Деформации диофантовых квадратичных систем

1. Одной из центральных проблем арифметической теории квадратичных форм является задача получения точных формул для числа представлений X формы, А квадратичной формой Q, т. е. нахождение количества целочисленных решений матричного уравнения.

Q[X] = *XQX = A, Хемп>т (Z), (1) где Мщт (Ж) -¦ множество матриц размера п х т с коэффициентами из кольца целых чисел Ъ .

Цель данной работы — найти метод получения различных диофанто-вых квадратичных уравнений (1) как специализации одной универсальной объемлющей системы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд исследовательских задач:

1. изучить ортогональные дополнения форм, используя вложения над локальными кольцами;

2. получить с помощью специализаций сечения квадратичных форм кубических решеток, приводящих к матричным уравнениям;

3. показать, как специализации приводят к формулам числа целых представлений форм соответствующими сечениями.

В основе исследований лежит локальный метод Минковского-Хассе, аддитивный метод склейки форм, теория вложения форм над кольцами р-адических чисел, теория ]?-адических символов и метод дополнения Кон-вея и Слоэна.

Новизна данной диссертационной работы заключается в следующем:

1) вводятся специализации для матричных квадратичных уравнений, приводящие к квадратичным уравнениям для форм меньшего числа переменных;

2) разработан метод деформации формулы веса для числа представлений, сохраняющий ее структуру и позволяющий из известных формул для числа представлений квадратичных форм родом форм находить бесконечное множество других формул веса для уравнений и систем, имеющих меньшее число переменных;

3) найден способ решения уравнений высших степеней, разложимых на множители первой и второй степеней над множеством целых чисел Z .

2. История вопроса.

1) Диофант, овы квадратичные системы и число представлений. Теория квадратичных форм была начата трудами Ферма и Эйлера. Первоначально рассматривалась задача о представлении целых чисел целочисленной квадратичной формой Q размерности dim, Q = п. Наиболее известная из них — задача Ферма о представлении целого числа суммой двух квадратов.

Если, а — бесквадратное положительное число, то число целых решений уравнения (2) вычисляется по формуле.

Лагранж и Гаусс создали общую теорию бинарных квадратичных форм, а.

2, 2 х + у = а.

2).

3) для произвольной размерности п Эйзенштейном, Смитом и Минковским была построена общая теория квадратичных форм.

В диссертации рассматривается задача о представлении квадратичной формы формой. Отождествим квадратичные формы с их матрицами. Пусть Q и, А — целые симметрические положительно определенные квадратичные формы размерностей пит соответственно, причем п > т > 1. Форма Q представляет А, если разрешимо матричное уравнение.

Q[X] = fXQX = XeMntm{Z). (4).

Развивая аналитические методы в теории квадратичных форм, которые были введены Дирихле, Зигель пришел к общим формулам для числа представлений формы родом форм.

Весом представлений формы, А родом [Q] называют сумму =? ? йк-у (s) t=l XeMn, m (Z), Qi[X]=A КЧг) где {Qi} (г = 1 ,., Н) — все классы рода [Q], o (Qi) — порядок группы целых автоморфизмов формы Qi. Для взвешенного среднего Зигель получил разложение в произведение.

П и, av (AQ 1), т < п — 1, «» —: ¦ (б) k Пг=—1,2,3,. IQ), т = п- 1, локальных плотностей ар (А- [Q]) = ар ([А]- [ф]), зависящих только от р-адического поведения форм, А и Q. Здесь m (Q) — масса рода [Q], вычисленная в инаугурационной диссертации Минковским [51] в 1885 году.

Для р Ф —1,2 локальные плотности ар (А- [<3]) определены равенством ар (А- [Q]) = N{A, Q, pr), где N (A)Q)pr) — число решений.

X mod рг из МП) ГП (Z) матричного сравнение Q[X] = A (mod рг) и степень г больше некоторой границы, зависящей от р, А и Q .

Предпринимались многочисленные попытки вычислить локальные плотности ар, применяя многомерные гауссовы суммы и точную формулу для обычной суммы Гаусса. Китаока в работах [46] - [48], используя зигеле-вы модулярные формы, вычислил для некоторых случаев ар и получил результаты относительно представимости формы формой.

Формула Зигеля (6) отвечает на принципиальный вопрос о диофанто-вых квадратичных системах: среднее количество представлений над кольцом целых чисел Ъ некоторой квадратичной формы формами рода сводится к представлениям над локальными кольцами целых р-адических чисел Zp этой же формы любой другой формой рода.

Аддитивный подход к вычислению веса представлений п (А- [Q]) применил В. Г. Журавлев [21]. Впервые этот метод использовал Гаусс для нахождения количества представлений числа суммой трех квадратов целых чисел и связывающий примитивные представления с бинарными формами.

В 1996 году в работе [21] была доказана общая формула для веса примитивных представлений формы, А родом [Q] положительно определенных форм Q, сцепляющих, А с формой G: рп (А- [Q], [G]) = m (G) ¦ c (A,[Q], [G]), (7) где m (G) — масса рода [G'], а второй сомножитель разлагается в произведение с (Л- [Q], [0) = с (АQ, G) JJ ср (АQ, G), p2ad при этом a — ступень матрицы, А и detQ = d. Множитель ср (А Q, G) равен числу решений Ср из Mm^m (Zp) mod, А сравнения аА~г[Ср] + G = О (mod aZp) таких, что полученная из, А и С с помощью склейки Ср форма Qci (Cp) эквивалентна квадратичной форме Q надкольцом Ър .

Глубокое развитие теории рациональных квадратичных форм (Мин-ковский, Хассе, Витт) позволило Конвею [38] ввести систему рациональных инвариантов для квадратичных форм, которые определяются без использования символа Гильберта норменного вычета. Система^{-адических} инвариантов для целочисленных форм, значения которых являются вычетами по модулю 8, дает удобное обозначение для рода квадратичной формы [29].

Кнезер исследовал более интересный в теории чисел, но более сложный переход для колец Z, р = — 1, 2, 3,.- используя его, он доказал теорему о представимости числа, а формой Q над кольцом 7L [49]. Обобщение на представления форм формами над Z исследовали Сия, Китаока, Кнезер в [44], [45]. Именно этот локальный метод лежит в основе исследований диссертации.

Масс-формула и канонические 2-символы локальных форм Конвея-Слоэна в совокупности с формулой Гаусса-Минковского (7) позволяют вычислять вес представлений в терминах локальных инвариантов: при этом с (п — т) — простой коэффициент, зависящий от разности размерностей п—т, std (n—m^dj) — стандартная масса, принимающая рациональные значения для нечетной коразмерности. Коэффициенты ар (АQ, G) определены через р-адические инварианты форм, А и Q .

Следует отметить, что формула (3) — не что иное как формула Гаусса.

2) Специализации квадратичных систем и формул веса. Рассмотрим базовую систему (4) диофантовых уравнений и выберем специализацию формы, А = А' © А" размерности т > 2. Фиксируя блок А', получим рп (А] [.

Минковского для формы Q = и одномерной формы, А — а. новую систему.

K'[Y] = А", (9) имеющую тот же вид, что и базовая система. В равенстве (9) слева стоит форма К' размерности п — dim А', а справа форма А!' размерности m — dimA'. Таким образом, полученные системы диофантовых уравнений (9) от меньшего числа переменных являются проекциями одной базовой системы. Важно отметить, что при деформации диофантовых квадратичных систем сохраняется и структура формулы веса (8), что позволяет находить из одной базовой формулы веса множество формул для числа целых решений получающихся в результате специализаций диофантовых систем.

Идеи, которые возникают при решении систем методом деформации, можно найти у Кнезера, Витта, Конвея и Слоэна. При аналитическом подходе Зигеля [55] к изучению целочисленных решений уравнения Q[X] = А для положительно определенной формы Q рассматривается тета-ряд формы Q рода т: e (Z{mQ) = ]П ехр (2тг" tr (Q[X] ¦ Z (m))). (10).

X?Mn, m (Z).

Количества целочисленных решений r (AQ) уравнения (4) появляются как коэффициенты Фурье тета-ряда (10) e (Z^mQ) = r (AQ) ехр (2тгг tr (A ¦ Z^)). л=1лемт{ъ), а>о.

Операторы Зигеля Ф устанавливают связь между тета-рядами рода гп и рода т — 1.

Ф -6{Z (mQ) =e (Z{m-lQ)1 при этом происходит уменьшение на 1 размерности т формы, А .

Продолжая операторы Гекке на тета-ряды [3], [35] можно выявить информацию о мультипликативных свойствах количеств целочисленных представлений квадратичных форм формами. А. Н. Андрианов [1], [2] для произвольных размерностей т получил усреднение числа представлений формы, А родом [Q] г (А[М, [Q]). (11).

Am М: Ат =GLm (Z), MeMm (Z), det М=а.

Определенные формы соответствуют решеткам в евклидовом пространстве. В работе [22] классифицированны локальные минимальные неразложимые вложения eTnmin '. LA, p LQ p, где L*iP — локальные решетки для соответствующих квадратичных форма также построена теория ветвления вложений локальных решеток.

Теория склейки, восходящая к Кнезеру [50] и Витту [62], представляет собой способ конструирования решетки г г Ы г.

L = Li е l2 из решеток L, L2 добавлением вектора склейки у = уЬ ½, т/гиз дуальных факторов L*/Li. Выдающимся результатом применения метода склейки является список Нимейера [52] всех четных унимодулярных форм размерности 24. Локальный вариант метода склейки применен в работах [23], [24] к нахождению числа решений матричных уравнений Q[X] = А для форм Q и, А с не взаимно простыми определителями Q и |Л| .

Конвей и Слоэн [37] применили метод дополнения для конструирования квадратичных форм меньших размерностей из известных форм, являющийся обращением метода склейки Витта-Кнезера. Предложенный в диссертации метод деформации позволяет получать не только сечения матричных квадратичных уравнений Q[X] = А для квадратичных форм Q кубической решетки Ъп, но и формулы для числа представлений форм соответствующими сечениями. При построении сечений подобно Конвею и Слоэну приходится работать в кольце целых чисел, а при получении формул веса используется локальный переход от кольца Z к кольцу целых р-адических чисел Ър, где реально рассматривается конечное число дискриминантных простых р | 2ad .

Ранее получение формул для количества представлений чисел конкретными квадратичными формами являлось отдельной задачейформулы были изолированными и для их доказательства требовались различные методы. В диссертации впервые удалось получить формулы веса для целого класса форм единым методом — рассматривая их как специализации универсального объекта (кубической решетки).

Разработанный метод позволяет находить число целых решений не только для однородных, но и неоднородных систем, что до настоящего времени удавалось сделать лишь в отдельных исключительных случаях.

Метод деформации диофантовых квадратичных систем через специализации квадратичных форм, А можно также применить к получению точных формул для числа целых решений диофантовых уравнений высших степеней, раскладывающихся над Ъ в произведение линейных и квадратичных множителей, что восполняет пробел в диофантовой геометрии.

Согласно теореме Ферма о двух квадратах простое число р = 1 (mod 4) представимо двумя квадратами и число таких представлений равно 8. Предлагаемый метод позволяет получить аналогичную характеристику для младшего близнеца р: такое число представимо в виде специальной рациональной дроби и число таких представлений снова равно 8.

3) Геометрическая интерпретация положительно определенных форм. Положительно определенным пмерным квадратичным формам отвечает пмерный эллипсоид. С геометрической точки зрения уравнение Q[X] = А определяет т векторов Х)., Хт с нормами Q[Xi и скалярными произведениями tXiQXj. В частности, числу представлений бинарной формы (а 0.

А = I суммой трех квадратов отвечает число пар целочисленных.

0 a J ортогональных векторов Х и X.

Проблемой равномерного распределения целых точек на пмерном эллипсоиде, где п > 4, занимались Райтт [63], [64], А. В. Малышев [31], Поммеренке [53], а позднее для п = 3 — Е. П. Голубева и О. М. Фоменко [19], [20], Дьюк и Шульце-Пиллот [40]. В работах О. М. Фоменко [33], [34] доказаны факты равномерной распределенности сразу для всех пмерных эллипсоидов, п > 3 ..

3. В диссертации для матричных квадратичных уравнений введены специализации, сохраняющие инвариантными тип уравнения и формулу веса для представлений квадратичной формы родом положительно определенных форм..

Для единичной матрицы Q = 13 = diag (l, 1,1) размерности 3 и мат-(а' Ъ рицы, А — рассмотрим уравнение.

Ъ a" J.

Q[X} = tXQX = A, (12) где X = (х, у) и переменные в гх = (жь ж2, £з), 1У = (Уъ2/2>2/з) принимают значения из кольца целых чисел Z. Для разрешимости уравнения (12) необходимо, чтобы матрица, А была положительно полуопределенной. Ограничимся строго определенной матрицей, А, когда диагональные элементы а', а" и определитель, А = а’а" — Ъ2 больше нуля. В координатах Х{, yi уравнение (12) принимает вид квадратичной системы уравнений у2 I /у"2 I /у>2 л ^ «/у 2 I to ^ а.

2/i + 2/1 + Уз.

2-а" .

13) 12/1 + %2У2 + хзУз = Ь. Эта система имеет конечное число решений г (А, 1з). Обозначим, а ступень матрицы, А — наименьшее положительное целое число такое, что матрица аАимеет целые коэффициенты. Если определитель, А матрицы, А совпадает с ее ступенью, а и, а — четное бесквадратное число, то для г (Л, 1з) выполняется формула (1.74) г (А-13) = 24 J] + (14) рщрф2 где р пробегает нечетные простые делители ступени а, ер = ei (^4) > ^^ - символ Лежандра и знак ei (-A) = определяется из жорданова разложения в прямую сумму над кольцом целых р-адических чисел Zp [27]: А.

Л © р°Аг.

15) а' О.

Рассмотрим диагональную матрицу, А = I I с бесквадратны.

0 а" ми взаимно простыми элементами а', а", причем а" четное. В этом случае система.

Гр «I /у* I гр> dj 2 «АУ 2 с а.

2/? + 2/1 + 2/з = Х1У1 +ж2?/2 + = О, согласно формуле (14) имеет число решений.

16) r (X-l3) = 24j] f 1 + р’а' ^ а р' П р" а", р" ф2.

1 +.

-а р.

17).

Пусть сначала а' = 1. Группа целых автоморфизмов Oz (1з) квадратичной формы с единичной матрицей Q = 13 имеет порядок о (13) = 48. Уравнение + + = 1 имеет шесть решений, образующих одну орбиту с представителем гх = (0, 0,1). Подставляя 1х в систему (16), приходим к задаче о представлении целых чисел суммой двух квадратов: yl + yl = a". (18).

Все шесть решений порождают уравнение такого же типа. Поэтому число решений г (a" ] I2) уравнения (18) и число решений системы (16) связаны равенством г (А-13) =6г (а", 12). (19).

Из (17) и (19) вытекает известная формула для суммы двух квадратов: г (а"-13) = 4 П (l+(zl))=4 ^ X-i (<5)i (20) р" а", рф2 ^ '' 5 а", S нечет где x-i{&) = (т~) = (—- характер Дирихле по модулю 4..

Выберем cl — 3, a cl = 2ai четным бесквадратным, не делящимся на 3. Восемь решений уравнения х (з=3 образуют одну орбиту и получаются из ix — (1,1,1) всевозможными переменами знаков. Подставляем 1х в систему (16) и приходим к задаче.

2у + 2Ут + 2у = а!' (21) о представлении числа а" бинарной положительно определенной квадратичной формой с матрицей К' =.

К' = 3. Теперь для числа решений г (а" ш, К') уравнения (21) выполняется соотношение г (А- 13) = 8 г (а" - А''), и (17) приводит к другой известной формуле: r (a" -K') = 6 J] (22) р" а", рф2 ^ Р У / й-|а1.

2 1 V имеющеи определитель.

1 2 здесь Х-з ($) — (§) ~ характер Дирихле по модулю 3..

Диагональные специализации, А = о! О матричного уравнения.

О а" '.

12) приводят к однородным квадратичным формам (18), (21). Выбор мат/ 3 б рицы вида, А = с Ь ф 0 приводит к неоднородному квадра.

Ь a" J тичному уравнению у + У1У2 + у + byl + Ьу2 + е = 0. (23).

Если Ь2 — Зе > 0 — нечетное бесквадратное число, не делящееся на 3, то уравнение (23) согласно формуле (14) имеет число решений, равное r (b, e-K'BSOJ = 3? Х-з (*). (24).

6Ь2-Зе.

Теперь разрешимость и число решений уравнения (23) определяются мультипликативным разложением выражения Ь2 — Зе ..

Итак, специализации формы, А квадратичной системы уравнений (13) приводят к квадратичным уравнениям для форм К' меньшего числа переменных. При этом правая часть формулы (14) переформулируется в терминах инвариантов дополнительных квадратичных форм К', отождествляемых с их матрицами. Для неоднородных квадратичных бинарных форм (23) естественным объемлющим пространством является трехмерное, они получаются сечением кубической решетки Z3. Общая формула (14) для тернарной формы Q = 1з содержит в себе бесконечное множество частных формул представлений чисел бинарными квадратичными формами К'. Это в точности формы подрешеток Ьк1 С Z3, ортогональных векторам х, имеющим норму Q[х] = а'. Так как решетка Z3 унимодулярная, то дополнительные формы К' имеют определитель а1..

Под знаком сумм (20) и (22) стоят характеры квадратичных полей Q (/—Т), Q.(V~—3) ¦ Различные квадратичные поля и их характеры, квадратичные формы, однородные и неоднородные, объединены одной решеткой Z3..

4.Основные результаты диссертации..

1. Формула веса Zn ..

Теорема 1.2 Для квадратичной формы Q = 1п кубической решетки Ъп размерности п < 8 и целой положительно определенной формы, А размерности т (т < п) с бесквадратным определителем det, А, совпадающим со ступенью, а сам, ой формы, А, вес представлений формы, А формой Q в случае нечетной коразмерности равен с (п — m) std (n — m) a2(AQ) Ц (V/2 + ei (A)) ,.

КРУ/.

25) где мноэ+сителъ ot^(A-Q) вычисляется no формулам (1.66) — (1.70)..

В качестве базовой выбрана единичная форма Q = 1п. Через специализации формы, А = А' © А" как следствие из формулы (25) получаются формулы для веса представлений г (А" - К') формами К1, где К' - форма, ортогональная к А'..

2. Локальные вложения. Пусть определители форм, А и Q взаимно простые, при вложении над нечетным локальным кольцом Zp ортогональные дополнения К определяются формами, А = Ai®A>p, Ai ф О (mod р), и Q однозначно (теорема 1.3):.

K = (QGJ (A))®(-A>p)i (26) где J (А) = A^JiAyp) и J (A>P) Ayn 1 р.

I — минимальное вложение.

1 О в локальную унимодулярную решетку формы А>р = 0 (mod р)..

Трудности представляют вложения над кольцом Ъ2, ветвящиеся даже в условиях взаимной простоты определителей, в связи с чем ортогональные дополнения К определяются формами, А и Q уже неоднозначно..

Для форм вида, А = А © qAg, q = 2а и, а — 0,1, 2,., с жордановы-ми составляющими Aq размерности 1 получены условия существования примитивных представлений X : — А и ортогональные дополнения.

А' (теоремы 1.4 — 1.6)..

Теорема 1.4 Над кольцом 7L2 для форм вида, А = Ai (c)2A2, dimA2 = 1 ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G определяются равенствами.

К = {Qe J (А)) 0 2GU G = Gi Ф 2(Q © 7(A)), (27) одномерный блок G мосисет быть любым нечетным числом, а J [А) = А © J (2A2) вычисляется по, А и таблице 1 (глава 1, § 5)..

Теорема 1.5 Над кольцом Z2 для форм вида, А — AiQ4A4, dim А4 = 1, ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G определяются равенствами к = (Qe J (А)) ® 4Gi, G = Gx Ф 4{Q © J (А)), (28) где одномерный блок G удовлетворяет, сравнению G = —А4 (mod 4). J (А) — Aj ф J (4A4) и 2 -символы минимальных вложений J (4A4) равны для24А4 = 4Т1: 2j (4⁴) = ¼, если 2Gl = 1/3,.

I Г) I 1.

2j (4/14) = 1//, если2ох = 1/7- -1. о. 1+2 ля. о —1−1 для 24а4 = 41Ъ: 2j{4Aa) = 17/, если 2Gi = 1/3,.

2 1 ^.

2j (4⁴) — 1/, 4? ec^iw 2с?! = 1/)7-.

2 I.

Л/1л24.а4 = 4³: 2j (4A4) = 1/)4, если 2qx — 171,.

2j (4/U) = 1/А если201 = l^J-.

24A4 =: 2J{4Aa) = lj}2, если 2Gl = lj}, r) 2.

2j (4a4) — если 2gl — l/)5..

Теорема 1.6 Над кольцом Ъ^ для форм вида, А — A®qAq, dim Aq = 1 q — 2а, a > 3, ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G определяются равенствами.

К = (Q © J (А)) е q{-Ag), G — - Aq ® q (Q 0 J {А)), (29) где G = — Aq, J (А) = Ai@J{qAq) и 2-символы минимальных вложений J{qAq) равны 2qAq =qtl и 2Gl.

2J (9A9) = ljf u ljj, если <.

2ЯАя — u2Gl = 1^з = ljj,.

3. Деформации диофантовых систем..

Теорема 2.1 Пусть Q и, А — А'(c)А" — целые положительно определенные формы, причем определители форм Q, А', А" попарно взаимно простые. Кроме того, пусть К' — форма, ортогональная примитивным представлениям X1: = А'. Тогда вес представлений формы, А формой Q равен взвешенному числу представлений формы А" формами К': :.

Pr{A-^G)=E Е Е staHXT^prWKlG). (30).

Специализации формы, А = А' © А" с фиксированным блоком А', переводят уравнения.

Q[X] = tXQX = A, ХеМп, т (Z), (31) где Q = 1п — единичная матрица n-го порядка, А — симметрическая матрица m-го порядка, т < п, в уравнения того же типа (ср. (18), (21)):.

K'[Y] = А". (32).

Сказанное поясним на примере формы Q = lg и тернарной формы, А бесквадратного определителя. Тогда вес представлений выражается формулой.

MA^Q) П (Р + е (33) г {А- 16) = 1 о (1е) б' р\А, РФ2 где 6i (A) — знак единичной составляющей, А жорданова разложения, А над кольцом целых р-адических чисел Ър ..

Специализацией выберем форму, А А! О V с одномерным бло.

0 А" ' ком А' = 3. Решения х = (xi,., xQ) уравнения xf+xl+xl+xl+xl+xl = .3 образуют одну орбиту с представителем (111). Ортогональное дополнение к нему — форма с матрицей Грама.

Формула (33) преобразуется к виду г (A" -Kf) = 48*2(A-Q) (з + (^П) Ц (р+е^А") (-)) ¦ (34).

V 4 JJ р\А'%рф2,3 v xvjj.

Здесь г (А" ] К') — число решений Y Е M5i2(Z) матричного уравнения K'[Y] = А" (32), 6i (А") = ~ знак блока А![ из жорданова разложения A" А![ ф раАра, а множитель a2(A-Q) зависит от р-адических инвариантов форм A, Q и вычисляется по формулам (1.68), (1.70)..

Случай существования нескольких орбит, для которых ортогональные дополнения принадлежат разным родам, более сложный и требует разделения родов. Выберем сумму б-ти квадратов в качестве формы Q и тернарную форму, А = А' ® А!' бесквадратного определителя с одномерным блоком А' = 6. Множество решений матричного уравнения Q[X'] = А' имеет две орбиты с представителями х’г = (211 000) и = (mm)..

Ортогональные дополнения к ним.

К’г = 13 0 2 ф 3 и К’т п.

2 1 1 1 1 Л 12 111 112 11 1112 1 1 1 1 1 2 у принадлежат разным родам: К? [K'j] - нечетному роду, а К’п Е [К'п] -четному роду. Используя вложения форм над локальными кольцами Zp, для сцепляющей формы G имеются две возможности Gi или Gjj и, в зависимости от выбора, формула (33) преобразуется к виду r (AnKj, Gi) = 6(3 +.

И' П.

РI А", р&, 3.

35) или г (A" - К’п, Gh) = 30 (3 +.

I А'' п.

36).

7 7 р|И" |, Р², 3.

Левые части равенств (35), (36) обозначают число целых решений уравнений К[У] = А" — (~ |, равносильных системе диофантовых уравнений, а а 2 а 2 аз.

У№ + У2У7 + ут + 2?/4У9 + 3y5?/io = а2, аз,.

2/в + 2/? + Ув + 2у92 + 3 у210 для Кj, а для формы К’п — соответственно системе.

2 у + 2у| + 2 yl + 2у + 2у1 + 2 yi (y2 + Уз + 2/4 + Уб) + +2у2(уз + 2/4 + 2/б) + 2у3(у4 + у5) + 2уАуъ 2(2/12/6 + 2/22/7 + 2/32/8 + 2/42/9 + УбУю) + 2/1(2/7 + У8 + Уэ + Ую) + +2/2(2/6 + 2/8 + 2/9 + 2/ю) + 2/з (Уб + У7 + Уэ + Ую) + +274 (Уб + 2/7 + 2/8 + 2/ю) + Уб (Уб + У? + У8 + Уэ) 2у| + 2 у? + 2г/§- + 2Й + 2у?0 + 2 Ув (у7 + у8 + у9 + ую) + +22/7(2/8 + 2/9 + 2/ю) + 22/3(2/9 + 2/ю) + 2?/92/io.

Другая специализация квадратичной формы.

А = а..

2, «3. V.

А! В 1 В А" приводит к неоднородным диофантовым уравнениям и системам. В этом случае для одноклассных форм Q — 1П кубической решетки Zn размерности п < 8 формула (3.5) преобразуется к виду (предложение 3.1) pr (A-Q, G) ^prx,(A-Q, G) o (Q) ^ stab (X') где prx'(A]Q, G) — число примитивных представлений X = {Х'Х'.

37) (3.1) А с фиксированным блоком X'..

Рассмотрим нечетную тернарную форму.

2 1 О.

1 4 Ь2 h Ъ2 с вкладываемую в форму Q = lg. Множество решений X' 6 Mqj2(Z) мат.

2 1 1 4 ричного уравнения Q[X'] = А' имеет одну орбиту,.

Х'.

1 1 0 0 0 0 0 11 110.

— ее представитель..

Предположим, что |А = 7 с + Ibib^ — 4Ъ — 2Щ > 0 — нечетное бесквадратное число, не делящееся на 7. Тогда (33) преобразуется в формулу.

Здесь rx'{A-Q) — число целых решений у = (yi, 2/2,2/3,2/4)? Z4 неоднородного уравнения.

3yj + 2у + 2у1 + у — 2Ут — 22/12/3 + 2у2Уз + —262^/2 — 2622/з — 4biyi + 26×2/2 + 2Ьт = с — 26? — Ь| + 26 162..

Формула веса (33) не является жесткой структурой. Формулы (34), (35), (36), (38) представляют ее различные вариации. Изолированные квадратичные уравнения и системы оказываются сечениями одной базисной системы Q[X] = А, где Q = 1п ~ квадратичная форма кубической решетки Ъп..

4. Полнота рода. Для одноклассных форм А' и Q = 1п справедлива.

Теорема 2.2 Пусть {Х} — орбиты всех примитивных вложений.

Х[ формы А' одпоклассного рода [А'] в форму Q = 1п (п < 8) одноклас-сного рода [Q], и пусть существует ортогональное дополнение К[ jL Х[ из некоторого рода [К1]. Тогда классы {К[~, содержащиеся в [К'], образуют весь род..

Для Q = 1п и формы, А = А' 0 А", принадлежащей неодноклассному роду [А], нечетного бесквадратного определителя доказано, что ортогональные дополнения К, удовлетворяющие некоторым условиям, образуют полный род [К] (теорема 2.3)..

5. Уравнения высших степеней. Пусть многочлен R (x) с коэффициентами из Z разлагается на произведение квадратного множителя.

Q (x) = {n < 8) и m—1 линейных множителей вида Ь^{х) = ^ь-*.

Xj,, т. е. m — l.

Д Lk{x)-Q{x) (39) к=i и п — т — нечетно. Положим u> = sp^ (/3 = 1,2), где целое положительное a cxL а’с, s имеет разложение s = р1 р2 • • ¦ р§и с^- принимает значения 0,1,2, а рв пробегает множество простых нечетных чисел..

Теорема 3.1 Для любого уравнения R (x) = w существуют 8 и натуральное v, зависящие от многочлена R{x), от числового множителя s и от, показателя степени /3 — такие, что при р$ > 8 число целых решений уравнения равно V г — stab (Xr)c (n — m) std{n — т) ^^a^AjQ, G)7Tj (p0), (40) i=i где 7tj (jpq) = Прца,|,^2 if''2 + 6i (aj) {^J* *)) «I A/I «бесквадратные числа..

Здесь матрицы X' и Aj определяются формами L^, Q и числом ги. В качестве примера рассмотрим уравнение 8-й степени относительно переменной х: 8 xi +х2)(х +xz){xi +x±){xi +x5){xi +x 7 при условии бесквадратности чисел 7ро — б и 7ро~38 уравнение (41) имеет число целых решений, равное.

5. Обратимся к содержанию диссертации. Следует заметить, что в каждой главе принята своя нумерация формул, лемм, теорем, предложений и следствий..

В первой главе приводятся основные определения, используемые в диссертации. Для представлений X формы, А формой Q получены ортогональные дополнения К, для которых найдены локальные инварианты..

В § 1 главы 1 вводятся основные понятия, определяются локальные^{-инварианты} для целых квадратичных форм..

В § 2 главы 1 для данных форм, А и Q приводится конструкция склейки формы Q = Qq© из Л и ортогональной ей формы G = Gq^(b), где Ь — произвольное примитивное представление, А формой Q, а С — изоморфизм дискриминантных форм для, А и aG~l. Установлен изоморфизм между орбитами {6} и {С}, откуда вытекает формула Гаусса-Минковского рп (А¦ [Q], [G]) = m (G) ¦ с (А- [Q], [G]) (42) для веса примитивных представлений рп (А- [Q], [(?]) формы, А родом [Q], ассоциированных с родом [С]..

В § 3 главы 1 структурированна задача о нахождении веса представлений п (А- [Q]) формы, А родом [<3] положительно определенных форм Q и разбита на три этапа. Получена формула веса представлений формы, А бесквадратного уровня, а формой Q кубической решетки Хп для нечетной разности размерностей п — т форм, А и Q..

В § 4 главы 1 приведена геометрическая интерпретация представлений квадратичных форм Q[X] = А вложениями соответствующих решеток La ^ Lq и охарактеризованы примитивные вложения решеток..

В § 5 главы 1 рассматриваются минимальные локальные вложения форм, А в Q над Жр. Если определители, А и Q взаимно простые, вложения для нечетных р задаются изоморфизмами между дискрими-нантными формами А" 1 и K~1modXp, и ортогональные дополнения К определяются формами, А и Q однозначно. При наличии общих делителей имеет место ветвление вложений. Само ветвление и арифметические приложения изложены в [22] - [24]. Представление, А формой Q над четным кольцом Z2 становится проблемой даже в условиях взаимной простоты определителей, так как имеет место ветвление вложений, в связи с чем ортогональные дополнения К определяются формами, А и Q уже неоднозначно..

В § 6 главы 1 для квадратичных форм Q кубических решеток Ъп размерностей п < 8 определяются ортогональные дополнения К и инверсные к ним формы G, участвующие в формуле веса..

Во второй главе предложен метод деформации квадратичных систем (1) специализациями форм, А = А' ® А", приводящий к однородным диофантовым системам..

В § 1 главы? рассматриваются специализации формы с фиксированным блоком А1, переводящие уравнения Q[X] = А в уравнения того же типа K'[Y] = А" и сохраняющие формулу веса для количества примитивных представлений pr (A-Q) формы, А формой Q.

В формуле (43) o (Q) обозначает порядок группы целых автоморфизмов формы Q, функция std (n — т) зависит только от разности размерностей п — т, и все множители в правой части (43) явно вычисляются (ср. (14))..

Данная специализация переводит формулу (43) в формулу веса представлений формы А" квадратичной формой К' решетки Ьк>, ортогональной некоторому представлению X': Q[X'] = А'.

A" J pr (A'Q) = с (п — m) std (n — т) а2(АQ) ТТ Q). (43) о wL-L р| |Л||2 с точностью до некоторого множителя, равного числу склеивающих А' с К' векторов. В формуле (44) для единообразия считаем род [К' однок-лассным. .

В § 2 главы 2 для ортогональных дополнений К всех представлений одноклассной формы, А одноклассной формой Q доказывается полнота рода [А']. Используя теорему 2.2, проверяется одноклассность четных ква-тернарных форм Ватсона [58], удовлетворяющих условиям: если р2 делит определитель формы К и р~2К| = 0 или 1 (mod 4), то К эквивалентна над Zp прямой сумме К 0 рКр бинарных форм К и Кр ..

Для Q = 1п, п < 8, и неодноклассной формы, А = А' 0 А" нечетного бесквадратного определителя показано, что ортогональные дополнения К образуют полный род [К]. Применяемый метод дает, как следствие, доказательство линейной независимости тета-рядов ek~l{Z^K[) рода к — 1 и веса к/2, другим методом полученную в [46]. В этом же параграфе демонстрируется способ, как по отдельному представителю К можно восстановить полный род [К]. Для этого вкладываем форму К в однокла-ссную форму Q = п минимальной возможной размерности п, используя локальные вложения над кольцами Zp и учитывая условия существования жордановых составляющих. Определяем орбиты {X} представления Q[X] = К, затем находим ортогональные дополнения A L X. Тогда при выполнении условий теоремы 2.3 ортогональные дополнения К{ L X' представлений X' : — Аобразуют полный род [К], содержащий исходный представитель К..

В ходе доказательства полноты рода возникла идея об орбитальной масс-формуле (2.58) для взвешенной суммы числа орбит {X'} представлений Q[Xr] = А' с ортогональными дополнениями К' L X' из рода [К']. В § 3 главы 2 доказательство орбитальной масс-формулы получается использованием одной конструкции из [21]. Попутно вычисляется коэффициент пропорциональности с (А'- Q, G'), появляющийся в масс-формуле и при деформации веса представлений (лемма 2.2). Как уже отмечалось, c (A'-Q, G) равно числу склеивающих А' и К' векторов. В случае, если примитивные представления X': Q[X'} = А! образуют одну орбиту, формула (2.59) позволяет находить порядок группы автоморфизмов ортогонального дополнения К' где stab (X') — порядок стабилизатора представления X' в группе автоморфизмов 0%(Q). Формула (2.59) указывает дополнительно на алгебраическое значение векторов склейки: они отвечают за подъем автоморфизмов из стабилизатора Stab (X') в полную группу автоморфизмов Oz (K') ..

В § 4 главы 2 изучаются многоорбитные представления с ортогональными дополнениями К1 из разных родов. Разводя эти формы по разным родам, удалось получить представления только одним родом..

В третьей главе исследуются специализации квадратичной формы диофантовых систем (1), применяющиеся для конструирования неоднородных диофантовых уравнений и систем..

В § 1 главы встроятся неоднородные системы и устанавливается связь между числом pr (A-Q, G) примитивных представлений формы, А формой Q и числом prx'(A]Q, G) примитивных представлений X = (X'X") с фиксированным блоком X' (предложение 3.1)..

В § 2 главы 3 доказывается теорема, позволяющая находить число целых решений уравнений высших степеней, разложимых на квадратный и о (К') — с (А'] Q} G) ¦ stab (X'), А линейные множители в кольце Z и приводимых к неоднородным уравнениям, полученным в результате деформации диофантовых систем Q[X] = А ..

В § 3 главы 3 наличие определенного числа решений неоднородных диофантовых уравнений связывается со свойством чисел быть близнецами. Выбор специальных параметров форм позволяет решать некоторые задачи о близнецах..

6. Результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения» (Тула, 2001 г.), наXXIV конференции молодых учёных (МГУ, 2002 г.), на научно-исследовательском семинаре по теории чисел МГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю. В. Нестеренко, на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВГПУ (1999 — 2002 гг., секция «Алгебра и теория чисел»), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре по теории чисел ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Н. М. Тимофеева..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [5]~.

7. В работе использованы следующие обозначения Q = Qn ~~ положительно определенная квадратичная форма и тождественная ей матрица Грама, tQ — транспонированная матрица Q, Q — определитель формы Q, dim Q — размерность формы Q ,.

Mn^m® — множество матриц размера п х т с элементами из кольца R, Z, Z" - целые рациональные и^{-адические} числа,.

GLn{R) — группа целочисленных унимодулярных матриц с элементами из.

15]. символ Лежандра, кольца R,.

SLn® — подгруппа GLn® с единичным определителем, {.

А ф G — прямая ортогональная сумма форм, А и G, с] i ф G — склейка форм Л и С, где С — форма склейки, Lq — решетка, отвечающая форме Q ,.

Q = Q1 Ф ~ жорданово разложение формы Q над кольцом Хр, 1″ - единичная матрица размерности п, Qi, Qii — нечетная и четная формы соответственно, Ъп — кубическая пмерная решетка..

1. Андрианов А. Н. Двойственность в теореме Зигеля о представлениях родом квадратичных форм и оператор усреднения // Мат. сборник. -1983. — Т. 122, т. — С. 3 — 11..

2. Андрианов А. Н. Мультипликативная арифметика зигелевых модулярных форм // УМН. 1979. — Т. 34, Вып.1. — С. 67 — 135..

3. Андрианов А. Н., Журавлёв В. Г. Модулярные формы и операторы Гекке. М.: Наука, 1990..

4. Боревич 3., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972..

5. Бударина Н. В. Представление квадратичных форм формами // Тезисы докл. IX Межд. конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология». Чебоксары, 2001. — С. 38..

6. Бударина Н. В. Подрешетки Ъ71 и число представлений // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. Владимир, 2001. — Вып. 1. — С. 15 -20..

7. Бударина Н. В. Представление квадратичных форм формами подре-шеток кубической решетки // ВИНИТИ РАН. 2001. № 2110-В2001 Деп. — 25 с..

8. Бударина Н. В. Неоднородные квадратичные уравнения // Тезисы докл. IV Межд. конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 2001. — С. 32 — 33..

9. Бударина Н. В. О числе решений неоднородных уравнений // Труды IV Межд. конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула: Изд. центр ТГПУ им. JI.H. Тостого, 2001. — Т.2. С. 19 30..

10. Бударина Н. В. Квазиблизнецы // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ. Владимир, 2002. — Вып. 2. — С. 34 — 36..

11. Бударина Н. В. Деформации диофантовых систем для квадратичных форм кубических решеток // Записки научных семинаров ПОМИ. -СПб.: Наука, 2002. 286,№ 18. — С. 5 — 34..

12. Бударина Н. В. Диофантовы системы уравнений первой и второй степени /'/' Труды XXIV Конференции молодых ученых механико математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. — М.: МГУ, 2002. С. 40 43..

13. Бударина Н. В. Неоднородные квадратичные диофантовы системы // ВИНИТИ РАН. 2002. — № 645-В2002 Деп. — 22 с..

14. Бударина Н. В. Системы неоднородных диофантовых уравнений // Тезисы докл. X Межд. конференции «Математика. Экономика. Образование». Ростов-на-Дону, 2002. — С. 118 — 119..

15. Бударина Н. В. Уравнения высших степеней // Тезисы докл. Межд. конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2002. — С. 41 — 42..

16. Венков Б. А. Исследования по теории чисел. Л.: Наука, 1981..

17. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наук СССР, 1959..

18. Голубева Е. П. Представление больших чисел тернарными квадратичными формами // Мат. сборник. 1986. — Т. 129, № 1. — С. 40 — 54..

19. Голубева Е. П., Фоменко О. М. Асимтотическое распределение целых точек на трехмерной сфере // Записки научных семинаров ЛОМИ. -Л.: Наука, 1987. Т. 160. — С. 54 — 71..

20. Голубева Е. П., Фоменко О. М. Замечание об асимптотическом распределении целых точек на большой трехмерной сфере // Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1990. — Т. 185, № 10. — С. 22 -28..

21. Журавлёв В. Г. Представление квадратичных форм родом квадратичных форм // Алгебра и анализ. 1996. — Т.8,№ 1. — С. 21 — 112..

22. Журавлёв В. Г. Орбиты представлений чисел локальными квадратичными формами // Тр. МИРАН. 1997. — Т.218. — С. 151 — 164..

23. Журавлёв В. Г. Вложение р-элементарных решеток // Изв. РАН. Сер. матем. 1999. — Т. 63, № 1. — С. 77 — 106..

24. Журавлёв В. Г. Примитивные вложения в локальные решетки простого определителя // Алгебра и анализ. 1999. — Т.11,№ 1. — С. 87 -117..

25. Журавлев В. Г. Деформации диофантовых квадратичных систем. // Известия РАН. Серия математическая. 2001. — Т. 65, № 6. — С. 5 — 56..

26. Касселс Дж.У.Ск.

Введение

в геометрию чисел. М.: Мир, 1965..

27. Касселс Дж.У.Ск. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982..

28. Коган Л. А. и др. Представление чисел квадратичными формами. -Ташкент: ФАН, 1989..

29. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990..

30. Линник Ю. В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979..

31. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. МИАН СССР. 1962. — Т.65..

32. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972..

33. Фоменко О. М. Оценки скалярных произведений Петерсона параболических форм и арифметические приложения // Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1988. — Т. 168. — С. 158 — 179..

34. Фоменко О. М. Применение формулы Петерсона для билинейной формы от коэффициентов Фурье параболических форм // Записки научных семинаров ПОМИ. СПб.: Наука, 1993. — Т. 204. — С. 143 — 166..

35. Andrianov A.N., Panchishkin A.A. Singular Frobenius operators on Siegel modular forms with characters zeta-functions //L'Institut Fourier, XJniver. Grenoble. 1999. — Vol. 469. — P. 1 — 31..

36. Conway .J., Sloan N. The unimodular lattices of dimension up to 23 and Minkowski-Siegel mass constants //Eur. Combinatoires. 1982. -Vol. 3. — P. 219 — 231..

37. Conway J., Sloan N. Low-dimensional lattices IV. The mass formula // Proc. R. London. 1988. — Vol. 419. — P. 259 — 286..

38. Conway J., Sloan N. Quadratic forms of small determinant // Proc. R. Soc. Loncl. 1988. — Vol. 418. — P. 17 — 41..

39. Dirichlet P.G.L. «Uber die Reduktion der positiven quadratische Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen // J. reine angew. Math. 1850. -Vol. 40.-P. 216−219..

40. Duke W., Schulze-Pillot R. Representation of integers by positive ternary quadratic forms and equidistribution of lattice points on ellipsoids // Invent. math. 1990. — Vol. 99, № 1. — P. 49 — 57..

41. Eisenstein G. Tabelle der reducirten positiven quadratischen Formen, welche verschiedene Determinanten haben Sitzungsberichte der Preuss // Math. Werke. 1852. — Vol. II. — P. 722 — 761..

42. Eichler M. Quadratische Formen und ortogonale Gruppen. Berlin: Springer, 1952..

43. Hasse H. Uber die Aquivalenz quadratischer Formen im Korper der ra-tionalen Zahlen // J. reine angew. Math. 1923. — Vol. 152. — P. 205 -224..

44. Hsia J., Kitaoka Y., Kneser M. Representations of positive quadratic forms // J. reine angew. Math. 1978. — Vol. 301. — P. 132 — 141..

45. Jocher M., Kitaoka Y. Representations of positive quadratic forms with congruence and primitive conditions //J. Number Theory. 1994. — Vol. 48, № 1. — P. 88 — 101..

46. Kitaoka Y. Lectures on Siegel modular Forms and representation by Quadratic Forms. Berlin: Springer, 1986..

47. Kitaoka Y. Some remarks on representations of positive definite quadratic forms // Nagoya Math. 1989. — Vol. 15. — P. 23 — 41..

48. Kitaoka Y. A note on representation of positive definite quadratic forms in 6 variables / / Acta arithm. 1990. — Vol. 54, № 4. — P. 317 — 322..

49. Knezer M. Quadratischer Formen. Gottingen: Math. Inst., 1974..

50. Knezer M. Uber die Ausnahme-Isomorphismem zwischen endlichen klas-sischen Gruppen // ASUH. 1967. — Vol. 31. — P. 136 — 140..

51. Minkowski H. Untersuchungen uber quadratischer Formen. Bestimmung cler Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes. Genus enthalt. Konigsberg. Innagural dissertation // Acta Math. 1885. — Vol. 7. — P. 201 — 258..

52. Niemeier H.-V. Definite quadratische Former der Dimension 24 und Diskriminante 1 // J. Number Theory. 1973. — Vol. 5. — P. 142 — 178..

53. Pommerenke C. Uber die Gleichverteilung von Gitterpunkten auf m-dimensionalen Ellipsoiden // Acta Arithm. 1959. — Vol. 5, № 2. — P. 227 — 257..

54. Siegel C.L. Uber die analytische Theorie der Quadratischen Formen // Ann. Math. 1935. — Vol. 36. — P. 527 — 606..

55. Siegel C.L. Lectures on the Analytical Theory of Quadratic Forms. -Gottingen: Revised Edition, 1963..

56. Smith H.J. On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates // PRS. 1867 — Vol. 16. — P. 197 — 208..

57. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms // Mathematica. 1972. — Vol. 19, № 1. — P. 96 — 104..

58. Watson G.L. One-class genera of positive quaternary quadratic forms // Acta Math. 1974. — Vol. 25, № 5. — P. 461 — 475..

59. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms // Mathematica. 1975. — Vol. 22, .№ 1. — P. 1 — 11..

60. Watson G.L. One-class genera of positive quadratic forms in least five variables / / Acta Math. 1975. — Vol. 26, № 3. — P. 309 — 327..

61. Watson G.L. One-class genera of positive quadratic forms in eight variables // J. London Math. Soc. 1982. — Vol. 26, № 2. — P. 227 — 244..

62. Witt E. Spiegelungsgruppen und Aufzahlung halbeinfacher Liescher Ringe // ASUH. 1941. — Vol. 14. — P. 289 — 322..

63. Wright E.M. The representation of a number as a sum of four «almost proportional» squares // Quart. J. Math. 1936. — Vol. 7. — P. 230 — 240..

64. Wright E.M. The representation of a number as a sum of five or more squares // Quart. J. Math. 1937. — Vol. 8. — P. 37 — 51- 228 — 232..