Алгоритмы поиска колебаний в динамических системах с использованием процедур гармонической линеаризации

Нелинейные колебания являются основой современной радиотехники, импульсные колебания тактовых генераторов — основой компьютерной и телекоммуникационной техники. Нелинейные колебания в системах управления часто приводят к выходу из строя таких систем. Поэтому задача локализации и вычисления таких колебаний является актуальной.

Основное внимание в настоящей работе уделено скрытым колебаниям, т. е. колебаниям, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей стационарных состояний.

Разработанный в диссертации аналитико-численный метод позволяет эффективно локализовывать и вычислять периодические и хаотические колебания нелинейных систем, которые являются скрытыми. Основное внимание в диссертации будет уделено именно скрытым хаотическим колебаниям.

Рассматриваемые в данной работе алгоритмы поиска решений основываются в первую очередь наметоде гармонической линеаризации. Метод гармонической линеаризации (метод описывающих функций), см. например [Крылов & Боголюбов, 1934, Крылов & Боголюбов, 1937, Айзерман, 1958, Попов & Пальтов, 1960, Розенвассер, 1969, Гольдфарб, Александровский & Балтрушевич, 1972, Сю к Мейер, 1972, Бесекерский & Попов, 1975, Попов, 1979,

Первозвапский, 1986, КЬаШ, 2002], является широко распространенным приближенным методом поиска близких к гармоническим периодических колебаний нелинейных динамических систем. За счет своей простоты метод гармонического баланса пользуется популярностью в инженерной практике, см. например [Попов, 1959, Попов &- Пальтов, 1960, Бесекерский к Попов, 1975, Попов, 1979, Khalil, 2002].

Поскольку метод гармонического баланса является приближенным методов поиска близких к гармоническим периодических колебаний (он дает нам приближенное значение «возможных» частоты и амплитуды на выходе линейной части системы), уместно привести оценки его погрешности и попытаться устранить недостатки, см. например [Глатенок, 1957, Попов, 1957, Гарбер, 1963, Розенвассер, 1964, Гарбер к, Розенвассер, 1965, Розенвассер, 1969, Khalil, 2002], его применимости, см. например [Попов, 1954, Айзерман к Смирнова, 1954, Попов, 1956, Розенвассер, 1963, Рябов, 1963], а также провести его математическое обоснование, см. например [Айзерман к Смирнова, 1955, Попов, 1956, Бэсс, 1961, Загиров, 1962, Bergen к Franks, 1971]. Такие попытки приведены в ряде известных работ. Строгому обоснованию метода гармонического баланса для разрывных систем посвящена работа [Macki, Nistri к Zecca, 1990].

Известно, что метод гармонической линеаризации может давать неверные результаты, например при наличии в периодических режимах нескольких близких по величине гармоник [Розенвассер, 1963]. Неверные результаты для релейных систем приведены в [Цыпкин, 1955]. Для гладких систем напомним гипотезу Айзермана, [Айзерман, 1949]. В книге [Айзерман к Гантмахер, 1963] показано, что с точки зрения классического метода гармонической линеаризации эта гипотеза справедлива. Однако в работах [Плисс, 1958, Leonov, Burkin к Shepelyavy, 1996, Leonov, Poriomarenko к Sminiova, 1996] выделены классы нелинейных систем, где гипотеза Айзермана, неверна. Таким образом, для этих классов гладких нелинейных систем стандартный метод гармонической линеаризации даст неверные результаты.

В связи с этим в течение многих лет делались попытки найти классы систем, где метод гармонической линеаризации (и различные его обобщения) оказывался точным и давал верные результаты. Одними из первых в этом направлении были работы [Булгаков, 1943, Булгаков, 1954], где применялся вариант классического метода малого параметра.

В дальнейшем это направление подверглось серьезной критике. Ее основанием являлось то, что «эти методы малого параметра опираются на предположение о том, что исходная система мало отличается от линейной системы, обладающей собственной порождающей частотой. В теории автоматического регулирования подобные предположения не могут быть сделаны, так как система заведомо не консервативна и условия устойчивости в линейном приближении выполняются с достаточным запасом» [Айзерман, 1953].

С учетом этой критики стали разрабатываться другие методы введения малого параметра и обоснования метода гармонической линеаризации, основанные на гипотезе фильтра [Попов, 1955, Попов, 1962, Гарбер к Розенвассер, 1965, Bergen к Franks, 1971, Браверман, Меерков к Пятницкий, 1975, Mees к Bergen, 1975].

Развитие численных методов, вычислительной техники и прикладной теории бифуркаций позволяют вернуться к ранним идеям по применению метода малого параметра и процедуры гармонической линеаризации в динамических системах и рассматривать их с новых позиций.

С точки зрения современных компьютерных вычислений не представляет труда вычисление асимптотически устойчивого периодического решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным данным, находящимся в области притяжения этого асимптотически устойчивого периодического решения. То есть из начальной точки, находящейся в области притяжения искомого решения, после переходного режима вычислительная процедура выходит на периодический режим и вычисляет его.

Совместное применение процедуры гармонической линеаризации, классического метода малого параметра и численных методов позволяет сделать вычисление периодических режимов некоторой многошаговой процедурой, где на первом шаге и применяется метод гармонической линеаризации.

Аналитико-числепный метод поиска периодических решений, включающий в себя процедуру гармонической линеаризации, метод малого параметра и численные методы, впервые был предложен Г. А. Леоновым для автономных нелинейных систем со скалярной нелинейностью [Леонов, 2009, Леонов, 2010]. Этот метод дает более точные результаты по сравнению с классическим методов гармонического баланса. В настоящей работе этот метод обоснован для многомерных динамических систем систем с векторной нелинейностью [Леонов, Вагайцев к Кузнецов, 2010]. Стоит отметить, что благодаря развитию вычислительной техники и математического программного обеспечения реализация данного метода не представляет большой сложности. Численный метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений и их систем на сегодняшний день реализован во всех известных математических пакетах (Matlab, Maple, Mathematica).

В первой главе подробно описан и обоснован многошаговый аналитико-численный метод поиска колебаний в многомерных автономных нелинейных динамических системах с непрерывной векторной нелинейностью. Приведены основные положения метода, базовые оценки, доказаны основные теоремы.

Во второй главе разработанный алгоритм поиска колебаний применен для численной локализации скрытых аттракторов системы Чуа. Исследованию поведения цепей Чуа посвящено множество работ, см. например [Matsumoto, 1984, Chua, Komuro к Matsumoto, 1986, Broucke, 1987, Chua к Lin, 1990, Chua, 1992, Chua, 1992a, Chua к Huynh, 1992, Chua, 1993, Chua и др., 1993, Chua, 1995, Chua, Pivka к Wu, 1995, Altman, 1993, Madan, 1993, Zhong, 1994, Huang и др., 1996, Lakshmanan к Murali, 1996, Кузнецов, 2001, Lakshmanan к Rajasekar, 2003, Barboza к Chua, 2008, Mital, Kumar к Prasad, 2008, Bilotta к Pantano, 2008,

Fortuna, Frasca к Xibilia, 2009]. В диссертации рассмотрены три типа систем: классическая система Чуа с пятью линейными элементами и две ее модификации — обобщенная система Чуа, см. например, [Леонов, Вагайцев к Кузнецов, 2010, Вагайцев, Кузнецов к Леонов, 2010] и модифицированная система

Чуа с векторной нелинейностью. Для всех трех типов систем приведены примеры численной локализации скрытых аттракторов. Впервые обнаружены скрытые колебания в классической системе Чуа, которые не устанавливаются после переходного процесса из окрестностей состояний равновесия системы.

В настоящее время численная локализация аттракторов становится все более актуальной в связи с развитием областей применения прикладного хаоса. В работах [Tonelli, Chua к Meloni, 2002, Tonelli к Meloni, 2002] установлена зависимость между бифуркационными параметрами цепи Чуа и энергетическими уровнями атомов химических элементов. Генераторы хаотических колебаний могут применяться в телекоммуникации и передаче информации, см. например [Kennedy, Rovatti к Setti, 2000, Кузнецов, 2001, Lau к Tse, 2003, Stavroulakis, 2005, Larson, Tsimring к Liu, 2006, Tarn, Lau к Tse, 2007, Feng к Tse, 2008]. В настоящее время предложен целый ряд схем, обеспечивающий связь на хаотических сигналах. Коммуникационные возможности хаотических колебаний отражены в работах [Hayes, Grebogi к Ott, 1993, Koh к Ushio, 1997, Hasler к Vandewalle, 1999, Grassi к Mascolo, 1999, Tang, Man к Chen, 2001].