Компактные однородные пространства положительной эйлеровой характеристики

Пусть К ~ Компактная связная группа Ли, L — ее замкнутая подгруппа, Н= «^/L • Хорошо известно, что подгруппа U имеет максимальный ранг в К тогда и только тогда, когда все нечетномерные. числа Бетти многообразия И равны нулю, или, что-то же самое» если эйлерова характеристики многообразия И положительна, Обратно, любая, подгруппа максимального ранга замкнута в К 1311. Такие однородные пространства составляют обширный и важный класс компактных однородных пространств. К их йислу от~ носятся, например, четномерные сферы b, четномерные вещество венные проективные пространства (R Р, комплексные проектив.

Иные пространства Р, прямые произведения этих многообразий, а также многие другие. Естественной задачей является описание однородных пространств указанного вида. Для односвязных пространств оно было получено А. Борелем и Ж. Зибенталем [301 и Е. Б. Дынкиным [121. Можно, однако, ставить вопрос о дифференцируемой, топологической и т. д. классификации таких однородных пространств&diamsЭта задача решается в настоящей работе. Оказывается, что гомотопическая и дифференцируемая, классификации эквивалентны, а дифференцируемая и однородная эквивалентны за некоторыми исключениями, причем все такие исключения перечислены.

Указанная задача для однородных пространств вида, где — максимальный тор группы К, «была решена А. Л. Онищиком [17]. Топология компактных однородных пространств положительной эйлеровой, характеристики изучалась А. Борелем L61, Г29], Д.Н.Ахи-езером [21, СЗ], М. Я. Блинкиным С51, И. Н. Бернштейном, И.М.Гель-фандом и С. И. Гельфандом [41. Отметим, что в работах [171 и [31 использовался аппарат теории когомологий и теории гомотопий. В данной работе используется только теория когомологий. Для одно-связных пространств основное утверждение таково: если два компактных однородных пространства положительной эйлеровой характеристики имеют изоморфные кольца целочисленных когомологий, то такие пространства диффеоморфны. Для неодносвязных пространств мы доказываем более слабое утверждение, а именно, что из гомотопической эквивалентности двух однородных пространств этого вида следует, что эти пространства диффеоморфны. Предварительно дается однородная классификация таких пространств.

Определение 0.1. Пусть, где G и f п.

G — связные группы Ли, К и К — замкнутые подгруппы в О и / t Gсоответственно. Однородные пространства К и К называются изоморфными, если существуют изоморфизм G и диффеоморфизм F: К, удовлетворяющие условию ifcpCPioo^ FC^toc^^) (ijfcG, xen). г.

Определение 0.2. Пусть G и G — связные группы Ли, И и.

I /.

И — замкнутые подгруппы в Gи & соответственно. Однородное пространство ^/ц называется расширением /в сильном смысле/ однородного пространства ^Н.' если существует мономорфизм g'—> G такой, что £(Н')-=) ПК и G^C (/)H .

Под однородным пространством всюду в дальнейшем будет пониматься компактное связное локально эффективное однородное пространство положительной эйлеровой характеристики, т. е. локально эффективное факторпространство связной компактной полупростой группы Ли по ее подгруппе максимального ранга.

Определение 0.3. Пусть К и К — компактные связные одно-связные группы Ли, L и L — подгруппы максимального ранга, Я и У ^центральные^подгруппы в К и К соответственно. Положим.

К — «. Однородные, пространства ^/l и называются почти изоморфными, если изоморфны пространства к/£ и.

Предыдущее определение имеем смысл ввиду того, что центр компактной связной односвязной группы Ли содержится в любом ее максимальном торе. В дальнейшем мы не будем различать почти изоморфные однородные пространства. ,.

Определение 0.4. Пусть К — ^^L, -И'= ' «где К и (/.

К — связные компактные группы Ли, Ь и L — подгруппы макси/ мального ранга в К и К соответственно. Однородное пространство.

К называется расширением однородного пространства Н, если существуют однородные пространства и, почти изоморфные пространетвам М. и К соответственно, такие, что есть расши-/ рение Mi в смысле определения 0.2.

Определение 0.5. Однородные пространства К и К называются I рационально эквивалентными, К ~ ^ М, если их алгебры рациональных когомологий изоморфны /причем изоморфизм сохраняет степени/ и целочисленно эквивалентными, Н М, если изоморфны их кольца целочисленных когомологий.

Дальнейшее изложение будет вестись на языке систем корней и их групп Вейля. Дадим соответствующие определения.

Определение 0.6. Пусть Я — система корней. Подмножество Ф R называется регулярной подсистемой, если из условия следует, что и-®<<�сФ .

Определение 0.7. Пусть? и? — системы корней, Ф и Фрегулярные подсистемы в R и R соответственно. Пары и (ф') называются изоморфными, если существует изоморфизм с< системы корней R на систему корней к такой, что Сф У= Ф.

Классификация, с точностью до изоморфизма, всех пар вида (R s Ф), где R — система корней, Ф — ее регулярная подсистема, проведена в 130] и [121 /см.приложение I/.

Обозначим через Aut С R) и WiR ^ группу всех автоморфизмов и. группу. Вейля, системы, корней R. соответственно и положим.

AuUR, ФУ {^е Aut (R (ФУW (В, ФУ Aut (R Ф) R).

Как нетрудно проверить, группа Вейля Х/(Ф) системы, корней Ф является нормальным делителем в группах AutCR Ф) и WC R). Пусть.

Ясно, что Г (R «ф) — нормальный делитель в группе ?>(R, ФУ Для произвольной вещественной алгебры Ли си, обозначим че.

О О рез ее комплексификацию. Пусть L компонента единицы группы U, Т — ее максимальный тор, Ж., t и 4 — алгебо ры Ли, групп К, L и ЧТ соответственно. Рассмотрим корневое разложение алгебры & относительно подалгебры Картана 4: с с ~ 41−4.

Обозначим через О подсистему простых корней в R и для произвольного подмножества Д ci R ¦ пусть Д+ - множество всех положительных корней из Д •.

Рассмотрим подалгебру t • Имеем В — (Ус, где? -полупростой, а <Х — абелев ццеалы. Далее, </±= П 4. с есть подалгебра Картана в Ъ и корневое разложение алгебры t) с относительно подалгебры * ± имеет вид с ^ где Ф — регулярная подсистема в R [9]. Таким образом, каждому.

К у односвязному однородному пространству Кставится в соответствие napaCR> %), где R — система корней, ф — ее регулярная подсистема.

Нетрудно проверить, что если однородные пространства К и .м' определяют пары (R 4 Ф) иСВ^ф') соответственно, то м' тогда и только тогда, когда эти пары изоморфны. Мы будем поэтому писать 14. с), если односвязное однородное пространство Н задается парой СКДУ.

Определение 0.8. Пусть R и О-' - простые системы корней,.

•Гг ' /.

Ф и Ф — регулярные подсистемы в К и R соответственно. Пары (R) и cr/^ф' ^ называются дуальными, если S (R) и ф'^(^), где = (осеЮ.

Определение 0.9. Пусть Н-(^Ф)" НС Rф'• ПаРа (R. ^ } называется расширением пары С R.' ф'), если однородное пространство М есть расширение |л' .

Отметим, что однородные пространства, отвечающие парам, одна из которых есть расширение другой, диффеоморфны.

Сформулируем основные результаты работы, относящиеся к од-носвязным пространствам. Они опубликованы в L 251 и 1261.

Теорема 0.1. /теорема 3 гл.2/. Пусть С Q ^ ф) iff / 3 '^. * Ф) «где R и R — простые системы корней, Ф и ф.

— регулярные подсистемы в R и соответственно. Если q Л., то М ~ .И, за исключением случаев, указанных в таблице I.

Теорема 2 /теорема 4 гл.2/. Пусть.

К ^ X. X Иг, -Н-: -CR — лФс Vis Us)7.

С*',*') Примечание г ^ 4 = Гс с > пара, дуальная С R } Ф ч.сО.

CF4> Аг >>

CF^A^ с P^Ai).

С<�ЧАО.

CAivx-l> A.2VV-2 ^ CCv^Cv.-v"), расширение пары Сй'.Ф" *.

C^w+1, Aw.

СЬъ/Аъ^.

Ьа." ^ CG2>AiV.

С Azm-I, Aivv-j. ^ С few,.

СЧА^.

ССъ, сг ^ С^г.АО с г ^ C^/Ao.

CAs>AO АП.

CAS> А, А (ЧАО.

Знак — над типом подсистемы показывает, что она состоит из коротких корней./ где Is. — простые системы корней, О.

Ф- (1 ^ С ^ s V и Ф- (i < р г ^ -их регулярные подсистевш.

К ' '.

Если, то ъ =, a IH^qK^ (l^Css^ после подходящей перенумерации. Более того, тогда К ^ - м. — (i s v s s } за исключением тех случаев, когда пары CS., — Ф — л и (r' ф' Л.

L > <- v * <. указаны в таблице I.

Следствие 0.1. /следствие I гл.2/. Если в условиях теоремы.

0.2 все системы, корней к ' (1 * С S: S.) и R-Cis^sfc.} состоят из с t корней одной длины, то К — J4 .

Теорема 0.3./теорема 5 гл.2/. Пусть ~ С R JK^CB-' Ф') «гДе К и р' - простые системы корней, ф и ф — регулярные подсистемы в Я и R соответственно. Если Н. ^ к', то Jn^ К', или одна из пар С К? Ф ^ или С я', Ф'} есть расширение другой. Все такие случаи перечислены в таблице 2.

Таблица 2. в f R V — к.

Cv. Р.

— V 1 А^ 'UCH-vl^.

А г &-г Аг fo 2. Сг А,.

Теорема 0.4./следствие 3 гл.2/. Пусть К С R, Ф^, к' - С R.',) «гДе R и R' - системы корней, ф и ф' - регулярные подсистемы в R и соответственно, Если.

II ш.

К^, то существуют однородные пространства Н и. н /I такие, что есть расширение как пространства JM •, так и пространства Н, а эти пространства, в свою очередь, являются расширениями К.

Следствие 0,2 /следствие 4 гл.2/. Пусть однородные прост/ ранства И и И удовлетворяют условиям теоремы 0,4. Если, то многообразия Н. и И дЩеоморфны. Перейдем к изучению неодносвязных пространств JM. Соответствующие результаты опубликованы в L2 $l.

О ч о.

Обозначим через j^C L) нормализатор подгруппы Ь в К. Фундаментальная группа многообразия К = ^V^f изоморфна некоторой подгруппе группы ^ ^L°. Будет доказано, что эта группа изоморфна группе Г CR, Ф • Таким образом, каждому однородному пространству H^^/l ставится в, соответствие. тройка Г^, где R — система корней, Ф — ее регулярная^ подсистема и Г — подгруппа в PCR^. Пусть, далее, однородному пространству^Aj отвечает тройка.

С R Ф Г) • Тогда можно показать, чтоК — К тогда и ¦> - ¦ только тогда, когда существует элемент fee), обладающий свойством Г Г. Итак, каждому однородному пространству И — ^'^h отвечает тройка С Я > Ф Г), причем пара С Я } ф) определена с точностью до изоморфизма, а группа Г — с точностью до сопряженности в группе ГСЯ^ при помощи элемента из feCR., Ф «). Будем поэтому использовать обозначение С») если однородное пространство Н определяется тройкой С^Ф, Г).

Теорема 0.5./теорема 5 гл. З/. Пусть Г.

Н '-СР^ф', Г/), где Я и R' - простые системы корней, и т — их регулярные подсистемы, Г и Г — неединичные подгруппы групп Г (8. ФО и Г (к' ф'} соответственно. Если > многообразия И и И гомотопически эквивалентны, то или И ~ -М ' f или же тройки С g >Ф^ Г) и (R' г') указаны в таблице 3.

Таблица 3.

R Ф Г в' / <Ф м + 1 У/.

А ъ &-г А2 IRP0, аг (>2. А, ООП/ 'CKS}* 0(2).

Теорема 0,6 /теорема 6 гл. З/. Пусть К—с К, Ф, Г), мД (g^r')" ГД©-? и Б' - системы корней, Ф и ф' -их регулярные подсистемы, Г и г' ~ подгруппы Г (ф у и ГСй', соответственно. Если многообразия Н и н' гомотопически эквивалентны, то существуют однородные пространства.

Н и JM такие, что ri есть расширение как пространства t.

М «так и пространства К, а эти пространства, в свою оче.

1п редь, являются расширениями И .

Следствие 0,3 /следствие 3 гл. З/. Пусть однородные пространства и и К удовлетворяют условиям теоремы 0.6. Если многооб разия М и l-i гомотопически эквивалентны, то они диффеоморфны.

Рассмотрим, теперь некомпактные транзитивные группы. Пусть К — компактное многообразие положительной эйлеровой характеристики, на котором транзитивно и локально эффективно действует некомпактная связная группа Ли G-. Тогда, как хорошо известно /см. 32~ и [16]/, универсальная накрывающая группа С группы G полупроста и ее центр конечен. Она транзитивна на универсальном накрывающем многообразии н многообразия М. Так как JM также компактно, то И — Vq «где X — максимальная компактная в G подгруппа, a L — связная подгруппа максимального ранга в К.. Поскольку центр 2, (g) группы Gсодержится в К 122), а, следовательно, и в любом максимальном торе группы К «имеем *Z (&).

Определение 0.10. Пусть H-^/vi «-И- «где ^ и / G- - связные группы Ли, Н и Н — замкнутые подгруппы в & и g.' соответственно, причем многообразие К компактно и его эйлерова характеристика положительна. Однородное пространство М называется расширением однородного пространства Н, если существует однородные пространства и, почти изоморфные прос транствам И и и соответственно, такие, что .М^есть расшире-/ ние Нл в смысле определения. 0.2.

Некомпактные группы, транзитивные на односвязных компактных многообразиях положительной эйлеровой характеристики, изучались А. Л. Онищиком [16]. Мы найдем все такие группы, транзитивные на неодносвязных многообразиях. Результаты опубликованы в [23J и [26]. Так как точная формулировка требует привлечения-сложной структурной теории, отложим ее до главы 4. Отметим только такое утверждение.

Теорема 0.7 /следствие I гл.4/. Пусть м и М — компактные однородные пространства положительной эйлеровой характерно' тики. Если многообразия ]ч и h диффеоморфны, то существует однородное пространство м" такое, что оба пространства И и / являются его расширениями.

Таким образом, полученное полное описание транзитивных и локально эффективных действий связных групп Ли на компактных многообразиях положительной эйлеровой характеристики.

1. Араки Ш" Корневые системы и локальная классификация неприводимых симметрических пространств.~ Математика, сб. переводов, 1966, 10*1, 90−126.

2. Ахиезер, Д. Н. Неприводимые системы корней и неразложимые однородные пространства, — В сб.: Теория функций и, функциональный анализ. Харьков, 1977, вып.27, 22−26.

3. Ахиезер Д. Н. О гомотопической клаэсификации комплексных однородных пространств.- Труды ММО, 1976, 35, 3−20.

4. Бернштейн И. Н., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И. Клежки Шубер' та и когомологии пространств^р Успехи матем. наук, 1973, 28:3, 3−26.

5. Блинкин М. Я. О неразложимости борелевских многообразий.-Матем.сб., 1972, 88:3, 442−446.

6. Борель А. О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств компактных групп Ли.- В сб.: Расслоенные пространства. М., ИЛ, 1958, 163−246.

7. Борель А., Тите Ж. Редуктивные группы.- Математика, сб. переводов, 1967, 11:2, 3−31.

8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.- М., Мир, 1972.

9. Гото М., Гроссханс Полупростые алгебры Ли.- М., Мир, 1.8I.

10. Доан Куинь. Полинован Пуанкаре компактных однородных римановых пространств с неприводимой стационарной группой, — В сб.: Тр.сем.вект.тенз.анализу.- М., Изд-во МГУ, 1968, вып.14, 33−93.

11. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии.- М., Мир, 1976.

12. Дынкин Е. Б. Полупростые подалгебры полупростых. алгебр Ли.- Матем.сб., 1952, 30/52/:4, 349−462.

13. Дынкин Е. Б., Онищик А. Л. Компактные группы Ли в целом.-Успехи матем. наук, 1955, 10, 3−74.14″ Онищик А. Л. О транзитивных компактных группах преобразований.-Матём. сб., 1963, 60:4, 447−485.

14. Онищик А. Л. О группах. Ли, транзитивных на компактных многообразиях II.- Матем.сб., 1967, 74/Н6/:3, 398−417.

15. Онищик, А.Л. О группах, Ли, транзитивных на компактных многообразиях III.- Матем.сб., 1968, 75/117/:2, 255−263.

16. Онищик А. Л. О транзитивных действиях на борелевских многообразиях.- В сб.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры.1 Ярославль, 1977, 143−155.

17. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный, курс топологии. М., 1977.

18. Сирота А. И., Солодовников.А. С. Некомпактные полупростые группы Ли.-Успехи матем. наук, 1963, 18:3, 87−144.

19. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.- М., Мир, 1975.

20. ХамфрйД. Линейные алгебраические группы, М., Наука, 1980.

21. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.- М., Мир* 1964.

22. Щетинин А. Н. 0 фундаментальных группах компактных однородных пространств, — В сб.: Вопросы теории групп и. гомологической алгебры. Ярославль, 1979, вып.2, 175−186.

23. Щетинин А. Н. О неразложимости однородных пространств положительной. эйлеровой характеристики.- В сб.: Геометрические методы в задачах анализа и алгебры^ Ярославль, 1981, 36−44.

24. Щетинин А. Н. Гомотопическая классификация компактныходнородных пространств положительной эйлеровой характеристики.-В сб.: Вопросы теории групп и гомотопической алгебры. Ярославль, 1982, 106 119.

25. Щетинин А. Н. Гомотопическая классификация одного типа однородных пространств, — Ярославль, 1983. Рукопись представлена Ярославским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 14 июля 1983 г., roc. J6 3916 83.

26. Щетинин А. Н. 0 компактных однородных пространствах положительной эйлеровой характеристики.- Успехи матем. наук, 1984, 39:2.

27. Heimavun. R. jCom^actC-V ion. o^ homogeneous spaces, I,-Э. MatU, and HecW L’HS", 4V-A GSS-b^S.