Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. В 1932 году С. Банах изучил некоторое множество линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающих с обычным пределом на множестве сходящихся последовательностей. Впоследствии эти функционалы были названы банаховыми пределами. Их изучение было продолжено в работах Г. Г. Лоренца, Г. Даса, Л. Сачестона, У. Ф. Эберлейна и других математиков.

Используя банаховы пределы, Г. Г. Лоренц ввел понятие почти сходящихся последовательностей. Почти сходимость определяет некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Изучению и обобщению понятия почти сходимости посвящен ряд работ Р. А. Гаими, З. У. Ахмада, Мурсалена, Г. Беннета, Н.Дж.Калтона, Д. Хаджуковича, М.Крюппеля. Особый интерес представляет изучение класса операторов, относительно которых пространство почти сходящихся последовательностей инвариантно.

Банаховы пределы находят широкое применение в различных областях. Так в работах С. Лорда, А. Л. Кери, Дж. Филлипса, П. Г. Доддса, Б. де Пагтера, Е. М. Семенова, А. А. Седаева, Ф. А. Сукочева они применяются для изучения следов Диксмье, которые, в свою очередь, находят применение в некоммутативной геометрии А.Конна. Применению банаховых пределов в эргодической теории посвящены работы Л. Сачестона и других математиков.

В диссертации изучается инвариантность банаховых пределов и пространства почти сходящихся последовательностей. Также банаховы пределы применяются для изучения коэффициентов Фурье по системе Хаара.

Целью работы является изучение пространства почти сходящихся последовательностей.

Методика исследований. Используются идеи и методы современной функционального анализа, теории функций действительного переменного. Полученные результаты применяются для доказательства аналогов теоремы Мерсера для коэффициентов Фурье-Хаара.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Вычислено расстояние от произвольной ограниченной последовательности до пространства почти сходящихся последовательностей;

2. Доказана инвариантность пространства почти сходящихся последовательностей относительно действия некоторых операторов, в том числе, оператора Чезаро и общего оператора усреднения;

3. Установлена почти сходимость некоторых функциональных тригонометрических последовательностей;

4. Доказана почти сходимость к нулю последовательностей, связанных с коэффициентами Фурье по системе Хаара для функций из пространства LPtсо и функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Ростовском, Самарском, Ярославском государственных университетах и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007), научной сессии ВГУ (2007, 2008, 2009), научной сессии ВГАСУ (2007, 2008, 2009), Воронежской зимней математической школе (2008), V международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2008), международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В. А. Садовничего (Москва, 2009), семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова (Воронеж, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6]. Из совместных работ [1], [6] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 68 источника. Общий объем диссертации 93 страницы.

1. Семенов, Е. М. Пространство почти сходящихся последовательностей / Е. М. Семенов, А. С. Усачев, О. О. Хорпяков // Докл. РАН. -2006. — Т. 409. № 6. — С.754−755.

2. Усачев, А. С. Операторы в пространстве почти сходящихся последовательностей / А. С. Усачев // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Междунар. конференция, посвященной памяти И. Г. Петровского. Тез. докл. Москва: Изд-во МГУ — 2007. — С.323−324.

3. Усачев, А. С. Преобразования в пространстве почти сходящихся последовательностей / А. С. Усачев // Сиб. мат. журнал. 2008. Т.49. т. — С.1427−1429.

4. Усачев, А. С. Коэффициенты Фурье-Хаара функции из ½,©-о / А. С. Усачев // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тез. докл. Воронеж: Изд-во ВорГУ. — 2008. — С. 137−138.

5. Усачев, А.С. О почти сходимости коэффициентов Фурье-Хаара / А. С. Усачев // V международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Тез. докл. Ростов н/Д: Изд-во «ЦВВР». 2008. — С.59−60.

6. Семенов, Е. М. Коэффициенты Фурье-Хаара и банаховы пределы / Е. М. Семенов, А. С. Усачев // Докл. РАН. 2009. — Т.425. Ш. -С.172−173.

7. Банах, С. Теория линейных операций / С. Банах Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 272 с.

8. Mursaleen On some new invariant matrix methods of summability / Mursaleen // Quart. J. Math. Oxford. 1983. — V.34. № 2. — P.77−86.

9. Raimi, R. A. Invariant means and invariant matrix methods of summability / R. A. Raimi // Duke Math. J. 1963. — V.30. — P. 81−94.

10. Ahmad, Z. U. An application of banach limits / Z. U. Ahmad, Mursaleen // Proc. of Amer. Math. Soc. 1988. — V.103. № 1. — P.244−246.

11. Sucheston, L. On existence of finite invariant measures / L. Sucheston // Math. Zeitschr. 1964. — V.86. — P. 327−336.

12. Sucheston. L. On the ergodic theorem for positive operator I* / L. Sucheston // Z. Wahrscheinkeitstheorie verw. Geb. 1967. — V.8. — P. 1−11.

13. Das, G. Banach and other limits / G. Das // J. London Math. Soc. -1973. V.7. №. — P. 501−507.

14. Lorentz, G. G. A contribution to the theory of divergent sequences / Lorentz G. G. // Acta Math. 1948. — V. 80. Ж. — P. 167−190.

15. Sucheston, L. Banach limits / L. Sucheston // Amer. Math Monthly. 1967. — V.74. № 1. — P. 285−293.

16. Bennett, G. Consistency theorems for almost convergence / G. Bennett, N. J. Kalton // Trans, of Amer. Math. Soc. 1974. — V.198. №. — P. 226−234.

17. Moricz, F. Almost convergence of double sequences and strong regularity of summability matrices / F. Moricz, В. E. Rhoades // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1988. — 104(2). — P. 283−294.

18. Sikorski, R. On the existence of the generalized limit / R. Sikorski // Studia Math. 1951. — 12. — P. 117−124.

19. Nakamura, M. Banach limits and Cech compactification of a countable discrete set / M. Nakamura, S. Kakutani // Proc. Japan Acad. -1943. 19. — P. 224−229.

20. Neuser, R. Summation of almost convergent divergent sequences, topological methods / R. Neuser // Manuscripta Math. 1982. — 40. -P. 17−26.

21. Ahmad, Z. U. Invariant means and some matrix transformations / Z. U. Ahmad, Mursaleen, Q. A. Khan // Indian J. pure appl. Math. -1994. V.25. № 3. — P. 353−359.

22. Mursaleen On some new sequense spaces of invariant means / Mursaleen, A.K. Gaur, T.A. Chishti // Acta Math. Hungar. 1997. V.75. №. P. 209−214.

23. Li, C. On cr-limit and sa-limit in banach spaces / C. Li, S. Li, Y.-C. Li // Taiwanese J. of Math. 2005. — V.9. № 3. — P. 359−371.

24. Nanda, S. Some new sequence spases / S. Nanda, K.C. Nayak // Indian J. Pure Appl. Math. 1978. — 9. — P. 836−846.

25. Das, G. Some new sequence spases and absolute almost convergence / G. Das, B. Kuttner, S. Nanda // Trans, of Amer. Math. Soc. 1984. V.283. №. P. 729−739.

26. Nanda, S. Strongly almost summable and strongly almost convergent sequences / S. Nanda // Acta Math. Hungar. 1987. — V.49. № 1−2. — P. 71−76.

27. Deeds, J. Summability of vector sequences / J. Deeds // Studia Math.- 1968. V.30. — P. 361−372.

28. Kurtz, J.C. Almost convergent vector sequences / J.C. Kurtz // Tohoku Math. J. 1970. — V.22. — P. 493−498.

29. Kurtz, J.C. Almost convergent in banach spaces / J.C. Kurtz // Tohoku Math. J. 1972. — V.24. — P. 389−399.

30. Hajducovic, D. The functionals of the kind of Banach limits / D. Hajducovic // Publ. Inst. Math.(Beograd). 1975. — 19(33). — P. 245 249.

31. Hajducovic, D. Almost convergence of vector sequences / D. Hajducovic // Mat. Vestnik. 1975. — 12(27). — P. 73−76.

32. Hajducovic, D. Quasi-almost convergence in a normed space / D. Hajducovic // Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 2002. 13. P. 36−41.

33. Lord, S. Dixmier traces as singular simmetric functionals and application to measurable operators / S. Lord, A. Sedaev, F. Sukochev // J. Funct. Anal. 2005. — 224. № 1. — P.72−106.

34. Day, M.M. Amenable semigroups / M.M. Day // Illinois J. Math. -1957. V.l. — P.509−544.

35. Fairchild, L. Extreme Invariant Means without Minimal Support / L. Fairchild // Trans, of Amer. Math. Soc. 1972. — V.172. — P. 83−93.

36. Гринлиф, Ф. Инвариантные средние на топологических группах и их приложения / Ф. Гринлиф. М.: Мир, 1973. 136 с.

37. Dixmier, J. Existence de traces non norinales / J. Dixmier // C. R. Acad. Sci. Paris. 1966. — 262. — P. 1107−1108.

38. Carey, A. L. Spectral flow and Dixmier traces / A. L. Carey, J. Phillips, F. A. Sukochev // Adv. Math. 2003. — 173. № 1. — P.68−113.

39. Доддс, П. Г. Сингулярные симметричные функционалы и банаховы пределы с дополнительными свойствами инвариантности / П. Г. Доддс, Б. де Пагтер, А. А. Седаев, Е. М. Семенов, Ф. А. Сукочев // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. — Т. 67. № 6. — С.111−136.

40. Кери, A.JI. Следы Диксмье и некоторые приложения в некоммутативной геометрии / A. J1. Кери, Ф. А. Сукочев // Успехи Мат. Наук.- 2006. Т. 61. № 6. — С.45−107.

41. Stieglitz, М. Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Fastkonvergenz / M. Stieglitz // Math. Japon. 1973. — № 18. — P. 53−70.

42. Mursaleen A note on F^-convergence / Mursaleen //'Analysis Mathematica. 1987. — V.13. — P. 169−172.

43. Pitt, H. R. General Tauberian theorems / H. R. Pitt // Proc. London Math. Soc. 1938. — V.44. — P. 243−288.

44. Agnew, R. P. Tauberian conditions / R. P. Agnew // Ann. of Math.- 1941. V.42. №. — P. 293−308.

45. Lorentz, G.G. Tauberian theorems and Tauberian conditions / G.G. Lorentz // Trans, of Amer. Math. Soc. 1948. — V.63. № 2. — P. 226−234.

46. Kuo, M.-K. Tauberian conditions for almost convergence / M.-K. Kuo // Positivity. 2009. — V.13. № 2. — P. 326−335.

47. Lindenstrauss, J. Classical Banach Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Springer, 1996. — 243 c.

48. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Д. Шварц. М.: Едиториал УРСС, 2004, — 896 с.

49. Эдварде, Р. Функциональный анализ / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969.-1071 с.

50. Kalton, N. Rearrangement invariant functionals with applications to traces on symmetrically normed ideals / N. Kalton, F. Sukochev // Canad. Math. Bull. 2008. — V.51. Ш. — P. 67−80.

51. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л.А. Лю-стерник, В. И. Соболев. М.: Наука, 1965. 520 с.

52. Fremlin, D. A decomposition theorem for additive set-functions, with application to Pettis integrals and ergodic means / D. Fremlin, D. Talagrand // Math. Z. 1979. V.168. — P. 117−142.

53. Kriippel, M. An inequality for Banach limits of bounded number sequences / M. Kriippel // Rostocker Math. Kolloq. 1995. — 48. -P.75−79.

54. Eberlein, W.F. Banach-Hausdorff limits / W.F. Eberlein // Proc. Amer. Math. 1950. — №.1. — P. 662−665.

55. Харди, Г. Расходящиеся ряды / Г. Харди. М.: УРСС, 2006. — 504 с.

56. Mursaleen, М. Matrix transformations between the space of Cesaro sequences and invariant means / M. Mursaleen, E. Savas, M. Aiyub, S.A. Mohiuddine // Int. J. of Math, and Math. Sci. 2006. — V.2006. P. 1−8.

57. Shaefer, P. Matrix transformations of almost convergent sequences / P. Shaefer // Math. Z. 1980. — V.112. — P. 321−325.Г4.

58. Raimi, R. A. Factorization of summability-preserving generalized limits / R. A. Raimi // J. London Math. Soc. 1980. — V.22. № 2. -P. 398−402.

59. Левитан. Б. M. Почти-периодические функции /Б. М. Левитан. -М.: ГИТТЛ, 1953. 356 с.

60. Избранные задачи по вещественному анализу / Б. М. Макаров, М. Г. Голузина, А. А. Лодкин, А.Н. ПодкорытовНаука.М., 1992. -432 с.

61. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды /Н. К. Бари. М.: Физ-МатГиз, 1961. 936 с.

62. Li, Y.-C. Almost convergence of sequences in banach spaces in weak, strong and absolute senses / Y.-C. Li // Taiwanese J. of Math. 2006. — V.10. №. — P. 209−218.

63. Alaoglu L. Weak topologies of normed linear spaces / L. Alaoglu // Ann. Math. 1940. — V.41. — P.252−267.

64. Appel, J. Some remarks on Banach limits / J. Appel, E. De Pascale, P.P. Zabrejko // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1994. — XLII. -P.273−278.

65. Кашин, B.C. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А. Саакян. -М.:АФЦ, 1999. 560 с.

66. Novikov, I. Haar Series and Linear Operators / I. Novikov, E. Semenov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — 218 c.

67. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. Г. Крейн, Ю. Н. Петунин, Е. М. Семенов. М.: Наука, 1978. — 400 с.

68. Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон. М.: Наука, 1974. — 480 с.