Устойчивость и периодические решения некоторых классов систем дифференциальных уравнений в критических случаях

Одной из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения в окрестности начала координат траекторий автономной системы дифференциальных уравнений о-1* где Кпостоянная ненулевая матрица порядка > аналитическая в точке^с-о вектор-функция, = °•.

Основополагающие результаты в этом направлении были получены А. Пуанкаре [зб^ и А. М. Ляпуновым .

Описание поведения решений системы (0.1) в окрестности начала координат сравнительно просто, если все собственные числа матрицы & имеют ненулевые действительные части. В этом случае, по теореме А. Пуанкаре зб, поведение траекторий системы (0.1) в некоторой окрестности начала координат топологически эквивалентно поведению траекторий системы.

0.2).

Для случая, когда в системе (0.1) матрица ^ имеет К собственных чисел с нулевыми и собственных чисел с отрицательными действительными частями, В. А. Шшссом был предложен так называемый принцип сведения, согласно которому изучение устойчивости нулевого решения системы (0.1) сводится к изучению некоторой системы на к. -мерном инвариантном многообразии.

Если в системе (0.1) матрица, А имеет ксобственных чисел с нулевыми, т. собственных чисел с отрицательными и п.-т-л< собственных чисел с положительными действительными частями, то, как показали А. Н. Шошитайшвили и А. А. Рейнфельд существует функция ЧГС^ удовлетворяющая условию Липшица в некоторой окрестности точки, такая, что система (0.1) в некоторой окрестности начала координат топологически эквивалентна системе.

0.3) а* Омь.

Таким образом, в двух последних случаях задача исследования устойчивости нулевого решения системы (0.1) сведена к задаче исследования системы вида (0.1) меньшей размерности, у которой собственные числа матрицы, А имеют лишь нулевые действительные части (критические случаи). Актуальность решения проблемы устойчивости движения в критических случаях следует уже из того, что любая задача об устойчивости консервативных систем приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений, определяющее уравнение которой имеет нулевые и чисто шише корни.

Критические случаи достаточно хорошо изучены для двумерных систем. Изучение критического случая пары чисто мнимых корней было начато А. Пуанкаре [зб. Его результаты были значительно обобщены и углублены А. М. Ляпуновым ?27]. А. М. Ляпунов в этой работе решил вопрос об устойчивости нулевого решения и дал три способа исследования проблем центра и фокуса. Значительное продвижение вперед решение проблемы различения центра от фокуса для отдельных классов систем получило в работах М. И. Альмухамедова ^З-б], И. С. Куклеса [22−24], Н. А. Сахарникова [44−45], К. С. Сибирского 4б], А. П. Садовского [з8−4з], И. М. Широва [б4−5б], В. И. Володченкова [16−18^ и других. Но несмотря на большое число работ, посвященных ей, проблема различения центра и фокуса до сих пор решена только для отдельных частных случаев. Достаточно полная библиография этой проблемы приведена в [46~] (см. также [б]).

В более поздней работе [28*] А. М. Ляпунов решает задачу об устойчивости решения двумерной системы (0.1) в случае, когда матрица ^ имеет нулевые собственные числа, которым соответствует одна группа решений линейного приближения. Для этой системы качественная картина расположения траекторий в малой окрестности начала координат с точностью до различения центра и фокуса дана в работах Н. Б. Хаимова и А. Ф. Андреева, а исследования A.M. Ляпунова проблемы центра и фокуса дополнены А. П. Садовским jB8−4о.

Коэффициентные условия центра для системы а*-. (0.4) где, -вещественные постоянные, при n= Z. получены.

А.Ф.Андреевым о, при Ъ-Ъ, О — М. П. Григорьевым.

Ы, а при, кфОА.П.Садовским [з8]. Изучение качественной картины расположения траекторий системы (0.4) при п=2 в конечной части плоскости при наличии центра в начале координат было проведено А. Ф. Андреевым и Н. А. Лукашевичем [2б], а полное качественное исследование во всех случаях центра системы (0.4) при провели Ш. Р. Шарипов ьз и И. В. Хайрутдинов [52].

Центр" в трехмерном пространстве разные авторы определяют по разному. Так, можно назвать особую точку центром а) если все траектории, отличные от состояний покоя, в некоторой окрестности этой точки замкнутыб) если в окрестности этой точки имеется бесконечное множество замкнутых траекторий, расположенных на той или иной поверхности, в то время как остальные траектории в окрестности особой точки — спиралив) если проекции всех траекторий на одну из координатных плоскостей замкнуты. Мы будем пользоваться первым определением.

Предположим, что порядок системы (0.1) равен трём, а. её характеристическое уравнение для начала координат имеет нулевой и два чисто мнимых корня. Тогда систему (0.1) с помощью неособого линейного преобразования можно привести к виду морфных функций, разложения которых по целым степеням аргументов начинаются с членов не ниже ^ -го порядка, расположение траекторий в окрестности начала координат и устойчивость нулевого решения системы (0.5) мало изучены.

Первый из этих вопросов для системы (0.5) трактуется, например, Такенсом, однако он рассматривает лишь простейшую ситуацию (случай коразмерности в пространстве коэффициентов). Замкнутые траектории в окрестности 0(р1о1сГ) там невозможны.

Методика отыскания замкнутых траекторий в окрестности начала координат системы (0.5) дается в работе Х. Р. Латипова ^25^. Вводя преобразование Врио и Буке, а затем замену переменных он получает систему где Здесь под Р^ понимается класс голо.

0.5) где Ацт ] 9. Далее, для.

0.6) системы (0.6) находится интегральная поверхность в виде з= с начальным! условиями.

Ъ ч. «и доказывается следующая теорема.

Теорема[251. Для системы (0.6) еозможны случаи:

1) При любых значениях О имеется хотя бы одна непериодическая функция. Тогда Есе интегральные поверхности спиральные и замкнутых траекторий нет.

2) Существует конечное число значений С, для которых все функциипериодические. Тогда наряду со спиральными существует конечное число неспиральных поверхностей. Траектории на неспиральных поверхностях замкнуты или спиральны. Таким образом, для неспиральных поверхностей возникает проблема различения центра от фокуса, наличия или отсутствия предельных циклов.

3) Для всех С интегральные поверхности неспиральные. Однако траектории на этих поверхностях могут быть замкнутыми или спиральными и для них возникает проблема различения центра от фокуса.

Вопросы устойчивости нулевого решения системы (0.5) впервые рассмотрены Г. В.КаменкоЕым [й!}. Он и И. Г. Малкин показали, что когда задача устойчивости системы (0.5) решается конечным числом членов, то эту задачу можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения системы, матрица линейного приближения которой имеет два нулевых корня с даумя группами решений.

Исследованием критического случая трех нулевых корней, т. е. системы.

0.7) где занимажсь М. Ятаев б9,6о, Е. Т. Софронов ^47,48^ и С. А. Ажшев Не рассмотренным остался случай, когда.

Качественная картина расположения траекторий системы (0.7) в малой окрестности начала координат е некоторых случаях дана В. Б. Пилюгиной 34~.

Основными задачами предлагаемой диссертационной работы являются:

1) изучение условий существования периодических решений для систем вида (0.4), (0.5) и (0.7);

2) изучение устойчивости нулевого решения систем вида (0.5) и (0.7).

В первой главе диссертации рассматривается критический случай дЕух нулевых корней. В первом параграфе этой главы дается новый способ составления условий центра. Преимущество этого метода состоит в том, что при составлении следующих условий центра автоматически учитывается выполнение всех предыдущих, что намного сокращает вычисления. Получены коэффициентные условия центра системы (0.4) при, .

Во етором параграфе составлена программа вычисления условий центра на ЭВМ для системы (0.4). При у.-2.^5 получены все необходимые условия (3 и 6 соответственно), которые равносильны условиям полученным в^8,3 В. При К.-Ч получены семь первых условий центра.

В третьем параграфе рассматривается более общая, чем (0.4), система с, (0.9).

1: — - - О*" * ^ С-^, где, -однородные многочлены от 'Х. и степени л> 1, -целые числа. Доказана следующая.

Теорема 3.1. Если б системе (0.9) «> то начало координат для этой системы центр.

Получены также необходимые и достаточные условия центра системы (0.9) при ?>>1 В.

В четвертом параграфе при Ч-Ъ и выполнении условий центра дано качественное исследование в целом интегральных кривых системы (0.4) в конечной части плоскости. Оказалось, что в этом случае качественная картина расположения траекторий имеет более сложный характер, чем при п.-2,. Приведены примеры, показывающие ошибочность утверждения одной теоремы Ф. И. Мулиной и Т. Н. Нурова 132].

Вторая глава посвящена критическому случаю пары чисто мнимых и одного нулевого корня. Первый параграф носит вспомогательный характер.

Во втором параграфе строится двухпараметрическое семейство периодических решений системы (0.5) при предположении.

В третьем параграфе доказывается следующая.

Теорема 3.1. Для того, чтобы решение системы (0.5), проходящее через любую точку достаточно малой окрестности начала координат, было периодическим необходимо и достаточно, чтобы существоЕали голоморфные интегралы вида.

4 ^ ^^ ^ в ¦(0.12) ^Ча^Л^*^- (0.13).

Два последующих параграфа посЕящены проблеме центра для системы (0.5) и вопросам бифуркации периодических решений. В § 4 указаны пять способов составления условий центра и решена задача Пуанкаре для конкретной системы. В § 5 результат Ю. Н. Бибикова ?15] распространяется на систему (0.5) с малым параметром.

В двух последних параграфах этой главы доказаны теоремы, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость нулевого решения системы (0.5). В § 6 даны критерии устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (0.5) в случае, когда или когда ЭсОз^о^г О «но система не имеет двухпараметрическо-го семейства периодических решений. Кроме того, предполагается выполненным одно из следующих условий: имеется голоморфный интеграл вида (0.12) — б), имеется голоморфный интеграл вида (0.13).

В этих случаях задача устойчивости нулевого решения системы (0.5) решена полностью.

В § 7 рассматривается случай, когда в системе (0.5).

В этом параграфе выделены классы систем вида (0.5), для которых устойчивость или неустойчивость нулевого решения следует из устойчивости или неустойчивости двумерных систем. В случае, когда начало координат для двумерной системы есть центр

С^Ч^-^" 2^^ «» — нечетно, то нулевое решение системы (0.5) может быть устойчивым и неустойчивым. В таких случаях указаны критерии устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (0.5).

Третья глава посвящена критическому случаю трех нулевых корней. В первом параграфе рассматривается система (0.7) при предположении (0.8) и доказаны теоремы, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость нулевого решения. Во втором параграфе для системы (0.7) строится одноили двухпараметрическое семейство периодических решений.

Основное содержание работа опубликовано в^18, 19, 49, 62−67^. По материалам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и научных конференциях Якутского госуниверситета.

1. Алексеев Б. В. Применение ЭВМ к получению условий центра. -У Всесоюзная конференция по КТДУ, Кишинев: Штиинца, 1979, с.3−4.

2. Алишев O.A. К устойчивости решений системы трех уравнений в одном критическом случае. Вестник АН КазССР, сер.физ.-мат., 1974, № 5, с.1−4.

3. Альмухамедов М.И.К проблеме центра. Изв.физ.-мат.об-ва, т.9, 3(1936;1937), Казань, с.29−36.

4. Альмухамедов М. И. Об условиях наличия особой точки типа центр.-Изв.физ.-мат.об-ва, т.9,3(1937), Казань, C. IG5-I2I.

5. Альмухамедов М. И. Решение классической задачи Пуанкаре об отличии центра от фокуса. Волжск.мат.сб., вып.12, 1971, с.3−7.

6. Амелькин В. В., Лукашевич H.A., Садовский А. П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск, БГУ, 1982, с. 207.

7. Андреев А. Ф. Исследование поведения интегральных кривых системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Автореферат канд.дисс., М.: 1953, с. 8.

8. Андреев А. Ф. Решение проблемы центра и фокуса в одном случае.-ПММ, 1953, вып.17, № 3, с.333−338.

9. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.. Минск: Вышэйшая школа, 1979, 136 с.

10. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959, 915 с.

11. Андронов A.A., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.:Наука, 1966, 5 68 с.

12. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976, 648 с.

13. Баутин H.H., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.:Наука, 1976, 496 с.- 108.

14. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. -Труды Моск. мат. обваД 971, т.25, с. П9−262−1972,т.26,с.199−239.

15. Bibikov Yu. H, Local Theory of nonlinear analitic ordinary-differential equations.-Berlin:1979, 148 pp.

16. Володченков В. И. Об условиях центра для уравнения: ~~" р^-. Уч.зап.Смоленского ГПИ, 1967, вып.18,с.80−83.

17. Володченков В. И. К вопросу об условиях центра для одного дифdftv гференциального уравнения: ¡-зд • Уч.зап.Смоленского ГПИ, 1969, 8, с.11−18.

18. Григорьев М. П. Необходимые и достаточные условия существования периодического решения одной системы двух уравнений. -Тезисы докладов на-Х научной сессии, Якутск, 1967, с. 22.

19. Григорьев М. П., Софронов Е. Т. К вопросу устойчивости движения некоторых систем дифференциальных уравнений.- Якутск. ун-т, 1982, деп. в ВИНИТИ 9.II.83 № 5984−83 Деп., 23 с.

20. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.:Высшая школа, 1973,271с.21. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. -М.: Наука, 1972, т.2, 214 с.

21. Куклес И. О. Некоторые признаки отличия фокуса от центра. -Тр.Самаркандск.- ун-та, I95X, вып.147, с.29−98.

22. Куклес И. О. О применении метода обобщенной симметрии к некоторым случаям центра.-Тр.Самаркандск.ун-та, 1960;1961, вып.107, с.49−58.

23. Куклес И. С., Нуров Т. Н. О различении центра и фокуса. Изв. вузов. Математика, 1963, № 6, с.98−108.

24. Латипов Х. Р. Метод интегральных поверхностей для исследования поведения характеристик в окрестности состояния равновесия. -Ташкент: Изд-во «ФАН» УзбССР, 1980, 94 с.

25. Лукашевич Н. А. Качественное исследование интегральных кривых в целом системыесли OCovo) центр. — ДАН БССР, 1961, т.5, № 5, с.187−190.

26. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. M.-JI.: Гостехиздат, 1950, 471 с.

27. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. См. 27, с.280−343.

28. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.М. :НаукаД966,5 30 с.

29. Малкин К. Е. Условия центра для одного класса дифференциальных уравнений.-Изв.вузов.Математика, 1966, $ I, с.104−114.

30. Мударисов И. Х. Дулеева Л.М. Приложение ЭВМ к решению проблемы центра и фокуса.-Волжск.мат.сб., 1968, № 6, с.170−179.

31. Мулина Ф. И., Нуров Т. Н. Качественное исследование интегральных кривых одной системы дифференциальных уравнений в целом, если начало координат центр.-Тр.СамГУ, вып.268,1979, с.79−86.

32. Персидский К. П. Ко второй методе Ляпунова. Изв. АН КазахССР, сер.мат. и мех., 1947, т 42, с.48−55.

33. Пилюгина В. Б. Локальное качественное исследование некоторых классов систем дифференциальных уравнений в критических случаях. Автореферат канд. дисс., Л., 1980, 14 с.

34. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. -Изв. АН СССР, сер.мат., 1964, т.28, № 6, с.1297−1324.

35. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.:Гостехиздат, 1947, 392 с.

36. Рейнфельд A.A. Теорема сведения. Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, Ш 5, с. 838−843.

37. Садовский А. П. О проблеме центра и фокуса. Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № II, с.2002;2009.

38. Садовский А. П. К проблеме различения центра и фокуса. Дифференц. уравнения, 1969, т. 5, й 2, с.326−330.

39. Садовский А. П. О проблеме различения центра и фокуса для систем с ненулевой линейной частью.-Дифференц.уравнения, 1976, т.12, 7, с.1238−124б.

40. Садовский А. П. Решение проблемы центра и фокуса для систем Льенара с полиномиальными коэффициентами.-Дифференц.уравнения, 1975, т. Н,)Ь II, с.2102−2104.

41. Садовский А. П. К проблеме различения центра и фокуса для системы нелинейных колебаний.-Дифференц.уравнения, 1976, т.12,12, с.2273−2274.

42. Садовский А. П. Элементарное доказательство и применения одной теоремы Ф.Такенса.-Дифф.уравненияД980, т.1б,№ 12,с.2284−2287.

43. Сахарников H.A. Об условиях Фроммера существования центра. -Прикл.мат.и мех., 1948, т.12, № 5, с.669−678.

44. Сахарников H.A. Об условиях существования центра и фокуса. -Прикл.мат.и мех., 1950, т.14, № 5, с.513−526.

45. Сибирский К. С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев: Штиинца, 1976, 268 с.

46. Софронов Е. Т. Об устойчивости невозмущенного движения системы трех уравнений в одном критическом случае.-Вестн.Ленингр.ун-та, 1963, Ге 19, с.77−84.

47. Софронов Е. Т. Об устойчивости невозмущенного движения в одном критическом случае.-Вестн.Ленингр.ун-та, 1965, № I, с.145−146.

48. Софронов Е. Т. Григорьев М.П.К вопросу устойчивости движения одной системы дифференциальных уравнений третьего порядка. -В сб.:Асимптотич.поведение решений дифф. уравнений, Якутск, изд. Якутек. ун-та, 1983, с.67−72.

49. Софронов Е. Т. Григорьев М.П. Существование периодических решений для одной системы дифференциальных уравнений.-В сб. Некоторые вопросы дифференц. и интегр. уравн. и их приложения, вып. З, Якутек, изд.Якутек.ун-та, 1978, с.168−172. Ill.

50. Хаимов Н. Б. Исследование уравнения, правая часть которого содержит линейные члены.-Уч.зап.физ-мат.ф-та Сталинабадского ГПИ, 1952, т.2, с.45−113.

51. Хайрутдинов И. В. О сожительстве особых точек различных типов на сфере Пуанкаре для одной системы дифференциальных уравнений. -Уч. зап. Душанб. ГПИ, 1963, т.24, Ь 4, с.59−62.

52. Шарипов Ш. Р. Качественное исследование характеристик уравненияQ^C^) в целом.-Тр.СамГУ, 1962, вып.119, 0.91−97.

53. Широв И. И. Об условиях центра. Тр.Узб.ГУ, 1955, вып.59,с.63−84.

54. Широв И. И. Видоизмененный метод М. И. Альмухамедова. Тр.Узб. ГУ, 1958, вып.78,с.53−57.

55. Широв И. И. Проблема центра и фокуса в теории нелинейных колебаний. Тр.Межд.симпозиума по нелин.колебаниям.Киев, 1961, изд. АН УССР, 1963, т.2, с.507−512.

56. Шошитайшвили А. Н. Бифуркация топологического типа векторного поля вблизи особой точки.-Тр.семин.И. Г. Петровского, 1975, с.279−309.

57. Щуко С. Д. Реализация на ЭВМ алгоритма различения центра и фокуса.-Тр.Горьк.ин-таинж.водн.трансп., 1973, вып. III, с.62−70.

58. Ятаев М., Курмашев Д. К. К исследованию одного критического случая устойчивости по Ляпунову установившегося движения.-Вестн.АН КазахССР, 1961 7, с.99−104.

59. Ятаев М. Об одном критическом случае устойчивости установившегося движения. Тр. межвузовской конференции по прикладной теории устойчивости движения и аналитической механике, 1962. Казань, 1964, с.143−145.

60. Takens P. Sigularities of vector fields.-Publ.math.I. H.E.S., 1974, N43, p.47−100.

61. Григорьев М. П. О расположении траекторий на фазовой плоскости в одном критическом случае. Материалы XI научной сессии, посвященной 100-летию со дня рождения В. И. Ленина, Якутск, 1970, с.94−95.

62. Григорьев М. П. Применение ЭВМ в проблеме различения центра и фокуса. В сб. Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных уравнений, Якутск, вып.1, 1975, с.21−25.

63. Григорьев М. П. Решение проблемы центра в одном случае. -В сб.: Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных уравнений, Якутск, вып. 2, 1977, с.11−13.

64. Григорьев М. П. Качественное исследование интегральных кривых в целом одной системы. В сб.: Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных уравнений, Якутск, вып.2, 1977, с. 14−20.

65. Григорьев М. П. Периодические решения некоторых систем дифференциальных уравнений. В сб.: Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений, Якутск, изд.Якутск.ун-та, 1983, с.3−10.

66. Григорьев М. П. К вопросам существования периодических решений одной системы. Якутск, Якутский ун-т, 1982, деп. в ВИНИТИ 9.11.83, .? 5983−83 Деп., 20 с.