Структурные свойства и полнота класса регулярных полигонов

Важным направлением современной теории моделей является описание структурных свойств классических алгебраических систем (таких, как группы, кольца, поля, модули, линейные алгебры и др.), обладающих теми или иными теоретико-модельными свойствами.

Понятие полигона было введено JI.A. Скорняковым [21] и относится к фундаментальным в таких областях как теория представлений, теория автоматов и др. Полигонная структура присутствует как обеднение в теоретико-модельном смысле в модулях и линейных алгебрах.

Изучению алгебраических свойств полигонов и различных их классов посвящены работы JI.A. Скорнякова [21, 22], М. Кильпа [5, 32, 33], У. Кнауэра [32−37], A.B. Михалева [35−37] и др.

Теоретико-модельные свойства полигонов и различных их классов исследовались в работах Т. Г. Мустафина [1, 7, 8, 39], Б. Пуазы [39], В. Гоулд [30], A.A. Степановой [23−27], B.C. Богомолова [1]. Изучению унаров, которые являются обеднениями полигонов, посвящены работы Ю. Е. Шишмарева [29], JI. Маркуса [38], A.A. Иванова [3], А. Н. Ряскина [20].

Одним из интереснейших классов полигонов является класс регулярных полигонов. Понятие регулярного полигона ввел Трэн Лэм Хэч [40]. Оно аналогично понятию регулярного модуля, данного Зельмановичем [41]. В соответствии с этим определением регулярным полигоном является любой проективный полигон и любой регулярный моноид как полигон над собой.

Алгебраическим свойствам класса регулярных полигонов посвящены работы М. Кильпа, У. Кнауэра, A.B. Михалева [5, 32—37], а такие их теоретико-модельные свойства как стабильность, аксиоматизируемость и модельная полнота изучены в работах A.A. Степановой [24, 25].

В диссертации описывается строение класса регулярных полигонов, рассматриваются вопросы порождения класса всех полигонов, изучаются полные классы регулярных полигонов, исследуется взаимосвязь полноты и модельной полноты класса регулярных полигонов, строятся примеры моноидов, классы регулярных полигонов над которыми являются полными, но не модельно полными.

В диссертации используются аппарат теории моделей, универсальной алгебры и теории полугрупп.

Диссертация содержит 91 страницу машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы, включающего 41 название.

1. Богомолов В. С., Муетафин Т. Г. Описание коммутативных моноидов, над которыми все полигоны (¿—стабильны // Алгебра и логика. 1989. Т. 28. С. 371−381.

2. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987.

3. Иванов A.A. Полные теории унаров // Алгебра и логика. 1984. Т. 23, № 1. С. 48−73.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982.

5. Килъп М. О гомологической классификации моноидов // Сиб. ма-тем. журн. 1972. Т. 13. С. 396−401.

6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. — M. s Мир, 1972.

7. Муетафин Т. Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр. АН СССР. Сиб. отд-е. Ин-т математикиТ.8) — С. 92−107.

8. Муетафин Т. Г. К описанию моноидов, над которыми все полигоны имеют ш-стабильные теории // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. С. 675−695.

9. Овчинникова Е. В. О полных классах регулярных полигонов // Третья Междунар. конф. по алгебре памяти М. И. Каргаполова. Тез. докл. — Красноярск: изд-во КрГУ, 1993, — С. 244.

10. Овчинникова Е. В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемпотентов // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, № 2. С. 381−384.

11. Овчинникова Е. В. Строение класса регулярных полигонов // Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1995. — С. 84−86.

12. Ovchinnikova E. V. On complete classes of regular acts // Abstracts. KORUS '97. The first Korea-Russian International Symposium of Science and Technology. September 29 October 3,1997. — University of Ulsan, Republic of Korea, 1997. — P. 135.

13. Овчинникова Е. В. Моноид, над которым класс регулярных полигонов полон, не моделью полон // Сиб. матем. журн, 1997. Т.38, № 5. С. 110−114.

14. Ovchinnikova Е. V. Complete classes of regular S-acts over monoids of height 2// Материалы междунар. конф. по мат. логике, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Мальцева. — Новосибирск: изд-во ИДМИ, 1999. — С. 103−104.

15. Овчинникова Е. В. О порождениях классов полигонов // Междунар. семинар «Универсальная алгебра и ее приложения» памяти J1.A. Скорнякова. — Волгоград: изд-во «Перемена», 1999. — С. 49−50.

16. Овчинникова Е. В. О порождениях класса всех полигонов // Алгебра и теория моделей 2. Сборник трудов. — Новосибирск: изд-во НГТУ, 1999. С. 88−93.

17. Pjtckuh А. Е. Число моделей полных теорий унаров // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр. АН СССР. Сиб. отд-е. Ин-т математикиТ.8) — С. 162−182.

18. Скорняков Л. А. О гомологической классификации моноидов // Сиб. матем. журн. 1969. Т. 10, № 5. С. 1139−1143.

19. Скорняков Л. А. Обобщения модулей // Модули HI. Препринт. — Новосибирск, 1973. — С. 22−27.

20. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов S-полигонов // Алгебра и логика. 1991. Т. ЗО, № 5. С. 583−594.

21. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. журн. 1994. Т.35, № 1. С. 181−193.

22. Степанова А, А, Стабильность класса регулярных полигонов / Исследования в теории алгебраических систем. Межвузовский сборник научных трудов. — Караганда: изд-во КарГУ, 1995. — С. 95−102.

23. Степанова А. А. Моноиды с разрешимыми и неразрешимыми кл ассами полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 3.

24. Степанова А. А. Модельные компаньоны квазимногообразий полигонов // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 5.

25. Сушкевич А. К. Теория обобщенных групп. — ХарьковКиев: Гос. науч.-техн. изд-во Укр., 1937.

26. Шишмарев Ю. Е. О категоричных теориях одной функции // Мат. заметки. 1972. Т.11,№ 1. С. 89−98.

27. Gould V, Axiomatisability problems for S-systems //J. Loudon Math. Soc. 1987. V. 35, № 2. P. 193−201.

28. Gratzer G. Universal algebra. — Springer-Verlag New York Inc. 1979.

29. Kilp M., Knauer U. On free, projective and strongly flat acts // Arch. Math. 1986. V. 47. P. 17−23.

30. Kilp M. t Knauer U. Characterization of monoids by properties of regular acts // J. of Pure and Applied Algebra. 1987. V. 46. P. 217−231.

31. Knauer U. Projectivity of acts and Morita equivalence of monoids // Semigroup Forum. 1972. V. 3. P. 359−370.

32. Knauer V., Mikhalev A. V, Endomorphism monoids of acts over monoids // Semigroup Forum. 1973. V. 6. P. 50−58.

33. Knauer U., Mikhalev A. V. En.domorph.ism monoids of free acts and 0-wreath products of monoids. II. Regularity. // Semigroup Forum. 1980. V. 19. P. 189−198.

34. Knauer U., Mikhalev A.V. Wreath products of acts over monoids: I, Regular and inverse acts //J. of Pare and Applied Algebra. 1988. V. 51. P. 251−260.

35. Marcus L. The number of countable models of a theory of one unary function // Fund. Math. 1980. V. 108. P. 171−181.

36. Mustajin T.G., Poizat B. Polygones // Math. Log. Quart. 1995. V. 41. P. 93−110.

37. Tran Lam Hack Characterization of monoids by regular acts // Period. Math. Hungax. 1985. V. 16. P.273−279.

38. Zelmanowitz J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 163. P. 341−355.