О среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы

Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, рас-пространненных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей Тк (п) называется количество представлений натурального п в виде п = х. Хк, где х,., Хк — натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.

Настоящая диссертация посвящена выводу асимптотической формулы для среднего значения Vk (x) функции т&(п) при условии, что 1 < п < ж, а п пробегает значения, которые принимает тернарная кубическая форма вида.

Р =.

Заметим, что под средним значением функции f (z), распространенной на некоторое конечное множество точек z Е: М в количестве N элементов, здесь понимается величина V, равная сумме v = E л*)zeM.

Значение V связано со средним арифметическим, А от функции f (z) по множеству М простым равенством A = V/N.

Из определения следует, что величина 14 (ж) равна количеству решений диофантова уравнения вида xi. хк — z — z — zl + 3ziz2zz — О, причем переменные х, Хк принимают натуральные, a zi, z2, Z3 — целые значения и выполнено неравенство х. Хк < х, а также значению суммы вида p (z 1, Z2,Z3).

В случае к = 1 и к = 2 задача отыскания асимптотики для 14 (ж) рассматривалась в кандидатской диссертации X. Т. Нгуена [13], защищенной на механико-математическом факультете МГУ в 1990 г. Там же получена асимптотика для близкой по тематике (случай к = 3) задачи представления нуля кубической формой от шести переменных вида.

Ql = Х2, Жз) — *з) с условием (р < х.

Различные задачи, связанные с получением асимптотик средних значений функции делителей, заданной на множестве целых чисел М определенной арифметической природы, имеют большую историю и сохраняют свою актуальность до настоящего времени. Наибольшее внимание, естественно, привлекает классическая проблема делителей Дирихле, то есть вопрос об оценке остаточного члена гк (х) в асимптотической формуле вида.

Dk{x) = = хРк^ i (lnar) + гк (х), п<�х где Pk~{t) — многочлен степени к — 1.

Начиная с первой оценки вида) <С£ ж1/, 2+е, полученной Дирихле в 1849 г [68], этой проблемой занимались Вороной [29], Ландау [69], Харди и Литтлвуд [70], ван дер Корпут [59], Тон [71], Вальфиш [26], Аткинсон [31], Чи Джан Тао [73], Рихерт [74], Чен Джин Ран [6], Карацуба [14], Колесник [75], Иванец и Мозоччи [52], Ивич [10] и другие известные математики. Последние результаты по проблеме делителей Дирихле изложены в монографии А. Ивича [48].

В случаях, когда множество М не совпадает с натуральным рядом чисел, возникает ряд отдельных задач, изучение которых требует применения существенно различных подходов и методов исследования. Количество таких задач очень велико. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции тк ([пс]), рассмотренную Закзаком [18], Солибой [63], Архиповым и Чубариковым [76].

Важным направлением в круге указанных проблем является нахождение асимптотик функции rk (f (z)), где f (z) — целозначный многочлен от нескольких переменных z = (zi,., zm). Сюда может быть отнесена, как основная задача, рассматриваемая в диссертации, так и нахождение асимптотик для сумм вида n (n)Ti (n +а) = rk (zi. .zi +а), п<�х zi. zi 2. Исследованию к = 2, I > 2 посвящены фундаментальные работы Эстермана, Титчмарша, Хооли, Линника, Бредихина, Мотохаши, Тимофеева, А. И. Виноградова и других математиков. Следует сказать, что случай к — I = 3 до сих пор представляет собой актуальную проблему, не решенную до сих пор.

Возвращаясь к случаю, изучаемому в данной диссертации, то есть к асимптотике среднего значения функции Tk ((p (zi, 22, 23)), важно учесть, что форма третьей степени (p (z 1,22,23) является разложимой. Точнее, она разлагается на линейные множители в алгебраическом расширении Q (/3) поля рациональных чисел Q. Это свойство создает предпосылки использования в данной задаче техники производящих рядов Дирихле. Действительно, в упомянутой выше работе [13] при к = 1 и к = 2 был явно выписан искомый производящий ряд fk (s), причем существенным элементом рассуждений послужило доказательство мультипликативности арифметической функции t (n) = tQ (п), где to (n) при каждом натуральном п определяется как количество решений диофантова уравнения вида п = z + z + z — 3z1z2z3.

Заметим, что наличие множителя 1/3 в равенстве t (n) =^to (n) говорит о том, что возможность использования мультипликативных свойств коэффициентов искомого производящего ряда Дирихле заранее не очевидна.

Одним из основных результатов диссертации является теорема о представлении ряда Fk (s) в виде h (s) = (k (s)Lk (s, x)9k (s).

Здесь к — любое натуральное число, большее двух, C (s) — дзета-функция Римана, L (s, x) — £-ряд Дирихле, % — неглавный характер Дирихле по модулю 3, gu{s) — некоторый ряд Дирихле, сходящийся абсолютно в области > ½.

При к = 1, 2 это утверждение было доказано в [13], причем в этом случае gk (s) представляет собой конечный ряд Дирихле.

Указанное выше представление для ряда Д- (s) дает возможность применить метод контурного интегрирования для нахождения сумматорной функции коэффициентов ряда, а также выразить главный член и остаток искомой асимптотической формулы через вычет функции fk (s) в точке s = 1 и некоторый контурный интеграл соответственно. Но так как модуль характера х равен трем, то исследование остатка искомой асимптотики в нашем случае в идейном смысле ничем не отличается от случая производящего ряда Gk{s) = C3fc (s)> н0 требует несколько более громоздких выкладок, связанных, в частности, с использованием функционального уравнения для Z/(s, x), а также разбиением ряда Дирихле, определяющего функцию на две прогрессии по модулю 3.

Другими словами, можно считать, что исследование остаточного члена в нашем случае фактически сводится к случаю производящего ряда Gk (s) = то есть к классической многомерной проблеме делителей.

Дирихле, отвечающей размерности т = Зк.

В силу сказанного выше искомая асимптотическая формула имеет вид.

Тк (х) = rk{v (zi, z2-> z3)) = xQ3k-i (lnx) + Rk (x), p (zi, z2, z3) 0 и (Зк > 0 и любом е > 0 имеют место оценки.

Гк{х) <Се Хак+£, Rk{x) «Се то справедливо неравенство.

Зк < аз к.

Использование лучших известных на настоящее время значений для показателя азк дает еще один основной результат диссертации, сводящийся к получению следующей серии оценок.

3i < 43/96, /32 < 7/12.

Эти оценки, в частности, улучшают результаты X. Т. Нгуена Pi < ~ и.

О Q ff, отвечающие двум значениям к = 1 и к — 2, полученные им в [13,§ 2, 3, с. 13−30].

Для случая 3к > 100 в настоящей диссертации получены новые оценки показателей аы в классической проблеме делителей Дирихле, и соответственно, показателей (Зк < осв оценках остатка в изучаемой нами асимптотической формуле для функции Тк (х). Для этого мы находим новые значения параметров а>0иБ>0 В оценке показателя полученные Х.-Э. Рихертом [77] и А. А. Карацубой [14] и имеющие следующий вид причем параметр, а содержится в известной оценке дзета-функции Римана ?(s) и имеет следующий вид.

Здесь вещественная и мнимая части сг и t аргумента дзета-функции удовлетворяют условиям t 6 М и, а? (½, 1]. Верхние оценки значений, а и В имеют собственную историю. Остановимся сначала на значениях параметра В.

В 1971 г. А. А. Карацуба [14] указал значение В = = 0, 31 498.

В 1976 г. Фуджи [80] опубликовал оценку В < 2~½(Л/8 ~ !)1/3 = 0, 5786. Далее, в работе Е. И. Пантелеевой [15] приводится значение В = 2~2/3 = 0, 6299., а в работе работе Ивича и Куэлето [10] — значение В = 22/3 -З-1 — 0, 5782. Оказалось, однако, что результаты Фуджи и Пантелеевой недостаточно обоснованы, так что лучшим результатом до последнего времени оставалось значение В = 22/3 • З-1 из [10].

В данной диссертации найдена новая оценка параметра В, имеющая следующий вид.

Вывод последней оценки для параметра В опирается на полученную в данной диссертации новую оценку известной в теории дзета-функции Римана величины о-/-, определяемой соотношениями вида где М — множество всех вещественных чисел, а < 1, для которых справедлива оценка.

— т.

Здесь к — натуральное и е > 0 — произвольное вещественное число.

Наша оценка параметра справедлива для достаточно больших к, точнее, для к > 100, и имеет вид.

С (о- + it)| «(|t| + l)^1-)372 In (t + 1).

Tk = inf M, т vk.

3a (k — k0) + 3a (k — k0) V2)2/3 где к > ко = 44 — [22/а] при условии, что величина, а удовлетворяет неравенству 1 < а < 20.

История оценок значения параметра, а начинается с работы Рихерта [77], где было указано значение, а = 100. В дальнейшем были получены следующие результаты: а — 39 (Туран, 1971), о = 86 (Рибенбойм, 1986), а = 26 и, а = 21 (Пантелеева, 1987, 1988), а = 17 (Хис-Браун, 1990), а = 18,4974 (Кулас, 1999 [81]).

В данной диссертации доказывается, что, а = 15,21. Следует сказать, что вывод нашей оценки существенно опирается на результаты О. В. Ты-риной [82], касающиеся теоремы И. М. Виноградова о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля [2], а также на известный многомерный аналог теоремы И. М. Виноградова о сглаживании двойных тригонометрических сумм, доказанный Э. Бомбьери и Г. Иванцом в [45].

Заметим еще, что в ряде работ вместе с асимптотикой для среднего значения многомерной функции делителей Тк (п) рассматривается «среднее Рисса» веса 1 этой функции, то есть асимптотика для сумм вида п<�х.

В частности, асимптотическая формула для S (x) установлена в работе А. А. Карацубы [14] и книге [83], где она затем с помощью метода асимптотического дифференцирования используется для нахождения асимптотики среднего значения функции т&(п), то есть для «средних Рисса» веса нуль. Оценка остатка Rk (x) в этих работах имела вид.

Rk{x) < где 0 < jk < 1 — (2ак)~2/3.

В настоящей диссертации этот результат улучшается. Доказана следующая оценка 5 у/3.

Отсюда также следует, что соответствующий результат имеет место и для средних Рисса веса 1, касающихся значений функций Тк (п), распространенной на значения тернарной кубической формы.

21,22,23) < х.

Заметим также, что нахождение асимптотики для указанных средних Рисса рассматривается нами как самостоятельная задача, отличная от задачи вывода обычных средних этой функции.

Далее остановимся кратко на структуре диссертации.

Диссертация состоит из Введения и четырех глав.

1. Виноградов И. М., Основы теории чисел, М, Наука, 1982.

2. Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М, Наука, 1980.

3. Виноградов И. М., Особые варианты метода тригонометрических сумм, М, Наука, 1976.

4. Виноградов И. М., К вопросу о числе целых точек в заданной области, Изв. АН СССР., сер. матем. 24, 1960, 777 786.

5. Виноградов И. М., Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений. Изв. АН СССР., сер. матем., 19, 1955, 3 10.

6. Chen Jing-run, On the divisor problem for c^(n), Sci. Sinica 14, 1965, 19- 29.

7. H. Davenport, Multiplicative Number Theory (2nd ed.), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

8. Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел М., Наука, 1983.

9. Карацуба А. А., Об одной задаче с простыми числами, Докл. АН СССР, 259, № 6, 1981, 1291 1293.

10. Ivic A., Quellet М., Some new estimates in the Dirichlet divisor problem. Acta Arithmetica, 52, 1989, 241−253.

11. Нгуен Хак Тхань, Асимптотическая формула одной арифметической суммы, Вестн. Моск. ун-та. Матем., Механ., № 1, 1989, 10 14.

12. Нгуен Хак Тхань, О кубической форме х3 + у3 + z3 — 3xyz, Вестн. Моск. ун-та, Матем., Механ., № 3, 1990, 7 10.

13. Нгуен Хак Тхань, Диофантовы уравнения с малым числом переменных. Канд. дис. М., МГУ, 1990.

14. Карацуба А. А., Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле, Изв. АН СССР. Сер. матем., т.36, № 3, 1972, 475- 483.

15. Пантелеева Е. И., К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях. Матем. заметки т.44, вып.4, 1988, 494 505.

16. Davenport Н., Cubic forms in sixteen variables, Proc. Roy. Soc. London. Ser. A, 272, 1963, 285 303.

17. Heath-Brown D. R., Cubic forms in ten variables, Proc. London Math. Soc. (3) 47, 1983, 225 257.

18. Закзак А., Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях. Диссертация на соиск.:. канд. физ. матем. наук., 1993, 1 — 80.

19. Прахар К., Распределение простых чисел, М, Мир, 1967.

20. Титчмарш Б. К., Теория дзета-функции Римана, М, ИЛ, 1953.

21. Монтгомери X., Мультипликативная теория чисел, М, Мир, 1974.

22. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н., Теория кратных тригонометрических сумм, М, Наука, 1987.

23. Архипов Г. И., Чубариков В. Н., Три теоремы о тригонометрических суммах из анализа, Докл. РАН, 14(1993), 19 29.

24. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н., Лекции по математическому анализу, М, Изд-во Дрофа, 2004, 4-е изд.

25. Пятецкий-Шапиро И. И., О распределении простых чисел в последовательности вида f (n). Матем. сб., т. ЗЗ, 1953, 559 566.

26. Колесник Г. А., Распределение простых в последовательности вида пс. Матем. зам 2, 1972, 117 128.

27. Deshouillers J. М., Nombres premiers de la forme пс. C. R. Acad. Sci. Par 282(1976), 131 133.

28. Heath-Brown D. R., The Pjatecki-Shapiro Prime Number Theorem. Number Theory, (16)1983, 242 246.

29. Вороной Г. Ф., Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques. Fur die reine und angewandte math., (126)1903, 241 282.

30. Walfisz A., Uber zwei Gitterpunktprobleme. math, annalen, 95(1926), 69 -83.

31. Atkinson F., A divisor problem. Quarterly Joun. Math. (Oxford), 12(1941), 193 200.

32. Rankin R. A., Van der Corput’s method and the theory of exponent paires. Quart. J. M. (Oxford)(2), 6(1955), 147 153.

33. Yin Wen-lin, Piltz’s divisor problem for к = 3, Science Record, New Ser., 3(1959), 169−173.

34. Yuh Ming-I, Wu Fang, On the divisor problem for 0(3(71). Scientia Sinica, 11, 8(1962), 1055 1060.

35. Сегал Б. И., Об одной теореме аналогичной проблема Варинга. Докл. АН СССР, нов. сер, № 2, 1933, 47 49.

36. Nordon D, Nombres premiers de la forme nc., Arch. Math. 28(1977), 727 740.

37. Kolesnik G, Primes of the form nc. Pacific Journal of the Math. 118, № 2 (1985), 437- 447.

38. Kolesnik G, On the estimation of multiple exponential sums. Recent Progress in Analytic Number Theory. Symposium, Durham (1979), Acad. Press London 1(1981), 231 246.

39. Абуд X. M, О наибольшем простом делителе последовательности пс. Диссертация на соиск.:. канд. физ. матем. наук МГУ, 1989, 1 — 57.

40. Буриев К, Аддитивные задачи с простыми числами, Диссертация на соиск.:. канд. физ. матем. наук МГУ, 1989, 1 — 108.

41. Архипов Г. И, Житков А. Н, О проблеме Варинга с нецелыми показателями. Изв. АН СССР, сер. матем. 48№ 6, 1984, 1138 1150.

42. Буриев К, Об исключительном множестве в проблеме Харди-Литтлвуда для нецелых степеней. Матем. заметки 46, 1989, 127 128.

43. Архипов Г. И, Чубариков В. Н, О некоторых формулах суммирован-ния. Вестник МГУ сер.1 матем.мех. 5, 1987, 29 32.

44. Bombieri Е, Iwaniec Н, On the order of + it). Ann. sur Pisa Norm, 14(4), 1986, 449 472.

45. Bombieri E, Iwaniec H, Some mean value theorems for exponential sums. Ann. sur Pisa Norm. Sc., 14(4), 1986, 473 486.

46. Гриценко С. А, Об одной задаче И. М. Виноградова, Матем. заметки, (39), 1986, 625 640.

47. Graham S. W, Kolesnik G, Van der Corput’s Method for Exponential Sums, M, Cambridge University Press, 1991, 1−119.

48. Ivic A, Riemann Zeta-function, M, Wiley, New-York, 1985.

49. Kratzel E, Lattice Points, D. W, Berlin, 1988.

50. Deshouillers J. M, Geometric aspect of Weyl Sums. Elementary and Analytic Theory of Numbers. Banach Center Pub. (Polish Sci. Pub. Warzsawa) 17(1985), 75 82.

51. Huxley M. N., Exponential Sums and Lattice Points, Proc. London Math. Soc (3)C. R. Acad. Sci. Par 60(1988), 471 502.

52. Iwamiec H., Mozzochi C. J., On the Divisor of Circle Problems. Number Theory 29(1988), 60 93.

53. Huxley M. N., Watt N., Exponential Sums and the Riemann Zeta-function. Proc. London Math. Soc. (3), 57(1988), 1 24.

54. Watt N., A Problem on Semicubical Powers. Acta Arith. 52(1988), 119 -140.

55. Watt N., Exponential Sums and the Riemann Zeta-function (2). London Math.Soc. 39(1989), 385 404.

56. Huxley M. N., Exponential Sums after Bombieri and Iwaniec. Asterisque, Paris 198 199 — 200(1991), 165 — 175.

57. Xya JIo-кен., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М, Мир, 1964.

58. Corput J. G. van der, Zahlemtheoretische Abschatzungen. Math. Ann. 85(1921), 53 79.

59. Corput J. G. Van der, Verscharfung der Abschatzubgen beim Teilerproblem. Math. Ann. 87(1922), 39 65.

60. Corput J. G. Van der, Zum Teilerproblem. Math. Ann. 98(1928), 697 -716.

61. Weyl H., Uber die Gleichverteilung von Zahlen Mod. Ein. Math. Ann. 77(1916), 313 352.

62. Сегал Б. И., Теорема Варинга для степеней с дробными и иррациональными показателями. Труды Физ. Мат. Инст. им. В. А. Стеклова, Отдел Матем. 5(1934), 73 — 86.

63. Солиба X. М., О среднем значении тернарной функции делителй на последовательности нецелых степеней натуральных чисел, Материалы Международной Конференции по аналитической теории чисел, Москва, МГУ, 1997, 30.

64. Баядилов Е. Е., Об оценках дзета-функции Римана на критической прямой. Тезисы Международной конф. «Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы „Казахстан в третьем тысячелетии“ (Алматы, 26 28 октября, 2000)», 2000, 30.

65. Баядилов Е. Е., Об оценках дзета-функции Римана в окрестности прямой = 1. Интегральные преобразования и специальные функции. Информ. бюллетень 2(2001), 42 49 .

66. Баядилов Е. Е., О среднем значении функции делителей Дирихле на значениях тернарной кубической формы. IV Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения», тезисы докладов, Тула, 2(2001), 20.

67. Баядилов Е. Е., О проблеме делителей для значений тернарной кубической формы. Вестник МГУ сер.1 матем.мех. 5(2001), 29 32.

68. Lejeune Dirichlet P. G., Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie. Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49−66), (1849), 69 83.

69. Landau E., Uber die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. Gottingen Nachrichten, (1912), 687 771.

70. Hardy G. H., Littlewood J. E., The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz. Proc. London Math. Soc. (2), (1922), 39 74.

71. Tong К. C., On divisor problems. Acta Math. Sinica 2(1952), 258 266.

72. Atkinson F., On divisor problem. Quart. J. Math. 12(1941), 193 200.

73. Chih Т. Т., The Dirichlet divisor problems. Science report of Tsing Hua Uni, (1950), 402 427.

74. Richert H.-E., Versharfung der Abscharzung beim Dirichletschen Teilerproblem. Math. Z. 58(1953), 204 218.

75. Колесник Г. А., Улучшение остаточного члена в проблеме делителей. Матем. заметки 2(1969), 117 128.

76. Архипов Г. И., Чубариков В. Н., О распределении простых чисел в последовательности вида пс. Вестн. Московского ун-та. Сер. Мат. Мех. 6(1999), 25 35.

77. Карацуба А. А., Оценки тригонометрических сумм методом И. М. Виноградова и их применения. Труды МИАН СССР 112(1971), 241 255.

78. Fujii A., On the problem of divisors. Acta arithm. 31, № 4(1976), 355 -360.

79. Kulas M., Refinement of an estimate for the Hurwitz zeta-function a neighbourhood of the line a = 1, Acta arithm. 89, № 4(1999), 301 309.

80. Тырина О. В., Новая оценка интеграла И. М. Виноградова. Изв. АН СССР. Сер. матем. 51, № 2(1989), 363 376.

81. Воронин С. М., Карацуба А. А., Дзета-функция Римана, М, Наука, 1994, 376 с.

82. Тырина О. В., Средние значения тригонометрических сумм. Канд. дисс., МГУ, 1989, 1 89.

83. Arkhipov G. I., Buriev К., Refinement of an estimate for the Riemann zeta-function a neighbourhood of the line 3? s = 1. Integral Transforms and Special Functions. 1(1993), 1 7.