Динамика ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами

В последние годы в технике находят широкое применение в качестве конструкций ортотропные упругие и вязкоупругие пластины и оболочки, которые несут нагрузки в виде различных присоединенных элементов.

Реальные конструкции, находящиеся под действием динамических нагрузок, как правило, представляют сложные объекты, поэтому исследование вопросов взаимодействия этих объектов с системами присоединенных элементов представляют собой актуальную проблему.

Для практики эти задачи, будучи связаны с передачей нагрузок, часто встречаются в современной технике и их развитие стимулируется возрастающими потребностями инженерных исследований.

По своеь^у виду присоединенные элементы, нашедшие применение в различных конструкциях, можно разбить на следующие группы:

1. Ребра жесткости.

2. Накладки и подкрепляющие элементы.

3. Присоединенные массы (точечные или конечных размеров).

4. Осцилляторы с одной или несколькими степенями свободы.

5. Распределенные элементы, присоединенные к основной конструкции.

Оболочки, подкрепленные редко расставленными ребрами, трактуются как оболочки с дискретными элементами. Распространенным подходом является метод расчленения, при котором производится отделение ребер от оболочки с введением по линии контакта соответствующих усилий и моментов — метод динамических податливостей. Составляются уравнения движения для оболочки и ребер и формируются условия их сопряжения. При расчете ребристых оболочек обычно используются уравнения Кирхгофа-Клебша. Если оболочка и ребра жесткости изготовлены из композитных материалов, то учитываются деформации поперечных сдвигов как собственно в оболочке, так и в присоединенном элементе. Для вывода уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние ребер, используются соотношения классической теории изгиба и кручения. При учете сил взаимодействия между оболочкой и ребрами учитываются эксцентрицитет ребер, изгиб в плоскости ребра, V/ плоскости и кручение. Систему уравнений, описывающую напряженно-деформированное состояние оболочки с присоединенными ребрами, часто решают энергетическими методами. При составлении уравнений равновесия оболочки, подкрепленной ребрами, влияние подкреплений может учитываться в уравнениях при помощи дельта-функций Дирака.

Если оболочка подкреплена большим числом ребер жесткости, конструкцию можно свести к ортотропной оболочке, применяя тот или иной метод континуализации, в том числе по энергии [ 5,22, 52].

В практике создания конструкций жестко присоединенные массы могут быть размещены по линиям или площадкам [31,45,1091. Для вывода разрешающих уравнений движения оболочки с присоединенными массами используются вариационные принципы, в которых кинетическая энергия оболочки дополняется кинетической энергией присоединенных масс, которая в зависимости от присоединенной массы подсчитывается как с учетом поступательного, так, возможно, и вращательного движения.

Накладки по своему назначению могут играть различную роль. Однако самая важная — обеспечение жесткости конструкции. По форме они могут быть прямоугольными, кольцевыми, цилиндрическими или сферическими. При учете в накладках изгиба и кручения для них используются расчетные схемы теории тонких оболочек. Учитывая взаимодействие распределенных элементов с оболочкой посредством поверхностных усилий, определяется разрешающая система уравнений. Для большинства случаев система уравнений приводится к интегральным уравнениям [2].

Осцилляторы представляют собой присоединенные элементы, имеющие, как правило, одну степень свободы. Они крепятся в соответствующих точках к несущей конструкции при помощи пружин и демпферов. Исходными уравнениями являются уравнения движения оболочки и динамические уравнения осцилляторов, которые замыкаются соответствующими условиями сопряжения оболочки с осцилляторами [47,83,107,155−158]. Распределенные элементы бывают в виде стержней, пластинок, пологих оболочек, твердых тел и т. д. Связь распределенного элемента с оболочкой может осуществляться с помощью упругих или абсолютно жестких стержней, пластин, контакт которых с оболочкой происходит по некоторой малой площадке или тонкой полоске конечной длины [ 20,127,145].

Движение распределенного элемента, опоры и оболочки рассматривается отдельно, а их взаимное влияние заменяется действием сил и моментов в областях присоединения. Для получения непротиворечивых условий контакта, а также разрешающих уравнений движения системы оболочка-опора-распределенный элемент наиболее эффективными методами являются энергетические.

Нагрузки, действующие на конструкционные элементы, по характеру взаимодействия могут быть силовыми, кинематическими или одновременно носить смешанный характер.

Результаты исследований действия динамических нагрузок на оболочки, а также методы их расчетов опубликованы в многочисленных работах. В меньшей мере освещены вопросы вынужденных колебаний ортотропных пластин и оболочек, несущих присоединенные элементы.

Значительный вклад в развитие теории динамики пластин и оболочек внесли советские ученые В. В. Болотин [ 19,25], А. Л. Гольденвейзер [36,37], Н. А. Кильчевский [ 56], Я. С. Подстригач [ 117 119] и др.

Анализ работ по отдельным направлениям развития теории пластин и оболочек, находящихся под действием динамических нагрузок, с характеристикой различных подходов и полученных на их основе решений конкретных вопросов, дан в обзорных статьях Н. А. Кильчевского [56] и У. К. Нигула [ 96,97].

В периодике не уменьшается поток работ данного направления. Это, с одной стороны, объясняется тем, что вводятся в рассмотрение объекты более сложной формы или же усложняющие факторы, а с другой — тем, что идет интенсивное усовершенствование расчетных методов.

Много фактического материала по собственным колебаниям пластин и оболочек систематизировано в справочниках [25,35]. В работах[11,15,21,32,64,65,70,75,103,152] исследуются собствен^ ные колебания круглых, прямоугольных пластин и пологих оболочек со смешанными граничными условиями, определены формы колебаний.

Вопрос учета вязкоупругих свойств при динамическом деформировании пластин и оболочек является в настоящее время одним из актуальных в механике деформируемых тел. Об этом свидетельствуют, в частности, работы [ 11,16,26,53,54,55,60,90,114,131]. Сейчас уже разработаны общие теоретические основы и методы решения задач определения напряженно-деформируемого состояния и анализа динамических свойств несущих конструкций с учетом особенностей реологического поведения их материала.

Вынужденные колебания в различных изделиях изучаются в монографиях и статьях [9,II, 12,21,33,34,52,61,68,71,137].

Фундаментальным исследованиям теории анизотропных пластин и оболочек, различным вариантам их более точного описания посвящены труды С. А. Амбарцумяна [ 3,4], И. Н. Векуа [ 24], В. В. Болотина 117,19], Ю. Н. Новичкова [98−100,103], Э. И. Григолюка, Н.П.Чулко-ва [ 38,39], Я.М.Григоренко[40−42], Н. А. Кильчевского [ 56], С. Т. Лехницкого [731, Б, П. Пелеха [ III-II3], Я. С. Подстригача 517−119], А. С. Рассказова [122−1241, Г. Н. Савина [ 125], Л.П.Хоро-шуна [ I40−141] и других авторов. Детальный анализ состояния теории многослойных пластин и оболочек дан в обзорной статье Э. И. Григолюка и В. А. Когана [38].

Решению конкретных задач теории слоистых пластин и оболочек посвящены работы [7,11,19,26,33,42,70,98−100,114,132,134, 135,140,141,144]. В [124] описаны результаты экспериментальных исследований статики и динамики многослойных пластин.

Применимость классической механики к конкретным задачам динамики требует строгого обоснования, отсутствие которого приводит в рассматриваемых случаях к сомнительным результатам [36, 96,97]. Положение улучшается, если отказаться от гипотез классической теории тонких оболочек и принять гипотезы одной из уточненных теорий, например, С. П. Тимошенко.

Задача приведения трехмерной теории упругости к двумерной может быть осуществлена различными способами:

1. Приведение путем разложения всех величин в степенные ряды по координате г* .

2. Приведение путем задания нескольких компонент тензора напряжений или деформаций известными функциями f (Z) («полуобратный» метод). Сюда относятся методы приведения Кирхгофа-Лява, С. П. Тимошенко, Э. Рейсснера, А. С. Амбарцумяна и др.

3. Приведение путем разложения компонент тензора напряжений или деформаций в ряды по специальным функциям.

4. Асимптотические методы приведения[14, 36,144] .

Каждый метод обладает своими преимуществами и недостатками. Наиболее широкое применение нашли «полуобратные» методы приведения. Кроме метода приведения Кирхгофа-Лява (классическая теория) все остальные методы носят название «уточненных» теорий оболочек.

Построению уточненных теорий пластин и оболочек посвящены многочисленные исследования 17,14,17,19,24,37,44,70,74,79,102, 112, ИЗ, 116,117,122−125,132,134,135,140,141,144].

В работах [24, 74,112,116] система уравнений равновесия находится из уравнений среды путем усреднения их по толщине с помощью полиномов Лежандра, а в [ 94 ] многочлены по Z в формулах для перемещений отличаются от первых четырех многочленов Лежандра только множителями.

Применение уточненного «полуобратного» метода С.А.Амбар-цумяна для получения уравнений движения пологих слоистых пластин и оболочек приводится в работах [122,123,132].

Учет поперечных сдвигов и обжатий при построении уточненных теорий слоистых оболочек дается в [122,123,132,134,135] .

Современная инженерная практика ставит повышенные требования к анализу напряженно-деформированного состояния и определения собственных частот упругих пластин и оболочек, несущих присоединенные элементы. Этим вопросам посвящены труды И. Я. Амиро, В. Г. Паламарчука, A.M.Носаченко [ 6,104−109], В. М. Даревского, И. П. Шаринова [45], Б. Г. Коренева [651, В. А. Крысько [ 691, Л. И. Лиходеда, А. А. Малинина [76−78, 80−85], Ю. Н. Новичкова, В. М. Юдина [101], И. И. Федика [13б] и других.

Важный вклад в исследования колебаний упругих систем, в частности, пластин с присоединенными дискретными массами, сделал С. А. Гершгорин [30,3ll.

Вопрос о колебаниях упругих систем с присоединенными массами изучается в работах [б, 8−10,30,31,45,48,52,142]. Здесь решаются задачи о колебаниях замкнутых, свободно опертых по краям цилиндрических оболочек, несущих распределенные или сосредоточенные массы. Колебания оболочек и движение присоединенной массы рассматривается отдельно с последующим выполнением условия сопряжения. Получены частотные уравнения для оболочек с присоединенной по прямоугольному элементу массой, а также для оболочек, несущих одну или несколько сосредоточенных масс.

В результате исследований установлено:

1. Между частотами колебаний оболочки без присоединенной массы и частотами системы, состоящей из оболочки с жестко прикрепленной массой, существует взаимнооднозначное соответствие. Добавление присоединенной массы не вводит новых частот, а лишь понижает некоторые частоты колебаний системы по сравнению с частотами оболочки без масс.

2. Добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение основной формы колебаний.

В [78] исследуются нелинейные колебания ортотропных оболочек вращения с включениями типа сосредоточенных масс. Задача рассматривается в геометрически нелинейной постановке. Для получения уравнений движения используется вариационный принцип Лагранжа в сочетании с методом Ритца. В качестве базисных функций для задачи о вынужденных колебаниях используются, как правило, собственные функции соответствующей линейной задачи.

В качестве примера рассматривалось движение гладкой цилиндрической оболочки с шарнирно подвижными краями и оболочки с сосредоточенной массой, находящихся под действием осевой сжимающей силы, меняющейся во времени.

В результате подсчетов получено:

1. Изменение нормального прогиба в зависимости от величины сжимающей силы.

2. Зависимости силы от скорости нагружения для гладкой оболочки и оболочки с массой.

На основании соображений подобия и размерности, а также анализа числовых результатов в [77] найдены приближенные формулы для определения собственных частот колебаний цилиндрических оболочек, гладких и с сосредоточенными включениями.

В статье [82] рассматривается случай оболочки как свободной, так и несущей сосредоточенные массы. Проводится исследование динамических характеристик тороидальной оболочки при изменении кривизны ее осевой линии. Для получения решения задачи использован метод Ритца.

Здесь приведены значения:

1. Двух низших частот колебаний оболочки для трех вариантов крепления массы.

2. Показано, что наибольшее понижение частоты наблюдается у оболочки с массой в узле), наименьшее — у оболочки с массой в узле < L /2 ft, о).

Зависимость параметра частоты от числа волн по кольцу для круговой и эллептической оболочек при колебаниях, симметричных относительно вертикальной плоскости, представлена в [271 .

Колебания шарнирно опертой цилиндрической оболочки рассматривается в работе [ 81]. Оболочка содержит сосредоточенные и распределенные упругие связи и массы. Упругие связи могут быть распределены как по отдельным линиям координатной сетки, так и по всей поверхности оболочки.

Работа С 801 посвящена получению зависимостей собственных частот для шарнирно опертой цилиндрической ортотропной оболочки с дискретными включениями при действиях на нее растягивающих сил, внутреннего и наружного давления.

В статьяхL84,85] показано, что при определении собственных частот и форм колебаний оболочек вращения с грузами необходимо учитывать инерцию поворота грузов, так как это оказывает большое влияние на изменение спектра низших частот колебаний. Колебания подкрепленных оболочек вращения с сосредоточенными массами и осцилляторами рассмотрены в работе С 7б].

Статьи [5,6, 87,104−109] посвящены изучению свободных колебаний системы, состоящей из ребристой цилиндрической оболочки и абсолютно твердого тела. Связь тела с оболочкой осуществляется разными способами. В одном случае тело с оболочкой связывается при помощи абсолютно жестких невесомых радиальных стержней, жестко скрепленных с телом и шарнирно связанных с оболочкой. В другом случае — с помощью промежуточных опор или же жесткого присоединения абсолютно твердого тела к оболочке. Движение тела рассматривается отдельно, а его влияние на оболочку заменено действием сил и моментов в точках присоединения тела к оболочке. Инерционными силами оболочки в тангенциальном направлении пренебрегают. Задачи решаются энергетическими методами.

Исследуются свободные колебания оболочки с балкой, а также присоединенной массой.

Изучены свободные колебания ребристой конической оболочки с массой, присоединенной на пружинах.

Основные результаты работ [б, 104−109] следующие:

1. Установлены зависимости минимальной собственной частоты оболочки с присоединенным телом от величины угла между нормалью в точке крепления тела и координатной диаметральной плоскостью. Анализ кривых показывает, что с увеличением расстояния между точками крепления тела, минимальная собственная частота снижается [106].

2. Исследовано влияние расстояния между опорами и точками крепления тела на первую собственную частоту колебаний системы [108].

3.а) Приведены зависимости собственной частоты колебаний оболочки без присоединенной массы от числа волн в окружном направлении. б) Приведенные кривые, отражающие зависимость минимальной собственной частоты от величины присоединенной массы и относительной жесткости. в) Установлено, что влияние присоединенной массы на минимальную собственную частоту колебаний оболочки весьма существенно. С увеличением жесткостей связей между массой и оболочкой это влияние увеличивается [104].

4.а) Показано, что увеличение массы и соответствующих моментов инерции присоединенного к оболочке тела, влияние его угловых колебаний на собственную частоту колебаний системы может быть существенным. б) С увеличением моментов инерции тела при неизменной его массе собственная частота колебаний уменьшается ГбЪ.

В работе [ 1271 приводятся количественные данные о влиянии консольно присоединенного тела и дискретного размещения ребер на минимальную собственную частоту. Рассматриваются собственные колебания замкнутой шарнирно опертой по краям оболочки с перекрестной системой ребер несущей тело, присоединенное с помощью консоли, ось которой нормальна к срединной поверхности оболочки. Предполагается, что консоль является абсолютно жестким стержнем, контакт консоли с оболочкой осуществляется по некоторой малой площадке.

1. Построены кривые, представляющие зависимости наименьшей собственной частоты от числа членов в окружном и осевом направлениях.

2. Приведены зависимости наименьшей собственной частоты от массы присоединенного тела.

В статьях [57−59] разработаны вариационный метод определения собственных частот оболочки с распределенными присоединенными грузами, позволяющий, в отличие от традиционных: методов, давать двухсторонние оценки собственных частот и полностью ответить на вопрос об изменении их значений и кратности в зависимости от поведения определителя возмущенияпостроена модификация метода для случая сосредоточенных масс. Показана зависимость низшей собственной частоты от величины одной присоединенной массы.

В работе RAMACHANDRAN [l54^ изучаются свободные колебания при больших амплитудах пологих сферических оболочек с сосредоточенной в вершине массой. Исследование выполнено в рамках уравнений Маргерра методом Бубнова-Галеркина при использовании в качестве базисных функций Бесселя. В случае одночленного приближения выписано дифференциальное уравнение второго порядка для условий жесткого защемления на подвижном и неподвижном в радиальном направлении контуре опирания.

Б статье [l3] на основании классической теории рассматриваются свободные колебания жестко защемленной круглой изотропной пластины. Воздействие массы на пластину заменяется силой, направленной перпендикулярно срединной плоскости. Сосредоточенная сила раскладывается в ряд по функциям Бесселя. Из условия сопряжения определен определитель, равенство нулю которого определяет характеристическое уравнение. Получены значения двух низших частот для пластины без масс, масса в центре, а также на расстоянии, равном половине радиуса. Аналогичные задачи решаются в [48,69,1151.

Методом Ритца в сочетании с методом неопределенных множителей Лагранжа в [136] решаются вариационные задачи об определении динамических свойств, частот и форм собственных колебаний изотропных пластин с идеальными точечными связями. Характерной особенностью разработанных алгоритмов является то, что основаны они на использовании форм собственных колебаний тех же конструкций, но без точечных связей.

Колебания двухслойных пластин и трехслойных балок с сосредоточенными массами рассмотрены в [33,101].

Для обработки виброметрических данных методами статистической динамики в t147] строится решение задачи об искажениях случайного поля перемещений в тонких пластинах и оболочках вследствие внесения сосредоточенных масс.

Экспериментальному объяснению такого специфического явления, как удвоение спектра собственных частот замкнутой оболочки с присоединенной массой вследствие ее динамической асимметрии по сравнению с ненагруженной оболочкой приведено в [2б1.

Изучению распространения изгибных волн в бесконечной пластине, в отдельных точках которой расположены сосредоточенные массы, посвящена статья [67].

Анализу колебаний трансверсально-изотропной плиты с системой сосредоточенных масс посвящена работа [69].

Примером использования математического аппарата обобщенных функций при исследовании оболочек с присоединенными массами являются работы [9,61−63,137−1391 и др.

В случае малых присоединенных масс в [29] используется метод теории аналитических возмущений.

В монографии [ 72 ] методом сплайн-преобразований с использованием обобщенных функций решаются задачи продольных и поперечных колебаний стержней переменной жесткости.

Нелинейные свободные колебания двух упруго-соединенных балок с сосредоточенными массами рассмотрены в статье [4б].

Известно, что присоединенные элементы могут быть использованы как динамические гасители. Однако в ряде случаев присоединение элементов может оказать дестабилизирующее влияние. Именно такой случай и обнаружен в работах [18,20].

Анализ литературных источников показывает, что результаты исследований собственных колебаний оболочек с присоединенными элементами по классической теории, а также методы их расчетов хорошо освещены во многих трудах по механике.

В меньшей мере в литературе освещены вопросы собственных и вынужденных колебаний трансверсально-изотропных, ортотропных, вязкоупругих оболочек с конечной сдвиговой жесткостью, несущих присоединенные элементы. Количество решенных задач данного класса по уточненным теориям пока незначительно. В конструкциях с дополнительными закреплениями в конечном числе дискретных или локальных областей исследования становятся сложными. Это объясняется тем, что граничные условия принадлежат смешанному типукогда в разных областях задаются разные условия, а именно, конструкция свободна или нагружена по некоторой осевой части и закреплена в точках опирания.

Влияние механических нагрузок на конструкции с присоединенными элементами необходимо учитывать на этапах проектирования, конструирования, испытания и эксплуатации. В некоторых областях современной техники центральным конструктивным элементом являются однои многослойные пластины, несущие различные навесные элементы. Пластина наиболее чувствительна к динамическим нагрузкам и поэтому заданное обеспечение ее надежности должно быть первостепенным. Кроме того, пластины, несущие присоединенные элементы, широко используются при разработке адаптивных систем, где важно определить пространственные профили поверхностей конструкционных элементов при работе силовых приводов и одновременном действии внешних возмущений, а также спектры частот и формы собственных колебаний.

Настоящая работа направлена на разработку методов решений ряда задач динамики ортотропных пластин с присоединенными элементами при разных условиях их закрепления к несущецу основанию, наиболее часто встречающихся в современной технике. Изучению вынужденных колебаний ортотропных пластин и оболочек с присоединенными массами посвящены работы [49−51,91−93,I48TI5l].

Цель работы состоит в разработке уточненной математической модели описания динамики однослойных и многослойных ортотропных упругих пластин, несущих присоединенные элементысоздание методики исследования свободных и вынужденных колебаний на основе аналитических решений задач динамики круговых и прямоугольных ортотропных упругих пластин с сосредоточенными массамианализ амплитудно-частотных характеристик с целью изучения зависимостей их от вида закрепления, характера нагружения, геометрии и свойств материала несущего тела, жесткости крепления и координат присоединенных элементов.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

— впервые для изучения динамических процессов в ортотроп-ных упругих и вязкоупругих пластинах с присоединенными элементами применен метод, основанный на аппроксимации поля перемещений по толщине кубическими сплайнами;

— на основе полученных аналитических решений, численного параметрического исследования и сопоставления результатов подходов создана методика расчета на динамику прямоугольных и круговых ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами на силовое и кинематическое возбуждениеметодика основана на принятии гипотез С. П. Тимошенко для тонкостенного несущего тела;

— изучены основные закономерности поведения ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами различных типов при изменении параметров, характеризующих свойства и особенности крепления присоединенных элементов, их расположения и характеристик самих элементов.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения.

В первой главе строится математическая модель многослойных оболочек, состоящих из ортотропных упругих слоев. Положенные в основу теории гипотезы позволяют учесть кроме основных деформаций классической теории, также деформации поперечного сдвига и обжатия. Поле перемещений по толщине пакета аппроксимируется с помощью кубического сплайна. Использован вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, на основании которого получена разрешающая система уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями. Частным случаем полученных соотношений являются классическая теория многослойных оболочек, построенная.

— гона основании гипотезы недеформируемых нормалей, и теория слоистых пластин, основанная на гипотезе С. П. Тимошенко.

Вторая глава посвящена решению задач по уточненной теории, основанной на сплайн-аппроксимации по толщине, шарнирно закрепленных упругих и вязкоупругих пластин, несущих присоединенные массы, при пульсирующем перемещении контура. Получены аналитические решения для определения напряженно-деформируемого состояния и амплитудно-частотных характеристик. Исследовано влияние толщины слоев несущей конструкции, величины, координат и размещения присоединенных масс, параметров упругости и вязкоупругос-ти материала пластины на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.

Приведены сравнительные результаты полученных решений с теориями Кирхгофа-Лява и С. П. Тимошенко.

В третьей главе излагается методика решения задачи для круглой пластины с цилиндрической ортотропией, несущей сосредоточенные массы при пульсирующем перемещении контура. Для решения задачи применен метод возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств.

Учитывая, что уравнения движения в перемещениях для транс-версально-изотропной пластины допускают точное решение в полярных координатах, то из обобщенного закона Гука выделена та часть, которая соответствует соотношениям упругости для транс-версально-изотропного тела. Введен малый параметр, который определяется через параметры упругости. Задача решается методом последовательных приближений. Используется обобщенное условие ортогональности. Из условия непрерывности поля нормальных перемещений в точках приложения сосредоточенных масс, а также граничных условий, определены собственные значения и собственные функции. После разделения переменных получена система дифференциальных уравнений вынужденных колебаний пластины в обобщенных координатах относительно временного аргумента. Исследовано влияние координат и веса сосредоточенных масс, геометрии пластины, параметров упругости на поле нормальных перемещений и собственные частоты.

На примере ортотропной круглой пластины, несущей сосредоточенные массы и прикрепленной стержнями к подвижному основанию, исследуются вынужденные колебания. Задача решается методом возмущения трансверсально-изотропных упругих свойств. Получены аналитические решения. Определено влияние координат размещения стержней и масс, геометрии пластины, параметров ортотропии, жесткости стержней на напряженно-деформированное состояние пластины.

Решена задача для шарнирно закрепленной ортотропной пластины, находящейся под действием нормальных усилий, приложенных в соответствующих точках, и несущей сосредоточенные массы, имеющие шесть степеней свободы. Исследовано влияние толщины пластины, величины массы, моментов инерции, жесткости, параметров упругости на поле нормальных перемещений и собственные частоты пластины.

В заключении изложены основные результаты и общие выводы диссертационной работы, даны соответствующие рекомендации по применению результатов при проектировании и прогнозировании свойств пластин, несущих присоединенные элементы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались: на Всесоюзных научно-технических конференциях «Испытания и защита РЭА» (Москва, 1981 г) и «Автоматизация конструкторского проектирования РЭА и ЭВА» (Пенза, 1983 г.) — на Республиканских научно-технических конференциях «Контроль качества приборостроительной продукции» (Киев, I98I-I982 гг.) и «Обеспечение метрологической надежности и ремонтопригодности радиоэлектронной аппаратуры» (Львов, 1983;1984 гг.) — на конференциях профессорско-преподавательского состава Львовского политехнического института (1980;1984 гг.) — на кафедрах теорической механики и конструирования и производства радиоаппаратуры Львовского политехнического института (1980;1985 гг.) — на семинаре «Строительная механика конструкций» (Москва, 1984 г.) — полностью работа докладывалась на кафедре строительной механики Московского гидромелиоративного института (1985 г.) и на специализированном семинаре по механике деформируемого твердого тела ИППММ (Львов, 1985 г.).

Результаты выполненных исследований опубликованы в 10 статьях.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ю. Н. Новичкову за постоянное внимание и поддержку в работе.

Результаты работы внедрены на ПО им. В. И. Ленина (г.Львов) с экономическим эффектом 18,6 тыс. рублей и могут быть использованы на предприятиях Минередмаша, Министерства радиопромышленности, Министерства промышленности средств связи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Разработана уточненная методика определения напряженно-деформированного состояния слоистых ортотропных упругих и вяз-коупругих пластин, пригодная как для статических, так и для динамических задач. Методика основана на применении кубической сплайн-аппроксимации перемещений по толщине пластины. Кроме основных компонент тензора деформаций, методика учитывает деформацию поперечного сдвига и трансверсальную деформацию. Особое внимание уделено однослойным ортотропным пластинам. В частном случае соотношения предлагаемой уточненной методики переходят в соотношения уточненной теории С. П. Тимошенко. Соотношения классической теории, основанные на гипотезе Кирхгофа-Лява, также следуют как частный случай из данной методики.

2. Разработаны методы исследования собственных и вынужденных колебаний ортотропных упругих и вязкоупругих пластин с присоединенными элементами типа сосредоточенных масс и осцилляторов. Они основаны на разделении переменных методом Бубнова-Га-леркина с последующим применением метода малого параметра, метода вариации произвольных постоянных, метода усреднения и последовательного приближения. Методика предусматривает два способа учета вязкоупругих свойств материала пластин, один из которых основан на использовании наследственной теории (трехпара-метрическое ядро М.А.Колтунова), второй — на теории комплексных модулей. Методика может быть применена для решения краевых задач динамики ортотропных пластин как для силового, так и для кинематического возбуждения.

3. На основе исследования динамики однослойных ортотропных упругих пластин проведено сравнение подходов: а) уточненного с использованием сплайн-аппроксимацииб) основанного на гипотезе С.П.Тимошенков) основанного на гипотезе Кирхгофа-Лява.

Показано, что при малых относительных толщинах для колебаний по формам с малым показателем изменяемости (низшая часть частотного спектра: Оси) 6 0,15) все три подхода дают один и тот же результат и в этой области рекомендуется применение классической теории. В средней, достаточно продолжительной части спектра, для форм с характерными размерами, сопоставимыми с толщиной пластины, расхождение между классической и уточненными теориями оказывается существенным. В то же время, уточненная теория, основанная на сплайн-аппроксимации и теория С. П. Тимошенко дают близкие результаты. Различие сказывается лишь для достаточно толстых пластин или для форм, характеризующихся короткими волнами. Поэтоцу для достаточно широкой области частотного диапазона может быть использована теория С. П. Тимошенко.

4. На основе теории С. П. Тимошенко для описания динамического поведения ортотропных пластин проведены исследования с получением аналитических решений, построением алгоритмов вычислений и созданием программного комплекса для ЭВМ с целью исследования собственных и вынужденных колебаний прямоугольных и круговых пластин с сосредоточенными массами и прямоугольных пластин с присоединенными осцилляторами.

5. Исследовано влияние вида закрепления, характера нагру-жения, геометрии и свойств материала несущего тела, жесткости крепления и координат присоединенных элементов на амплитудно-частотные характеристики ортотропных пластин.

На основе проведенных исследований даны рекомендации по прогнозированию динамических свойств пластин различных конструкций, по оптимизации режимов работы пластин с присоединениими элементами, по проектированию пластинчатых элементов конструкций, работающих в изделиях, находящихся в условиях динамического нагружения.