Типические способы описания собственных классов. 
Глобальная размеренность классов

Пусть Я — ассоциативное кольцо с единице! и ^ - класс коротких точных последовательностей /точных троек/.

Е: О—>А 6 >Ъ Л >С->-0 левых Я. -модулей. Если Е €^ говорят, что 6 является ^ -собственным мономорфизмом или ос являетсясобственным эпиморфизмом. Длинная точная последовательность Б:. .-9-Ан,———>А Л+4-.. называется.

— собственной, если все тройки вида.

О-—> Ке^с оСл->/ ^-> 1 т. -> 0 принадлежат: $ 1 .

Говорят, что подмодуль, А модуля В является Лсобственным /или просто собственным, когда ясно, о каком классе идет речь/, если тройка 0—>6-> ЫА— —" 0 принадлежит классу я.

Класс Л называется собственным, если выполнены следующие условия:

Р— 1 /вместе с каждой тройкой в Я содержатся все изоморфные ей точные тройки;

Р~2 / всякая расщепляющаяся точная тройка содержится в «Я- - Р — Ъ / композиция ^ • I двухсобственных мономорфизмов (• и? является Лсобственным мономорфизмомР-З'/ композиция? °с*, двух Я. -собственных эпиморфизмов <*-и ^ является % -собственным эпиморфизмомР-Ч /если б, умономорфизмы и с является 51 -собственным, то с является Жсобственным мономорфизмомР~ У'/если сс, р — эпиморфизмы и ]3* ос являетсясобственным, то такжесобственный эпиморфизм.

Расширения длины П модуля /4 с помощью модуля? , явля-щиеся Лсобственными точными последовательностями, приводят к определению аддитивных функторов.

Eocyt^: (RJIW) *(R-MocL)-+M /см. [2], гл. III, § 4/, причем Bxl^ является подфунктором функтора Eoctj^ .

Из функториальности Ecot ^ следует, что в условиях. Р-Ч и P’V требования мономорфности j и эпиморфности ос лишние /см. [30] и [б] /.

Собственные классы нередко называются чистотой /см. 25], [з]и др./. Б такой терминологии вместо прилагательного" -собственный" используется «Stчистый» .

Модуль М называется JR. -проективным или проективным относительно класса, если тройка точна для любой тройки Е из Л. Модуль А/ называетсяЯ. -инъектившш или инъективным относительно класса^, если тройка К схууь (Е, N) точна для любой тройки Е из ,.

Существует два самых распространенных способа задания собственного класса. Первый способ заключается в следующем /см. 5]/. Пусть Т (М, Ь) — аддитивный ковариантный или контравариантный функтор, точный справа или слева, и зависящий от объекта М из некоторой категории. Если Ж — некоторый класс объектов этой категории, обозначим через класс всех таких точных троек и., что тройки THE) точны для любого I1 из ж. Оказывается, t~l (<М) -всегда собственный класс.

Пусть Ж — некоторый класс левых Ямодулей. Если взять в качестве Т (М,') функтор Horn. (М,'), получим проективно порожденный собственный класс Ш~1(Ж). Взяв в качестве TIM,') контравариантный функтор Нот (', М) «получим инъ-ективно. люрожденный собственный класс I-1 (J&). Другими словами, я» Ш)/ и1 (Ж) является наибольшим собственным классом, для которого все модули изМ являются относительно проективными /инъективными/. Пусть теперь М.

— некоторый класс правых Rмодулей. Тогда, взяв в качестве Т (М, •) функтор

М <3> •, получим плоско порожденный собственный класс т.

Второй способ задания собственного класса заключается в задании такого подфунктора Eoot^ функтора Bod^, что Еэс£ * (С, А) состоит из всех Лсобственных растре-ус ний модуля, А с помощью модуля С /для любых /А и С /. При этом оказывается, что собственные классы определяют не любые подшункторы /значения которых — подгруппыДля того, чтобы подфунктор Eott^ функтора Е Ott^, для которого Е oct ji (С-? А) является подгруппой в.

ExtJ (С, А) для любых модулей С и, А /всякий такой подфунктор называется кратко.

Ефунктором/, задавал собственный класс, достаточно выполнение одного из условий Р~ 3 или Р~ 3/ /см. теорему I. I в [2б]/.

Заметим, что проективно порожденный собственный класс ST~l (Jl^i) также допускает задание с помощью подфунктора функтора Ext^. Именно, как показывает теорема 1.2 в[5],.

Esa*Wc.A)=.fI ^{i'-'Ext^C,^—rEAt- (М, А)}, где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам.

4М-" С с областью определения М изЖ. Двойственным образом,.

С, А)=Л Кеъ Exi^(C, A)-*Е<(С, М)>, где пересечение берется по всевозможным гомоморфизмам А——>М с областью значений М из (Ж .

Модуль Р называется копроективным для собственного класса Я /или, -копроективным/, если Eoct ^ (Р, А) = — ЕэсХ^ (Р9 А). Модуль I называется коинъективным для класса Л /или, -коинъективным/, если Eoct ^ (С, Г) = = ЕосЛ^ (С, Г]. -копроективные икоинъективные модули в монографии [3] называются соответственно 31 -плоскими и % -делимыми модулями.

Пусть Ф и У — некоторые классы левых Ямодулей. Наименьший собственный класс к, для которого все модули из ¿-Р являются копроективными, называется копроективно порожденным собственным классом. Наименьший собственный класс к р). для которого все модули из У являются коинъективными, называется коинъективно порожденным собственным классом. Классы к (&) и к СУ) в специальных случаях были введены и изучались в[24], поэтому мы их будем называть также классами Кепка /определения Кепка могут быть сведена к определениям, данным выше/. Наименьший собственный класс ц?, У), для которого все модули из являются копроективными, а все модули из У являются коинъективными, будем называть классом типа Иванова /в специальных случаях такого типа классы исследовались в [б]/. Как замечено в[з], пересечение любого семейства собственных классов является собственным классом, поэтому вышеуказанные определения корректны.

Собственный класс называется индуктивно замкнутым, если прямой предел спектра, состоящего изсобственных троек, являетсясобственной тройкой. Интерес к индуктивно замкнутым классам объясняется тем, что они содержат класс Кона^, состоящий из всех точных троек Е таких, что тройка М 0 Е точна для любого правого модуля М ,.

Целью диссертации является изучение копроективно и коинъек-тивно порожденных, индуктивно замкнутых собственных классов, собственных классов типа Иванова и некоторых других, их связей между собой и их места среди типичных собственных классов, известных в литературе, исследование глобальных размерностей этих классов, а также изучение свойств производных объектов для таких собственных классов /копроективных, коинъективных и др. модулей/.

Перейдем к изложению результатов диссертации. В § 1.1 изучаются копроективно порожденные и коинъективно порожденные собственные классы. В работе [24] классы К. (Р) к * (У) специфическим методом описаны в случае, когда классы ф и У замкнуты относительно расширений, ¿-Р замкнут относительно подмодулей, а У замкнут относительно фактормодулек. Так как классы копроективных и коинъективных модулей для любого собственного класса замкнуты относительно расширений /см. предложения /1.9/ ж /1.14/ в [з]/, то первое условие вполне естественно. Однако даже собственные подмодули копроективных модулей не обязательно копроективны /см. предложение 9.6 в [5],[38]/, так же как фактормодули коинъективных модулей по собственным подмодулям не обязательно коинъективны /см. предложение 9.7 в И/. Поэтому в диссертации требование замкнутости классов 9> и С/ по отношению к подмодулям и, соответственно, к бактормодулям обычно опускается /в соответствии с [з] это требование естественно накладывать на 9> и У лишь в случае наследственного кольца Я. /.

В диссертации дано следущее описание собственных классов К (¿-Р) и кр] с помощью подфунктора ЕосЬ^ :

Теорема 1.1.5. Пусть 9* -класс модулей, замкнутый относительно расширений, и пусть класс троек УС определен следующим подфунктором ЕэсА^. функтора ВосЬ^: где объединение берется по всем Р из 9> и всевозможным гомоморфизмам — С-*" Р. Тогда класс Ж является собственным и совпадает с к (¿-Р) .

Теорема 1.1.6″ Пусть У — класс модулей, замкнутый относительно расширений, и пусть класс троек X определен следующим подфунктором Еос£ Ь функтора.

ЕоиЦ :

Е1ууь {д: Ео*?(С, и->ЕосХ{С, А)} «где объединение берется по всем I из 3 и всевозможным гомоморфизмам ^ I-• Тогда класс ^ является собственным и совпадает с к.

Эти теоремы указывают на определенную двойственность между проективно порожденными и копроективно порожденными, а также инъективно порожденными и коинъективно порожденными собственными классами,.

В случае, когда классы & и У замкнуты относительно расширений, замкнут относительно подмодулей и У замкнут относительно фактормодулей, эти теоремы были выведены из теоремы 1.1 в[24] С. Н. Фединым /см,[15]/.

В § 1.2 изучаются классы типа Иванова в случае наследственных колец и замыкания по Харту 5с произвольных собственных классов 31 в категории абелевых групп /изучавшиеся в литературе лишь для специальных классов 31, см. [34], [22} /1.

В случае, когда кольцо Я. наследственно, всякий с (3 -мономорфизм является композицией к О) -мономорфизма и Я (5Р) -мономорфизма /см. [15.]/. Используя этот факт мы доказываем следующее утверждение.

Предложение 1.2.1. Пусть кольцо Я наследственно, и У — классы модулей, замкнутые относительно расширений, 3^ замкнут относительно подмодулей, У замкнут относительно фактор-модулей и выполнены следующие условия: I/ если.

I с Р, 1е 3, Ре 9, то Р/1е&. 2/ есш Хс 1,1е 3, 1// € ^ 9 ю Хе У .

Тогда для любых модулей С и, А имеем:

Еэс^^уС, = (С, А) + (С?А) .

Это предложение будет существенно использовано в § 3.3. Пусть — произвольный собственный класс точных троек абе-левых груш. Под классом Харта понимается класс всех таких троек Е, что пЕёЛ для некоторого целого пФ О .В частности взяв в качестве Л класс 30 всех расщепляющихся троек, получим класс э0 = ТеосЛ квазирасщепляющихся троек /см. 34]/. Напомним, что Т. е. х? (С, А) — периодическая часть группы ЕэсКС, А) .Взяв в качестве л классы 2) и 5 соответственно периодически расщепляющихся и сервантно точных троек, получим классы ж $ квази-периодически расщепляющихся и квази-сер-вантно точных троек /см. 22]/ /точная тройка называется периодически расщепляющейся, если всякая периодическая группа относительно нее проективна/.

Теорема 1.2.2. Для любого собственного класса Я в категории абелевых групп Ж — собственный класс.

Отсюда получаются теоремы 2/л/ и /ё/ из [22], где это утверждение доказывается лишь для классов 2) и 3 .

Теореглы 3 и 4 из [22] показывают, что у классов 2) и б нетривиальных относительно проективных и относительно инъективных групп нет. Оказывается, это не случайно. Имеет место следующий общий факт.

Следствие 1.2.6. Для любого собственного класса.

Я класс.

УЬинъективных групп совпадает с классом делимых групп и если.

О не является проективной для^, то А. -проективные груп пы совпадают со свободными. В противном случае, Згпроективные группы — это в точности группы вида Е (В, А, где Г — свободная группа и, А — делимая группа без кручения. Доказано, что если Л является классом типа Иванова, то.

Уъ тоже является классом типа Иванова. Именно, справедлива.

Теорема 1.2.3. Для произвольных классов 3* и CJ абелевых групп.

1. Ф. Каш Модули и кольца, М., «Мир», 1981.

2. С. Маклейн Гомология, М., «Мир», 1966.

3. А. П. Мишина, Л. А. Скорняков Абелевы группы и модули, М., «Наука», 1969.

4. Л. Фукс Бесконечные абелевы группы, т.1,2, М.," Мир", 1974, 1977.

5. Е. Г. Скляренко Относительная гомологическая алгебра в категории модулей, УИН, 33:3/1978/, 85 120.

6. А. И. Генералов К определению чистоты модулей, Матем. заметки, II. вып. 4, 375−380.

7. А. И. Генералов Индуктивные чистоты в категории модулей, СМЖ, 24:4/1983/, 201−205.

8. А. В. Иванов сиделимые и Сиплоские модули, Матем, заметки, 24:6/1978/, 741−747.

9. С. И. Комаров Об Gl Ячистоте в абелевых группах, Вестник МГУ, 2/1982/, 11−18.

10. В. И. Кузьминов 0 группах чистых расширений абелевых групп, СМЖ, 17:6/1976/, 1308−1320.

11. Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 16/1945/, 129−162.

12. А. А. Мановцев Индуктивные чистоты в абелевых группах, Матем. сб., 96:3/1975/, 414−446.

13. Е. Г. Скляренко Чистые и конечно предетавимые модули, гомомор1 «физмы двойственности и свойство когернтности кольца, Матем. сб. Ю5/147/:2/1978/, 192−206.

14. Е. Г. Скляренко К теореме Мановцева-Кузьминова, СЖ, 22:1 /1981/, 144−150,.

15. С. Н. Федин Собствнные классы точных троек и подфункторы функтора В£, Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н., М., 1983.

16. С. Н. Федин, о понятии индуктивного замыкания собственного класса, Матем. заметки, 33:3/1983/, 445−457.

17. С. Н. Федин 0 чистой размерности колец и модулей, УМЙ, 37:5/1982/, 203−204.

18. X. $Ясои>ъ Мои* оуь ргсгсСЬт, Слиск. ТИсМ*. гг: Ч (i9?2)1 525−53.

19. Ъ. ЗъусЛы&СЬи^К' ?2 оть к&ггиэ&э^у сосубе. о^сги.'е^, Си^гь. о4¦ УПсМь., С9- 1 (1953., € 6- У.

20. Ж,£ Я. ЬиМеъ, У. Лоъ’ьос-К'* о<{ ^?х*Ркс&Х. Тъсиод. Яор.Зоб.ХоьЛоп 1*1−2.2.2.

21. Р. Ы4(>4 ръо^йпс ?4, 7ке Скгиея. УПсМь. ТПогьЬкуС, $ 5(1Э?£), 22. ?5. Л-аъЬ Тъто ра, п. а?6е? Нлггуи>?о^са / аЛре-Лкх-д, Шсо^. (ХсаА. 5и. ., 2*:3 ~ У (19? У/, 32 1−32.

22. Р. &—Ссгкчпап,} (X. ^Со-С&г^Сок.глЛаЬСпп., №а, Ьк. 2е1Ьскл., 102(19*1), №'411.

23. Т. К^ер/^-а. Оп. опе с^а^) ръс-'ы (сед, Сотп. те*.~6. ТИсийг. Чпллт.: 1 13 9 ~ и25. т. ТЯал. с^уг^Ссь 0<п р<�шг* о^. 0.?е?с4.п.СЬссА. 7ПАЛ4ъ., ц {10со-, 1- 13.

24. Я. 2).^{Ми-гмсе.} Ригсс^С^. СЫъо1 ¦дгсЛ^'Ьс?(XI ?(??кЬсЬр^1п: 7<�ур-1сд ¿-т СМе&а.П' уъо^р*, 436 3,121−17−1.

25. B. iH^n^'ZchK. Ct/h&btri't 'bin^i CUKCI FP- ?^'ea-ti^e ryvotLttiid, j. ZO^CJLotv бос., Zt 2>(107-O)* 3ZZ-3Z9.lb€(19U), St1-Stif.

26. C. Wa-l /с ел* Pzojic-twe со^спыоги fvvufi, Ш. у. WbaJb., 17- 4(131 $), 629-?06.

27. С. P. VT^tfCe^ P*uoj>*cUej oj. Ex? <�уи, сх.<�дСо/ Ct-beJLcccJbg/is&u-'prt, (L&t-Oc. ITLcUth-i Ctc&-cL.

28. R. В¦ 'UTcLt^ie.tcL PuiAty, and аЛ^гЛъсьСсc^>7rvpa^itк1 fob rr^ocLuAe-d}.

29. Р. Г. Ализаде 0 собственном классе Кепка, Матем. заметки, 37:2/1985/, 268−273.

30. Р. Г. Ализаде, С. Н. Федин Об 31 ^ -проективных модулях, Деп. в ВИНИТИ 6 дек. 1982 г., J& 5970−82 ДЕЛ, 14 стр.

31. Р. Г. Ализаде Об индуктивно замкнутых собственных классах в категории абелевых групп, Деп. в ВИНИТИ 6 дек. 1982 г., В 5971−82 ДЕЛ, II стр.

32. Р. Г. Ализаде Некоторые свойства индуктивно замкнутых классов в абелевых группах, Материалы 4 конференции молодых ученых по математике и механике, посвященной 60-летию образования СССР, Баку, 1983, 41−44.

33. Р. Г. Ализаде 0 глобальной размерности собственных классов в категории абелевых групп, IX Всесоюзный симпозиум по теории групп, Тезисы докладов, М., 1984, 171.

34. Р. ГДлизаде 0 глобальной размерности некоторых собственных классов, УМН, 40:1/1985/, 181−182.

35. Р. Г. Ализаде 0 собственных классах Харта, ХУТП Всесоюзная алгебраическая конференция, Тезисы докладов, Кишинев, 1985, 14.