Перестановки во множестве натуральных чисел и их применение к изучению рядов в банаховых пространствах

Во многих областях математики используются ряды — числовые, векторные, функциональные. В основном ряды используются как инструмент приближения одних объектов другими — более простыми. Именно поэтому исследование свойств самих рядов является важным разделом математики. Истоком темы, которой посвящена данная работа, является классическая теорема Римана: условно сходящийся числовой ряд можно переставить так, что он будет сходиться к любому наперед заданному числу, а также к = оо или к — оо. Если понимать оо под областью сумм ряда? хк элементов пространства Е множество к= 1 оо тех х Е Е, что при некоторой перестановке п ряд? Хк сходится к=1 к х (это определение ввел М. И. Кадец в [5], используется также термин «множество сумм» '[7],[8],[16]), то теорема Римана формулируется так: область сумм числового условно сходящегося ряда есть множество действительных чисел.

Естественным образом возникает вопрос: что можно сказать об области сумм условно сходящегося векторного ряда или ряда, составленного из функций? Первый результат, относящийся к векторным рядам, а именно, к рядам комплексных чисел, получил П. Леви в 1905 г. [21]. Для рядов в произвольном конечномерном пространстве на этот вопрос ответил Е. Штейниц в 1913 г. 25]. Теорема Штейница оо гласит: область сумм ряда? Хк в га — мерном пространстве Е есть к=1 оо подпространство я + Го, где в =? Го — аннулятор множества к= 1.

ОО.

Г={/ЕЯ*:? 1/Ы1 сходится.}.

С— 1.

Однако в бесконечномерном нормированном пространстве аналог теоремы Штейница не верен. Область сумм ряда в данном случае может быть незамкнутым множеством (М.И.Островский,[13]), не иметь линейной структуры (И.Марцинкевич, П.А.Корнилов[9]), а то и вовсе состоять из нескольких точек (М.И.Кадец, К. Возняковский[20], П.А.Корнилов[8]). Причем такие ряды существуют в каждом банаховом пространстве. Налицо принципиальное отличие структуры области сумм ряда в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Эта ситуация стала объектом исследований большого числа математиков. В существующих работах по данному вопросу можно выделить два основных связанных друг с другом направления исследований.

Первое заключается в нахождении условий, достаточных для того, чтобы область сумм ряда в бесконечномерном пространстве совпадала с подпространством з + Го. Этой теме посвящены работы М.И.Кадеца[5], С. Троянского [15], Е. М. Никишина [11],[12], Д. В. Печерского [14], С. А. Чобаняна [16], М.И.Островского[13], И. Ба-рани[1] и других авторов. Классическим здесь является результат М. И. Кадеца (1954 г.,[5]) для пространств Ьр1 р > 1: условие оо ¦

Е 1ЫГП{2*} < оо к=1 оо является достаточным для того, чтобы область сумм ряда Е Хк со.

•=1 впадала со множеством я + ГоЭтот результат С. Троянский (1967 г.,[15]) обобщил на равномерно гладкие банаховы пространства как оо р (1ы1)<�оо к=1 рмодуль гладкости пространства). Работу С. А. Чобаняна [16](1984 г.) можно считать обобщением результата С. Троянского на случай произвольного банахова пространства.

Другое направление — построение рядов, области сумм которых не совпадают с подпространством з+Го и исследование известных достаточных условий совпадения в связи с этими рядами. Среди таких результатов выделяются работы П.А.Корнилова[6]-[9], М.И.Кадеца[20], В.М.Кадеца[4], М.И.Островского[13]. Наиболее интересные результаты данных исследований были перечислены ранее.

Самый полный обзор исследований по обоим направлениям содержится в монографии В. М. Кадеца и М. И. Кадеца «Перестановки рядов в пространствах Банаха» [3].

Возможны и другие подходы к представленной проблеме. Один из них, практически не встречающийся в отечественной литературе, связан с изучением свойств перестановок (биекций множества натуральных чисел на себя) в связи с тем, как они действуют на ряды. Под действием перестановки на ряд естественно понимать ряд, полученный из исходного данной перестановкой его членов: если тт: N —" Лг оо перестановка,? — исходный ряд, то после действия перестановки к=1 оо.

7 г получается ряд Е хж (к) — В связи с этим возникают понятия: перек=1 У ' становка 7 г меняет сумму в пространстве Е и меняет сходимость в пространстве Е (существует сходящийся ряд в пространстве Е, который после перестановки тг сходится к другому элементу или, соответственно, расходится).

Перестановки, меняющие сумму или сходимость, исследуют 11.¥-ь Ыа [26], [27], Р.А.В.РЬгиза^ [23], Р. БсЬаеГег [24], Е.Н.Ло1п^оп[18],[19] и другие авторы. Так, еще в 1955 г. R.P.Agnew [17] получил критерий для перестановок, сохраняющих сходимость числовых рядов, а в 1981 г. Р. БсЬаеГег доказал, что этот критерий справедлив в любом банаховом пространстве ([24]). Таким образом оказалось, что свойство перестановки менять сходимость не зависит от 'пространства. Аналогичная теорема представлена в нашей работе с доказательством, так как была получена независимо и другим способом. К последним развернутым работам, освещающим перестановки, меняющие сумму и сходимость, можно отнести статьи (например, [27], 1995 г., имеет большую библиографию). Однако эти исследования ушли далеко в сторону от рассматриваемой проблемы.

Мы предлагаем пойти дальше в исследовании перестановок в связи с их действием на ряды. А именно, в монографии [3] приведен следующий пример.

Пусть 7 Г — такая перестановка, что 7 г (1, 5к) = к для четных к, а для нечетных к < ^ выполнено 7 г (к) < Пусть а (2,Ьк) — к для четных к и, а (к) < если к < ] - нечетные. Тогда из сходимости оо оо числовых рядов? хк К нулю и? %х (к) к числу х слсдует, что ряд к=1 к=1 У '.

00 ХаОе) также сходится, причем к числу 2х. А= 1 ^ ;

В связи с этим примером естественно появляется определение. Пусть 7 Г, о — перестановки, а? Я. Определим множество перестановок, а — 7 г следующим образом: перестановка, а принадлежит множеству, а ¦ 7 г тогда и только тогда, когда для любого ряда в любом нормированном пространстве Е из соотношений оо оо.

Е хк = о, X! хтг (к) = х, х е Е к=1 ?=1 оо следует, что ряд? хацл сходится к ах. Будем писать при этом: а (Е к=1 а • 7 г. Данное понятие является ключевым в нашей работе.

Мы рассматриваем два класса перестановок: перестановки вида 7тм (р, д 6 Лг {1}, для каждого т Е ТУ.

ЪлЬ*171) = ят> тгм: ТУ {рт}£=1 -> ТУ {9т}£=1.

— биекция, сохраняющая порядок) и перестановки вида 7тдв (множества А, В Е ТУ, множества А, В, ТУ А, ТУ В бесконечны,.

71АВ:А^ В, пАВ: NB.

— биекции, сохраняющие порядок).

Очевидно, что перестановки вида — частный случай перестановок вида тга, вВ процитированном выше примере 7 г = 7Г3 2, о — 7².

Кроме этого, мы рассматриваем некоторые пространства, элементами которых являются ряды из банахова пространства Е. А именно, пространство сходящихся рядов (5с{Е), | • |), где к=1 множеству 5д (£1) принадлежат те последовательности (ж^)^Т], для которых ряд? Хк сходится) и к=1 пространство безусловно ограниченных рядов [Sub{E)1 ||| • |||), где.

ШЫьаШ = sup{II Е хк\Е, К С N, К конечно} кек множеству S[jb{E) принадлежат те последовательности, норма |||-||| которых конечна).

Естественные подпространства в пространстве Sub{E): пространство безусловно ограниченных сходящихся рядов оо.

Subc (E), III • III) = {(xk)T G SUB (E): ряд? .г, сходится}, k=l и пространство безусловно сходящихся рядов оо.

SUC (E), III • III) = {{хк)? G SUB{E): ряд? xk безусловно сходится}. k=l.

Цель данной работы — получение новых результатов о свойствах рядов в бесконечномерных нормированных пространствах посредством изучения понятия умножения перестановки на число и некоторых естественно возникающих вопросов, связанных с пространствами рядов.

Ключевые понятия работы: ряд в нормированном пространстве, тип сходимости ряда (условная, безусловная, абсолютная сходимость), область сумм ряда, перестановка, умножение перестановки на число, пространства рядов. Содержание работы.

В первой главе диссертации выделяется два класса перестановок: перестановки вида 7 ГМ и перестановки вида павВ первом разделе вводятся базовые понятия, относящиеся к сходимости рядов в бесконечномерных пространствах, приводятся некоторые известные результаты и доказываются две теоремы.

Теорема 1.1. Перестановка п меняет сумму (меняет сходимость) в нормированном пространстве Е тогда и только тогда, когда тт меняет сумму (меняет сходимость) в R.

Теорема 1.2. Если p, q G N {1}, р ф q, то перестановка ттрл меняет сумму.

Во втором разделе доказываются две теоремы об умножении перестановок вида ттав'- на —1 и на натуральные числа. Из этих теорем легко следует.

Теорема 1.5. Пусть А, В — бесконечные подмножества натурального ряда с бесконечными дополнениями, М — целое число. Тогда множество М-ттав не пусто и существует бесконечное множество С с N с бесконечным дополнением такое, что пев? М • ттав-Следствие 1.2 из теоремы 1.5 гарантирует неограниченность области сумм ряда, если его сумма меняется под действием некоторой перестановки вида ттавВ конце первой главы приводится пример построения перестановки, а е -1 ¦ пав Для, А — {2Ш}^=1, В — {2т}≅1 и предложение, обобщающее результат, полученный в этом примере.

Вторая глава посвящена вопросу умножения перестановок рассматриваемых видов на нецелые числа. Вначале для перестановки 7Гз-2 доказывается посредством леммы 2.1.

Теорема 2.1. Перестановка 7Г3 2 не допускает умножения на число.

Первый раздел второй главы завершается следствием, утверждающим тоже самое для перестановки 7Г2, з.

Второй раздел переносит утверждение теоремы 2.1 на все перестановки вида 7 гм. С помощью классического примера МарцинкевичаКорнилова ([9]) доказывается.

Теорема 2.4. При любых р^ 6 Ж {1}(р ф д) перестановка прл не допускает умножения на нецелые числа.

Теорема 2.4 включает в себя утверждение теоремы 2.1, но ее доказательство проведено не напрямую, а через пространство ^2(0,1). Теорема 2.1 доказана построением ряда, необходимого для подтверждения данного факта (для каждой перестановки о ряд свой).

Третий раздел посвящен следующему понятию. Будем говорить, что из перестановки 7 г можно выделить перестановку сг, если найдутся две возрастающие последовательности натуральных чисел (?пг) и (щ) такие, что п (щ) = для каждого г 6 N. Доказываются некоторые свойства, связывающие перестановки 7 Г и, а — теорема 2.5. Из теоремы 2.5 вытекают два утверждения, объединенные в следствие 2.2:

Следствие 2.2. ([)Пустъ А, В С N — бесконечные множества с бесконечными дополнениями. Если перестановку тт можно выделить из кав> т0 11 допускает умножение на целые числа. (11) Пусть р1с[? Р Ф ЯЕсли из перестановки л можно выделить 7 ГМ, то тт не допускает умножения на нецелые числа.

Далее в третьем разделе вводится понятие эквивалентных перестановок (определение 2.3) и рассматривается.

Пример 2.1: из перестановки ттсв, гДе оо в = {Зш}≅1, С = и {7п + 1, 7п + 4, 7п + 5} п=о можно выделить перестановку, эквивалентную 7⁷.

С помощью понятия регулярная перестановка типа тгав (определение 2.4) пример 2.1 расширяется до теоремы 2.6: если перестановка пав ~ регулярная, то существуют натуральные числа р и д такие, что из перестановки тт^в можно выделить перестановку, эквивалентную тгр^. Завершает третий раздел второй главы следствие 2.З.: если перестановка тт^в регулярна и не эквивалентна тождественной, то она не допускает умножения на нецелые числа.

В третьей главе рассматриваются пространства рядов. Заметим, что пространства Бцв{Е) и Зивс (Е) различны и отличаются от 8ис{Е) в том и только в том случае, если Е содержит с} (теорема 3.1).

Доказывается, что пространств, а Зцв{Е), 8ивс{Е), Зис{Е) являются банаховыми (предложение 3.1).

Доказывается, что безусловно сходящиеся ряды, образуют всюду плотное множество первой категории в пространстве сходящихся рядов (теорема 3.2).

Доказывается, что абсолютно сходящиеся ряды образуют всюду плотное множество первой категории в пространстве безусловно сходящихся рядов, если 'пространство Е бесконечномерно (теорема 3.3).

В случае, когда пространство Е содержит изоморфную копию с о, доказывается недополняемость пространства Бивс{Е) в пространстве 8ив{Е) (теорема ЗА), Бис{Е) в Бив{Е) (теорема 3.5) и пространства вис (Е) в пространстве Зцвс{Е) (теорема 3.6,). Последнее утверждение доказано в случае, если на, пространстве Е существует счетное тотальное семейство функционалов.

Нумерация. Номера определений, а так же теорем, предложений, лемм, следствий и примеров, которые приводятся с доказательствами и пояснениями, состоят из двух чисел. Первое означает номер главы, в которую попадает данное определение, утверждение или пример, второе — порядковый номер этого определения, утверждения данного типа или примера в данной главе. Так, предложение 2.2 — второе предложение во второй главе. Деление главы на разделы при этом не учитывается. Утверждения и примеры, взятые из литературы, не нумеруются. Нумерация формул, на которые имеются ссылки — сквозная в каждой главе.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Геннадию Васильевичу Сибирякову за постановку интересных задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

1. Барани И. Перестановки рядов в бесконечномерных пространствах // Математические заметки.-1989.-Т.46, N 6.-С.10−17.

2. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория.-М.:Изд-во иностранной литературы, 1962.-895с.

3. Кадец В. М., Кадец М. И. Перестановки рядов в пространствах Банаха.-Тарту: Изд-во Тартуского ун-та, 1988.-195 с.

4. Кадец В. М. Сколько точек может содержать область сумм ряда в банаховом пространстве? // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.-1990.-К 54.-С.54−57.

5. Кадец М. И. Об условно сходящихся рядах в пространстве Ьр // Успехи математических наук.-1954.-Т.9, N 1.-С.107−110.

6. Корнилов П. А. Об условно сходящихся рядах последовательностей и функций // Сибирский математический журнал.-1987.-Т.28, N 3.-С.140−148.

7. Корнилов П. А. О линейности множества сумм функционального ряда // Успехи математических наук.-1982.-Т.37, N 2.-С.205−206.

8. Корнилов П. А. О множестве сумм условно сходящегося ряда // Математический сборник.-1988.-137, N 1.-С.114−127.

9. Корнилов П. А. О перестановках условно сходящихся функциональных рядов // Математический сборник.-1980.-137, N 4.-С.598−616.

10. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.- Новосибирск^, во Института математики, 1995. с.

11. Никишин Е. М. О перестановках рядов в пространстве Ьр // Математические заметки.-1973.-Т. 14, N 1.-С.31−37.

12. Никишин Е. М. Перестановки функциональных рядов // Математический сборник.-1971.-85, N 2.-С.272−286.

13. Островский М. И. Области сумм условно сходящихся рядов в банаховых пространствах // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.- 1986.-Ы 46.-С.77−85.

14. Печерский Д. В. О перестановках членов в функциональных рядахДоклады АН CCCP.-1973.-T.209, N 6.-C.1285−1287.

15. Троянский С. Об условно сходящихся рядах в некоторых F-пространствах // Теория функций, функцион. анализ и их приложения.-1967.-N 5. С.102−107.

16. Чобанян С. А. Структура множества сумм условно сходящегося ряда в банаховом пространстве // Доклады АН СССР.-1984.-Т.278, N 3.-С.556−559.

17. Agnew R.P. Permutations preserving convergense of series // Proc.Amer. Math.Soc.-1955.-N6.-P.563−564.

18. Johnston E.H. Rearrangements of divergent series // Rocky Mountain Journal of Math.-Vol.13, N1.-P.143−153.

19. Johnston E.H. Rearrangements that preserve rates of divergense // Can.J.Math.-1982.-Vol.XXXIV, N4.-P.916−920.

20. Kadec M.I., Wozniakowcki K. On series whose permutations have only two sums // Bull, of the Pol. acad. of sciences math.-1989.-Vol.37, N2.-P.15−21.

21. Levi P. Sur les series semi-convergentes // Nouv.Ann. of Math.-1905.-5.-P.506−511.

22. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I.- Berlin: Springer-Verlag, 1977.-190p.

23. Pleasants P.A.B. Rearrangement that preserve convergense //J. London Math. Soc.-1977.-Vol.15, N2.-P.134−142.

24. Schaefer P. Sum-preserving rearrangements of infinite series // Amer. Math. Monthly.-1981.-N88.-P.33−40.

25. SCeinitz E. Bedingt konvergente reihen und konvexe systeme // J. reine und angew. Math.-1913.-Vol.l43.-P.128−175- Vol.144.-P.l-49- 1916.-Vol.l46.-P.68-lll.

26. Witula R. The Riemann theorem and divergent permutations // Coll. Math.-1995.-Vol.LXIX.-P. 275−287.

27. Witula R. Convergence-Preserving Functions // Nieuw Archief Voor Wiskunde.-1995.-13, N1.-P.31−35Работы автора по теме диссертации.

28. Иванова Е. Г. Перестановки рядов в нормированном пространстве// Материалы XXXIV международной научной студенческой конференции «Студент и научно технический прогресс» .-Новосибирск, 1996.-С.27.

29. Иванова Е. Г., Сибиряков Г. В. О делении перестановок лР1(1 пополам// Всесибирские чтения по математике и механике: Избранные доклады международной конференции.- Томск, 1997.-Т. 1, С.122−128.

30. Иванова Е. Г. Перестановки рядов, меняющие сумму или сходимость// Всесибирские чтения по математике и механике: Тез. докл. международной конференции.-Томск, 1997.-Т. 1, С. 94.

31. Иванова Е. Г. Пространства сходящихся векторных рядов// Материалы XXXV международной научной студенческой конференции «Студент и научно технический прогресс» .-Новосибирск, 1997.-С.39.

32. Иванова Е. Г. Дополняемость в пространствах рядов// Исследования по математическому анализу и алгебре.-Томск, 1998. С.97−102.

33. Иванова Е. Г. Пространства векторных рядов// III сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике: Тез. докл. Ч. I.- Новосибирск, 1998.-С.71.

34. Лазарева Е. Г. Умножение перестановок 7гР-д на нецелые числа невозможно// IV сибирский конгресс по индустриальной и прикладной математике: Тез. докл. Ч. I, — Новосибирск, 2000.-С.127.