Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике

Диссертация: Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Если в течении газа радиальная компонента скорости U по модулю меньше скорости звука с, то течение определено только внутри некоторого шара с центром в начале координат. Область заполненная газом симметрична относительно плоскости экватора. По мере удаления от начала координат она уплощается и ее границы все более приближаются к плоскости экватора. При максимально возможном значении радиуса R… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Оптимальная система подалгебр
    • 1. 1. Введение
    • 1. 2. Постановка задачи
    • 1. 3. Алгоритм построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли
  • 2. Программы аналитических вычислений
    • 2. 1. Построение канонических систем для инвариантных подмоделей газовой динамики
    • 2. 2. Вычисление нормализаторов подалгебр алгебры Ли
  • 3. Инвариантные подмодели вихря Овсянникова (ВО)
    • 3. 1. Модель вихря Овсянникова
      • 3. 1. 1. Уравнения газовой динамики в сферических координатах
      • 3. 1. 2. Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение
      • 3. 1. 3. Полученные результаты
      • 3. 1. 4. Исследование радиального движения для инвариантных подмоделей ВО
    • 3. 2. Однородный вихрь Овсянникова (ОВО)
      • 3. 2. 1. Уравнения ОВО в лагранжевых координатах
      • 3. 2. 2. Интегрирование уравнения Шварца для частных значений j
      • 3. 2. 3. Анализ изотермических движений газа
  • 7. = 1)
    • 3. 3. Стационарный вихрь Овсянникова (СВО)
      • 3. 3. 1. Неявные дифференциальные уравнения
      • 3. 3. 2. Свойства решения ключевого уравнения для СВО
  • 7. = 3)
    • 3. 3. 3. Поведение интегральных кривых на бесконечности
    • 3. 3. 4. Описание течения газа в стационарном ВО
    • 3. 3. 5. Ударная волна в стационарном вихре Овсянникова

Исследование дифференциальных уравнений вихря Овсянникова в газовой динамике (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Свойство симметрии играет важную роль при изучении дифференциальных уравнений. Адекватным математическим оформлением концепции симметрии является групповой анализ дифференциальных уравнений — раздел математики, лежащий на стыке алгебры и дифференциальных уравнений, изучающий алгебраическую структуру на множестве решений.

Сегодня групповой анализ дифференциальных уравнений является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку математические модели рассматриваемые в этих науках по своему построению инвариантны относительно некоторой группы симметрии.

Использование свойств симметрии дифференциальных уравнений для получения точных решений является предметом исследований многих российских и зарубежных авторов. Большое число точных решений уравнений газовой динамики приведено в классических монографиях [1], [2]. Основы группового анализа изложены в [3]. Различным его приложениям, поиску и исследованию точных решений на основе понятия симметрии посвящены работы Н. Х. Ибрагимова, В. В. Пухначева, С. В. Хабирова, П. Олвера и других авторов.

В предложенной академиком Л. В. Овсянниковым научно-исследовательской программе ПОДМОДЕЛИ [4] описан наиболее общий теоретико-групповой подход к изучению дифференциальных уравнений с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии. В лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН программа ПОДМОДЕЛИ применяется к уравнениям газовой динамики. Результаты настоящей диссертации способствуют выполнению этой программы.

Работа посвящена классификации, построению, исследованию и физической трактовке новых точных решений дифференциальных уравнений, возникаюших в газовой динамике.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты.

• В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

• Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

• Получены и изучены новые точные решения дифференциальных уравнений газовой динамики. Эти решения порождаются стационарной и однородной подмоделями вихря Овсянникова.

Для однородной подмодели получены следующие основные результаты.

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неоднородного уравнения Шварца.

2. Для частных значений показателя адиабаты, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения в терминах уравнений меньшего порядка.

3. Описано изотермическое движение газа. Показано, что возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий с особенностью плотности.

Для стационарной подмодели получены следующие основные результаты.

1. Исследование решений подмодели сведено к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

2. Обнаружены и изучены все качественно различные режимы течения.

3. Наиболее интересным является режим «тонкого диска». В этом режиме газ при больших значениях радиуса R занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при R —> оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

4. Построено решение, описывающее течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переход с одного режима течения на другой, соответствующий переходу между двумя пересекающимися интегральными кривыми неявного уравнения.

Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами, иллюстрируется наглядным графическим материалом.

Все результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством академика РАН Л. В. Овсянникова в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством академика РАН В. Н. Монахова и чл.-корр. РАН П. И. Плотникова в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухначева в ИГиЛ СО РАН, на семинаре под руководством академика РАН С. К. Годунова в ИМ СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова в ИМ СО РАН, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений ММФ НГУ под руководством профессора А. М. Блохина, на семинаре под руководством профессора В. С. Белоносова и профессора М. В. Фокина в ИМ СО РАН, а также на следующих научных конференциях:

Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999),.

Всероссийские конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Уфа, 1998; Абрау-Дюрсо, 2004),.

Всероссийская конференция «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003),.

Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003),.

Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004), результаты работы, касающиеся стационарного вихря Овсянникова, были отмечены на Общем собрании РАН ее президентом академиком Ю. С. Осиповым в числе важнейших научных достижений Российской Академии наук в 2003 году [5].

Основные положения диссертации опубликованы в работах [41]-[44]. Работы [43, 44] выполнены в соавторстве с А. П. Чупахиным. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Диссертация объемом 164 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 3 приложений, 2 таблиц, 52 иллюстраций и списка литературы из 44 наименований.

Заключение

.

В работе впервые построена нормализованная оптимальная система подалгебр для 14-мерной алгебры Ли симметрий, допускаемой уравнениями пространственных движений политропного газа с показателем политропы 7 = 5/3 (одноатомный газ). Данная оптимальная система задает полный перечень существенно различных подмоделей дифференциальных уравнений газовой динамики.

Разработаны программы аналитических вычислений для построения канонических систем дифференциальных уравнений, описывающих инвариантные подмодели газовой динамики и вычисления нормализатора подалгебр в произвольной алгебре Ли.

Для модели однородного вихря Овсянникова в диссертации получены следующие результаты:

1. При частных значениях показателя адиабаты 7, равных 1, 4/3, 5/3, получены представления решения уравнения (1.2) в терминах уравнений меньшего порядка.

2. Наиболее подробно исследован случай изотермического газа, для которого 7 = 1. Показано, что в этом случае возможно существование периодической геометрической конфигурации траекторий, однако плотность газа при этом имеет сингулярность. Физически определенное решение существует на интервалах времени, не содержащих точек сингулярности.

Дано описание движения газа в стационарном вихре Овсянникова. Задача сведена к анализу поведения в целом решений неявного дифференциального уравнения.

1. Доказано, что течение газа определено вне шара R < R2 конечного радиуса R2) как и в классическом сферически симметричном случае.

2. Существует несколько качественно различных режимов течения.

Если в течении газа радиальная компонента скорости U по модулю меньше скорости звука с, то течение определено только внутри некоторого шара с центром в начале координат. Область заполненная газом симметрична относительно плоскости экватора. По мере удаления от начала координат она уплощается и ее границы все более приближаются к плоскости экватора. При максимально возможном значении радиуса R = Лкрит газ занимает слой ненулевой толщины. В таком движении возможен двукратный непрерывный переход через скорость звука. При первом переходе течение становится дозвуковым, а при втором снова сверхзвуковым. Такой режим течения назван авторами режимом «толстого диска» .

Если радиальная компонента скорости U по модулю превосходит скорость звука с, то возможен режим течения, аналогичный режиму толстого диска". Кроме того, возможны еще два режима течения, в которых область, заполненная газом, не ограничена в пространстве: режимы «асимптотического конуса» и «тонкого диска» .

Для первого из них газ при движении занимает область, которая в пределе при больших значениях радиуса совпадает с дополнением к конусу. Асимптотики физических величин такие же, как и в сферически симметричном случае.

Для режима «тонкого диска» газ при больших значениях радиуса занимает тонкий слой в плоскости экватора, причем толщина этого слоя стремится к нулю при jR —> оо. Асимптотическое поведение физических величин отличается от такового для сферически симметричного случая.

Возможно течение газа со стационарной ударной волной, фронт которой является сферой. В таком течении происходит переключение сверхзвукового режима, для которого U > с, на режим «толстого диска» .

Показать весь текст

Список литературы

  1. Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1965
  2. К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971
  3. Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.
  4. Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. Т. 58, № 4. С. 30−55.
  5. Ю.С. Фундаментальная наука как важнейший ресурс национальной инновационной системы // Вестник Российской Академии наук. 2004. Т. 74, № 10, С. 870−873.
  6. Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады РАН. 1993. Т. 333, № 6. С.702−704.
  7. Л. В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск, 1997. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 3−97.
  8. Л.В. Особый вихрь //ПМТФ. 1995. Т. 36, № 3, С. 45−52.
  9. А.П. Инвариантные подмодели особого вихря //ПММ. 2003. Т. 67, вып. 3, С. 390−405.
  10. В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000.
  11. Patera J., Sharp R.T., Winternitz P., Zassenhaus H. Continuous subgroups of the fundamental groups of physics. III. The De Sitter groups //J. Math. Phys. 1977. V. 18. т 12 P. 2259−2288.
  12. H. Алгебры Ли //М.:Мир, 1964.
  13. С. В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае по-литропного газа. // Новосибирск, 1996. Препринт/Ин-т гидродинамики. Сиб. отделение РАН. № 5−96.
  14. С. В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. Уфа. 1998. (Препр. / УНЦ РАН. Ин-т механики)
  15. . В. Построение оптимальных систем подгрупп группы Ли преобразований, допускаемой уравнениями газовой динамики. // ДСС. 1973. Вып. 14. С. 112−119.
  16. Gagnon L. Continuous subgroups of the Galilei and Galilei-similitude groups. // Canad. J. of Phys. 1989. V. 67. № 1.
  17. В.И., Баранник И. Ф., Баранник А. Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук, думка. 1991. 304 с.
  18. Н.Х. Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. //ПМТФ. 1966. т. С. 19−22.
  19. Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1992
  20. Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.
  21. А. П. Небарохронные подмодели типов (1,2) и (1,1) уравнений газовой динамики // Новосибирск, 1999 (Препр./ Институт гидродинамики СО РАН- № 1−99).
  22. Л. В. Об иерархии инвариантных подмоделей дифференциальных уравнений // Докл. РАН. 1998. Т. 361, №. С. 740 -742.
  23. А. П. Гидродинамика с квадратичным давлением // ПМТФ. 2002. Т. 43, т. С. 27 36, № 2. С. 227 — 28.
  24. Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.
  25. Rogers С., Ames W. Nonlinear boundary value problems in science and engineering. Academic Press. 1989.
  26. В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.- Л.: Гостехтеоретиздат, 1941.
  27. М.М. Однородные пространства и уравнение Рикатти в вариационном исчислении. М.: Факториал, 1998.
  28. А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
  29. Л. В. О периодических движениях газа // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 4. С. 567 577.
  30. JI.B. О концепции «особого вихря». Тезисы Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», 10−14 мая 2004 г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с. 103
  31. А.П. Самосопряжение решений через ударную волну //ПМТФ. 2003, Т.44, № 3, с.26−40
  32. А.С. Проективная подмодель особого вихря. Тезисы Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», 10−14 мая 2004 г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с.107
  33. А. С. Проективная подмодель вихря Овсянникова //ПМТФ. 2005, Т.46, № 4, с.3−16
  34. С.В. «Особый вихрь» в магнитогидродинамике. Тезисы Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», 10−14 мая 2004 г., Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, с. 48−49
  35. В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999
  36. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970
  37. С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961
  38. Н.Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990
  39. Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988
  40. В.А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения. М.: Наука, 19 861. Работы автора
  41. А.А. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = f(S)p5//3 // Новосибирск, 1996. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 4−96.
  42. А.А. Построение канонических систем дифференциальных уравнений для инвариантных подмоделей газовой динамики // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 6. С. 92−96.
  43. А.А., Чупахин А. П. Однородный особый вихрь //ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2, С.75−89
  44. А.А., Чупахин А. П. Стационарный особый вихрь // Новосибирск, 2005. Препр./ИГиЛ СО РАН. № 1−05.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!