Программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов параметрическими моделями

Всесторонний анализ первичной экспериментальной информации является эффективным средством поиска решений для объектов различной случайной природы и практически неограниченной сложности, а если исследуемый объект не имеет полного математического описания, то экспериментальная информация становится единственным источником получения важных параметров исследуемого объекта.

Вопросам обработки информации большое внимание уделялось в статьях советских и зарубежных ученых: Пугачева B.C., Солодовникова В. В., Чеголина П. М., Мирского Г. Я., Синицына Б. С., Ланге Ф., Себастиана Г.

На практике при исследовании явлений, описываемых стационарными случайными процессами (СП), наиболее часто представляют интерес корреляционные и спектральные характеристики исследуемых СП. Знание корреляционной функции (КФ) СП позволяет решать задачи идентификации динамических систем, выбирать оптимальный интервал дискретизации исследуемого процесса, оценивать погрешности средств измерений и т. д.

Одним из способов определения корреляционной функции СП по экспериментальным данным является ее аппроксимация аналитическими выражениями в соответствии с выбранным критерием приближения и спецификой решаемой задачи. Знание модели КФ и численных значений её параметров позволяет легко вычислить интервалы корреляции, моменты корреляционных функций, спектральную плотность мощности, а также позволяет существенно сократить объём хранимой информации о корреляционной функции. Благодаря наличию аналитической связи между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности, вопросы их аппроксимации оказываются взаимосвязанными.

Большой вклад в развитие аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа внесли такие ученые как Горбацевич Е. Д., Дедус Ф. Ф., Лившиц H.A., Мирский Г. Я., Прохоров С. А., Романенко А. Ф., Сергеев Г. А., Чеголин П. М. и другие. Данной проблеме также посвящены труды таких зарубежных исследователей как Бэттин Р. Г., Лампард Д. Л., Лэннинг Дж. X. и других.

Анализ современных математических и статистических систем (таких, как Statistica, SPSS, Mathcad, MatLab и т. п.) показал, что данные системы обладают широким диапазоном статистических методов, но, в большинстве своем, требуют дополнительной настройки или программирования для решения отдельных задач аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа. В целом же, отсутствуют программные средства, которые позволяли бы в одном пакете программ решать задачи моделирования СП с заданным видом корреляционной функции, первичной статистической обработки СП и идентификации СП по виду КФ с дальнейшей аппроксимацией КФ и спектральной плотности мощности. Хотя потребность в таких средствах существует.

До сих пор имеются недостаточно исследованные области корреляционно-спектрального анализа. Например, отсутствует информация относительно того, каким образом отличие закона распределения СП от нормального влияет на погрешность оценки корреляционной функции и погрешность аппроксимации КФ. Нет данных относительно сходимости различных численных методов при аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида.

Таким образом, в рамках создания специализированного комплекса программ актуальны задачи исследования методических погрешностей методов аппроксимации КФ, автоматизации процессов первичной статистической обработки СП, идентификации СП по виду КФ, аппроксимации КФ и спектральной плотности мощности СП.

Целью диссертационной работы является разработка программного комплекса аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов параметрическими моделями, автоматизирующего процессы анализа СП.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи исследования:

• анализ современных методов аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик СП;

• исследование сходимости и методических погрешностей методов аппроксимации КФ с целью выбора наиболее эффективного численного метода нахождения параметров модели;

• анализ методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских случайных процессов для обоснования допустимого объема выборки случайного процесса;

• разработка специализированного программного комплекса, позволяющего производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду КФ, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности СП;

• проведение экспериментов по обработке реальных данных с целью апробации комплекса программ.

В ходе работы были получены результаты, имеющие практическую ценность:

1. Разработан специализированный комплекс программ для моделирования, идентификации и аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик СП параметрическими моделями.

2. Предложены рекомендации по выбору метода аппроксимации корреляционных функций СП, в зависимости от вида оценки КФ, а также объема выборки для достижения заданной точности аппроксимации КФ негауссовских СП.

Разработанный программный комплекс аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов внедрен в Самарском центре стандартизации, метрологии и сертификации, в Институте акустики машин Самарского государственного аэрокосмического университета, а также в учебном процессе кафедры информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета при подготовке студентов 2−4 курсов по специальности 230 102 для выполнения лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования.

Основные результаты работы.

1. Сравнительный анализ современных методов аппроксимации корреляционно-спектральных характеристик показал, что в настоящий момент недостаточно исследована устойчивость сходимости методов аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида, существует необходимость в исследовании погрешностей оценки и аппроксимации корреляционных функций негауссовских случайных процессов. А также отсутствуют автоматизированные программные средства, позволяющие в едином информационном пространстве без дополнительного программирования производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду корреляционной функции, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности.

2. Исследована устойчивость сходимости метода Ньютона и метода деформируемого многогранника при варьировании начальных приближений, примененных для аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида. Предложены рекомендации по выбору того или иного метода аппроксимации КФ, в зависимости от вида КФ.

3. Проведен анализ методических погрешностей аппроксимации корреляционных функций функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра.

4. Разработана методика формирования негауссовского нормированного СП с заданными значениями коэффициентов асимметрии и эксцесса.

5. Предложен обобщенный критерий оценки отличия закона распределения негауссовского нормированного СП от гауссовского СП.

6. Проведено обоснование существования области допустимых значений коэффициентов асимметрии и эксцесса у негауссовских нормированных СП для данного класса нелинейных преобразований.

7. Разработана методика и проведен анализ методических погрешностей оценки КФ и аппроксимации КФ негауссовских СП.

8. Разработана автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа, позволяющая производить моделирование СП с заданным видом КФ, оценку вероятностных характеристик СП, идентификацию СП по виду корреляционной функции, а также аппроксимировать КФ и спектральные плотности мощности СП функциями заданного вида и ортогональными функциями Лагерра.

9. Разработанное информационное обеспечение внедрено в Самарском центре стандартизации, метрологии и сертификации, в Институте акустики машин Самарского государственного аэрокосмического университета, а также в учебном процессе СГАУ при подготовке студентов 2−4 курсов по специальности 230 102 для выполнения лабораторных, курсовых работ и дипломного проектирования, а также в научно-исследовательской работе студентов.