Математическое и компьютерное моделирование нелинейных распределенных механических систем

При описании физического явления обычно вводят в рассмотрение гипотезы, строят функционал и из минимума его получают некоторую систему дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производных, справедливую в определенной области, а также краевые и начальные условия. На этой стадии математическая модель замкнута, и для практического применения требуется получить решение, чаще всего численное, для конкретных значений числовых данных. Здесь, однако, возникают основные трудности, так как точному решению существующими аналитическими методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри геометрически тривиальных границ.

В связи с этим возникла потребность в методах, позволяющих упростить исходные дифференциальные уравнения. Эти методы условно можно разбить на три большие группы: 1) линеаризация уравнения- 2) понижение размерности искомой функции- 3) понижение порядка дифференциального оператора.

Методы линеаризации.

Существующие методы решения нелинейных задач в зависимости от уровня, на котором происходит линеаризация, можно разделить на две группы. Первая — линеаризация систем дифференциальных уравнений, вторая — линеаризация алгебраических уравнений, получающихся в результате применения к исходным дифференциальным методов дискретизации. Далее рассмотрены методы первой группы.

Одними из представителей этой группы являются методы Ньютона [1] и Ньютона-Канторовича [1]. Суть их в следующем: пусть задано нелинейное уравнение.

Вд = 0, (1) с нелинейным, дифференцируемым по Фреше оператором, действующим из некоторого множества О банахова пространства Е в банахово пространство Е2. Если определен действующий из Е] в Е2 линейный оператор

Xм]}-1, (2) то для решения исходного дифференциального уравнения применима следующая итерационная процедура.

Модификацией этой итерационной процедуры является следующая где х (0) — начальное приближение.

Метод Ньютона-Канторовича использован в статье Ю. Н. Санкина [2] для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие деформации оболочек вращения при симметричной нагрузке. При этом метод применен ко всей системе. Для нахождения матрицы функциональных производных предлагается использовать либо численную процедуру типа разностной, либо непосредственное дифференцирование операторов. Эффективность метода подтверждена решением задачи о нелинейном деформировании плоской мембраны. Тот же метод применен в статье В. Н. Мальгина [3] для создания алгоритмов, позволяющих решать задачи прочности, устойчивости и колебаний оболочек вращения, математических моделей, построенных на гипотезах типа С. П. Тимошенко. Метод Ньютона-Канторовича применяется последовательно к каждому из шести обыкновенных нелинейных уравнений. Линейные уравнения решаются методом ортогональной прогонки. Автором отмечается, что контрольные расчеты по всем программам показали хорошую сходимость алгоритмов и их устойчивость. В статье.

Н.В. Валишвили [4] с помощью метода Ньютона исходная нелинейная краевая задача теории оболочек сводится к задаче Коши, для решения которой используется метод Рунге-Кутта. Что касается доказательств сходимости методов Ньютона и Ньютона-Канторовича для нелинейных уравнений, то они даны в статьях В. М. Вержбицкого [5] и А. В. Машкова [6]. Модификация метода Ньютона с использованием ряда Тейлора относится к другой группе и описана ниже.

Наиболее известный метод линеаризации — метод последовательных приближений. Существуют две модификации этого метода. В первой из нелинейного оператора выделяется линейный оператор со старшими производными. Все остальные составляющие исходного уравнения перебрасываются в правую часть и их формирование происходит за счет значений искомых функций, полученных на предыдущих итерациях.

Наиболее часто встречающимся является метод простой итерации. Суть его в следующем. Для решения нелинейной системы т=/, (5) предлагается представить оператор в виде.

6) где Ьх — линейный оператор старшей степени, а Ь2 — линейный оператор младшей степени, Ь3 — нелинейный оператор. В результате получается следующая итерационная процедура:

Метод, предложенный в 1958 году В. З. Власовым и получивший название метода последовательных нагружений, заключается в представлении нагрузки в виде суммы отдельных ступеней. В пределах каждой ступени нагрузки считаются линейные теории рассматриваемых объектов (пластинки, оболочки и др.). Величины ступеней нагрузки выбираются так, чтобы, например, отношение прогиба к толщине пластинки укладывалось в рамки лимитной теории. Таким образом, решение системы нелинейных уравнений сводится к последовательному решению нескольких систем линейных уравнений. Этот метод был разработан В. В. Петровым в статье [7]. Этим методом решены как геометрически, так и физически нелинейные задачи, контактные задачи и задачи для массивных тел. В работах Э. И. Григолюка, В. И. Шалашилина, В. И. Кузнецова [8, 9] предложено уточнять решение, полученное методом последовательных нагружений, методом наискорейшего спуска, разработанным JI.B. Канторовичем, или методом Ньютона.

Одной из разновидностей методов последовательных приближений является метод квазилинеаризации, описанный в книге R.E. Bellman, R.E. Kalaba [10]. Этот метод представляет собой дальнейшую разработку метода Ньютона и его обобщенного варианта, предложенного JI.B. Канторовичем. Применение этих методов описано в статьях Я. М. Григоренко, А. Т. Василенко, H.H. Крюкова и многих других [11, 12].

Другой разновидностью методов последовательных приближений являются методы спуска, которые впервые были описаны G. Temple [13] и JI.B. Канторовичем [14]. Они состоят в том, что для решения функционального уравнения.

А-ЯВ)Х-Р = 0, (8) отыскивают на каждом шаге итерационного процесса минимум одной из форм: Oi — потенциальная энергия системы, Ф2 — сумма квадратов левых частей уравнений или других на некотором подпространстве минимизации. Помимо геометрической интерпретации, метод спуска может быть истолкован «механически». Он имитирует движение системы, когда она освобождена в начальном положении, не представляющем положение равновесия. Для такой интерпретации достаточно номеру шага процесса присвоить название «дискретного времени». Таким образом, статическая система заменяется динамической с искусственно введенным временем, что обеспечивает ранее недостижимые вычислительные результаты. Классификация методов спуска и обзор работ по использованию их в задачах механики приведены в работах Д. В. Вайнберга и С. В. Симеонова [15−17].

Методы, принадлежащие третьей группе, используют представление искомых функций в виде суммы известного решения и малой добавки, играющей роль уточнения решения. Это представление дает возможность линеаризовать исходное уравнение. Одним из таких методов является метод, изложенный в статьях В. А. Пухлий, G.A. Thurston и других [18−21]. Суть его в следующем. Пусть дано нелинейное уравнение yx) + f{y{xx) = V. (9).

Будем искать решение в виде.

10) где Jo — заданное решение, А — поправка. Подставляя в исходное уравнение и разлагая нелинейные члены в ряд Тейлора в окрестности точки (х0,у0), получаем + A" + /(70,x0) + /'(7o^o)0-i-J-o) + - = 0. (11).

Отбрасывая слагаемые, начиная с.

0>,~Л)2=Д2, (12) приходим к линейному уравнению.

A" + kA = F (y0,x0). (13).

Решая это уравнение, находим поправку, которую используем для нахождения первого приближения. Затем процесс повторяется до достижения заданной точности. Статья J. Griiters [22] посвящена применению аналогичного подхода к решению задачи для тела типа диска из анизотропного материала, нагруженного по краю. Нулевое приближение получается из решения задачи для изотропного тела.

Разновидностью методов, использующих малые добавки к решению, являются методы малого параметра. Д. Ф. Давиденко в [23, 24] предложен метод решения систем нелинейных уравнений, содержащих параметр, в случае, когда одно из значений параметра известно. Изложим кратко существо этого метода. Пусть дана система уравнений к (хх, х2,., хп, Л) = Ъ? = 1,2,., и. (14).

Пусть также для л = л0 известны такие х-0, что.

Ук (х10,х20,., хп0, Л10) = к = 1,2,., п. (15).

Функции /к определены и непрерывны в некоторой (и+1)-мерной области О изменения хх, х2,., хп, Л и точка (х10,х20,., хп0, Ад) е О. Пусть также в области (7 Якобиан.

1(Х1,Х2,., ХП, Л) = ^'/2'''''-(16) иХ^, Х2,., Хп).

Параметр Л принимается за независимую переменную, и хх, х2,., хп считаются функциями Я. Исходная система дифференцируется по Л. В результате получается система обыкновенных уравнений, линейных относительно производных: к=1'2'-'п- <17>

1 дх1 аЛ дЛ.

Так как якобиан этой системы отличен от нуля, она может быть решена.

1х1 относительно производных —В итоге задача сводится к системе уравнении с1Л вида с! х.

1- = Е ({хх,., хп, Л), / = 1,2,.72. (18) аЛ.

К этой системе присоединяются граничные условия х,(Л0) = х109 / = 1,2,., л. (19).

Полученная задача является задачей Коши для переменной X. Интегрирование этой задачи любым из известных методов для значений на отрезке С даёт приближенное решение для исходной системы. Описанный метод нашел широкое применение для решения разнообразных задач механики, например в работах Э. И. Григолюка, М. И. Карасика и В. И. Шалашилина, А. И. Уздалева [25−29].

Описанные выше подходы линеаризуют исходную задачу, т. е. сводят ее к решению последовательности линейных задач. Однако все эти подходы не понижают порядок исходного дифференциального оператора, что приводит к дополнительным трудностям при численной реализации указанных подходов.

Остается еще одна важная проблема — размерность пространства исходной задачи. В связи с тем, что решение проводится в основном численными методами, размерность пространства существенно влияет на затраты машинного времени и точность полученного решения. Поэтому важным направлением являются методы понижения размерности пространства исходной задачи.

Методы понижения размерности.

Численное решение трехмерных по пространственным координатам задач теории упругости даже на современном этапе развития вычислительной техники сопряжено со значительными трудностями.

Поэтому наиболее распространенным подходом трехмерных задач является понижение их размерности каким-либо приемом. На практике обычно используется один из следующих приемов.

Первый из них заключается в осреднении (интегрировании) по координате, по которой размер объекта мал по сравнению с двумя другими. Применимость такого приема связана с необходимостью знать (хотя бы приближенно) распределения параметров НДС по соответствующей координате. Если это распределение известно, например из геометрических соображений, то этот прием весьма эффективен и достаточно экономичен.

Второй из них применим для расчета тел вращениясуть его состоит в разложении параметров НДС в направлении угловой координаты (в цилиндрической системе координат) в ряды по тригонометрическим функциям.

После разложения в такие же ряды внешних наг система уравнений, описывающих объект, распадается на «К» независимых систем уравнений, где «К» — число гармоник, удерживаемых в разложении. Таким образом, вместо трехмерной задачи решаются «К» двумерных.

До середины 30-х годов XX столетия господствующим методом численного решения краевых задач был метод конечных разностейдостаточно упомянуть работы JI.B. Канторовича, В. З. Власова, A.A. Самарского и других [30−32]. И до сих пор к большинству задач математической физики, решаемых численно, применяются формулы метода конечных разностей.

Около 1935 г., однако, появляется несколько работ, посвященных решению уравнений в частных производных с двумя переменными, основной идеей которых является использование метода конечных разностей для получения решения по одной переменной, и, таким образом, решение уравнений в частных производных заменяется решением систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Качественный тип этой системы зависит не только от вида уравнения, но и от типа граничных условий решаемой задачи. К таким работам относятся работы М. Г. Слободянского [33] для уравнений эллиптического типа и работа D. А. Hartree [34] для уравнения теплопроводности. Метод в дальнейшем стал называться методом прямых. На рубеже 60−70-х гг. XX века этот метод применялся для решения задач плоской теории упругости, теории пластин и оболочек, а также к задачам термоупругости.

Известно, что математические задачи теории упругости можно формулировать как вариационные задачи, то есть задачи о нахождении экстремума некоторых функционалов. Условия, при которых функционал имеет стационарное значение, определяются уравнениями Эйлера и естественными граничными условиями. Вариационные формулировки задач являются теоретической основой для построения прямых вариационных и вариационно-разностных методов, метода конечных и граничных элементов. Часто при решении задач применяются вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно.

Рассмотренные методы понижения размерности позволяют свести дифференциальное уравнение в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые, однако, остаются нелинейными и имеют высокий порядок дифференциального оператора.

Методы понижения порядка дифференциального оператора.

Рассмотрим методы понижения порядка исходного дифференциального уравнения. Их можно разделить на три группы: введение новой функции, декомпозиции и аналогии.

Одна из статей XV. 1чГо-уас1а [35], в которой рассмотрен изгиб полосы, свободно опертой по краям х=0 и х=а, нагруженной сосредоточенной силой в точке у=0. Дифференциальное уравнение для функции прогиба имеет вид ду4 дх2ду2 дх4 ' (20).

4 А Н где ¿-г =—±-, р =.

Вводится новая функция ф по формуле + (21) ду дх.

Подстановка функции (21) в уравнение (20) позволяет свести исходное уравнение четвертого порядка к уравнению второго порядка: д2со (х, у) «2 д2ф (х, у) '2 -0. (22) ту ex.

При этом новые константы, а и? связаны со старыми следующими соотношениями: a2+?2= 2ре2, a2?2 = (23).

Аналогичный подход использован в работах Norman de Garrs, Е. Giangreco, L.S. Han [36−39].

Еще одним направлением среди методов понижения порядка исходного дифференциального уравнения являются методы расщепления или декомпозиции.

Суть подхода заключается в следующем: пусть требуется найти функцию и (р) точки р, удовлетворяющей в области Q уравнению.

Аи{р~) = f (p), реП, (24) а на границе у краевым условиям:

Lju (s) = gj (s) sey, (25) здесь, А — линейный дифференциальный оператор, /(р) — заданная в Q функция, Lj — линейные дифференциальные операторы, gj (s) — заданная на границе функция.

Предположим, что оператор, А можно расчленить на несколько простейших линейных операторов, в сумме равных А, каждый из которых сравнительно легко обращается. Кроме того, соответствующее расчленение граничных условий также возможно.

Исходный оператор, А представлен в виде.

A = Z4, (26) к=i причем некоторые из слагаемых, входящие в операторы Ак, в исходный оператор могут и не входить. Обозначая h где f (p) = Yufk (р) «составим h вспомогательных задач относительно ик: к=1 причем граничное условие выбирают таким образом, чтобы в каждой фиксированной точке контура /оно выполнялось хотя бы для одного из ик.

Г. И. Пшеничным [40] отмечено, что в соответствии с предлагаемым методом формирование вспомогательных задач может быть выполнено бесчисленным количеством способов. Неоднозначность декомпозиции исходной задачи является следствием двух причин. Первая заключается в произволе выбора операторов ак, вторая — в произволе выбора краевых условий: вспомогательная задача может либо не содержать краевые условия, либо содержать их все, либо учитывать любую часть этих условий. Необходимо только, чтобы в каждой точке контура выполнялось краевое условие исходной задачи при объединении краевых условий вспомогательных задач. К работам в этом направлении относятся, например, статьи А. И. Уздалева, JI.A. Розина, H.D. Conway, A.W. Leissa [41−44].

Как известно, одним из свойств математического моделирования является его общность, т. е. одни и те же уравнения могут описывать различные процессы, происходящие как в природе, так и в обществе. Использование этого свойства заложено в упрощающих подходах в виде аналогий, например таких как аналогия Прандтля.

Особенный всплеск интереса к аналогии Прандтля виден с начала 50-х годов, когда для решения уравнения изгиба пластин начали использоваться методы, сводящие дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка к системе уравнений второго порядка.

Au = fk (p)>

27).

Auh=fk (P)> PeQ.

LjUk^gj{s) se/.

28).

Ярким примером такого рода является статья Т. Nishihara и К. Tanaka [45], в которой задача об изгибе квадратной пластинки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, сводится к задаче об изгибе мембраны, т. е. уравнение четвертого порядка сводится к уравнению второго порядка. Авторами рассмотрены случаи шести типов граничных условий. Для каждого случая решены числовые примеры, показывающие достоверность предложенной методики. Использование различного рода аналогий описано в работах Ю. М. Почтмана, В. Д. Шайкевича, В. Roller, R.J. Duffin и других [46−51].

Описанные методы понижения порядка используются в основном для решения линейных задач, и важным вопросом является распространение этой методики на нелинейные задачи.

Приведенный исторический обзор методов понижения порядка и линеаризации дифференциальных уравнений в частных производных не ставит своей целью охватить весь спектр работ по данной тематике. Здесь отмечены только некоторые работы, которые отражают основную идею того или иного подхода. Более подробный обзор дан в статьях автора диссертации [52, 53].

Как видно из обзора, математические численные или аналитические методы, используемые для исследования нелинейных дифференциальных уравнений, являются более сложными и трудоемкими, чем методы линейного анализа, в связи с эти долгое время в различных областях механики изучались лишь простейшие нелинейные задачи. Развитию новых идей в понимании нелинейной механики способствовало появление компьютеров. Их использование для нелинейного анализа позволило исследовать сложное поведение механических систем. Одним из важнейших направлений является исследование хаотической динамики механических распределенных структур, причем интерес к нему, несмотря на длительную историю, не только не уменьшается, но и в последние годы возрастает, что свидетельствует о фундаментальности и актуальности этой проблемы. Исследованию нелинейной динамики в распределенных механических системах, таких как балки, пластины и оболочки, посвящено достаточно много работ, поэтому здесь приведены некоторые из них.

Стоит отметить, что работы по исследованию нелинейной динамики механических структур имеют не только научный, но и большой практический интерес, причем в различных областях. В работе Е. Kreuzer [54] изучаются нелинейные свойства морских добывающих платформ, кораблей и плавучих подъемных кранов в аэрогидродинамической среде акватории. Отмечается актуальность разработки методов нелинейного динамического расчета инженерных сооружений и технических конструкций в акватории. В работе S. Gabor [55] рассмотрена высокоскоростная обработка материалов резанием на токарном станке. В отличие от других работ, где использовался линейный анализ, исследована нелинейная вибрация в случае удвоения периода, проведено сравнение с известной бифуркацией Хопфа при вращении. Интенсификация глобального аттрактора при нестабильном резании приводит к противоречию между экспериментом и теорией, что требует более внимательного отношения к ограничениям применения метода малого параметра в условиях высокоскоростного резания. Для исследования системы мост-экипаж, движения двухосного автомобиля по шарнирно опертой балке, в работе S. S. Law [56] предложен новый метод идентификации подвижной нагрузки и статических напряжений, основанный на методе конечных элементов и вейвлет-анализе. Оба метода используются в работе для решения задачи идентификации режимов колебаний по измеренным реакциям моста (деформациям или ускорениям). Численное имитационное моделирование показало эффективность метода в условиях шума измерений и неровностей дороги. Аналогичной тематике посвящена работа F. Periard, J. Kalker [57], в которой рассмотрено решение во временной области задачи высокочастотного расчета трамвайных рельсов. Разнообразие тематики работ о нелинейной динамике подчеркивает важность исследований в этой области.

Одним из важнейших аспектов исследований в нелинейной динамике является изучение сценариев перехода к хаотическим колебаниям. Механизмы перехода к хаосу в колебаниях балок через бифуркации, под действием периодического нагружения рассмотрены в статье Т. Yagasaki [58]. Т. Yoshimura,.

J. Hino, T. Kamata, N. Ananthanarayana [59] рассмотрели хаотические сложные колебания нелинейной балки переменного поперечного сечения, шарнирно закрепленной, под действием нагрузки. Zhang Jian-wen, Cai Zhong-min, Yang Gui-tong [60] рассмотрели задачу по определению условий возникновения хаотических колебаний от вынуждающей нагрузки бесконечной по длине деформируемой балки, которая лежит на нелинейном упругом основании. Исследованию сценариев перехода в хаос для балок математических моделей Эйлера — Бернулли, С. П. Тимошенко, Шереметьева — Пелеха посвящены работы автора диссертации [61−66]. Исследованию сценариев для других механических структур посвящены работы В. А. Крысько и его учеников, например [67−74].

Для исследования нелинейной динамики используется математический аппарат, состоящий из преобразования Фурье, анализа показателей Ляпунова, фазовых и модальных портретов и автокорреляционной функции. В работе [75] P. J. Holmes, J. Marsden применили метод Мельникова в своих исследованиях хаотических колебаний однослойной балки при действии внешнего нагружения. Qiu Ping и др. [76] используют метод Мельникова для отыскания бифуркаций и хаотических колебаний в задаче о колебаниях пластины на нелинейном упругом основании. При этом предполагается, что сила реакции содержит линейную, изгибную и кубически нелинейную компоненты. Используя метод малых возмущений, были исследованы спектры Ляпуновских показателей, а также хаотические колебания упругой балки под действием периодической внешней силы в работе [77] A. Maewal. В работе Cardona А. [78] изложены некоторые аспекты реализации метода мультигармонического баланса (МНВ) с интенсивным использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье на всех стадиях динамического расчета. Устойчивость полученных решений типовых задач нелинейных колебаний проанализирована апостериори по методу Флоке. Точность и эффективность изложенного подхода продемонстрированы на примерах численного расчета показателей колебаний осциллятора Дуффинга, защемленной балки с демпфером сухого трения и пологого висячего троса.

Появление вейвлет-анализа в начале 80-х годов прошлого века как синтеза научных идей из различных областей знаний, таких как математика, радиофизика, теория колебаний, привело к новому направлению исследований в нелинейной динамике. Кроме того, вейвлеты находят применение в обработке и синтезе сигналов, анализе изображений, полученных в различных областях, решении уравнений U. Lepik [79]- сжатии больших объемов информации.

Список публикаций по приложению вейвлет-анализа достаточно обширенздесь отметим: во-первых, классические работы С.К. Chui, I. Daubechies, А. Grossman, S. Morlet [80−82]- во-вторых, работы, посвященные применению вейвлетов при анализе нелинейной динамики механических структур.

Анализ распространения волн в анизотропных многослойных пластинках был рассмотрен в [83], в [84] для исследования роторной системы, испытывающей вибрации, используются материнские вейвлеты Ньюлэнда. Работа Wongand Chen [85] посвящена применению вейвлета Морле для анализа механической системы, когда частота колебаний гармонических растет во времени. В последнее время появились работы по использованию вейвлетов совместно с нейронными сетямитак, в работе Gholizadeh S. [86] рассмотрена оптимизация конструкции с частотными ограничениями при помощи генетического алгоритма с применением нейронной сети вейвлетной радиальной базисной функции. Коэффициенты вейвлета Лапласа используются в качестве входного вектора для искусственной нейронной сети для анализа динамики в подшипниках качения [87].

Вейвлет-анализ для анализа колебаний механических систем использовался в работах научной группы В. А. Крысько [88−90]. Исследования автора по вейвлет-анализу опубликованы в [63, 64,91−93].

Вейвлеты позволили исследовать явление синхронизации для хаотических колебаний. Явление синхронизации колебаний известно достаточно давно и подробно описано в ряде книг, например [94−96].

Фазовая хаотическая синхронизация, т. е. захват фаз хаотических сигналов, при условии, что амплитуды сигналов остаются несогласованными, наблюдалась в радиотехнике, лазерной физике, медицине и других отраслях. Для получения фазы хаотического сигнала использовались различные подходы, например фаза рассматривалась как угол в полярной системе координат для траекторий хаотического аттрактора. Другим способом является использование преобразования Гильберта для сигнала. Третьим способом было использование сечения Пуанкаре. Однако все эти подходы дают результаты для достаточно простых систем. Для систем с плохо определенной фазой в работах A.A. Короновского и А. Е. Храмова [97, 98] предложено использовать непрерывное вейвлет-преобразование. Использование этого подхода позволяет определить фазу для каждого временного масштаба и проследить изменение фазовой синхронизации во времени. Для распределенных механических систем этот подход развит в работах В. А. Крысько, A.B. Крысько, И. В. Папковой, М. И. Коч, Т. В. Яковлевой и автора диссертационной работы [99−101].

Математические модели, описывающие многослойные конструкции, необходимо разделить на два класса. К первому относятся модели, в которых слои взаимодействуют между собой как одно целое и в процессе деформации конструкций не происходит разделения слоев между собой, такие конструкции принято называть спаянными. Второй класс — это пакеты балок, пластин и оболочек, соединенных через краевые условия, которые будем называть неспаянными. Чаще всего рассматриваются модели первого класса. Обзоры публикаций по исследованию многослойных конструкций, как спаянных, так и неспаянных в виде балок и пластинок, можно найти в статьях Б. Я. Кантора, M.L. Wilkins [102−104]. В статье П. С. Ланда [105] исследовано одно из практических приложений данной теории, имеющее междисциплинарный аспектмоделирование голосовых связок в горле, которые представлены в виде двух пластинчатых конструкций, соединенных пружинами со стенками трубы. Исследование установило, что под действием потока воздуха происходят хаотические колебания прикрепленных пластин. Достаточное число задач, в которых рассмотрено контактное взаимодействие стержней, приведено в книге.

P. Wriggers [106], где имеется достаточно полный библиографический материал по контактному взаимодействию различных конструкций.

Исследования нелинейной динамики спаянных и неспаянных конструкций освещены в работах Sogabe Yuji [107], Ray К. [108], а также в работах В. А. Крысько, A.B. Крысько И. В. Папковой, М. И. Коч, B.C. Солдатова и автора диссертационной работы [109−112].

Целью диссертационной работы является построение нового метода решения нелинейных, дифференциальных уравнений в частных производных, сочетающего в себе понижение порядка дифференциального оператора и его линеаризацию, создание программных комплексов на основе этого метода, а также математическое и компьютерное моделирование нелинейной динамики распределенных механических конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности и контактного взаимодействия.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

• Анализ и оценка применимости известных методов линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

• Разработка теоретических положений и области применимости нового метода понижения порядка и линеаризации дифференциальных уравнений.

• Развитие итерационных вычислительных схем численного решения нелинейных многомерных уравнений статики и динамики.

• Построение на основе созданных итерационных методов и алгоритмов комплексов программ для проведения численного исследования математических моделей нелинейной динамики механических структур в виде балок, пластин и оболочек.

• Решение на основе разработанных подходов и расчетных схем ряда задач для изучения новых явлений в нелинейной динамике механических структур в виде балок, пластин и оболочек.

Научная новизна положений, выносимых на защиту.

1. Предложен и обоснован новый эффективный итерационный метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на сведении исходного уравнения к уравнению типа Пуассона на каждом шаге итерационной процедуры. Доказана сходимость предложенных итерационных процедур.

2. На основе предложенного метода разработаны алгоритмы и комплексы программ для различных типов граничных условий и вида областей. Использование предложенного метода позволило ускорить получение численного решения, уменьшить машинную погрешность.

3. Предложена итерационная процедура сведения бигармонического уравнения к уравнению типа Пуассона для областей с криволинейной границей, позволяющая разрешить парадокс Сапонджяна. Доказана сходимость предложенной итерационной процедуры.

4. Построены алгоритмы и разработаны комплексы программ для численного исследования нелинейной динамики балок, математические модели которых построены на основе гипотез Бернулли-Эйлера, С. П. Тимошенко, Шереметьева — Пелеха. Комплексы программ имеют адаптацию к различным видам нелинейности: геометрической, физической и конструктивной. Для программ получены охранные свидетельства.

5. Разработан универсальный программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет-спектров (с различными материнскими вейвлетами), сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модального портретов. Для программ получены охранные свидетельства.

7. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические для трех типов математических моделей балок и пластин. Проведены анализ и обобщение сценариев.

8. С помощью вейвлет-анализа впервые изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки, а также замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузки.

9. На основании эвристического анализа спектра мощности, показателей Ляпунова, автокорреляционной функции построены 56 карт режимов колебаний балок для трех математических моделей, различных типов граничных условий, материалов балки и типов нагрузки, что позволило создать схему диагностики режимов колебаний. Исследовано влияние относительной толщины балки X = а/к на результаты решения задач статики и динамики.

10. Исследовано динамическое поведение многослойных балок на основе гипотез Бернулли — Эйлера, С. П. Тимошенко, Шереметьева — Пелеха, а также пакетов балок, соединенных между собой только через краевые условия, с учетом трех типов нелинейности. Получены новые эффекты: а) эффект фазовой хаотической синхронизации как для упругого материала, так и для физически нелинейного материала балокб) явление «расслоения» пакета, когда колебания одной из балок после бифуркации происходят вокруг нового положения равновесияв) явление «полной синхронизации», т. е. фазовой синхронизации и синхронизации сигналов.

Методы исследования.

Используются общая методология математического моделирования, математический аппарат начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, методы нелинейной динамики, математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, численный метод Рунге-Кутты 4-го порядка, методы конечных разностей, граничных и конечных элементов, теория Фурье и вейвлет — анализа.

Для создания программных комплексов на основе разработанных алгоритмов были использованы системы программирования С++ и FORTRAN.

Теоретическая и практическая значимость.

Разработанный метод решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных может быть применен при компьютерном анализе широкого класса математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для анализа пространственно-временной динамики и частотных характеристик механических распределенных структур в проектной и расчетной практике конструкторских и научно-исследовательских организаций строительного, авиа-, судои машиностроительного профилей и приборостроения.

Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе при чтении курсов: «Методы линеаризации, понижения порядка и размерности», «Математические методы в нелинейной динамике», «Математическое моделирование динамических систем», «Проблемы хаоса и нелинейности. Синхронизация колебаний» для специальности «Прикладная математика и информатика», а также для других специальностей Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А. С использованием полученных результатов издано учебное пособие «Математические модели и методы исследований сложных колебаний неклассических распределенных механических систем».

Методы и программы были внедрены и использованы для проектирования некоторых систем дугогасительных камер в ОАО «Контакт», г. Саратов.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры «Математика и моделирование» — «Математическое моделирование нелинейных колебаний распределенных систем». Исследования проводились при финансовой поддержке Грантов Министерства образования РФ в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы на 2009;2011 годы», Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 10−08−91 153, № 10−08−91 332, № 1208−569), федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 годы, финансируемых за счет средств федерального бюджета, выделяемых по направлению расходов «НИОКР», мероприятию 1.2.1 «Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук» (контракт № П321).

Достоверность результатов, представленных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью применения математического аппарата, доказательством теорем сходимости решения по предложенным методам и алгоритмам, непротиворечивостью фундаментальным положениям методологии анализа нелинейной динамики распределенных механических систем, сравнением с признанными зарубежными и отечественными аналогами в области анализа, практическим использованием материалов диссертации и разработанных программных комплексов. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских (из списка ВАК РФ) и зарубежных журналах и прошли рецензирование.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 11 международных и 22 всероссийских конференциях, симпозиумах и съездах:

9, 10, 11 Conference on Dynamical Systems: Analytical, Numerical Methods, Stability, Bifurcation and Chaos (Lodz, Poland, 2007, 2009, 2011);

IV Международной конференции по механике неоднородных структур (Тернополь, Украина, 1995);

1-й Международной научно-практической конференции.

Дифференциальные уравнения и применения" (Санкт-Петербург, 1996);

XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997);

8, 9, 11, 12 межвузовских и 1, 2, 3, 4, 7 всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998;2011);

VIII, IX, X Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (2001,2006, 2011);

Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ — 2007» (Санкт-Петербург, 2007);

Международном семинаре «Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек» (Казань, 2008);

International Conference «Chaotic modeling and Simulation» — CHAOS 2009 (Technical University of Creet, Chania, Greece, 2009);

9th SSTA Conference «Shell Structures: Theory and Applications» (Gdansk-Jurata, Poland, 2009);

2 Международной конференции «Проблемы нелинейной динамики деформируемого твердого тела» (Казань, 2009);

VIII Международной научной конференции «Математические проблемы механики неоднородных структур» (Украина, Львов, 2010).

В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РСФСР, д.т.н., профессора В. А. Крысько (Саратов, 2012) — на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В. Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации.

Результаты диссертационного исследования опубликованы в 45 печатных работах, из них 1 глава в монографии в издательстве Springer, 20 статей в ведущих иностранных журналах и входящих в Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК РФ, 10 авторских свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ, а также 1 учебное пособие.

Личный вклад.

Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. Во всех совместных исследованиях автор принимал участие в выборе направления исследования и формулировке задач. Автору диссертации принадлежит ведущая роль в реализации численных методов и алгоритмов, проведении численных экспериментов и трактовке полученных результатов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

1. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для различных типов граничных условий и вида областей, позволяющий ускорить получение решения, уменьшить вычислительную ошибку, решить парадокс Сапонджяна и упростить использование методов конечных и граничных элементов для сложных нелинейных задач.

2. Доказательство сходимости предложенных итерационных процедур.

3. Алгоритмы и комплекс программ для решения задач нелинейной динамики математических моделей балок на основе гипотез Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха — Шереметьева с учетом трех типов нелинейности (геометрической, физической и конструктивной), а также алгоритмы и комплексы программ для анализа результатов на основе спектра Фурье, вейвлет-спектра, автокорреляционной функции, фазового и модального портретов.

4. Для различных математических моделей однослойных и многослойных балок впервые получен эффект динамической потери устойчивости при действии поперечной знакопеременной нагрузки. Для многослойных пакетов, связанных через краевые условия, это явление характеризуется «расслоением», т. е. балки перестают воздействовать друг на друга.

5. Построенные и проанализированные 56 карт характеров колебаний для трех математических моделей, ряда граничных условий, типов материала и видов нагрузки дают возможность построить схему диагностики режимов колебаний с возможностью предсказания последствий работы балочных структур. Для построения одной карты решено 9−104 задач и проведено исследование полученных данных с помощью методов нелинейной динамики.

6. Проведенный анализ сценариев перехода к хаотическим колебаниям для трех математических моделей балок позволил найти наиболее общий сценарий, заключающийся в формировании вокруг независимой частоты (или частоты бифуркации удвоения) парных частот, приводящих к зашумлению спектра и появлению хаотических колебаний.

7. Исследования фазовой хаотической синхронизации показали, что зоны синхронизации увеличиваются при смене граничных условий для одной из балок.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 155 наименований. Общий объем диссертации 335 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков, 17 таблиц.

Выводы по главе.

1. Построены математические модели нелинейной динамики цилиндрических панелей, цилиндрических оболочек и пластин с криволинейной границей. Использовалась гипотеза Кирхгофа — Лява.

2. Для цилиндрических панелей с помощью Фурье и вейвлет анализа, а также анализа старшего показателя Ляпунова проведено исследование влияния на динамические характеристики числа членов ряда, используемых в методе Бубнова. Для одночленного приближения построены сценарии перехода в хаос. Получен классический сценарий Фейгенбаума для различных комбинаций поперечной знакопеременной нагрузки с продольных усилий. Получено новое явление — окно периодичности в вейвлет спектре во времени.

3. Для цилиндрических оболочек с помощью вейвлет-анализа изучена динамическая потеря устойчивости при действии знакопеременной поперечной нагрузки, что позволило качественно подойти к процессу исследования колебаний системы и выяснить характер колебаний в зонах до и после потери устойчивости динамической системы. *.

4. С помощью метода установления изучены процессы сходимости динамических задач к статическим.

5. Построен сценарий перехода в хаос для пластинки со сложным очертанием границы под действием локальной поперечной знакопеременной нагрузки.

6. Создан комплекс программ для исследования нелинейной динамики цилиндрических панелей и оболочек, на который получен охранный документ.

317 Заключение.

1. Предложен метод линеаризации и понижения порядка нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Доказаны теоремы сходимости. На основе предложенного метода создан комплекс программ с использованием методов вариационных итераций, конечных разностей, конечных и граничных элементов, для разных типов граничных условий и видов областей.

2. Созданы алгоритмы и комплексы программ для исследования балок математических моделей на основе гипотез Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха — Шереметьева, в которых учитываются три типа нелинейности (геометрическая, физическая и конструктивная).

3. Создан программный комплекс для численного исследования и графического представления результатов на основе спектра Фурье, вейвлет-спектров с различными материнскими вейвлетами, сечения Пуанкаре, показателей Ляпунова и автокорреляционной функции, фазового и модельного портретов.

4. Получены как классические, так и модифицированные сценарии перехода к хаотическим колебаниям. Проведен анализ и выявлен наиболее общий сценарий.

5. Исследовано влияние относительной толщины балки Л = а/И на результаты решения задач статики и динамики. Выявлено, что увеличение параметра приводит к сходимости результатов для моделей, построенных на основе гипотез Бернулли — Эйлера, С. П. Тимошенко, Шереметьева — Пелеха.

6. Изучено явление потери устойчивости балок и пластин при действии поперечной знакопеременной нагрузки и замкнутых цилиндрических оболочек при действии радиальной знакопеременной и полосовой знакопеременной нагрузок.

7. Исследовано явление синхронизации колебаний для математических моделей контактных задач для пакетов, состоящих из двух и трех балок. I 1.

Список сокращений и условных обозначений, а — длина структуры высота структуры.

— прогиб структуры и (х, — перемещение срединной поверхности вдоль оси ОХ Р{х, у, Г) — функция усилия ух{х,() — поперечный сдвиг 8 — коэффициенты затухания для прогиба Я = я (х>У>0 — поперечная нагрузка Е — модуль Юнга — ускорение свободного падения Р — плотность материала у — объемный вес материала балки т, а ~ коэффициент линейного температурного расширения в — разность температур у — коэффициент Пуассона 12ЕНЗ 12(1-~ ЦилиндРическая жесткость р — частота вынуждающей силы.

Яо — амплитуда вынуждающей силы и к — зазор между слоями кх, кукривизны оболочки р, (0-фаза сигнала.

— обозначение поперечной силы 6,3 — модуль сдвига.

Для Главы 5:

И/ — толщина балки толщина балки в центре ^(х,/) — прогиб балок и1 (х, /) — перемещения в срединной линии Е1 — модуль Юнга материала балок G0^ - модуль сдвига р1 — удельная плотность материала У1 — коэффициент Пуассона еп — интенсивность деформаций <7п — интенсивность напряжений ез1 — интенсивность деформаций текучести <7з1 — интенсивность напряжений текучести К1 (х, г) — объемный модуль упругости ?01 — объемная деформация у1 — коэффициент поперечной деформации.