граничных состояний. Наличие общих и фундаментальных решений задач механики сплошных сред позволяет формировать счётные базисы пространств состояний для различных задач;

2) в применении к динамическим задачам, термин МТС «граничное» состояние не вполне адекватен: более удачным следует признать «метод состояний», поскольку в состояние у входят как компоненты вектора поверхностных (внешних) усилий и компоненты вектора перемещений на поверхности тела, так и инерционные составляющие — компоненты вектора ускорений, распределённого по всему телу;

3) обоснован изоморфизм пространств 5, Г и пространств функций форм 5, Г, соответственно. Обеспечены свойства изоморфизма пространств Н, Г;

4) в пространствах Г определены скалярные произведения. Установлен гильбертов изоморфизм пространств 5, Г и обоснована их сепарабельность;

5) разработана методология построения базисов пространств функций форм состояний, исходящая из наличия общего решения уравнений Н. А. Киль-чевского. Наработаньгэффективные алгоритмы назначения базисов;

6) в терминах МТС выполнены постановки первой, второй основной и основной смешанной задачи ТУ об установившихся колебаниях изотропных тел. Основные задачи приводятся к БСЛАУ относительно коэффициентов Фурье с симметричной матрицей коэффициентов;

7) получены и представлены в аналитическом виде решения первой и второй основной задачи для прямоугольника и круга в рамках плоского деформированного состояния. Результирующие поля напряжений и перемещений восстанавливаются в простых случаях при использовании короткого базиса (до двенадцати элементов);

8) получены и представлены в аналитическом виде решения первой основной задачи для прямоугольной призмы и кругового цилиндра. Для снижения погрешности вычислений в пространственных задачах рекомендуется наращивать количество используемых элементов базисов пространств состояний;

9) преимущество полученных результатов решения задач определяется преимуществом МГС. Оно состоит в следующем: любой численный (следовательно, приближенный) метод даёт решение с какой-либо точностью, судить о которой можно только сопоставив решения задачи с таковым, полученным на основе иного метода. МГС — метод самодостаточный: нет никакой необходимости в сравнении решений. Приближённое решение, построенное МГС, автоматически удовлетворяет всем определяющим соотношениям ТУ. Поэтому заключение о корректности полученного решения можно сделать из элементарного сопоставления граничного состояния с ГУ задачи.

Отметим некоторые ближайшие перспективы развития МГС для решения динамических задач.

Первая очередь работ может быть связана с обоснованием в терминах МГС решения основной контактной задачи для установившихся колебаний изотропного тела.

Во вторую очередь следует расширять не столько «геометрию» изотропных тел (здесь можно ожидать чисто технические трудности), сколько топологию областей: принципиальные вопросы связаны с конструированием счётных базисов пространств состояний для двусвязной, многосвязной конфигурации.

Третья серия исследований может быть посвящена усложнению моделей на предмет учёта анизотропии тел, а также рассмотрение термодинамических задач.

В-четвёртых, возможно рассмотреть решение динамических задач с учётом массовых сил и сосредоточенных граничных усилий.

Перспективным представляется применение МГС для решения нестационарных динамических задач и определения собственных частот колебания упругих тел.

10 Горшков, А. Г. Теория упругости и пластичности [Текст] / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, Д. В. Тарлаковский. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 416 с.

11 Гринченко, В. Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах [Текст] / В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко. — Киев: Наукова думка, 1981. — 284 с.

12 Демидов, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Демидов. — М.: Высш. шк., 1979.-432 с.

13 Ермоленко Г. Ю. Решение второй начально-краевой задачи линейной теории упругости для тел конечного объёма из изотропного материала [Текст] / Г. Ю. Ермоленко // ИНПРИМ-98: 3-й Сиб. конгр. по прикладн. и индустр. математике, 22−27 июня, 1998 г. — Новосибирск, 1998. — С. 97.

14 Ермоленко, Г. Ю. Решение динамической задачи анизотропной теории упругости со смешанными краевыми условиями [Текст] / Г. Ю. Ермоленко // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. — 2003. — И 19. — С. 86−88.

15 Иванычев, Д. А. Исследование изгиба анизотропных тонких плит методом граничных состояний [Текст] / Д. А. Иванычев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл. междунар. науч. конф., 19−23 сент. 2011 г.-Тула, 2011.-С. 119−122.

16 Ионов, В. Н. О возможных формах общего решения уравнений равновесия в криволинейных координатах [Текст] / В. Н. Ионов, Г. А. Введенский // Изв. вузов. Математика. — 1964. — N 6. — С. 59−66.

17 Ионов, В. Н. Прочность пространственных элементов конструкций [Текст]. В 2 т. Т. 2: Статика и колебания / В. Н. Ионов, П. М. Огибалов. — М.: Высш. шк., 1979. — 536 с.

41 Пеньков, В. Б. Анализ безвихревого движения идеальной жидкости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, А. А. Харитоненко // Изв. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Вып. 2. — Тула, 2006. — С. 167−175.

42 Пеньков, В. Б. Анализ гармонических полей методом граничных состояний [Текст] / В. Б: Пеньков, А. А. Харитоненко // Молодые учёные— производству: материалы регион, науч.-практ. конф., 20−21 апр. 2006 г. — Т. 2. — Старый Оскол, 2006. — С. 183−186.

43 Пеньков, В. Б. Генерирование базиса пространства состояний колеблющейся упругой среды [Текст] /В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Авиакосмические технологии «АКТ — 2008»: тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов, 10−12 сент. 2008 г. — М., 2008.-С. 169−173.

44 Пеньков, В. Б. Компьютерная алгебра в методе граничных состояний [Текст] / В. В. Пеньков, А. Н. Рожков // Соврем, проблемы механики и при-кладн. математики: сб. тр. междунар. шк.-семинара, 12−16 сент. 2005 г. В 2 ч. 4.2.-Воронеж, 2005.-С. 134−141.

45 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в задачах термоупругости с участием объёмных сил [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, Д. В. Викторов // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Т. 2. — Вып. 4. — Тула, 2008. — С. 107−117.

46 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в задачах термоэластоста-тики со связанными граничными условиями [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. В. Викторов, Л. В. Саталкина // Теория и практика производства листового проката. Май 2008 г.: сб. науч. тр. В 2 ч. Ч. 2. — Липецк, 2008. — С. 280−284.

47 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний в основной контактной задаче теории упругости [Текст] / В. Б. Пеньков, А. Н. Рожков // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика: сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря.-Т. 11.-Вып. 2.-Тула, 2005.-С. 101−106.

48 Пеньков, В. Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики [Текст] / В. Б. Пеньков, В. В. Пеньков //Дальневост. мат. журн.

— 2001. — Т. 2, N 2. — С. 115−137.

49 Пеньков, В. Б. Метод состояний на основе уравнений Кильчевского для анализа трёхмерных установившихся колебаний [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев// Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. — 2011. N1(22). -С. 269−275.

50 Пеньков, В. Б. Моделирование состояний гармонических сред и разработка метода распознавания состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, А. А. Харито-ненко // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл., 28−30 нояб. 2006 г. — Тула, 2006. — С. 169−171.

51 Пеньков, В. Б. Нелинейные термоупругие состояния областей с коническими точками [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл. междунар. науч. конф., 24−27 нояб. 2009 г. — Тула, 2009. — С. 251−252.

52 Пеньков, В. Б. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / В, Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО: сб. докл., 22−25 апр. 2008 г. — Новочеркасск, 2008.

— С. 66−69.

53 Пеньков, В. Б. Общее решение уравнений Кильчевского: пространственные колебания упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Теория и практика производства листового проката: сб. науч. тр., 29−30 мая 2008 г. В 2 ч. Ч. 2. — Липецк, 2008. — С. 284−287.

54 Пеньков, В. Б. Применение метода граничных состояний для решения основной смешанной задачи линейного континуума [Текст] /В.Б. Пеньков, В. В. Пеньков // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика: сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Т. 6. — Вып. 2. — Тула, 2000. -С. 124−127.

55 Пеньков, В. Б. Пространства состояний: фундаментальный подход к решению задач математической физики [Текст] / В. Б. Пеньков, А. А. Харито-ненко // Вестн. ЛГПУ. Сер. Математика. Информац. технологии. Физика, естеств. науки. — 2006. — Т. 1, вып. 2. — С. 132−134.

56 Пеньков, В. Б. Развитие метода граничных состояний на класс анизотропных тел [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Совещ.-семинар зав. каф. теоретич. механики ЮФО: сб. докл., 22−25 апр. 2009 г. — Новочеркасск, 2009. — С. 63−66.

57 Пеньков, В. Б. Развитие метода граничных состояний на класс задач термоупругости [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. В. Викторов, Л. В. Саталкина // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл. междунар. науч. конф., 20−22 нояб. 2008 г. — Тула, 2008. — С. 274−277.

58 Пеньков, В. Б. Решение анизотропных задач теории упругости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики: сб. тр. междунар. конф., 22−24 июня 2009 г. В 2 ч. Ч. 2. — Воронеж, 2009. — С. 112−114.

59 Пеньков, В. Б. Решение задачи Сен-Венана для анизотропного цилиндра методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл. междунар. науч. конф., 24−27 нояб. 2009 г. — Тула, 2009. — С. 250−251.

60 Пеньков, В. Б. Решение осесимметричных задач анизотропной упругости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря.-Вып. 6.-Тула, 2010.-С. 88−91.

61 Пеньков, В. Б. Решение плоских задач анизотропной упругости методом граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев // Вести высш. учебн. заведений Черноземья. — 2010. — N 2. — С. 31−35.

62 Пеньков, В. Б. Состояния равномерно вращающегося изотропно-упругого шара при различных граничных условиях [Текст] / В. Б. Пеньков, Д. В. Викторов, Л. В. Саталкина // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики. Механика. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Вып. 3. — Тула, 2007. -С. 176−183.

63 Пеньков, В. Б. Стационарная задача термоупругости со связанными граничными условиями [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина, Д. В. Викторов // Авиакосмические технологии «АКТ — 2008»: тр. IX Всерос. науч.-техн. конф. и шк. молодых учёных, аспирантов и студентов, 10−12 сент. 2008 г. — М., 2008.-С. 173−177. '.

64 Пеньков, В. Б. Численно-аналитические решения двумерных задач о колебаниях упругой среды [Текст] / В. Б. Пеньков, И. Н. Стебенев // Тр. ТГУ. Сер. Физ.-мат. / под общ. ред. проф. А. А. Глазунова. — Т. 276. — Томск, 2010. -С. 170−173.

65 Пеньков, В. Б. Эффективные алгоритмы метода граничных состояний [Текст] / В. Б. Пеньков, Л. В. Саталкина //Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Вып. 6. — Тула, 2010. — С. 91−96.

66 Пеньков, В. В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики [Текст]: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / В. В. Пеньков. — Тула, 2002. — 98 с.

67 Пеньков, В. В. Метод граничных состояний: формирование базиса пространства внутренних состояний среды [Текст] / В. В. Пеньков // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика: сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Т. 4. — Вып. 2. — Тула, 1998. — С. 128−134.

68 Пеньков, В. В. Оценка точности метода граничных состояний для тел сложной конфигурации [Текст] / Трещев А. А., Пеньков В. В. // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика: сб. науч. тр. / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Т. 6. — Вып. 2. — Тула, 2000. — С. 153−159.

69 Поручиков, В. Б. Методы динамической теории упругости [Текст] / В. Б. Поручиков. — М.: Наука, 1986. — 328 с.

70 Постановка и решение задачи восстановления волнового поля в упругой конструкции [Текст] / Бобровницкий Ю. И [и др.] // Доклады АН. — 1998. -Т. 359, N2.-С. 190−193.

71 Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела [Текст] / Ю. Н. Работнов. — М.: Наука, 1988. — 712 с.

72 Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике [Текст]: пер. с англ. / К. Ректорис. — М.: Мир, 1985. — 590 с.

73 Саталкина, Л. В. Метод граничных состояний с возмущениями в линейных задачах для неоднородных сред [Текст] / Л. В. Саталкина // Перспективы науки. — 2010.-Ы 3 (05). — С. 48−51.

74 Саталкина, Л. В. Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей [Текст] / Л. В. Саталкина // Вестн. ТулГУ. Сер. Актуальн. вопр. механики / под общ. ред. проф. В. Д. Кухаря. — Вып. 5. — Тула, 2009.-С. 157−160. •.

75 Седов, Л. И. Механика сплошной среды [Текст]. В 2 т. Т. 1 / Л. И. Седов. — М.: Наука, 1970, — 492 с.

76 Слободянский, М. Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выраженных через гармонические функции [Текст] / М. Г. Слободянский // ПММ. — 1954. — Т. 18. — С. 55−74.

77 Соловьёв, Ю. И. Представление общего решения теории упругости в тороидальных координатах при помощи обобщённых аналитических функций [Текст] / Ю. И. Соловьёв, О. М. Гейнц // Сиб. журн. индустр. математики. -1999.-Т. 2, Ы 1.-С. 164−166.

78 Стебенев, И. Н. Общее решение уравнений Кильчевского для плоских колебаний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания: сб. тр., 24−25 сент. 2008 г. — Липецк, 2008. — С. 264−267.

79 Стебенев, И. Н. Применение метода граничных состояний для решения задач вынужденных колебаний упругого изотропного тела [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики: сб. тр. междунар. конф., 20−22 сент. 2010 г. — Воронеж, 2010. — С. 333−342.

80 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи вынужденных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл. междунар. науч. конф., 19−23 сент. 2011 г. — Тула, 2011. — С. 199−204.

81 Стебенев, И. Н. Решение основной смешанной задачи стационарных колебаний изотропного тела методом граничных состояний [Текст] / И. Н. Стебенев // Актуальн. проблемы прикл. математики, информатики и механики: сб. тр. междунар. конф., 26−28 сент. 2011 г. — Воронеж, 2011. — С. 376−382.

82 Теплова, С. С. Взаимодействие упругого слоя с жесткой сфероидальной поверхностью [Текст] / С. С. Теплова, В. Б. Пеньков, А. С. Шульмин // Соврем, проблемы математики, механики, информатики: сб. докл. междунар. науч. конф., 17−21 сент. 2012 г. — Тула, 2012. — С. 225−227.

83 Трёхмерные задачи математической теории упругости [Текст] / В. Д. Купрадзе [и др.]- под ред. В. Д. Купрадзе. — М.: Наука, 1976. — 664 с.

84 Уилкинсон, Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений [Текст]: пер. в англ. / Дж. X. Уилкинсон. — М.: Наука, 1970, — 564 с.

85 Филоненко-Бородич, М. М. Теория упругости [Текст] / М. М. Фило-ненко-Бородич. — М.: Физматгиз, 1959. — 364 с.

86 Харитоненко, А. А. Анализ кручения призматического тела методом граничных состояний [Текст] / А. А. Харитоненко // Прогрессивные технологии и оборудование в машиностроении и металлургии: сб. науч. тр. междунар. науч.-техн. конф., 11−12 мая 2006 г. В 2 ч. Ч. 2. — Липецк, 2006. — С. 252−255.

87 Харитоненко^ А. А. Новый метод анализа электростатических полей [Текст] / А. А. Харитоненко // Энергетика и энергоэффективн. технологии: сб. докл. междунар. науч.-техн. конф., посвящен. 50-летию ЛГТУ, 18−20 окт. 2006 г. В 2 ч. Ч. 1.-Липецк, 2006.-С. 130−134.

88 Харитоненко, А. А. Особенности применения нового энергетического метода для расчёта электростатического поля [Текст] / А. А. Харитоненко // Современная металлургия начала нового тысячелетия: сб. докл. междунар. науч.-технич. конф., посвящ. 50-летию ЛГТУ, 31 окт.-З нояб. 2006 г. В 4 ч. Ч. 4. — Липецк, 2006. — С. 80−84.

89 Хуторянский, Н. М. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости [Текст] /Н. М. Хуторянский, X. A. Coca, В. Зу // Прикладн. проблемы прочности и пластичности. — 1997. — С. 183−195.

90 Ben-Menahem, A. A concise history of mainstream seismology: origins, legacy, and perspectives [Text] / A. Ben-Menahem // BSSA. — 1995. — Vol. 85, N 4. -P. 1202−1225.

91 Cagniard, L. Reflection and refraction of progressive seismic waves [Text] / L. Cagniard. — New York: Mc Graw-Hill, 1962. — 282 p.

92 Ding, H. General solutions of coupled thermoelastic problem [Text] / H. Ding, F. Guo, P. Hou //Appl. Math, and Mech. — 2000. — Vol. 21, N 6. — P. 631−636.

93 General solutions and fundamental solutions of varied orders to the vibrational thin, the Berger, and the Winkler plates / Chen W. [et al.] // Eng. Anal. Boundary Elem. — 2005. — Vol. 29, N 7. — P. 699−702.

94 Hortal, M. Use of Reduced Gaussian Grids in Spectral Models [Text] / M. Hortal, A.J. Simmons // Month. Weather Rev. — 1991. — Vol.119, N. 4. -P. 1057−1074.

95 Ignaczak, J. Direct Determination of Stresses from the Stress Equations on Motion in Elasticity [Text] / J. Ignaczak // Arch. Mech. Stos. — 1959. — Vol. 11, N5.-P. 671−678.

96 Ignaczak, J. On the Stress Equations of Motion in the Linear Thermoelastic-ity [Text] / J. Ignaczak // Arch. Mech. Stos. — 1963. — Vol. 15, N 5. — P. 691−695.

97 Juang, H-M. H. A reduced spectral transform for the NCEP seasonal forecast global spectral atmospheric model [Text] / H-M. H. Juang // Month. Weather Rev. — 2004. — Vol. 132, № 4. — P. 1019−1035.

98 Khutoryansky, N. M. Dynamic representation formulas and fundamental solution for piezoelasticity [Text] / N. M. Khutoryansky, H. Sosa // Int. J. Solids Struct. — 1995. — Vol. 32, Issue 22. — P. 3307−3325.

99 Kobayashi, M. Green’s functions for a steady state heat source in an infinite transversely isotropic elastic solid [Text] /M. Kobayashi, H. Koguchi, T. Kondo // JSME. Ser. A. — 1997. — Vol. 63. — P. 1656−1662.

100 Love, A. E. H. The propagation of wave motion in an isotropic elastic solid medium [Text] / A. E.H. Love //Proc. London Math. Soc. — 1904. — S. 2−1. -P. 291−344.

101 McGregor, J. L. Semi-Lagrangian advection on conformal-cubic grids [Text] /J. L. McGregor //Month. Weather Rev. — 1996. — Vol. 124, N6. -P. 1311−1322.

102 Moser, Friedrich. Nicht-singulare raumliche Randelement formulierung der Elastodynamik [Text] / Friedrich Moser // Ber. aus dem Inst, fur Angew. und Experimentelle Mech. der Univ. Stuttgart. — 2001. — N 2. — P. 1−153.

103 Neuber, H. Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der Elastizitatstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel [Text] / H. Neuber // ZAMM. — 1934. — Vol. 14, Issue 4. — P. 203−212.

104 Radok, J. R. M. On the Solution of Problems of Dynamics Plane Elasticity [Text] / J. R. M. Radok // Quart. Appl. Math. — 1956. — Vol. 14. — P. 289−298.

105 Reutskiy, S. Yu. The method of fundamental solutions for problems of free vibrations of plates [Text] / S. Yu. Reutskiy // Eng. Anal. Boundary Elem. — 2007. -Vol. 31, N 1. -P. 10−21.

106 Somigliana, C. Sopra Alcune Formole Fondamentali della Dinamica dei Mezzi Isotropi [Text] / C. Somigliana // Atti R. Accad. Sei. Torino CI. SCi. Fis. Mat. Natur. — 1905 — 1906. — Vol. 41. — P. 869−885 — 1070−1080.

107 Stokes, G. G. On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids [Text] / G. G. Stokes. // Phil. Trans. R. Soc. A. — 1849. — Issue 8. — P. 287−319.

108 Thompson, W. Note on the integration of the equations of equilibrium of an elastic solid [Text] /W. Thompson //Cambridge and Dublin Math. J. — 1848. -Vol. 3.-P. 87−89.

109 Xu, Xu, Shan, Feng. Three-dimensional vibration of thick plate [Text] / Xu Xu, Feng Shan // J. of Shanghai Univ. (Engl. Ed.). — 1998. — Vol.2, N2. -P. 112−116.

110 Zhang, Y. Vibrations of rectangular stepped plates [Text] / Y. Zhang, Ch. Jiang // Chin. J. of Appl. Mech. — 1998. — Vol. 15, N 4. — P. 109−115.