Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, курсовая, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°
ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ отдСлимости ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ

Π”ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ОсновноС Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ выпуклости) состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстныС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡΡΡ‚ся Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ случай. НапримСр, Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… мноТСства, А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  • 1. ЦикличСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ отдСлимости
    • 1. 1. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Ρƒ модуля
    • 1. 2. ЦикличСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай
    • 1. 3. ЦикличСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² М^Π°Ρ… Ρ…
  • 2. ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Минковского
    • 2. 1. ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, базисы ΠΈ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ элСмСнты
    • 2. 2. Базисы ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ» Π΅ΠΉ
  • 3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ замыкания ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†
    • 3. 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ замыкания ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† Π½Π°Π΄ ΠœΡ‰Π°Ρ…, Ρ…
    • 3. 2. ΠšΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…

Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ отдСлимости ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹

.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ’ряда’Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„Π°Ρ…, тСория ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ управлСния), Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ (тСория ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°-Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ, низкотСмпСратурная асимптотика Π² ΡΡ‚атистичСской Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅) ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях явно ΠΈΠ»ΠΈ нСявно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ «ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ» Ρ„, которая являСтся ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ-ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ (Π°Ρ„Π° — Π°). Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ, сформулированный Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊΠΎΠΌ Π’. П. ΠœΠ°ΡΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ [12, 13, 63], опрСдСляСт Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ области ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, которая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ идСмпотСнтная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. МногиС интСрСсныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ области содСрТатся Π² ΡΠ±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊΠ΅ статСй [56], см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Ρ‹ [Π±, 55]. Π’ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ичСски Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ идСмпотСнтная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ слоТСния часто ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ опСрация взятия ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ максимума Π΄Π²ΡƒΡ… элСмСнтов, Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ алгСбраичСской структурой являСтся Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅. НапримСр, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ МгпаΠ₯) Π₯, опрСдСляСмоС ΠΊΠ°ΠΊ мноТСство Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл R+, снабТСнноС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ слоТСния Ρ„ = max ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния 0 = Ρ…, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½ΠΎΠ΅ Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠœΡ‚Π°Ρ…, опрСдСляСмоС ΠΊΠ°ΠΊ мноТСство чисСл Π¨ U {—ΠΎΠΎ} с ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ„ = ΡˆΠ°Ρ… ΠΈ © = +.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ прилоТСния ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ связаны с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Одно ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΎ описано Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π‘. А. ΠšΠ°Ρ€Ρ€Π΅ [27, 28], см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ [45, 71]. Π’ ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Гаусса Π±Π΅Π· Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ элСмСнта ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΡ‚ΠΈΠΏ для ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„Π°Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ систСм Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ классом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ†. Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… — это ряд / Ρ„, А Ρ„ Π2 Ρ„. Π³Π΄Π΅, А — это нСкоторая квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° с ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ (I — А)~Π³ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ алгСбраичСским Π·Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ А. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ своС дальнСйшСС Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ²Π°, Π’. П. Маслова ΠΈ Π΄Ρ€. [57, 58, 60], см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ [61],[62] ΠΈ [73], посвящСнных ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полуполями, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСм Π²ΠΈΠ΄Π° Ах = b ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ собствСнных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ах = Π₯Ρ…, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ расписаний, синхронизациСй производства ΠΈ ΡΠ΅Ρ‚ями ΠŸΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈ [23, 33, 49]. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ прилоТСния Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅. Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, рассмотрим модСль ЀрСнкСля-ΠšΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π΅ это одномСрная Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ², находящихся Π² ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π΅. ΠŸΡ€ΠΈ статичСском описании этой ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ основная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ основных состояний ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ эти состояния [21, 22]. Алгоритм для нахоТдСния основных состояний Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π£. Π§ΠΎΡƒ ΠΈ Π . Π‘. Гриффитсом [30]. ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ использовали для этого собствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π§ΠΎΡƒ ΠΈ Π“риффитса Π±Ρ‹Π» использован Π² Ρ€ΡΠ΄Π΅ физичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ [66, 67, 76]. Π‘Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌΡƒ матСматичСскому описанию Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚СматичСской экономикС, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… динамичСской ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠΌ, Π³Π΄Π΅ трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, приносящиС ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ [14, 53, 77].

Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΡΡ‚ΠΈΠΌΠΈ практичСскими прилоТСниями, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ интСрСс ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ† ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, ΠΈ ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ (Ρ‚.Π΅. «ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранств») Π½Π°Π΄ этими ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ этих Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² собрана Π² ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ Π”ΠΆ. Π“ΠΎΠ»Π°Π½Π° [44]. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линСйная Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ (ΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅) отличаСтся Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ способов ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ линСйная Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π½Π³ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΈ Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΡΡ‚ΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, см. [23, 26, 33, 46, 48, 80].

Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π’. П. Маслова ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сотрудников [4], [5], [11]-[14], [53], [63]-[65], см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ [36] ΠΈ [37]. Основной ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ-ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π’. П. Маслова — это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ топологичСском пространствС, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅. Π’ Ρ†ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚Π° тСория ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ², ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ-ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²). Π­Ρ‚ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ для построСния ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°-Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ-Π‘Π΅Π»Π»ΠΌΠ°Π½Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ся Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… динамичСской ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ΠΎΠΌ. Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ²Π°, Π’. П. Маслова ΠΈ Π“. Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·Π° [7, 8, 9] Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ алгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ отличаСтся Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΌ основныС топологичСскиС понятия ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΡ‚ΠΎ алгСбраичСском ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅, с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ упорядочСнных Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ [1, 18].

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ эвристичСский ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ соотвСтствия [57], родствСнный извСстному ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡƒ соотвСтствия Н. Π‘ΠΎΡ€Π°: Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… интСрСсных конструкций ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² «Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Π΄ полями Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ интСрСсныС ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ. Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, это касаСтся ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ посвящСна данная диссСртация. Один ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» К. Π¦ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ€ΠΌΠ°Π½Π½ [78, 79], ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ рассмотрСл ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… мноТСств ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ± ΠΎΡ‚дСлимости Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… полумодулях Π½Π°Π΄ Rmax. Π•Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π‘. Н. Бамборского ΠΈ Π“. Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·Π° [72] (Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полуполями), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π“. ΠšΠΎΡΠ½Π°, Π‘. Π“ΠΎΠ±Π΅Ρ€Π°, Π–.-П. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π° ΠΈ И. Π—ΠΈΠ½Π³Π΅Ρ€Π° [31, 32]. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ этого Ρ‚ΠΈΠΏΠ° выпуклости Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ посвящСна Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° М. Π”Π΅Π²Π΅Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π‘. Π¨Ρ‚ΡƒΡ€ΠΌΡ„Π΅Π»ΡŒΡΠ° [39]. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅. развиваСтся Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ выпуклости, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ свободного полумодуля, элСмСнтами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ (Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ смыслС) области, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ с ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ проСкциями Π½Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ мноТСства. ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ этих ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², исслСдуСмыС Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ диссСртации ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ здСсь цикличСскими ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для нахоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ [34].

АбстрактныС вСрсии Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ отдСлимости, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами Π₯Π΅Π»Π»ΠΈ, Π Π°Π΄ΠΎΠ½Π° ΠΈ ΠšΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΡ€ΠΈ, извСстны Π² Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ выпуклости [17]. Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, извСстны Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ отдСлимости Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… мноТСств с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° полупространств [29]. БущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ выпуклости, Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π² Π½Π°ΡΡ‚оящСС врСмя Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚СматичСской экономикС [40].

ОсновноС Π·Π°Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ выпуклости) состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстныС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡΡΡ‚ся Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ случай. НапримСр, Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… мноТСства, А ΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 0 отдСляСтся ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, А — Π’, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ вычитания ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ разности, А — Π’ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся слишком «ΡΠ»Π°Π±Ρ‹ΠΌ». АналогичныС затруднСния Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ вСрсиСй Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Минковского. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих трудностСй — основной стимул Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

ЦСль Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

ЦСль Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ — ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ… Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ полуполямив частности, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… извСстных Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ исслСдования.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ элСмСнты Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Научная Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ·Π½Π°.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ диссСртации ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΡ‚оят Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ:

1. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° отдСлимости Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹, ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π₯Π΅Π»Π»ΠΈ;

2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ спСктр цикличСских ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ обобщСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠΈ Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°;

3. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Минковского;

4. Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свободного полумодуля, описаны ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ алгСбраичСского замыкания, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ для ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ класса ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†;

ВСорСтичСская ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ичСская Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ДиссСртация носит тСорСтичСский Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Π½Π΅ΠΉ, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для дальнСйшСго изучСния ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ.

Апробация Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

1. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ конфСрСнция «II International Conference on Matrix Methods and Operator Equations». Москва, Π˜Π½ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡƒΡ‚ Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ РАН, 23−27 ΠΈΡŽΠ»Ρ 2007 Π³ΠΎΠ΄Π°.

2. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ конфСрСнция «Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics». Москва, НСзависимый Московский УнивСрситСт, 25−30 Π°Π²Π³ΡƒΡΡ‚Π° 2007 Π³ΠΎΠ΄Π°.

3. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ конфСрСнция «Π“СомСтрия Π² ΠΡΡ‚Ρ€Π°Ρ…Π°Π½ΠΈ». ΠΡΡ‚Ρ€Π°Ρ…Π°Π½ΡŒ, АГУ, ΡΠ΅Π½Ρ‚ΡΠ±Ρ€ΡŒ 2007.

4. Π‘Π΅ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ€ «ΠšΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ». Π ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: профСссора А. Π’. ΠœΠΈΡ…Π°Π»Π΅Π², Π’. Н. Π›Π°Ρ‚Ρ‹ΡˆΠ΅Π², B.A. Артамонов, Π•. Π‘. Π“ΠΎΠ»ΠΎΠ΄, Π’. К. Π—Π°Ρ…Π°Ρ€ΠΎΠ², Π΄ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ B.T. ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠΎΠ² ΠΈ А. Π­. Π“ΡƒΡ‚Π΅Ρ€ΠΌΠ°Π½. Москва, ΠœΠ“Π£ ΠΈΠΌ. Πœ. Π’. Ломоносова, ΠΎΠΊΡ‚ΡΠ±Ρ€ΡŒ 2007.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ диссСртации ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΏΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

: ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ М-Ρ‚Π°Ρ…, Ρ… — это мноТСство Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, снабТСнноС опСрациями слоТСния Ρ„ := max ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния О := Ρ…. НапримСр, Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ 2Ρ„3 = 3ΠΈ2©-3 = 6. Рассмотрим К^ Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ свободный ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ с Ρ‚рСмя ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π½Π°Π΄ΠœΡ‚Π°Ρ…, Ρ…Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ IRfnax Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ (x, y, z). На Ρ€ΠΈΡ. 1 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ сСчСния ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ z — const Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Ρ…. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ — это «ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ с Π΄Π²ΡƒΠΌΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ «Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ», «ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ» ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ с Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ мноТСством ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… (S U {ΠΈ}).

81−85].

ΠšΠ ΠΠ’ΠšΠžΠ• Π‘ΠžΠ”Π•Π Π–ΠΠΠ˜Π• Π ΠΠ‘ΠžΠ’Π« Ρƒ Π£ ΠΎ Ρ… О Ρ… Π£ О.

X О Ρ….

Рис. 1: БСчСния ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ К^. ΡˆΠ°Ρ…, Π₯.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС рассматриваСтся ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V Π½Π°Π΄ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ /Π‘ с ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ-ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ слоТСниСм 0. ΠΡƒΠ»ΡŒ полуполя ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΡŒ полумодуля ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ О, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° полуполя обозначаСтся 1. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ умноТСния обозначаСтся О, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ это ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ полуполя [44], мноТСство Π›Π”{0} ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρƒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 0 Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ порядок < Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅ /Π‘ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ = для Π›, i G /Π‘, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, А © Ρ† = sup (A, Ρƒ) (ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ <). Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ сумма элСмСнтов ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ точная вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ этого мноТСства, Ссли таковая сущСствуСт. ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ опрСдСляСтся ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ обозначаСтся <.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π¬-ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡ‹ΠΌΠΈ [9], Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ взятия сумм (Ρ‚.Π΅. Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ) Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… подмноТСств, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… свСрху, ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ дистрибутивно ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… сумм. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ 0 ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… свСрху мноТСств, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Π› ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π², ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… снизу.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ любой элСмСнт полуполя ΠΈΠ»ΠΈ полумодуля Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ порядка, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ V ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… конусов Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ€Ρ‚Π°Π½Ρ‚Π°. Π­Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° зрСния согласована со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ выпуклости [78].

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1 ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π‘ Π‘ V называСтся ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΌ, Ссли Π₯Ρ… 0 jiy? Π‘ Π΄Π»Ρ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ…, Ρƒ Π• Π‘ Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… А, Π΄ G /Π‘, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, А 0 Ρ† — 1.

Рассмотрим Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ случай V = К.ΠΏ. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ этого полумодуля ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ (xi,. 7Ρ…ΠΏ). Если V — ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ /Π‘ΠΏ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ сСчСниС ΠΏΠΎ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ плоскости Xi = const являСтся ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΌ подмноТСством /Π‘71−1. Наоборот, Ссли Π‘ — ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ΅ подмноТСство /Π‘" -1, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ V = {(Arc, А): Ρ… G Π‘, A G /Π‘} являСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ JCn. Π­Ρ‚ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ извСстного соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΌΠΈ конусами ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΌΠΈ мноТСствами. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 1 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹, Π² ΡΡƒΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ подмноТСства Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ€Ρ‚Π°Π½Ρ‚Π° плоскости Π–2.

ЦикличСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ отдСлимости.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ основныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌ отдСлимости ΠΈ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… полумодулях, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ [81]. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ К ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V Π½Π°Π΄ /Π‘ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ условиям.

Π›Πž): ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ /Π‘ являСтся 6-ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся 6-ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ Π½Π°Π΄ /Π‘;

А1): для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… элСмСнтов Ρ… ΠΈ Ρƒ Ρ„ Πž ΠΈΠ· V, мноТСство {Π› Π• /Π‘ | Π₯Ρƒ < ΠΆ} ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΎ свСрху.

Π­Ρ‚ΠΈ прСдполоТСния справСдливы для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅. НапримСр, для ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ LSC (X) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… снизу Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ‚опологичСском пространствС X, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ 6-ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅ (Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, ΠœΡ‚Π°Ρ…, Ρ…) — β€’ Из ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ-(АО, А1) Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ опСрация Ρ…/Ρƒ = max{A Π• /Π‘ | Π₯Ρƒ <Ρ…}: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для всСх Ρ… ΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρƒ ^ О ΠΈΠ· V.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, см. [9], ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠΌ языкС понятиС замкнутости.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 НазовСм ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŠ V ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Ρ V Π¬- (ΠΏΠΎΠ΄) ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ, Ссли V Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ взятия сумм Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… своих подмноТСств, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… свСрху Π² V.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ V — это 6-ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ полумодуля V. Рассмотрим ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ Π Ρƒ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ [9], [31].

Π Ρƒ (Ρ…) = max{ii eV ΠΈ< ΠΆ}, для любого элСмСнта Ρ… Π• V. ΠœΡ‹ ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ «max», подчСркивая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ точная вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ мноТСства Π² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… скобках ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ этому мноТСству. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ Π Ρƒ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π Ρƒ (Ρ…)? V Π΄Π»Ρ любого Ρ… Π• V ΠΈ Py (v) Π• V Π΄Π»Ρ любого v Π• V. Роль полупространства ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3 ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Н, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ.

Н — {Ρ… ΠΈ/Ρ… > v/x} U {0} Π³Π΄Π΅ ΠΈ, v Π• ΠœΡ‰^Ρ…, ΠΈ < v, называСтся (ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ) полупространством.

Если V — 1Π‘1 ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΈ v Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ Π½ = I 0 Ρ…Ρ‚Ρ‚1 < 0 wr1},.

1,., ΠΏ 1 ,., ΠΏ Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Н — это Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ полупространства ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΠΊ ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ отдСлимости Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Ρ [31]. Π•Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΎΠ² [9].

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 4 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ V Π‘ Π£ — это Π¬-ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈ? V. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° полупространство.

Н — {Ρ… PV (u)/x > ΠΈ/Ρ…} U {0} содСрТит V ΠΈ Π½Π΅ содСрТит ΠΈ.

Если V,., — это &—ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ цикличСский ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π ΠΊ β€’ β€’ β€’ Pi, Π³Π΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π { ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π¦.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ понятиС архимСдовости являСтся ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ вСрсиСй Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ [19].

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 5 Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ…? V Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли Ρ…/Ρƒ > 0 для всСх G V. ΠŸΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V Π‘ V Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли ΠΎΠ½ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли ΠΎΠ±Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡΡ… JC1, Π³Π΄Π΅ /Π‘ — это ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ fr-ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠΎΠ»Π΅, Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — это Π² Ρ‚очности Ρ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, всС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ полумодуля, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠ½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π΅. Если ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚воряСт (Π–), А1) ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°, получСнная Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 6 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π ΠΊ — β€’ β€’ Π  Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ² собствСнный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρƒ Ρ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ собствСнным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ А. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ условия эквивалСнтны:

1. сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π ΠΊ — β€’ - Π Ρ… < fix для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ /j, < 1.

2. для любого i = 1,., ΠΊ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ полупространства Π©, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π¦ Π‘ Π© ΠΈ ΠŸΠ³Π© = {0};

3. DfVi = {0}- 4- A < 1.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС удаСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ спСктра цикличСских ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 7 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Vi,., Π’4 — это 6-ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ V. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ dn{Vi,., Vy = sup (Ρ…Π³/Ρ…2) О (Ρ…2/Ρ…ΡŠ) О — β€’ β€’ 0 (Ρ…ΠΊ/Ρ…1) x1eVi,.:EfceVrfc Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Vi,., 14.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 8 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Vi,., Vk — ΠΎΡ‚ΠΎ b-ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, ΠΈ Ρƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π &- β€’ Β¦ β€’ Π  Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ² собствСнный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρƒ Ρ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ собствСнным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ X. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° это собствСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ совпадаСт с Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Vi,., Vk, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… Ρ…1,., Ρ…ΠΊ, Π³Π΄Π΅ Ρ…Π³ — Pi- - β€’ Π Ρƒ, достигаСтся максимум Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° значСния.

Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ случай V = М."1Π°Π₯!Π₯. Π’ Π΅ΡΡ‚СствСнно Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ, Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ. МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ 6-полумодулями ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π΅Π½ (Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ смыслС). Как ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ являСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Если F — ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ свойствами, Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ собствСнныС значСния, ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число, ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ радиус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ p (F) = max{A G М+ | Π—Π°- € 0, Fx = Π₯Ρ…} .

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠšΠΎΠ»Π»Π°Ρ‚Ρ†Π°-Π’ΠΈΠ»Π°Π½Π΄Ρ‚Π° для ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ [70].

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ F: R™ —> К&trade- — это ΠΈΠ·ΠΎΡ‚ΠΎΠΏΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° p (F) = inf maxfFCaOlizer1.

V 7 ΠΆΠ΅ (М+{0})ΠΏ 1<οΏ½Π³'<οΏ½Ρ‚Π³ V 1X1 1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ этих Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ позволяСт ΡƒΡΠΈΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ случая. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ отдСлимости для ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π².

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 10 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ., Vk — это Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π² ®-*Ρ‚ΠΏΠ°Ρ…, Ρ… Β¦ Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ утвСрТдСния эквивалСнтны:

1. ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΡΡŽΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ… ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ X < 1, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Pk" Β¦ Π Ρ… < Π₯Ρ…;

2. ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π°Ρ€Ρ…ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠ²Ρ‹ полупространства Π©, содСрТащиС Vi ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ П^=1Π―Π³- = {О};

3. nUVi = {ΠΎ};

4. p{Pk—-Pi).

Условия 2. ΠΈ 3. эквивалСнтны ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° apxuMedoeocmbVi,., Π’4 Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ся.

Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ условий 2. ΠΈ 3. Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ — это ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΡ‚дСлимости Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. Π”Π°Π»Π΅Π΅, Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ М^Ρ… удаСтся ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΡ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ собствСнныС значСния цикличСских ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

VΠΌ = {Ρ… Π΅ V | supp (x) Π‘ М}, Π³Π΄Π΅ М — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ подмноТСство {1,., ΠΏ}.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 11 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ., Π’4 — это Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ Π² Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Vi,., V]~ — это ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ радиус Π ^ - β€’ β€’ Π . Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚Ρ€ Π ΠΊ Β¦ Β¦ β€’ Π  — это мноТСство Π³ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ d^V1,., V1), Π³Π΄Π΅ М ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π³Π°Π΅Ρ‚ всС подмноТСства {1,., ΠΏ}.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ слСдствиСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΠ± ΠΎΡ‚дСлимости Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ являСтся ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π₯Π΅Π»Π»ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сформулирован здСсь для ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… мноТСств.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 12 (Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π₯Π΅Π»Π»ΠΈ) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ci, Π³ — 1,., m — это ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ > ΠΏ + 1 ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… мноТСств Π² К^^хЕсли Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΏ + 1 ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ нСпустоС пСрСсСчСниС.

ΠšΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ элСмСнты ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ R^iaXiX, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ [84].

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ся мноТСством S-, Ссли V ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся мноТСством ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… (Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ„ ΠΈ О) ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ элСмСнтов ΠΈΠ· S. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстно, см. Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π­. Π’Π°Π½ΡŒΠ΅ [74], [75].

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13 Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ… ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ полумодуля V Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΌ, Ссли ΠΈΠ· Ρ… = ΠΈ © v слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ… — ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ… = v.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π³ΠΎ элСмСнта ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ полумодуля соотвСтствуСт, Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π³ΠΎ Π»ΡƒΡ‡Ρƒ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ конуса. ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ элСмСнты ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прСдпорядка.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 14 Рассмотрим ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ < x/xj.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ мноТСства S Π‘ М" 1Π°Π₯-Π₯ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ j-ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли ΠΎΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ <,-.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ прСдлоТСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 15 Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ утвСрТдСния эквивалСнтны:

1) элСмСнт Ρƒ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ элСмСнтов Ρ…1,., Ρ…Ρ‚ €.

-^inax, Ρ… >

2) для любого Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° j G 1,., ΠΏ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ yj Ρ„ 0, найдСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ…1 Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ xl.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 16 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΎΡŽΠ΄Π΅Π½ мноТСством S Π‘ Ml^ Ρ…. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ утвСрТдСния эквивалСнтны:

1) Ρ… — это ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΉ элСмСнт V;

2) Ρ… ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся j-ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ элСмСнтом S Π΄Π»Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ индСкса j Π• 1,., ΠΏ;

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ элСмСнты полумодуля V — это j-ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты мноТСства Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ частичных максимумов (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ²) Π² n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ пространствС Π±Ρ‹Π»Π° исслСдована Π€. ΠŸΡ€Π΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Ρ€. [15]. Из ΡΡ‚ΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 17 Если ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V Π‘ М^Π°Ρ…, Ρ… ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… элСмСнтов V Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²ΠΎΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ 0(&log2 ΠΊ) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏ = 3 ΠΈ 0(&(log2 ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏ > 3.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ 16, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Мин-ковского.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 18 Если ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ся своими ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΌΠΈ элСмСнтами.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… элСмСнтов Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ полумодуля, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎ. Однако справСдлив ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 19 Если мноТСство S Π‘ M^^ Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎ ΠΈ 0 Ρ„ S, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ V, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ мноТСством S, Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 16 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, слСдствиСм ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ являСтся извСстная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚вСнности базиса ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρƒ модуля.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 20 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ S — это мноТСство Π½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… полумодуля V Π² Mmax, x> ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π• — это мноТСство Π½ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… элСмСнтов V. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.

1. Π• Π‘ S.

2. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ F — SE. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для любого ΠΈ G F ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ S{u} ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ К.

ΠšΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ замыкания.

Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ замыканиям ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ… [82,83,85].

Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, описываСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ [82].

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 21 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ y, z? М" яу Ρ… ΠΈ supp (Ρƒ) U supp (z) = {1,., ΠΏ}. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·, Π° Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ пСрСстановку {1,., ΠΏ}, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.

71—1 span (?/, z) = Π²Ρ€Π°ΠΏ (Π³>Π³, Π³-Π³+1), Π³=1 Π³Π΄Π΅ vl — za^y Ρ„ ya{i)z> ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ для любого Π³ — 1,., ΠΏ — 1 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ span (?- Π³>Π³+1) — это Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΉ (Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ смыслС) конус, линСйная Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²ΠΎΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ 2.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ с Π΄Π²ΡƒΠΌΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ вМ^-1Π₯-Π₯ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏ— 1 Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Ρ… «Π·Π²Π΅Π½ΡŒΠ΅Π²». Π­Ρ‚ΠΎ частный случай ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ разлоТСния.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Ρ… алгСбраичСских Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ… [83,85].

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 22 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, А ΠΈ Π’ — это Π΄Π²Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ {А) < 1 ΠΈ Π₯ (Π’) < 1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° А* = Π’* Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° span (A*) = span (B*).

Π§Π΅Ρ€Π΅Π· span здСсь ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»Ρƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ столбцами ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, А Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ссли А (Π›) = 1 ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ всС Π΅Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1. Если, А — это опрСдСлСнная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎ eig (^) = span (Π›*).

БлСдствиС 23 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, А ΠΈ Π’ — ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° А* = Π’* Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° eig (A) = eig (B).

МоТно ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ собствСнныС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΌΠΈ конусами Π² М". ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 24 ЛинСйная Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ собствСнного полумодуля ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ (ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ конуса) Ρ€Π°Π²Π½Π° мощности минимального Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… этого полумодуля.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ряд понятий, связанных с ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ [39]). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, А — это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏΡ…Ρ‚ Π½Π°Π΄ ΠœΡ‚Π°Ρ…, Ρ… ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ— это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с ΠΏ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств S = {Sj: j Π• supp (?/)}, Π³Π΄Π΅ Sj = {Π³: Ρƒ >j А.,}, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· type (?/) А) ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, А ΠœΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ совокупности Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ пустых подмноТСств {1,., ш}. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ мноТСство Ρ‚Π΅Ρ… индСксов Π³, Ρ‡ΡŒΠΈ Si ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² Ρ‚ΠΈΠΏΠ΅, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· supp (S'). Если S = type (y | А) для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρƒ, Ρ‚ΠΎ supp (S') = supp (?/). Π’ΠΈΠΏΡ‹ частично упорядочСны ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ: S Π‘ S', Ссли supp (S") Π‘ supp (5') ΠΈ Si Π‘ S[ для всСх Π³ Π• supp (.

Xs = {z: S Π‘ type (z А)} Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏΡƒ S. Если Aik Ρ„ 0 для всСх Π³ Π΅ «Sfc, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏ S Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся допустимым ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ввСсти ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ As ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ.

A-k/Aik, Ссли Π³ GsuppfS) ΠΈ Si Ρ„ 0- ei, Ссли Π³ Esupp (S') ΠΈ = 0-.

О, Ссли гsupp (S')..

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠ° прСдставляСтся ΠΊΠ°ΠΊ собствСнный ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ As, см. [85]..

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 25 Если ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠ° Xs Π½Π΅ΠΏΡƒΡΡ‚Π°, Ρ‚ΠΎ Xs = eig (As)..

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ прСдлоТСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ 3.2.1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ слСдствиС 23, сразу ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚..

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 26 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ S ΠΈΠ’ — это допустимыС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π½Π΅ΠΏΡƒΡΡ‚Ρ‹Π΅ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ Xs ΠΈ Π₯Π’ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° (As)* = (АВ)*..

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, А ΠΊΠ°ΠΊ (А5)*. Π­Ρ‚Π° опСрация ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° для любой ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ нСзависимой ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ опрСдСляСт ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΡƒ..

Рассмотрим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°, А — это квадратная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏ Ρ… ΠΏ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ пСрСстановка, Π° Ρ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ вСсом ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° с ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ вСсом называСтся максимальной. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ .D0″ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ, Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ† — Ац, Ссли j? = <οΏ½Ρ‚ (Π³) ΠΈ D^ — 0 для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… элСмСнтов. Если пСрСстановка, Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° A (Da)~l являСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ А. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ пСрСстановки приводят ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°ΠΌ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ пространства ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, ΠΈ ΡΡ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ [83,85]..

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 27 Замыкания всСх ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ любой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚..

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для любой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ пСрСстановки, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ (A (Da)~1)*, Π³Π΄Π΅ ΠΎ — это любая максимальная пСрСстановка. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ являСтся частным случаСм ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ eig[A (Da)~l) совпадаСт с ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ Xs, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏΡƒ S = ({сг (1)},., {сг (ΠΏ)}) Π³Π΄Π΅, Π° — это любая максимальная пСрСстановка..

Благодарности.

Автор Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€Π΅Π½ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния, Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° данная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°, своСму Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊΡƒ РАН Π’. П. ΠœΠ°ΡΠ»ΠΎΠ²Ρƒ Π·Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ постановку Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚оянноС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ профСссорам ΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Слям ΠΊΠ°Ρ„Π΅Π΄Ρ€Ρ‹ Π’Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ АлгСбры ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСского Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π° ΠœΠ“Π£ Π·Π° Π±Π»Π°Π³ΠΎΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΈ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ обсуТдСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ²..

1. Π“. Π‘ΠΈΡ€ΠΊΠ³ΠΎΡ„. ВСория Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΎΠΊ. М.:Наука, 1984. ΠŸΠ΅Ρ€. Ρ Π°Π½Π³Π»..

2. Н. Н. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π². Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Elektron. Informationsverarb. und Kybemetik, 3:39−71, 1967..

3. Н. Н. Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ±ΡŒΠ΅Π². Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Elektron. Informationsverarb. und Kybernetik, 6:302−312, 1970..

4. B.H. ΠšΠΎΠ»ΠΎΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠ² ΠΈ Π’. П. Маслов. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ эндоморфизмов Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ранствС Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅ (с ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ © = max]. ДАН Π‘Π‘Π‘Π , 295(2).283−287, 1987..

5. Π’. Н. ΠšΠΎΠ»ΠΎΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠ² ΠΈ Π’. П! Маслов. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Коши для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π‘Π΅Π»Π»ΠΌΠ°Π½Π°. ДАН Π‘Π‘Π‘Π , 296(4):796−800, 1987..

6. Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ². Π”Π΅ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Маслова, идСмпотСнтная ΠΈ Ρ‚ропичСская ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Записки Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сСминаров ΠŸΠž МИ, 326:145−181, 2005..

7. Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ², Π’. П. Маслов ΠΈ Π“. Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… пространствах: алгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄. Π”ΠΎΠΊΠ». РАН, 363(3) :298−300, 1998..

8. Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ², Π’. П. Маслов ΠΈ Π“. Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·. Π’Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ произвСдСния ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. АлгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄. ΠœΠ°Ρ‚. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ, 65(4):572−585,1999..

9. Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ², Π’. П. Маслов ΠΈ-Π“.Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·. Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. АлгСбраичСский ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄.ΠœΠ°Ρ‚. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ, 69(5):758−797, 2001. E-print (English) arXiv: math. FA/9 128..

10. Π“. Π›. Π›ΠΈΡ‚Π²ΠΈΠ½ΠΎΠ² ΠΈ Π•. Π’. Маслова. Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числовыС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Π°Ρ рСализация. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, 5:53−62, 2000..

11. Π’. П. Маслов. АсимптотичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. М.:Наука, 1987..

12. Π’. П. Маслов. О Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ супСрпозиции для Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ. УспСхи ΠœΠ°Ρ‚. Наук, 42(3(255)):39−48, 1987..

13. Π’. П. Маслов. Новый ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм. ДАН Π‘Π‘Π‘Π , 292(1):37−41, 1987..

14. Π’. П. Маслов ΠΈ Π’. Н. ΠšΠΎΠ»ΠΎΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠ². Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. М.:Наука, 1994..

15. Π€: ΠŸΡ€Π΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ М. ШСймос. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ гСомСтрия: Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. М.:ΠœΠΈΡ€, 1989. ΠŸΠ΅Ρ€. Ρ Π°Π½Π³Π»..

16. Π . Π’. Π ΠΎΠΊΠ°Ρ„Π΅Π»Π»Π°Ρ€. Π’Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. М.:ΠœΠΈΡ€, 1973. ΠŸΠ΅Ρ€. Ρ Π°Π½Π³Π»..

17. Π’. П. Π‘ΠΎΠ»Ρ‚Π°Π½.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π² Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ выпуклости. КишинСв: Π¨Ρ‚ΠΈΠΈΠ½Ρ†Π°, 1984..

18. Π›. Ѐукс. Частично упорядочСнныС алгСбраичСскиС систСмы М.: ΠœΠΈΡ€, 1965. ΠŸΠ΅Ρ€. Ρ Π°Π½Π³Π»..

19. Π“. Π‘. Π¨ΠΏΠΈΠ·. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ собствСнных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎ-Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ, 82(3) :459 468, 2007..

20. М. Aldan, S. Gaubert, and V. Kolokoltsov. Set coverings and invertibility of the functional Galois connections. In 56], pages 19−51. Also* arXiv: math. FA/403 441..

21. S. Aubry. Exact models with a complete Devil’s staircase. J. Phys. C, 16:2497−2508, 1983..

22. S. Aubry and P.Y. Le Daeron. The discrete Frenkel-Kontorova model and its extensions. I. exact results for the ground states. Physica D, 8:381−422, 1983..

23. F.L. Baccelli, G. Cohen, G.J. Olsder, and J.P. Quadrat. Synchronization and Linearity. Wiley, Chichester, New York, 1992..

24. P. Butkovic. Simple image set of (max,-}-) linear mappings. Discrete Appl. Math., 105:73−86, 2000..

25. P. Butkovic. Max-algebra: the linear algebra of combinatorics? Linear Algebra Appl., 367:313−335, 2003..

26. B.A. Carre. An algebra for network routing problems. J. of the Inst, of Maths, and Applies, 7:273−299, 1971..

27. B.A. Carre. Graphs and Networks. Clarendon Press, Oxford, 1979..

28. V. Chepoi. Separation of two convex sets in convexity structures. J. of Geometry, 50:30−51, 1994.30. -W. Chou and R.B. Griffiths. Ground states of one-dimensional systems using effective potentials. Physical Review B, 34:6219−6234, 1986..

29. G. Cohen, S. Gaubert, and J.P. Quadrat. Duality and separation theorems in idempotent semimodules. Linear Algebra Appl., 379:395−422, 2004. Also arXiv: math. FA/212 294..

30. G. Cohen, S. Gaubert, J.P. Quadrat, and I. Singer. Max-plus convex sets and functions. In 56], pages 105−129. Also arXiv: math. FA/308 166. β€’.

31. R.A. Cuninghame-Green. Minimax Algebra, volume 166 of Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer, Berlin, 1979..

32. R.A. Cuninghame-Green and P. Butkovic. The equationA®x = B®y over (max,+). Theoretical Computer Science, 293:3−12, 2003..

33. R.A. Cuninghame-Green and P. Butkovic. Bases in max-algebra. Linear Algebra Appl, 389:107−120, 2004..

34. P. Del Moral. A survey of Maslov optimization theory. In 53], pages 243−302 (Appendix)..

35. P. Del Moral and M. Doisy. On the applications of Maslov optimization theory. Mathematical Notes, 69(2).232−244, 2001..

36. M. Develin, F. Santos, and B. Sturmfels. On the rank of a tropical matrix. In 47], pages 213−242. Also arXiv: math.CO/312 114..

37. M. Develin and B. Sturmfels. Tropical convexity. Documenta Math., 9:1−27, Β¦ 2004. Also arXiv: math. MG/308 254..

38. A. Eberhard, N. Hadjisawas and D.T. Luc, editors. Generalized convexity, generalized monotonicity and applications, volume 77 of Nonconvex Optimization and Its Applications. Springer, 2006..

39. H.G. Eggleston. Convexity. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1958..

40. S. Gaubert. Theorie des Systemes Lineaires dans les Dioides. PhD" thesis, Ecole des Mines des Paris, Paris, 1992..

41. S. Gaubert and R. Katz. The Minkowski theorem for max-plus convex sets. Linear Algebra Appl, 421:356−369, 2007. Also arXiv: math. GM/605 078..

42. J. Golan. Semirings and their applications. Kluwer, Dordrecht, 2000..

43. M. Gondran. Path algebra and algorithms. In Bl Roy, editor, Combinatorial programming: methods and/ applications, pages 137−148. Reidel, Dordrecht, 1975. β€’.

44. M. Gondran and M. Minoux. Linear algebra of dioi’ds: a survey of recent results. Annals of Discr. Math., 19:147−164, 1984..

45. B. Heidergott, G.-J. Olsder, and Jvan der Woude. Max-plus at work. Princeton Univ. Press, 2006..

46. S. Helbig. Caratheodory’s and Krein-Milman's theorems in fully ordered groups. Comment. Univ. Carolin., 29:157−167, 1988..

47. DHilbert. Neue Begriindungen der Bolyai-Lobatchevskyschen Geometrie. Mathematische Annalen, 57:137−150, 1903..

48. M. Joswig. Tropical halfspaces. In 47], pages 409−4321 Also arXiv: math.CO/312 068..

49. V.N. Kolokoltsov and V. P: Maslov. Idempotent analysis and, applications. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht et al., 1997..

50. H.T. Kung, F. Luccio, and F.P. Preparata. On finding the maxima of a set of vectors. J. of the ACM, 22(4):469−476, Oct. 1975..

51. G.b. Litvinov. Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: a brief introduction. J. of Math. Sci., 140(3) :426−444, 2007..

52. G. Litvinov and V. Maslov, editors. Idempotent Mathematics and Mathematical Physics, volume 377 of Contemporary Mathematics. American Mathematical Society, Providence, 2005..

53. G.L. Litvinov and V.P. Maslov. Correspondence principle for idempotent calculus and some computer applications. In J. Gunawardena, editor, Idempotency, Publications of the I. Newton Institute, pages 420−443. Cambridge Univ. Press, 1998..

54. G.L. Litvinov, V.P. Maslov, and A.Ya. Rodionov. Unifying approach to software and hardware design for scientific calculations. Intern. Sophus Lie Centre, Moscow, 1995. E-print arXiv: quant-ph/9 904 024..

55. G.L. Litvinov, V.P. Maslov, and G.B. Shpiz. Idempotent functional analysis, an algebraical approach. Math. Notes, 69(5):696−729, 2001. E-print arXiv: math. FA/9 128..

56. G. Litvinov and E. Maslova. Universal numerical algorithms and their software implementation. Programming and Computer Software, 26(5) :275−380, 2000. E-print arXiv: math. NA/102 144..

57. G. Litvinov and A. SobolevskiT. Idempotent interval analysis and optimization problems. Reliable Computing, 7(5):353−377, 2001. E-print arXiv: math. NA/101 152..

58. P. Loreti and M. Pedicini. An object oriented approach to idempotent analysis: Integral equations as optimal control problems. In 56], pages 187 208..

59. V.P. Maslov. New superposition principle for optimization problems. In: Seminaire sur les Equations aux D6rivees Partielles 1985/86, Centre Math, de l’Ecole Polytechnique, Palaiseau (1986), expose 24..

60. V.P. Maslov. Methods operatorielles. Editions MIR, Moscow, 1987..

61. V.P. Maslov and S.N. SamborskiT, editors. Idempotent analysis, volume 13 of Advances in Soviet Math. American Mathematical Society, Providence, 1992..

62. J.J. Mazo, F. Falo and L.M. Fiona. Josephson junction ladders: ground state and relaxation phenomena. Physical Review Π’, 52:10 433−10 440, 1995..

63. Π‘. Micheletti, R.B. Griffiths, and J.M. Yeomans. Surface spin-flop and discommensuration transitions in antiferromagnets. Physical Review Π” 59:6239−6249,1999..

64. Π‘. Π“ΠΎΠ±Π΅Ρ€ ΠΈ Π‘. Н. Π‘Π΅Ρ€Π³Π΅Π΅Π². ЦикличСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ отдСлимости Π² ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… полумодулях. Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, 13(4):31−52, 2007. El-print arXiv:0706.3347 (in English)..

65. Π‘. Н. Π‘Π΅Ρ€Π³Π΅Π΅Π². АлгоритмичСская ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚-Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ, 74(6):896−901, 2003..

66. Π‘. Н. Π‘Π΅Ρ€Π³Π΅Π΅Π². Π˜Π΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ замыкания ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π”ΠΎΠΊΠ». РАН, 408(4) :453−454, 2006..

67. P. Butkovic, Н. Schneider, and S. Sergeev. Generators, extremals and bases of max cones. Linear Algebra Appl, 421:394−406, 2007. El-print arXiv: math. RA/604 454..

68. S. Sergeev. Max-plus definite matrix closures and their eigenspaces. Linear Algebra Appl, 421:182−201, 2007. E-pyint arXiv: math. MG /506 177..

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ