Применение принципа максимального расхода в задачах гидродинамики, содержащих неопределенность

Одной из основных проблем современной науки является проблема повышения эффективности методов математического моделирования, разработка средств оптимального сочетания аналитических решений и вычислительного эксперимента. В этом направлении одной и важнейших задач является задача разработки средств контроля и доказательства достоверности получаемых результатов, учет всех известных источников неадекватности, начиная с формализации и постановки задачи и кончая анализом результата.

С развитием науки и техники, возрастающие потребности инженерной практики в математическом моделировании сложных объектов приводят к необходимости рассматривать задачи, аналитическое решение которых представляет большие трудности. В последние годы рост быстродействия и доступности вычислительной техники дали возможность широко использовать методы численного решения таких задач. Однако возможности этих методов используются не полностью и не всегда ясны. Особый интерес имеет разработка численно-аналитических методов решения задач.

Численные методы дают возможность визуализировать решения, если представить их в наглядном для исследователя графическом или табличном виде. Численное исследование помогает определить различные типы решений, а также установить предельные конфигурации. В результате этих исследований возможно построение классификации решений и описательной модели взаимосвязи различных конфигураций. Таким образом, информация о задаче принимает удобный вид для ее восприятия и использования в различных исследованиях.

Также необходимо отметить и проблемы, возникающие при использовании численных методов. Решения, полученные с помощью сложных численных алгоритмов и программ, вызывают сомнения с точки зрения точности и достоверности, в особенности это касается задач, не имеющих аналогов. Существуют различные численные методы верификации решений, например, сравнение с решениями, полученными другим способом или другим автором, последовательное дробление шага, повышение степени полиномов и т. д. Это требует дополнительных затрат машинного времени, которые велики и непропорционально быстро растут с увеличением сложности и размерности задач. Большой объем вычислений, в свою очередь, затрудняет детальное исследование задач, что приводит к появлению массы работ частного характера, не дающих достаточно полных сведений о задаче, и вызывает необходимость повторных исследований.

Никаких резких перемен кардинального решения этих проблем в ближайшее время не предвидится. Потребности практики растут быстрее, чем быстродействие ЭВМ, появляется острая необходимость решать задачи в реальном масштабе времени, растут размерность задач и их математическая сложность. Это требует досконального анализа имеющихся возможностей, упорядочения процесса исследования, исключения повторов, поиска путей безболезненного упрощения задач и т. д.

Этим целям служат принципы последовательности и системности исследований. Во-первых, необходимо изучать сначала простые задачи, а затем на их основе — более сложные. Во-вторых, при параметрическом исследовании не ограничиваться каким-либо узким диапазоном исходных параметров, а развивать эти исследования вплоть до естественных предельных значений вверх и вниз. В-третьих, решать задачи экономнее не по одной, а целыми комплексами, то есть группами близких по физической или математической постановке задач.

Предшествующее исследование более простых задач уменьшает объем работ по отладке программ и вероятность получения недостоверных результатов, облегчает решение методических вопросов по планированию и оценке объема исследований, в некоторых случаях позволяет качественно предсказать результаты исследований. При этом ответы на многие вопросы могут быть получены более простым и экономным способом.

Поиск предельных решений при численном исследовании может проводиться путем анализа «предпредельных» ситуациий, формирования гипотезы (экстраполяции) и последующей проверки с помощью самостоятельного поиска предельного решения. Такое определение предела не является математически строгим, поэтому здесь возможны ошибки. Однако достоверность этих результатов может быть существенно повышена исследованием пределов по различным параметрам и их взаимосвязи (замыканием множества решений задачи). Эта процедура требует определенных затрат машинного времени и собственного времени исследователя, но дает возможность провести обоснованную систематизацию решений, изучить задачу с необходимой полнотой, избежав слишком подробного пошагового изменения параметров. Тем самым удается исключить необходимость повторов и подготовить базу для решения более сложных задач.

При решении комплекса задач предполагается включение в него взаимосвязанных по какому-либо параметру задач различной сложности, для которых разрабатывается общее программное обеспечение. Частным случаем такого комплекса является задача в совокупности со своими предельными конфигурациями. В комплекс могут входить также задачи, имеющие аналитические решения, что облегчает проверку программ и достоверности результатов. При этом, чем больше задач в комплексе и чем больше взаимосвязей между ними, тем меньше вероятность не обнаружить ошибку и тем меньше время, необходимое на формирование, отладку программы и исследование каждой задачи.

Развитие вычислительной техники дает возможность не только использовать ее как дополнение к аналитическим методам, но и выполнять некоторые функции, присущие анализу (например, исследование вопроса о существовании решения). Однако, эффективное применение ЭВМ возможно, как правило, лишь при дополнительных аналитических исследованиях, после приведения расчетных формул к удобному для вычислений виду и после разработки соответствующих вычислительных алгоритмов.

В диссертационной работе рассматривается приложение аналитических и численно-аналитических методов к построению математических моделей течений идеальной весомой жидкости. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений в тех областях исследований, где вязкостью жидкости можно пренебречь, например, кавитационные течения, течения воды в гидротехнических сооружениях, а также течения различных жидкостей в технических устройствах, таких как центробежные форсунки. Подробную библиографию работ, посвященных этой теме, можно найти в монографиях [3, 11].

В гидродинамике понятие неопределенности («гидродинамической неопределенности») связывается с существованием множества решений задач, которые построены с помощью модели «идеальной жидкости». В качестве примера можно указать на неопределенность выбора точки отрыва свободной поверхности от гладкой поверхности обтекаемого тела [11]. В данной работе изучаются проблемы, порожденные такой неопределенностью и приводящие к необходимости выбора подхода к решению задачи о течении жидкости в центробежной форсунке (см. гл. 1).

В первой главе диссертации рассматривается выполнимость «принципа максимального расхода» (ПМР), входящего в открытие Г. Н. Абрамовича, Л. А. Клячко, И. И. Новикова и В. И. Скобелькина «Закономерность расхода жидкости в закрученном потоке» [1, 2, 13, 24, 45], в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря на основе дискуссии между Луговцовым Б. А. [31, 32] с одной стороны и Г. Ю. Степановым [46] с другой стороны о проблеме всеобщей применимости ПМР в центробежных форсунках, водосливах и других аналогичных течениях.

Незавершенность этой дискуссии, связанная с отсутствием теоретического обоснования разных подходов, исследований конкретных течений путем решения гидродинамических задач обуславливают актуальность диссертационной работы.

Рассматриваются два принципа расчета (на основе ПМР и на основе закона изменения импульса) относительно задачи течения идеальной невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с изломом и образованием вихря вблизи излома.

Задачи решаются в плоской и осесимметричной постановках.

В § 1.1 решается осесимметричная задача течения идеальной невязкой несжимаемой жидкости в трубе, закрученной вдоль оси симметрии х. Расчет проводится на основе закона изменения импульса по схеме предложенной Луговцовым Б. А. [31,32] и на основе ПМР. В результате получается однозначная зависимость Я{=А[1 от Я2 (на основе закона изменения импульса), которая существенно отличается от зависимости Г. Н. Абрамовича.

О 7? на основе ПМР), где, А — параметр закрутки, ¡-л = —п /= —. пЯ 42 В Я.

В § 1.2 рассматривается выполнимость ПМР в плоской задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря. Находится расход жидкости на основе закона изменения импульса и на основе ПМР. Результаты сравниваются.

Вторая глава посвящена решению задачи о течении идеальной невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с изломом и образованием вихря вблизи излома. С одной стороны поток ограничен свободной поверхностью.

В § 2.1 делается постановка задачи о течении с образованием вихря. Описываются граничные условия и вводится формула, определяющая область течения на плоскости комплексного потенциала.

В § 2.2 проводится исследование решения частных задач при обтекании вихря потоком весомой и невесомой жидкости при различных областях течения на плоскости параметрического переменного. Также исследуется устойчивость свободного вихря в потоке весомой жидкости. Рассматривается задача об обтекании вихря невесомой жидкостью под свободной поверхностью.

В § 2.3 рассматривается численное решение общей задачи о течении весомой жидкости. При решении используется видоизмененный метод Леви-Чивиты. Численно задача решается методом коллокаций. В результате численного эксперимента получаем, что число ¥-г при увеличении числа точек коллокаций приближается к 2, а уА к 3. Эти значения могут быть получены из физических соображений. Также следует отметить, что некоторые результаты расчетов подтверждаются аналитически. Для оценки погрешности других численных данных применяется методика численной фильтрации, изложенная в гл. 4.

Рассматривается применимость ПМР в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря при различных положениях вихря.

Третья глава посвящена решению задачи об обтекании весомой жидкостью пластины с образованием каверны.

В § 3.1 дается постановка задачи, объясняется выбор схемы кавитационного обтекания. Рассматривается решение задач методом с использованием функции Жуковского. В § 3.2 рассматривается решение задачи с образованием каверны по схеме Рябушинского, в § 3.2 — по схеме Тулина-Терентьева.

В § 3.4 объясняется существование конечной подсасывающей силы, действующий на поток со стороны пластины при безотрывном обтекании.

Четвертая глава посвящена численной фильтрации, как методу уточнения результатов вычисления и оценки погрешности.

В § 4.1 рассматривается метод минимизации дисперсии ожидаемой погрешности (обобщение метода наименьших квадратов) и решается основанная на этом методе задача численной фильтрации. Решение задачи численной фильтрации есть последовательное устранение степенных слагаемых суммы с помощью вычисления линейных комбинаций результатов, полученных для различных наборов узловых точек.

В § 4.2 на основе априорной информации о неизвестной составляющей погрешности предложен критерий применимости фильтрации.

Вводится понятия критерия размытости оценки и критерия принятия оценки. А также рассматривается способ визуализации результатов экстраполяции и оценки погрешности в виде, удобном для проведения фильтрации в интерактивном режиме, и принятия решения о достоверности оценки на основе совместного анализа совокупности полученных путем экстраполяции данных.

В § 4.3 приводятся примеры применения численной фильтрации для обработки результатов, полученных различными численными методами.

Таким образом, целью работы является анализ возможных течений в центробежной форсунке путем решения плоских модельных задач, проверка выполнения ПМР.

Для реализации поставленной цели требуется следующее:

1. Решить ряд задач с образованием вихря или каверны вблизи точки отрыва потока от стенки.

2. Выявить решения, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.

3. Найти решения со свободным вихрем. Исследовать устойчивость таких решений.

На защиту выносятся следующие результаты исследований, являющиеся новыми:

• Математическая модель течения в центробежной форсунке.

• Множество решений, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.

• Решения со свободным вихрем в ряде задач, включая задачу о течении весомой жидкости со свободной поверхностью.

• Результаты проверки устойчивости решений со свободным вихрем.

Практическая ценность.

Автором разработаны алгоритмы и программы решения задачи нахождения гидродинамических характеристик течения жидкости в центробежной форсунке на основе ПМР, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы в инженерных расчетах.

Работа проводилась по тематике госбюджетных научно-исследовательских работ Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», «Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем».

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [38, 39] и в соавторстве [19, 40, 41, 43, 59−61, 72, 74, 75, 83]. В работах [19, 38−41, 43, 59−61, 72, 74, 75, 83] диссертанту принадлежат разделы, касающиеся разработки численно-аналитических методов и решения плоских задач обтекания полу бесконечной пластины потоком жидкости с образованием вихря и каверны, а также задачи оценки устойчивости равновесного вихря.

Основные результаты докладывались на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002), на международной научной конференции «Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003), на международной конференции «7th US National Congress on Computational Mechanics (USNCCM7)» (Albuquerque, USA, 2003), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2003 (Уфа, 2003), на Всероссийской Молодежной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003), на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2004 (Будапешт, 2004), на всероссийской научно-практической конференции «Вузовская наука — России» (Набережные Челны, 2005), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2005 (Уфа, 2005), на всероссийской научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2006), на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование — 2006» (Кемерово, 2006).

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

Автор выражает признательность своим научным руководителям: профессору Житникову Владимиру Павловичу и доценту Шерыхалиной Наталии Михайловне за большое внимание и помощь в работе.

Диссертант и его научные руководители сожалеют о кончине Георгия Юрьевича Степанова, без кого не могла состояться данная работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации были рассмотрены задачи потенциального течения весомой жидкости вокруг полубесконечной пластины с образованием вихревых зон и каверн вблизи кромки пластины. Такими задачами моделируются течения закрученной жидкости в центробежной форсунке.