Диофантовы приближения некоторых логарифмов

1.1 Идея симметризованного интеграла Показателем иррациональности или мерой иррациональности /^(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань множества чисел Л, для которых, начиная с некоторого положительного q > 50(A), выполняется неравенство 7 — - > q'^. Р е Z, g G N. Аналогичным образом может быть определена оценка снизу для приближения числа 7 квадратичными иррациональностями. В этом случае указанное выше неравенство примет вид 7 > РА P3Vd + P4. гдеpi, р2, Рз, Р4 е Z, {РЗ, РА) ф (0,0), Р = max (|pi|, |:р2|, |Рз|, Ь4|), Р>Ро (А), deN, Vd^n.Цель данной работы — получить новые оценки снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррациональностями.1.1 Идея симметризованного интеграла 5 Современное состояние теории дпофантовых приближений в топ части, которая имеет отношение к данному исследованию, определяется работами Ф. Аморозо [23] ц К. Виола [37], К. Ваананена, А. Хеймонена и Т. Матала-ахо [30]-[31], К. By [39], Л. В. Данилова [2], Д. Рина [34]-[35], Е. Л. Рух-адзе [9], М. Хата [27]-[29], М. Хуттнера (32]-[33], Г. В. Чудновского [25]-[26] и других. В работах этих авторов рассматривались интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычислялась асимптотика интегралов и коэффициентов линейных форм с помош, ью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивался знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем «сокращения простых чисел». Заметим, что обзор некоторых конструкций из теории дпофантовых приближений логарифмов рациональных чисел представлен в статье В. В. Зудилипа [5]. В настоящей работе применяются те же асимптотические методы и основные идеи метода Чудновского-Рухадзе-Хата «сокращения простых чисел», в основе которых в данном случае лежит использованпе свойств гппер-геометрической функции Гаусса. Улучшение результатов связано с применением новой конструкции интеграла, а именно, со свойством симметрии, которым обладает подынтегральная функция. Впервые подобный интеграл был рассмотрен В. X. Салиховым в [10] при получении наилучшей на данный момент оценки меры иррациональности числа log3, а затем и числа 7 Г (см. [11]). Следует отметить, что использование комплексного симметризованного интеграла Е. Б. Томашевской также привело к улучшению ряда оценок (см. [16] - [18]). Интересная конструкция симметризованного интеграла представлена в работе К. Виола и В. В. Зудилина [38]. Напомним, что [1, формула (16), с. 110] Таким образом, интеграл (1,1) может быть представлен через гипергеометрическую функцию с полуцелымп параметрами. Все рассматриваемые далее числа являются значениями этой функции. Следуюпдий интеграл 1{а, 6, с, dи, wа, /5,7) где а, 6, с, d G N, о-, /3, 7) '^ j '^ € М, представляет собой модификацию интеграла (1.1). Его подынтегральная функция также является симметри-зовапной.Интегралы (1.1) и (1.6) представимы в виде линейных форм от 1 и log?/ (г/ G R, ?/ > О, г/ 7^ 1), обладающих «хорошими» арифметическими свойствами. Получение всех результатов данной работы связано с использованием этих интегралов. Следует отметить, что одной из классических областей теории трансцендентных чисел является более общая, чем в настоящей работе, задача получения оценок снизу линейных форм от произвольного числа логарифмов алгебраических чисел с алгебраическими коэффициентами (обзор состояния данной проблемы до 1980 г. можно найти, например, в монографии Н. И. Фельдмана [20], а современное состояние в диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Е. М. Матвеева [6], см. также его работы [7] - [8]). Оценки, полученные.

1. Бейтмсн Г., Эрдсйи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Изд-во «Наука», 1973. 296 с.

2. Данилов Л. В. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках // Математические заметки. 1978. Том 24. № 4. С. 449−458.

3. Дубицкас А. К. Приближения логарифмов некоторых чисел // Ди-офантовы приближения. 4.2. М.: Изд-во Московского университета, 1986. С. 23−34.

4. Злобин С. А. Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Московский Государственный Университет Им. М. В. Ломоносова, 2005. 135 с.

5. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности 7 г и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Том 5. № 2. С. 49−65.

6. Матвеев Е. М. Диофантовы приближения в логарифмических пространствах. Диссертация на соискание ученой степени докторафизико-математических наук. Московский государственный текстильный университет им. А. Н. Косыгина, 2003. 220 с.

7. Матвеев Е. М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел // Известия РАН. Сер. матем. 1998. Том 62. № 4. С. 81−136.

8. Матвеев Е. М. Явная нижняя оценка однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел. II // Известия РАН. Сер. матем. 2000. Том 64. № 6. С. 125−180.

9. Рухадзе Е. А. Оценка снизу приближения In 2 рациональными числами // Вестник Московского университета. Сер.1, Математика, механика. 1987. № 6. С. 25−29.

10. Салихов В. X. О мере иррациональности In 3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417. № 6. С. 753−755.И. Салихов В. X. О мере иррациональности числа тг // Успехи математических наук. 2008. Том 63. № 3. С. 163−164.

11. Салихов В. X., Сальникова Е. С. Диофантовы приближения логарифма «золотого сечения» // Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 1. С. 111−119.

12. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. № 3. С. 428−438.

13. Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8. N2 2. С. 88−96.

14. Сальникова Е. С. Оценка снизу приближения log 2 квадратичными иррациональностями // Вестник Брянского государственного технического университета. 2007. № 2. С. 109−114.

15. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях числа 7 Г числами из поля Q (.

16. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа log5 + f и некоторых других чисел // Чебышевский сборник. 2007. Том 8. № 2. С. 97−108..

17. Томашевская Е. Б. Совместное приближение log 2 и arctgy // Вестник Брянского государственного технического университета. 2006. № 4. С. 126−130..

18. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Изд-во «Наука», 1977. 368 с..

19. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во МГУ, 1982. 312 с..

20. Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Том 11. № 6. С. 619 625..

21. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Том 4. № 2. С. 725−732..

22. Amoroso F., Viola С. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scuola normale superiore (Pisa). 2001. Vol. XXX. P. 225 249..

23. Bundschuh Р. Zur Approximation gewisser p-adischer algebraischer Zahlen durch rationalen Zahlen // J. Reine Angew. Math. 1974. Vol. 265. P. 154 159..

24. Chudnovsky G. V. Hermite-Pade approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of 7 г // Lecture Notes in Mathematics. 1982. Vol. 925. P. 299−322..

25. Chudnovsky G. V. On the method of Thue-Siegel // Ann. of Math. 1983. Vol. 117. № 2. P. 325−382..

26. Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. 1992. Vol. LX. P. 335−347..

27. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures // J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407. № 1. P. 99−125..

28. Hata M. Rational approximations to 7 Г and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. 63. № 4. P. 335−349..

29. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen К. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183−202..

30. Heimonen A., Matala-aho Т., Vaananen К. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50. № 2. P. 225−243..

31. Huttner M. Irrationalite de certaines integrales hypergeometriques // J. Number Theory. 1987. Vol. 26. P. 166−178..

32. Huttner M. On linear independence measures of some abelian integrals // Kyushu J. Math. 2003. Vol. 57. № 1. P. 129−157..

33. Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d’irrationalite // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155−164..

34. Rhin G. Sur l’approximation diophantienne simultanee de deux lagarithmes de nombres rationnels // Progr. in Math. 1983. Vol. 31. P. 247 258..

35. Rhin G., Viola C. On a permutation group related to ?(2) // Acta Arith. 1996. Vol. 77. № 1. P. 23−56..

36. Viola C. Hypergeometric functions and irrationality measures // Analitic number theory (Kyoto). 1996. London Math. «Soc. Lecture Note Ser. 247, Cambrige Univ. Press. Cambrige (1997). P. 353−360..

37. Viola C., Zudilin W. Hypergeometric transformations of linear forms in one logarithm // Funct. Approx. Comment. Math. 2008. Vol. 39. № 2. P. 211−222..

38. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72. № 242. P. 901−911..