Метод фредгольмова отображения в анализе двухмодовых прогибов слабо непотенциальных упругих систем

Тема диссертации связана с актуальной, но мало исследованной проблемой «многих мод», под которой подразумевается задача бифуркационного анализа упругих систем вблизи критических состояний с многомерными вырождениями (с вырождениями по нескольким модам). Акцент сделан на слабо непотенциальные системы.

Типичные упругие системы являются, как правило, консервативными и поэтому соответствующие модельные краевые задачи допускают применение вариационных методов [12], [13], [21], [52]. Но иногда приходится рассматривать упругие системы, находящиеся под воздействием неконсервативных сил [5]. В таких случаях соответствующие краевые задачи не являются вариационными и для, их исследования требуется применение «общих» методов анализа (непотенциальных) уравнений. В случас же слабо непотенциальиых систем (мало?возмущенных потенциальных) имеется возможность использования тех разработок, которые существуют в потенциальном случае.

В данной диссертационной работе рассмотрены два модельных примера слабо непотенциальных краевых задач теории упругих балок и пластин. В их исследовании использованы конструкции общей теории нелинейных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах [6], [28], [48], позволяющие осуществлять полное решение задачи о бифуркации прогибов упругих систем из критических состояний с многомерными вырождениями. Под полным решением бифуркационной задачи подразумевается: описание (локальное) топологии дискриминантных множеств (для соответствующих уравнений равновесных состояний упругих систем), описание всех допустимых наборов бифурцирующих прогибов и получение асимптотических формул для ветвей бифурцирующих прогибов.

Автор диссертации в своих исследованиях отталкивался от работ Д.В.

Костина [33], [34], в которых был предложен алгоритм вычисления формул асимптотического представления ветвей равновесных конфигураций слабо неоднородных упругих балок и пластин на упругих основаниях вблизи критических состояний с двухмодовыми вырождениями. Для соответствующих функционалов энергии ему удалось описать строение каустик (дискриминантных множеств уравнений прогибов) и проанализировать влияние характера неоднородности на формы прогибов.

Автором диссертации рассмотрен другой тип возмущения уравнений равновесий балок и пластин, связанный с нарушением потенциальности уравнений [71] и понижением симметрии [72]. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм использует элементы вычислительного алгоритма Д. В. Костина и фактически является его обобщением и развитием.

Количество «управляющих» параметров в рассмотренных здесь уравнениях больше, чем в аналогичных уравнениях, рассмотренных в рабо.

В диссертации рассмотрены примеры модельных уравнений, в которых сочетаются два типа возмущений, связанных с нарушениями однородности и потенциальности. Первый пример относится к теории упругих балок, в нем рассмотрено уравнение х € [0,7г], при локализизации параметров к — 5 -Ь, а = 4 + ?2, д = д (х) 1 + ?07(3-) (е, ^0)^1)^2 — малые параметры) при краевых условиях где гп — функция прогиба (уравнения подобного рода можно рассматривать также на произвольном отрезке [а, Ь]). Второй пример относится к теории упругих оболочек: рассмотрено обобщенное уравнение Кармана тах [30]-[34].

2) для равновесных конфигураций прямоугольной пластины.

Д (дДи>) — [ги, ф + шхх + еп) х = Дс/? + ^[ги, гу] = 0, х, уе?2а, (г"3) д = ^(ж, ?/) := 1 + 50 7(2-, у), при краевых условиях = Аги = '(р = А<�р = 0|па, = [0, а] х [0,1]. (г>4).

Через цжц) обозначены функции прогиба и напряжения пластины (длинны, а и ширины единица), Д — гармонический оператор Лапласа, [гу, <р := 'Шхх (руу + 1иууч>хх — 2 Шхуфху, А — параметр нагрузки.

Потенциальные краевые задачи теории упругих систем допускают, при соответствующих операторных трактовках уравнений, постановку в виде вариационной задачи.

У (х) —> Ы, в которой У (х) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов [3], [35], [58], заданное на банаховом пространстве Е, X — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве Ь (конечномерном или бесконечномерном). Фредгольмовость функционала означает, по определению, фредгольмовость (нулевого индекса) соответствующего ему градиентного отображения /д: Е —> Е, где Р — некоторое банахово пространство (пространство значений градиента). Градиент определяется традиционным образом — через соотношение где (•, •) — скалярное произведение, взятое из некоторого гильбертова пространства Н, содержащем Ей Е как непрерывно и плотно вложенные подпространства. Предполагается также, что Е непрерывно вложено в Е. В этом случае говорят, что функционал V обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, .Р, и используется обозначение / = дгасЬУ.

В рассмотренных примерах имеется нарушение потенциальности и соответствующее операторное уравнение приобретает следующий вид: я) := дгааУ{х) + вЧ{х) = О параметры здесь опущены).

Безусловно, «функционально-операторная оболочка» придает представленному здесь подходу универсальность и широту, выводящие разработанную методику исследований за рамки, очерченные рассмотренными примерами.

Анализ уравнения осуществлен посредством «двумерного усечения» — сведением (методом Ляпунова-Шмидта) к изучению ветвления решений ключевого уравнения на координатной плоскости.

0″, Л, в) := дгав, ТУ (£, Л) + Яе") = 0,? е М2, где А) — ключевая функция, отвечающая функционалу потенциалу исходного уравнения при в = 0. Слагаемое Н£(%) — непотенциальное отображение (возмущение).

Так как исходное уравнение нечетно и нарушение потенциальности происходит лишь за счет внесения в него малого несамосопряженного линейного слагаемого ВЕ{х) := в^, то ключевое уравнение приобретет малое непотенциальное слагаемое Не (£), главная линейная часть которого (по управляющему параметру в) является галеркинской аппроксимацией (по модам е3).

Структура ключевой функции двух и более переменных в задачах о прогибах балок и пластин ранее исследовалась в работах Б.М. Дарин-ского, Ю. И. Сапронова [20] и Д. В. Костина.

Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новой модификации бифуркационного анализа нелинейных краевых задач теории упругих систем, приспособленную для применения в условиях понижения дискретной симметрии и нарушения потенциальности. Достижение цели осуществлено через разработку нового вычислительного алгоритма, локальное описание геометрии сечений дискриминантных множеств, классификацию раскладов бифурцирующих равновесных конфигураций и получение формул асимптотического представления ветвей бифурцирующих конфигураций.

В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Базу развитой в диссертации аналитической схемы составляют модифицированный метод Ляпунова-Шмидта, оснащенный конструкциями теории особенностей гладких функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Разработана новая модификация спектрального метода Ляпунова-Шмидта, приспособленная для бифуркационного анализа слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений в условиях двухмодового вырождения и понижения симметрииописано строение главной части ключевого уравнения.

2. Получена локальная параметризация дискриминантных множеств (для параметрических ссмсйств слабо непотенциальных фредгольмовых уравнений) в условиях двухмодового вырожденияполучены графические изображения 2(1- и 3 (¿—сечений дискриминантных множеств и получено описание раскладов бифурцирующих решений уравнений равновесных состояний слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

3. Выведена асимптотическая (по закритическим приращениям параметров) формула для ветвей решений, учитывающая влияние характера неоднородности на закритические прогибы слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

4. Проведена компьютерная апробация разработанной аналитической схемы и, как следствие, получена визуализация бифуркационного процесса для слабо неоднородных и слабо непотенциальных упругих балок и пластин.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают теоретическое обоснование и новое развитие методу фредгольмовых уравнений в теории бифуркаций решений нелинейных краевых задач. Описание геометрии дискриминантных множеств, классификация би-фурцирующих раскладов решений и описание аналитической зависимости прогибов упругих балок и пластин от характера неоднородности и непотенциальности могут найти применение в задачах современной теории посткритического анализа упругих систем.

Результаты диссертации докладывались на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М. В. Ломоносова академика В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.), на конференции «XX Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум» (КРОМШ-2009), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (Воронеж, 2010 г.), на конференции «XXI Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум» (КРОМШ-2010), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (Воронеж, 2011 г.).

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 77 наименований. Общий объем диссертации — 112 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (19 иллюстраций), выполненной в среде Maple.

1. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде // М.: МЦНМО. 2004. 672 с.

2. Бардин B.C. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основ алии / B.C. Бардин, С. Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: Эльф. — 1998. — С.13−22.

3. Бобылев H.A. Геометрические методы в вариационных задачах / И-А.Бобылев, C.B. Емельянов, С. К. Коровин // М.: Магистр, 1998. — 658 с.

4. Бобылев H.A. О бифуркации экстремалей вариационных задач / Ii-А.Бобылев, М. А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. — Т- 314> N 2. — С. 265−268.

5. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчив остиВ.В.Болотин // М.: Физматлит. 1961. 340 с.

6. Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и тес^>РияЛере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю.И. Сапроно// Успехи матем. наук. 1977. Т.32, вып.4. — С.3−54.

7. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер" э Л. Ландер // М.: Мир, 1977. 208 с.

8. Варченко А. Н. Теорема об эквисингулярности семейств алгебраических многообразий / А. Н. Варченко // Успехи матем. наук. 1971. Т.26, вып.1. С.217−218.

9. Варченко А. Н. О ростках аналитических отображений, топологический тип которых определяется конечной струей / А. Н. Варченко // Функц. анализ и его прил. 1972. Т.6, вып.З. С.63−64.

10. Волков Е. А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике / Е. А. Волков // Докл. АН СССР. — 1962. —147, № 2. — С. 13−16И. Вольмир A.C. Гибкие пластины и оболочки / А. С. Вольмир // М.: Гостехиздат. 1956.

11. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И. И. Ворович // М.: Наука. 1989. 376 с.

12. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гиломор // М.: Мир, 1984. Т.1. 350 е., Т.2. 285 с.

13. Гнездилов A.B. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / A.B. Гнездилов // Функц. анализ. -2000.

14. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности. / М. Голубицкий, В. Гийемин // М.: Мир, 1977. 290 с.

15. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки /Б.М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. — С. 35−46.

16. Даринский Б. М. Топологический подход к классификациям фаз кристаллических сегнетоэлектриков / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. -Воронеж: ВГУ. 2000. С. 41−57.

17. Даринский В. М. О двухмодовых бифуркациях решений одной вариационной краевой задачи для уравнения четвертого порядка / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Понтрягинские чтения XI. Сборник трудов. Часть 1. Воронеж, ВГУ. 2000. С.57−64.

18. Даринский Б. М. К термодинамической теории сегнетоэлектриче-ских фазовых переходов в кристаллах /Б.М. Даринский, Ю. И. Сапронов, B. JL Шалимов // Кристаллография. 1999. — Т.44, N 4. -С. 1−5.

19. Даринский Б. М. Дискриминантные множества и расклады бифур-цирующих решений фредгольмовых уравнений / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. -Тбилиси. 2003. Т.7. С.72−86.

20. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, C.JI. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т.12. 2004. С.3−134.

21. Задорожний В. Г. Условия разрешимости обратной задачи вариационного исчисления для обыкновенного дифференциального уравнения шестого порядка / В. Г. Задорожний, Е. В. Корчагина // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж: ВГУ. 2000. Вып.2. С.48−61.

22. Задорожний В. Г. Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех звязанных контурах Ван-дер-Поля / В. Г. Задорожний, A.B. Попов // Дифференциальные уравнения. 1999, № 11. С. 1580.

23. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев // JL: ЛГПИ, 1989 80 с.

24. Зачепа A.B. Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ шестого порядка / A.B. Зачепа // Трудыматем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. «ТЕ-ФА 2004. С.48−55.

25. Зачепа A.B. О бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / A.B. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Труды математического факультета, вып. 9 (новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. С.57−71.

26. Зачепа A.B. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки / Ф. А. Белых, A.B. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18−33.

27. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В. Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Воронеж: ВорГУ. 2002. 185 с.

28. Изюмов Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю. А. Изгомов, В. И. Сыромятников // М.: Наука. 1984. — 247 с.

29. Костин Д. В. Ортопроектор теории возмущения линейных операторов и бифуркации равновесия слабо неоднородной упругой балки / Д. В. Костин // Труды воронежской зимней математической школы С. Г. Крсйна 2006. Воронеж: ВорГУ, 2006. — С. 106−113.

30. Костин Д. В. Применение формулы Маслова для асимптотического решения одной задачи об упругих деформациях / Д. В. Костин // Матем. заметки, 2008, 83:1. С. 50−60.

31. Костин Д. В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д. В. Костин // Доклады Академии Наук, 2008, том 418, № 4, С. 295−299.

32. Красносельский М. А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М. А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э. М. Мухамадиев // ДАН СССР. 1978. — Т. 240, N 3. — С. 530−533.

33. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений./ М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий Я.Б., В. Я. Стеценко // М.: Наука, 1969. 456 с.

34. Ленг С.

Введение

в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг // М.: Мир, 1967. 204 с.

35. Логинов Б. В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б. В. Логинов Ташкент // Фан, 1985. — 184 с.

36. Ляв А. Математическия теория упругости / А. Ляв // М.- Л.: НКТН СССР. 1935. 674 с.

37. Ляпунов A.M. Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse liquide homogene donee d’un mouvement de rotation, p. l / A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург. 1906.

38. Мазер Дж.Н. Конечная определенность гладких отображений / Дж.Н.Мазер // Математика 1970. Т. 14, № 1. — С. 145−175.

39. Мазер Дж.Н. Стратификация и отбражения / Дж.Н.Мазер // Успехи матем. наук. 1972. Т. 27, № 5. — С. 85−113.

40. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений / В. П. Маслов // М.: Наука. 1988. 312 с.

41. Милнор Дж. Теория Морса./Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

42. М1тропольский Ю. О. Дослщження коливань в системах з розподше-ними параметрами (асимптотичш методи) /Ю.О. М1тропольский, Б.1. Мосеенков // Видавництво Кшвського ушверситету// 1961. -123 п.'.

43. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлии // М.: Наука, 1970. 512 с.

44. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк // М.: Наука, 1969.

45. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг // М.: Мир, 1977. 232 с.

46. Обен Ж. П. Прикладной нелинейный анализ / Ж. П. Обен, И. Экланд // М.: Мир, 1988. 510 с.

47. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер // М.: Мир, 1989. 639 с.

48. Особенности дифференцируемых отображений. Сб. ст. // М.: Мир, 1968. 268 с.

49. Постников М. М.

Введение

в теорию Морса / М. М. Постников // М.: Наука. 1971. 568 с.

50. Постон Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М.: Мир. 1980. 608 с.

51. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том 2. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / А. Пуанкаре // М.: Наука. 1972. 1000 с.

52. Сапронов Ю. И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю. И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997−1006.

53. Сапронов Ю. И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю. И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т. 180, N 10. С. 1299−1310.

54. Сапронов Ю. И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах /Ю.И. Сапронов // Математические заметки.- 1991. Т.49, вып.1. С.94−103.

55. Сапронов Ю. И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю. И. Сапронов // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, N 1. С. 101−132.

56. Сапронов Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю. И. Сапронов, C.JI. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. — С. 745−754.

57. Сапронова Т. Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов / Т. Ю. Сапронова // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. 2000. -С.107−124.

58. Треногин В. А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В. А. Треногин, Н. А. Сидоров, Б. В. Логинов // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. — С. 286−289.

59. Царев С. Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С. Л. Царев // Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. — С. 132 136.

60. Царев С. Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С. Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. — С.87−91.

61. Швырева О. В. О бифуркациях экстремалей из вершины симплекти-ческого угла / О. В. Швырева // Труды матем. факультета ВГУ. N 5 (новая серия). Воронеж: ВГУ, 2001. — С. 207−216.

62. Darinskii В.M. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / B.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. 2002. V. 265. — P. 31−42.

63. Holder E.J. Boundary conditions and mode jumping in the Karman equations / E.J.Holder, D. Schaeffer // SIAM J. Math. Anal. 1984. B.15. N 3. — P.446−457.

64. Ishibashi Y.J. Phenomenological theory of domain walls / Y.J. Ishibashi // Ferroelectrics. 1989. V.98. — P. 193−205.

65. Poenaru V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter И. N.-Y.: SpringerVerlag, 1976. — P. 61−89.

66. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. -V.65. — P. 370−399.

67. Thompson J.M.T. Nonlinear Dynamiks and Chaos / J.M.T. Thompson, H.B. Stewart // Wiley Sz Sons, Chichester Singapore, 1986.

68. Малюгина M.А. Бифуркационный анализ краевой задачи для ОДУ четвертого порядка в условиях нарушения потенциальности / М. А. Малюгина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, ч.1. Воронеж: ВГУ. 2008. С.114−121.

69. Малюгина М. А. К анализу посткритических прогибов слабо неоднородных упругих систем в условиях нарушения потенциальности /t.