Двумерная задача протекания для Уравнения Эйлера идеальной жидкости

Движение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнениями Эйлера jtg. + TlvР — О, ^иг1?=о здесь Та — вектор скорости течения, |р — давление, плотность, -S — вектор внешних массовых сил. Уравнения Эйлера, классическая модель гидродинамики, являются частный случаем уравнений Навье-Стокса, когда вязкость j*- равна нулю, ч. fvp дТХ — э cU’V^ о ^ С, dшТГ — с.

С физической точки зрения модель идеальной несжимаемой жидкости является сильно упрощенной. Несмотря на это, она широко используется при моделировании гидродинамических процессов.

Теоретическое изучение уравнений Эйлера ведется весьма интенсивно. Основополагающие результаты в теории начальнокраевых задач для уравнений (0.1) были получены в трудах Н. М. Гюнтера j[7*8j и Л. Лихтенштейна [34-]. Ими была доказана локальная корректность задачи Коши. При этом дополнительно к (0.1) задаются начальные условия в момент времени 4:-О = ^(рО (0.2) где Т/1 оо и ~ достаточно гладкие функции, причем.

С ^ vw ^ ^ 00 • в указанных работах была также рассмотрена задача, когда жидкость заполняет сосуд с твердыми непроницаемыми стенками. В дополнение к начальному условию (0.2) необходимо поставить граничное условие непротекания с (Л • vT — 0, (Ue3) здесь — единичный вектор внешней нормали к границе области течения Г —^SL т.

После работ Н. М. Гюнтера и Л. Лихтенштейна принципиальные результаты были получены ВоВолибнером [ 38], З. И. Юдовичем [3QJ, Т. Като [33], О. А. Ладыженской [20], А. В. Кажиховым ^11,12″ ], и еще рядом авторов [б], [ю], [2б], [32], [35], [Зб], [37] .

Значительный интерес представляет задача о протекании идеальной жидкости сквозь заданную область SL, причем в равной степени как нестационарная задача протекания, так и задача об установившемся течении. Стационарная двумерная задача протекания для однородной жидкости (изучена Г. В. Алексеевым.

L2, з]. В его работах теоремы существования решения доказаны для модельных постановок, когда на участке втекания жидкости задается нормальная компонента скорости и вихрь. В. В. Рагулин в работе [25] доказал существование решения стационарной задачи протекания для однородной жидкости в случае, когда на участке втекания задаются нормальная компонента скорости и напор. Вместе с тем, пока мало исследована стационарная задача протекания для случая неоднородной жидкости.

В первой главе диссертации рассматривается двумерная стационарная задача протекания идеальной неоднородной жидкости сквозь ограниченную область под действием потенциальных сил.

— 6.

Уравнения (0.1) в этом случае примут вид Vip ,.

77 Р ^ О, ui ^ О? У (0.4) здесь U- =Cu<1> uO f — потенциал внешних сил. Граница Гсостоит из трех частей: — участок втекания жидкости в область SL, Гг — участок вытекания и Г0 — непроницаемые твердые стенки. В дополнение к уравнениям (0.4) ставятся граничные условия: а) б) cC^vv)r — О — С0.5).

I о '.

Здесь vu^cw^ кг) единичный вектор внешней нормали к границе Г, величина И ^ р + i g I ид2 — напор потока,? и ^ - некоторые заданные на С и Гг функции.

Доказательство существования решения стационарной задачи протекания для неоднородной жидкости является довольно трудной задачей. Идейная основа предлагаемого подхода состоит в выводе вспомогательной системы уравнений.

Построение вспомогательных систем уравнений и доказательство существования обобщенного решения проводится в двух случаях. Первый случай, которому посвящены параграфы два и три, характеризуется следующими соображениями. Уравнение переноса для плотности.

Г ^ - о автоматически выполняется, если взять плотность как функцию.

— 7 сложного аргумента > e где — функция тока.

It. u, ^ ,-va*.

Функциональная зависимость 9 от ^ определяется по заданным функциям ^ и на участке втекания Г^, х) изменяется на Г в пределах от нуля до d, a —h.

Г,.

Однако, остается открытым вопрос, как определять, если схГ) в области XL выйдет за границы интервала Со > Q. J т Логичным выглядит предположение считать постоянной за пределами интервала э, а именно, pCtO, р — Ч ^с^? О? + Q.

5 (go ^.

В этом состоит суть ограничения, накладываемого на решение задачи (ОЛ), (0.5), в первом случае.

Во второй части первой главы, в параграфах четыре и пять, доказывается существование обобщенного решения задачи (0<�Л), (0.5) без какихлибо предположений на поведение решения. Достаточным условием разрешимости вспомогательной системы является слабая стратификация жидкости на участке втекания. Иными словамит при достаточно малом выполняется условие.

11 ^ у, * S.

Исследование вспомогательных задач в обоих случаях проводится аналогично работам, методом эллиптической регуляризации. Следует отметить, что параметр регуляризации не удается трактовать как исчезающую вязкость, что отличает данный подход от упомянутых работ, В основу определения оооощенных решений положены соответствующие интегральные тождества. Решение регуляризованной задачи ищется как неподвижная точка компактного оператора. Свойства обобщенного решения регуляризованной задачи позволяют сделать предельный переход по О, здесь? -параметр регуляризации.

Вторая глава также посвящена стационарной задаче протекания. В ней доказывается существование классического решения системы (0.4), (0.5) при отсутствии внешних сил. Плотность р аналогично первой половине главы, посвященной оооощенным решениям, ищется в виде Отличие состоит в том, что для классического решения удается в терминах напора и функции тока сформулировать достаточные условия для выполнения треоова-ния о * 4 Q, (0вб).

Система уравнений Эйлера (0.4) сводится к единственному квазилинейному уравнению.

Граничные значения для функции тока восстанавливаются при помощи интеграла от нормальной компоненты скорости дУ — Н мо .

0.7).

0.8).

Исследование задачи (0.7), (0.8) проводится на основе известных методов, изложенных, например, в монографии О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой L22]. Формулируются условия, гарантирующие выполнение для функции тока свойства (Ооб).

Вторая половина диссертации посвящена нестационарной задаче протекания однородной идеальной жидкости. Впервые такие задачи были рассмотрены Н. Е. Кочиным в трехмерном случае. Двумерная нестационарная задача исследована В. И. Юдовичем [зо]. С физической точки зрения значительный интерес вызывает постановка задачи протекания с заданным на участке втекания полным вектором скорости. Корректность задачи протекания в данной постановке доказана А. В. Кажиховым [i2] в малом по времени.

Как следующий шаг в исследовании нестационарной задачи протекания может быть рассмотрен вопрос о глобальной разрешимости в постановке с заданным вектором скорости на участке втекания, поскольку доказана глобальная разрешимость уравнений Эйлера в случае плоскопараллельных течений для задачи непротекания [29], [ЗЗ^ и задачи с заданным вихрем на участке втекания 30 Доказательство существования глобального решения задачи протекания с заданным полным вектором скорости на участке втекания остается весьма трудной проблемой. Однако, вблизи течения специального вида это удается сделать. Основные результаты третьей главы диссертации состоят в доказательстве существования глобального решения уравнений Эйлера для плоскопараллельного случая вблизи равномерного потока и потенциального течения.

Уравнения Эйлера для плоскопараллельного течения однородной жидкости под действием потенциальных сил примут вид.

4 (U-V)U A: Vp — О .

I- - ^ tu.9) cAcvf U. — U. tta участке втекания жидкости задается полный вектор скорости.

Z^, на твердых стенках ставится стандартное условие непротекания, на участке вытекания известна нормальная компонента скорости.? начальный момент известно распределение поля скоростей в ооласти течения.

Таким образом, уравнениями.9- дополняются граничными данными и начальными условиями w-L =? , o-^U. «.

Сило) UL = 1АсЛ^ oUg" s л «х о ^.

Uo — о.

Здесь SI — область течения, ^ - ^ ^ соответствующие участки границы ооласти течения Г.

Исследование задачи (О.У) — (0.10) проводится при помощи продолженной системы уравнений. Эквивалентность продолженной системы уравнений, получающейся из уравнений Эйлера применением дифференциальных операторов ^ и сА^чг, исходной была доказана А. В. Кажиховым в классе гладких решении. Отличие данных результатов от раоот А. В. Кажихова состоит в том, что изучение задачи протекания проводится в пространствах С Л.Соболева.

Ввиду этого, прежде чем доказывать глобальную разрешимость задачи (0.9),(D.I0), в параграфах втором и третьем доказывается эквивалентность формулировок задачи протекания и существование локального решения. Центральным моментом доказательства существования глобального решения является получение априорных оценок. Необходимо показать ограниченность норм решения константами, не зависящими от времени существования локального решения. Это удается сделать, когда данные задачи, функции, ъ, ТГв близки к данным потенциального течения и равномерного потока.

На протяжении всех глав диссертации через Л и Q обозначаются ограниченные области в евклидовых пространствах, через зс и «t координаты точек из или О-, dc ^сх^х^ - декартовы координаты в [R^, «t — время. Используется ряд функциональных пространств на Sb и GL Прежде всего, с^? * t — 040 — множество измеримых вещественных функций, суммируемых на SI с показателем^. Норма в определяется формулой оО.

В случае пространство L^l-S^ состоит из ограниченных в существенном функций с нормой.

111 — li.

При 2 пространство Lztsk>> является гильбертовым со скалярным произведением si е.

Пространства СЛ. Соболева W^tx^ %? — натуральное, ^ - V * °° состоят из функций, имеющих обобщенные производные до порядка t включительно, принадлежащие LoCsl^, здесь ^ означает суммирование норм всех производных порядка Ul + -v «и. В ряде случаев используется класс функций о А.

W2Cii), Гс, полученный замыканием множества финитных в окрестности Г0 бесконечно дифференцируемых функций в норме w. Если Гс ^ Г ^ ^ Л f то обозначается wic*n>>

Далее, множество непрерывных в SL функций с нормой.

И ИССЛ>> - ^ .

Пространство c^Cjl^) 9 о * ^ * ^ ^ есть совокупность непрерывных по Гелъдеру с показателем о{ функций. Кроме того, +, К — натуральное, ° * * - ± пространство функций, имеющих производные до порядка ^ включительно, непрерывные по Гельдеру с показателем.

При исследовании нестационарных задач функции, зависящие от переменных эс 6 SL и ^ / Л, рассматриваются как функции аргумента ^ со значениями в банаховом пространстве. Например, wcp — это множество функций, заданных на и действующих в w % с нормой.

На протяжении всей диссертации используются различные, хорошо известные свойства указанных функциональных пространств, такие как рефлексивность, критерии компактности, теоремы вложения, различные типы сходимостей последовательностей функций, принадлежащих данным пространствам. Эти сведения, а также методы, характерные для исследования нелинейных краевых задач, изложены в монографиях {>], [l9], [2l], [22], [23], [24], [27] .

Работа над диссертацией проводилась на кафедре теоретической механики Новосибирского государственного университета под руководством профессора В. Н. Монахова. Автор выражает искреннюю благодарность В. Н. Монахову за полезные обсуждения постановок рассмотренных задач и постоянное внимание к данной работе. Автор исключительно признателен профессору А. В. Кажихову за интерес и внимание, проявленные к настоящей работе. Результаты диссертации докладывались на ХУП Всесоюзной студенческой научной конференции (Новосибирск, 1982), на XII Всесоюзной школесеминаре по численным методам механики вязкой жидкости (Абакан, 1990). Кроме этого, результаты докладывались на семинаре кафедры теоретической механики НГУ (рук. проф. В.Н.Монахов), семинаре под руководством профессора Т. И. Зеленяка (Институт математики СО АН СССР), семинаре «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики11 под руководством профессора A.M. Блохина (Институт математики СО АН СССР), семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством профессора В. Н. Врагова (Институт математики СО АН СССР). Результаты опубликованы в работах автора [ 15 — 18 ] .

1. Агмон С., Дуглис А., НиренОерг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптичеких уравнений в частных производных при общих граничных условиях.- М.:Изд-во иностр.лит., 1У62. 203 с.

2. Алексеев Г. В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости.- Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1969, вып.3,c.II5-I2I.

3. Алексеев Г. В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости.- Динамика сплошной среды/ йн-т гидродинамики СО АН СССР.- Новосибирск, 1972, вып.15, с.7−17.

4. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск: Наука, 1983,-315 с.

5. Волков Е. А. О дифференциальных свойствах решений краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона на прямоугольнике.-Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1965, т.77, с.89−112.

6. Головкин К. К. Об исчезающей вязкости в задаче Коши для уравнений гидродинамики.- Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1966, т.92, с.31−49.

7. Гюнтер Н. М. Об основной задаче гидродинамики.- Изв. физ.-мат. ин-та АН СССР, 1927, т.2,№ 1, с.1−168.

8. Гюнтер Н. М. О движении жидкости, заключенной в данном перемещающемся сосуде.- Изв. АН СССР. Отд. физ.-мат.наук, 1926, с.1323−1348, 1503−1532- 1927, с.621−650,735−756, II39-II62- 1928, с.9−30.

9. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптическихи параболических уравнениях.- Мат. сборник, 1965, т.67,№ 4, с. 609.

10. Кажихов А. В. Замечание к постановке задачи протекания для уравнений идеальной несжимаемой жидкости.- Прикл. математика и механика.- 1980. т.44, вып.5. с.947−950.

11. Кочин Н. Е. Об одной теореме существования гидродинамики.-Прикл. математика и механика, 1956, т.20, ffi 2, с.153−172.

12. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления." 9-е изд. М.: Наука, 1965. 426 с.

13. Кузоватов И. А. О существовании классического решения стационарной задачи протекания.- В кн.: Взрывные и нестационарные процессы в сплошных средах. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1988, с.89−94. (Динамика сплошной среды, вып.88).

14. Кузоватов И. А. Глобальная разрешимость уравнений Эйлера вблизи потенциального течения.- Красноярский политех, ин-т. Красноярск, 1990,-6с.- Рукопись деп. в ШШТИ 27.09.90,5I72-B 90.

15. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.:Наука, 1970, 288 с.

16. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М.: Наука, 1967, — 736 с.

17. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- 2-е изд., перераб.- м.: Наука, 1973, — 576 с.

18. Лионе К.- Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- М.: Мир, 1972. 587 с.

19. Лионе Ж.- Л., Мадженес Э. Неоднородные задачи и их приложения.- М.: Мир, I97I.-37IC.

20. Рагулин В. В. Об одной постановке задачи протекания идеальной жидкости.- В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, — 96 1978, с.76−83. (Динамика сплошной среды, вып.33).

21. Рагулин В. В. К задаче протекания для уравнений идеальной жидкости.- В кн.: Математические проблемы механики. Новосибирск, изд. Ин-та гидродинамики СО АН СССР, 1979, с.79−90. (Динамика сплошной среды, вып.43).

22. Темам Р. Уравнения НавьеСтокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981,-408 с.

23. Юдович В. И. О задаче протекания идеальной несжимаемой жидкости через заданную область.- Докл. АН СССР, 1962, т.146, № 3, с.561−564.

24. Юдович В. И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости.- Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1963, т. З, 112 6, с.1032−1066.

25. Wolibner W. Uh theorem sur 1* existence du mouvement plan d’un fluide parfait, homogene, incompressible, pendant, un temps infinitment long.- Math., 1955, M-57,S.698−726.

26. ChiaShun. Dynamics of nonhomogeneous fluids.-Jsiew York London: Macmillan, 1965— 5⁶ p".