Продуктивность и прибыльность модели Леонтьева

Министерство науки и образования РК Актюбинский Государственный университет им. К. Жубанова КУРСОВАЯ РАБОТА на тему:

Продуктивность и прибыльность модели Леонтьева

Актобе, 2010 г.

Введение

Глава 1. Модель межотраслевого баланса Глава 2. Продуктивность и прибыльность модели Леонтьева

2.1 Продуктивность модели Леонтьева

2.2 Цены в системе межотраслевых связей

2.3 Прибыльность модели Леонтьева

2.4 Практический пример Заключение Список литературы

Экономическая система является частью более сложной системы — социально-экономической, и представляет собой вероятностную, динамическую, адаптивную систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных благ, а также предоставления различных сервисных услуг. Как правило, входные параметры экономических систем — это материальные вещественные потоки производственных и природных ресурсов. Входные параметры — это материальные вещественные потоки, оборудование, военная продукция, продукция накопления, возмещения и экспорта.

Экономические системы — многоступенчатые, многоуровневые системы, и любая неопределенность, случайность во входных параметрах в нижних уровнях приводит к неопределенностям и случайностям в выходных параметрах подсистем более высокого порядка и системы в целом.

Модель — изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.

Матричные экономико-математические модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях — от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом.

Положительными и ценными качествами данной модели являются общность расчетов, которые опираются на знание коэффициентов прямых и полных материальных затрат.

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответствует определенная строка, а отрасли как потребителю продукции — определенный столбец.

В работе рассмотрена модель межотраслевого баланса Леонтьева.

Глава 1. Модель межотраслевого баланса Леонтьева

Межотраслевой баланс в экономике — это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы. Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей (секторов), производящих определенные товары и услуги (например: сельское хозяйство, промышленность, транспорт, энергетика и т. п.). При производстве товаров и услуг в каждом секторе расходуются ресурсы в виде сырья, рабочей силы, оборудования и др., которые производятся как в других секторах хозяйства, так и в данном секторе. Это означает, что каждый сектор экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа — определить, сколько продукции должен произвести каждый сектор для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса — баланс экономики, состоящей из трех отраслей — сельского хозяйства, промышленности и домашних хозяйств. В качестве единицы измерения объемов товаров и услуг каждого сектора выберем их стоимость. Предположим, что вся продукция сельского хозяйства составляет 200 денежных единиц, из них 50 единиц потребляется внутри самой отрасли, 40 единиц — в промышленности и 110 единиц — в домашних хозяйствах. Продукция промышленности составляет 250 единиц, из них 70 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 30 единиц — в промышленности и 150 — в домашних хозяйствах. Домашние хозяйства производят 300 единиц продукции, из них 80 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 180 — в промышленности и 40 — внутри самого сектора. Эти данные можно свести в таблицу межотраслевого баланса.

Таблица 1

Таблица межотраслевых связей

Данной таблицей представлена экономическая система, в которой все отрасли являются производящими, вся произведенная продукция потребляется этими же производящими отраслями. Такая модель межотраслевых связей называется замкнутой. В замкнутой модели объем затрат каждого сектора (сумма элементов в столбце таблицы) равен объему произведенной продукции (сумма элементов в соответствующей строке).

Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между отраслями экономики в течение фиксированного промежутка времени, например в течение года.

Обозначим матрицу через B = {b_{i, j}}, где I = 1, …, n, j = 1, …, n, элемент которой b_{i, j} — это количество товаров и услуг i-ой отрасли экономики, А = {а_{i, j}}, потребляемое в j-ой отрасли. В замкнутой экономической системе баланс между совокупным выпуском и затратами каждой отрасли можно описать равенствами

n n

:? b _{k, j} =? b _{i, k}, где k = 1, …, n

j=1 i =1

Матрица В называется матрицей межотраслевого баланса, или матрицей Леонтьева.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства — в секторе конечного спроса.

Обозначим:

x_j — объем выпуска i-й отрасли;

b_{i, j} — объем продукции i-ой отрасли, потребляемой в j-ой отрасли;

c_i — конечный продукт, т. е. объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере;

b _{i, j}

a _{i, j} = —-;

x_j

количество продукции i-ой отрасли, которое расходуется

на производство одной единицы продукции j-ой отрасли. Числа a_{i, j} называются коэффициентами прямых затрат j-ой отрасли и характеризуют технологию этой отрасли.

Межотраслевой баланс — это равенство объема выпуска каждой производящей отрасли суммарному объему ее продукции, потребляемой производственными отраслями и отраслью конечного спроса, т. е.

n n n

x _i =? b _{i j} + c _i или x =? a _{i, j}V_j + c _i или x? ? a _{i, j} V _j = c _i, i = 1… n.

j=1 j=1 j=1

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в отрасль конечного спроса поступает та часть произведенной продукции, которая осталась после того, как обеспечены потребности производящих отраслей.

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения:

1. Сложившуюся технологию производства считаем неизменной, таким образом матрица, А = {а_{i, j}} постоянна.

2. Для выпуска j-ой отраслью продукции объема х_j надо ресурсов в количестве x_i ?a_ij. Это требование означает, что каждая отрасль способна i произвести любой объем своей продукции, при условии, что ей будут обеспечены ресурсы в необходимом количестве. На самом деле это не так, ибо производственные возможности каждой отрасли ограничены имеющимся объемом трудовых ресурсов и основных фондов.

Пусть Х = {x_i} — вектор объемов производства в отраслях, тогда А. Х — потребляемые объемы продукции этих отраслей, таким образом, вне производственной сферы — на потребление остается только Х — А*Х. Назовем экономику высокоэффективной, если А*Х? С, т. е. в производственной сфере тратится меньше, чем в сфере потребления.

Глава 2. Продуктивность и прибыльность модели Леонтьева

2.1 Продуктивность модели Леонтьева

Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором спроса, т. е. вектором С, вектор выпуска — вектором Х, структурная матрица экономики, т. е. матрица, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат, — матрицей А, то соотношение баланса в матричной форме будет иметь вид:

С = Х — А*Х или С = (Е — А)*Х, где Е — единичная матрица Одна из основных задач межотраслевого баланса — найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса. То есть необходимо найти вектор производства, удовлетворяющий уравнению баланса, при этом, учитывая экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение X — AX = C имеет неотрицательное решение для любого С? 0, т. е. матрица, А позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.

Теорема. Модель Леонтьева с матрицей, А продуктивна, если и только если существует неотрицательная матрица, обратная к Е — А.

В самом деле, пусть Е — A имеет обратную матрицу и эта матрица (Е — А)-1 неотрицательна, тогда Х = (Е — А)-1С и поскольку С? 0, то и Х? 0.

Рассмотрим еще один критерий продуктивности. Пусть модель Леонтьева задана матрицей размерами nЧn. Обозначим через N множество {1, …, n}. Пусть S N (S — подмножество N). Говорят, что подмножество S изолировано, если a_ij = 0, всякий раз, когда j S, i NS (N без S, т. е. N-S). Понятие изолированности подмножества S допускает прозрачную экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими S.

Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме S = N или S = Ш (пустое множество). Понятие неразложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если a_ij? 0, то j-я отрасль непосредственно использует продукцию i-й отрасли. Но если даже a_ij = 0, т. е. j-я отрасль не использует продукцию i-й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга.

Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна.

Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т. е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей.

Для матрицы, А число л называется собственным числом, если найдется ненулевой вектор Y, такой, что AY = лY. Такой вектор также называется собственным вектором, отвечающим данному собственному числу л (вектор Y не определяется по л однозначно — всякий вектор, ему пропорциональный, также будет собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу л).

Модель Леонтьева с матрицей, А продуктивна, если и только если матрица имеет собственное число лА<1, которое к тому же является наибольшим по модулю из всех собственных чисел матрицы.

2.2 Цены в системе межотраслевых связей

Цены в открытой системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входят не только плата за ресурсы, приобретенные в данной отрасли и других отраслях, но и добавленная стоимость (зарплата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги и др.).

Обозначим:

v_i — суммарные платежи за одну единицу произведенной i-м сектором продукции;

p_j — цена единицы продукции j-го сектора;

b_{i, j} — объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе. Тогда

n n

x_i p_i = ?b _ji + v_i x_i, но поскольку b_ij = a_ij.x_j, то x _i p_i =? a _ji x _i p _j + v_i x _i .

j=1 j=1

Разделив на ненулевые xi, получим для искомых цен систему уравнений в матричной форме:

(Е-А)Т.Р = V,

где, А — структурная матрица экономики;

V — заданный вектор платежей;

Р — искомый вектор цен.

Тогда цены Р можно найти по формуле Р = ((Е-А)Т)-1V,

или, что-то же самое Р = ((Е-А)-1)ТV.

Поскольку ХТV = XT (Е-А)ТP = ((Е-А)X)T = CTP, то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество:

n n

?x _i v_i =? c_i p_i

i =1 i =1

Левая часть этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть — суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.

2.3 Прибыльность модели Леонтьева

Балансовая модель Леонтьева

n

x_i —? a_ijx_j = y_i, i = 1, …, n (1)

j =1

называется работоспособной или продуктивной, если она разрешима в неотрицательных x_i? 0, i = 1, …, n.

Двойственной к системе (1) называется следующая система линейных уравнений для цен продуктов j:

n

p_j —? a_ij p_i = v_j, j = 1, …, n, (2)

j =1

где v_j добавленная стоимость на единицу выпуска j-й отрасли. n j =1

Поскольку? a_ij p_i сумма издержек на единицу выпуска j-й отрасли, то в левой части каждого уравнения (2) стоит чистый доход от единичного выпуска j-ой отрасли, который и приравнивается к добавленной стоимости v_j.

Система (2) называется прибыльной, если она разрешима в неотрицательных p_j? 0, j = 1, …, n.

Продуктивность (1) и прибыльность (2) эквивалентны: из продуктивности (1) следует прибыльность (2) и наоборот.

2.4 Практический пример

Пусть все народное хозяйство состоит из двух отраслей: сельского хозяйства (производство пшеницы) и промышленности (изготовление ткани). Производимая продукция распределяется на производственное потребление в указанных отраслях и на конечное использование (непроизводственное потребление, накопление и т. п.). На производство каждого вида продукции расходуются средства производства (два вида) и труд. Все показатели экономики за год систематизируются в таблице (табл. 1).

межотраслевой балансовый продуктивность прибыльность Таблица 1

Межотраслевой баланс в натуральном выражении

Строки 1, 2 характеризуют распределение продукции на различные нужды, столбцы 1, 2 содержат данные о затратах на производство. Поэтому каждый элемент выделенной жирной линией таблицы 2 Ч 2 имеет двоякое содержание, например, число (*) — это, с одной стороны, часть распределенной продукции сельского хозяйства, с другой стороны — элемент затрат на производство промышленной продукции. Строка 3 — распределение затрат труда, столбец 3 — натуральный состав конечного использования продукции, а также затраты труда в непроизводственной сфере (40 единиц). Итоговый столбец суммирует общие объемы производственной, распределенной продукции и затраты труда.

Возможно построение МОБ в ценностном выражении. Пусть цена 1 кг пшеницы составляет 2 у.е., 1 м ткани — 5 у.е., стоимость, создаваемая за один чел./год, — 1 у.е. Для построения таблицы МОБ в ценностном выражении необходимо умножить строки табл. МОБ в натуральном выражении на 2, 5 и 1, соответственно. Получим таблицу (табл. 2).

Таблица 2

МОБ в ценностном выражении (в у.е.)

Таблица характеризует структуру валового и конечного общественного продукта по материально-вещественному и стоимостному составу. Ценностные измерители позволяют определить общие затраты на производство продукции отраслей и основные макроэкономические показатели. Итоги строк и столбцов совпадают. В табл. 2 пронумерованные ячейки имеют следующие значения:

1) — валовой общественный продукт или сумма продукции отраслей;

2) — промежуточный продукт или сумма потоков (сумма элементов) выделенной таблицы 2Ч2 равна 50 + 40 + 70 + 30 = 190;

3) — учет продукции или общих доходов непроизводственной сферы.

Для построения МОБ для отраслевой экономической модели вводят следующие обозначения и определения.

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат, А — квадратная, невырожденная, продуктивная, ее определитель не равен нулю. Y — вектор конечной продукции. Матрица коэффициентов полных материальных затрат В определяется с помощью матрицы А, исходя из следующих соотношений.

Точный способ определения матрицы полных материальных затрат:

(1)

где Е — единичная матрица соответствующей размерности, такой же, как у А.

По приближенному способу, выражение для B имеет вид

. (2)

При этом способе вычислений учитываются только косвенные материальные затраты до некоторого порядка, например, третьего, как это показано в (2). Вектор X — валовой продукции — определяется по формуле векторного произведения:

. (3)

В итоге, получаем МОБ в виде таблицы (табл. 3).

Таблица 3

МОБ производства и распределения продукции

Заключение

Развитие любого общества неизбежно связано с изменениями объёмов производства и структуры межотраслевых поставок продукции. Изменение объёмов и структуры поставок продукции может иметь различные последствия для функционирования национальной экономики. Для оценки ожидаемых изменений параметров производства и распределения продукции в масштабах страны современная экономическая теория рекомендует использование модели межотраслевого баланса «Затраты — Выпуск», называемой также моделью В. Леонтьева.

Модель В. Леонтьева представляет собой шахматную таблицу, отражающую связи между объёмами затрат на производство продукции (в отраслевом разрезе), с одной стороны, и объёмами производимой отраслями продукции, с другой стороны. В работе рассмотрены продуктивность и прибыльность модели Леонтьева.

1. Ашманов С. А.

Введение

в математическую экономику. М., 1984

2. Бахтин А. Е. Математическое моделирование в экономике. Учеб. пособие. Новосибирск. Изд-во НГАЭиУ, 1995

3. Березнева Т. Д. Некоторые асимптотические свойства оптимальных траекторий динамической межотраслевой модели. Экономика и математические методы. 1972. Т. 12. № 4

4. Волконский В. А. Принципы оптимального планирования. М., 1973

5. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. М. Наука, 1979

6. Колемаев В. А. Математические модели макроэкономической динамики. М. ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996

7. О построении оптимального экономического плана. С. В. Дубовский, Л. Н. Дюкалов, Ю. Н. Иванов, В. В. Токарев, Л. П. Уздемир, Ю. М. Фаткин. Автоматика и телемеханика. 1972. Вып. 8

8. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. М. Наука, 1975

9. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимального управления. М. Наука, 1976.

10. Цевелев В. В., Савиных В. Н., Ивасенко А. Г. Математические методы и модели рыночной экономики. Ч. I. Методические указания и задания к курсу ЭММ. Москва, 1996.