Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений

Актуальность работы. Математические модели физических явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т. п., описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные (см. [39]) и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.

Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылыпин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Ка-лякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sanchez-Hubert и многие другие (см, например, [1], [2], [3], [4]-[7], [65], [8], [10], [11]-[22], [66], [67], [23], [31], [32] [36], [38], [40], [44], [45], [46], [48], [49], [51]-[53], [71]-[73], [56], [76], [58], [60], [62], [63], [68], [69], [70], [74], [75], [77], [78]).

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на малых участках. Такие задачи возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учёта контактного сопротивления в случае малого сечения контактов.

В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего размер участков изменения граничных условияй, а также получены равномерные асимптотические разложения решений таких краевых задач.

Степень разработанности темы. Задачи, подобные исследуемым, начали изучать относительно недавно, что стало возможным во многом благодаря появлению метода согласования, широкие возможности которого были продемонстрированы в монографии A.M. Ильина [35]. Там, например, исследованы эллиптические краевые задачи, в том числе с переменными коэффициентами, в ограниченной области, из которого исключено малое подмножество. Решения таких задач имеют схожую структуру асимптотики и её коэффициентов по сравнению с теми, которые рассмотрены в настоящей диссертации.

Поведение собственных значений эллиптических краевых задач в ограниченных областях с граничными условиями, изменяющимися на одном малом участке, исследовано в работах [15], [16].

Целью работы является нахождение алгоритмов последовательного построения с последующим обоснованием всех членов асимптотики решений некоторых краевых задач, которые сингулярно зависят от малого параметра.

Краткое содержание диссертации. Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе рассматривается асимптотика одного функционала от решения краевой задачи Неймана для эллиптического уравнения, возникшей на основе следующей физической задачи. Через пластинчатый образец прямоугольный формы пропускается электрический ток/12. Ширина электродов предполагается малой и равной 2е. Данный процесс был смоделирован в [55] с помощью следующей краевой задачи для электрического потенциала. 0, 0<�х<�а, 0<�у<�Ь, -Il2/{2eaxd), у € (6/2 — е, Ь/2 + е), О, у е (6,6/2 -е) U (6/2+ ?, 6), 0, ж б (0,а), у=о, г> где а, 6, d — длина, ширина и толщина образца, ах, ау — удельная проводимость вдоль и поперёк образца.

В результате исследований Полякова H.H. [55] было получено выражение в виде ряда для электрического сопротивления.

R = а.

00 Е п а^Ь ' у/Щ&Цйп^ (^п)2.

Асимптотику К выписать не так просто, поскольку при е = 0 ряд расходится. Однако, в ходе опытов, описанных в книге [24], обнаружились асимптотические закономерности измерений К. В первом параграфе строго обосновано, что сумма такого ряда, сингулярно зависящая от малого параметра е, имеет следующую асимптотику.

Rl2 а b V стх axdb^axaydiT 4тгг? inch^./^n).

V О / &-х '.

0(е2Ine),? —О, и дана оценка остатка. Во втором параграфе построено полное асимптотическое разложение суммы этого сингулярного ряда. В частности, доказано, что при е —у О е3/26 R, а оо.

In.

— Е тга /2ЦП g 6 V <7 X axdb y/axayd7T 4тге /.

1 2 ^ /27Г5Ч4.

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [26], [29].

Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть О, — ограниченная односвязная область в К2 с гладкой границей <90, которая имеет два прямолинейных участка АВ и СВ. На этих отрезках находятся две точке 0 и Ог, не совпадающие с точками А, В, С, И.

Введём две системы координат 0ХХ2 и О2У1У2, направив оси 0Х2 и О2У2 по направлению внутренней нормали так, как показано на рис. 1.

Обозначим за 71 = {ж: х2 = 0, |:п| ^ г}, Ъ ~ {у У2 = О, Ы ^ ае}, = {х: х = (±-е, 0)}, 572 = {у :у = (±-ае, 0)}, где 0 <? «1, а > 0. Задача состоит в построении и обосновании асимптотики функции и (х, е) е С°°(0{571и072})ПС (0) по малому параметру е, являющейся решением смешанной краевой задачи:

An, = о, х е гг, ди = ф{х), х€дП{Ъ0Ъ], u (xi, 0) = v^i «a^iG [-?,?], и (х (уъ 0)) = (р2 (^j, у € [-ае, ае] и дп.

0.1) где п — внешняя нормаль, ф е С°°(Ш),.

Существование и единственность решения данной задачи в рассматриваемом классе функций можно доказать, например, с помощью конформного отображения области на полуплоскость и последующего использования формулы Келдыша-Седова [41, гл. III, § 3].

Приведём ряд обозначений для формулировки основного результата второй главы.

Обозначим п = |ж|, г2 = |у|,? = (6,6), V = (m,^), Р = Р2 = Ы, Г1 = {?: 6 = 0, -1 < & < 1}, Г2 = {г): т?2 = 0, -а < щ < а}, oTi = {?: ? = (±1,0)}, дТ2 = {rj: т] = (±-а, 0)}.

Пусть функции €b") G С°°({£: & > О}ГО П С ({£: 6 > 0}), гйо (£) € С°°({г]: щ ^ 0}ЗГ2)ГС ({г]: щ ^ 0}) являются ограниченными решениями следующих краевых задач: Дг>о = 0, 6 > 0, щ =ⁱ (fi),? е Гь 6 о.

А^о = 0, 772 > 0, < = Г2. о.

По формуле Келдыша-Седова можно выписать их явные решения: 1.

— 1.

0.2) где = Vttt' т+т.

MV) = M0) + Re / t-c, dtdc, а где ?2{z) =. ,.

V ^ + а причём в обеих функциях? и ?2 рассматриваются те ветви корня, которые положительны на интервалах действительной оси (1, оо) и (а, со) соответственно и аналитически продолжены на верхнюю полуплоскость.

Обозначимо = lim йо (?)>Яоо= lim wq (ti), = — / фСx) dS,.

Pl-S-OO ' P2->0O 7 Г J dU.

Ji (f2,-0) = 0i (O2), /г (^) = 02(02), где функция ^(ж)? C°°(Q) является решением задачи.

Д<71 = 0, а: € О, l <7i (0) = 0, функция (^(z) € С°°(Г2) является решением задачи.

Ад2 = 0, dg2 dlnri d In г2 а- €<9П{01П02}, дп дп дп.

92(0) = 0.

Также обозначим.

Z-ln- + Z- 1п (2|0102|) + h + Е0,0 — Но, о D0(e) =—.

21n- + 21n (2|0i02|) — Ina -/2.

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любых М>0и0</3<1 функция и (х, г), являющаяся решением задачи (2.1) -(2.4), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при е —0: х, г) ?kuk (x, е), П ^ Мер, г 2 ^ iWV3, к=0 оо ж, е) = ^ (-, е), П^ з=о? оо х, г) =? ?jwi (-' ?) ' Г2 < где — D0(e)) ln2 + Eq, 0 + Si (x) + ~ h |0i02|), o") + № VO — A>(e)) ln| 0}), € С°° ({г?: щ > 0}дГ2) П С ({г/: т > 0}).

Также приведен алгоритм последовательного построения щ и методом согласования асимптотических разложений. Заметим, что хотя асимптотические коэффициенты щ (х, ?), у^х, е) и ги^х, е) также зависят от е, но это это более слабая зависимость — все они являются рациональными функциями от 1п£. Также заметим, что почти во всей области О, кроме двух малых окрестностей точек 0, 02, решение задачи в самом главном ведёт себя как щ (х, е) —^ ' ^ 1п -.

Используя этот результат, можно построить более сложную, но более точную математическую модель процесса протекания тока через платин-чатый образец, в которой потенциал моделируется решением смешанной краевой задачей для эллиптического уравнения. Соответственно, можно получить следующую асимптотику для электрического сопротивления: о, а 2 Л Ь ^ ^.

7Х (1Ъ 7Г£ А)/.

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [27], [28], [25].

В третьей главе диссертации рассмотрен случай пространства размерности п — 3.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть теперьх = (жх, Х2, ?3), О — ограниченная односвязная область в М3, совпадающая в окрестности начала координат с полупространством > 0, дП € С°°, 7 — ограниченная односвязная область на плоскости = 0, ду € С°°, а 0 < е 1. Обозначим 7е = {сс: х?~г € 7} (см. рис. 2).

Рис. 2.

Наша цель заключается в построении и обосновании асимптотического разложения по малому параметру в гармонической в О функции и € С°° П С (^2) со следующими смешанными граничными условиями.

Ои = ф{х), X е и = <�р (х), хЕ%, (0.3) где п — внешняя нормаль, ф, (р € С°°(сЮ). Из работы С. Заремба [79] и теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений (см., например, [47, гл. IV, § 2, п. 3]) следует существование и единственность гармонической функции со смешанными граничными условиями (0.3) в рассматриваемом классе функций.

Для формулировки основного результата третьей главы приведем ряд обозначений.

Обозначим г = х, О — (0, 0,0), ± I фюм. дп.

Известно, что дпо.

Следовательно, дП.

Поэтому существует решение щ € С°°(Г2) краевой задачи /.

Ащ = 0, х? Г2, щ (0) = 0.

Обозначим? = Р = ICI, = {С: 6 > 0}, R3+ = {? :

Ь > 0}, Г = {?: ?3 = 0,? g 7}, где 7 — диск уже на плоскости ?3 = 0. Из вспомогательной леммы 3.3, доказательство которой приведено в диссертации, следует существование решения i?? С°° (ш: краевой задачи АЕ = 0,? € 7, в&- = 0- C6r' Е 0, p-t 00.

Обозначим через с7 > 0 ёмкость диска 7 (см, например, [54, гл. 2, § 1], [43, гл. 2, § 3]). Известно (см, например, [42, гл. 1, § 4]), что если 7 — единичный круг, то.

½.

Е=1, дЕ — arctg.

7 Г с, у — ,.

2 7 Г.

2−1 + ((у02−1)2+4Й)½] а если 7 — эллипс с осями, а и Ь вдоль координатных осей ?1 и ?2 соответственно, то оо т) = а dt а.

2К (с/а) J ^/{t + a2){t + b2) t h (U.

С’у.

ЯГ (с/а)' тг/2 где с — /а2 — б2, = / У Й л/1 — z2 sin21 полный эллиптический интеграл 1-го рода, Л (£) — наибольший действительный корень кубического уравнения ^ = 1. а2 + к Ъ2 + К к Основным содержанием третьей главы является доказательство следующего утверждения:

Теорема 3.1. Для любых М>0и0<�а<1 гармоническая в О функция и (х, е), удовлетворяющая смешанным условиям (0.3), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при г —>¦ 0: х, е) = У] ?кщ (х), г^М?а, к=-1 00 х, е) = X] екук (-), г<�Меа, где и-(х) =- N ~ / ф) щ{х) = щ (х) + (р{0) Ч—, г.

МО = ^(0), остальные функции щ € С°°(П), vj е С00 (мЗДдт) П С .

Также приведен алгоритм последовательного построения ик и и, — методом согласования асимптотических разложений.

Основные результаты третьей главы опубликованы в работе [30].

Научная новизна заключается в следующем:

1. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющиимися на двух малых участках, в двумерной ограниченной области.

2. Построена и обоснована асимптотика некоторых функционалов от исследуемых решений, имеющих физическое приложение, а именно, найдена асимптотика электрического сопротивления пластинчатого образца в случае малых контактов и асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии.

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на малом участке, в трёхмерной ограниченной области. Выписаны в явном виде первые два члена асимптотических разложений.

Теоретическая значимость:

1. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решение смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерной ограниченной области с гладкой границей, на которой задано условие Неймана, кроме двух малых участков, на которых задано условие Дирихле.

2. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решения аналогичной задачи в трёхмерном случаи и с одним малым участком смены типа граничного условия.

Практическая значимость:

1. Найдена асимптотика электрического сопротивления образца, под-лючённого с помощью двух малых контактов.

2. Найдена асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии, связанной с контактным сопротивлением.

Методы исследования. Решения краевых задач понимаются в классическом смысле, т. е. рассматриваются решения, бесконечно дифференцируемые в области и непрерывные вплоть до границы, или большей гладкости. Оценки точности асимптотических приближений решений доказываются в непрерывной норме. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале методом согласования асимптотических разложений проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценивания точности выполнения граничных условий и последующего использования принципа максимума.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Получена полная асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра, и которая физически интерпретируется как электрическое сопротивление.

2. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной двумерной области с краевыми условиями, изменяющимися на двух малых участках границы. Приведена физическая интерпретация решения.

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трёхмерной области с краевыми условиями, изменяющимися на одном малом участке. Явно выписаны два первых члена асимптотических разложений.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, на Международной конференции «Дни дифракции-2010» (Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2010), на финале конкурса Августа Мёбиуса (Москва, МЦНМО, 2012), где работа заняла третье место.

Публикации. Содержание работы отражено в 6 статьях, в том числе 5 статьях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для кандидатских диссертаций.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., академику РАН, профессору Ильину Арлену Михайловичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Заключение

.

Физической интерпретацией асимптотики в первой и второй главе является процесс протекания электрического тока через пластинчатый проводник некоторой формы формы, т. е. рассмотрен двумерный процесс протекания тока. В третьей главе такую интерпретацию привести нельзя, поскольку не хватает второго малого участка, однако построенная там асимптотика весьма полезна для перехода к случаю двух участков. Отметим, что нахождение асимптотики электрического сопротивления трёхмерного образца, подключённого с помощью малых контактов, тоже является в некоторой степени актуальной задачей. Примерно в 1975 г. физики Варыпаев и Неумержицкий В. Т. опубликовали в сб.науч.трудов ГосНИИЭП статью, в которой рассматривали протекание тока через цилиндрический электрод, подключённый к торцам с помощью так называемых &bdquo-точечных" контактов. В этой статье с помощью метода Фурье было найдено решение и, в частности, электрическое сопротивление такого цилиндра, однако его асимптотика найдена не была. Позже Смирнов С. Ф. и Неумержицкий В. Т. опубликовали тезисы, где они нашли выражение для сопротивления прямоугольного параллелепипеда с малыми прямоугольными контактами на торцах в виде ряда [57].

Рассмотрим задачу построения асимптотики электрического сопротивления цилиндра относительно малого сечения контактов. Математически задачу можно поставить следующим образом.

Обозначим г = у/х + х Q, = {ж: 0 ^ г < а, 0 < хз < /г} — цилиндр радиуса, а и высоты h, 71 = {х: ж3 = 0, г ^ г}, 72 = {х: rc3 = h, г ^ s}, а = {ж: ж3 = 0, г = а}, а2 = {х: = h, r = а].

И пусть функция и (х) из класса бесконечно-дифференцируемых внутри области О, непрерывных вплоть до границы дО, и имеющих производ ную по нормали на гладких участках границы функций, является решением следующей краевой задачи:

Аи = 0, х е О, и = 1, х € 7ь и ди.

— 1, х 6 72,.

I ¿-Ь = Ж G и 72 и ai и а2}.

Требуется найти асимптотику интеграла ди.

-—(xi, x2,0, e) dS при? —у 0. ох з.

Г<�£.

Легко заметить, что и (х 1, х2, rr3, е) = - arctg 7 Г V.

2?2 r2 ?2 + ((r2 ?2)2 + 4£2-г2)½.

½ arctg.

2е2.

½> 0(е). ди.

Г2 — ?2 + ((г2 — ?2)2 + 4г2(/1 — Хз)2)Х/2.

Используя это асимптотическое приближение, можно вычислить х3=0.

7Г/ ?2 — Г2.

0(1). Здесь дифференцирование похз законно, дх3 поскольку и? С°°, а асимптотические ряды нельзя дифференцировать только по малому параметру. Отсюда,.

М = / ди дх:. dS=~A? + 0{?2). г<�е х3=0.

Итак, по закону Ома мы получаем, что электрическое сопротивление.

R =.

A U 7 Г + 0{ 1). е)| 4? + 0{?2) 2е, Но этот главный член был уже известен в работе ([61], введение), однако интерес представляет, по-крайней мере, ещё один следующий член асимптотического разложения. Его получение является ближайшей перспективой дальнейшей разработки темы.