Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием

Актуальность темы

исследования. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), начало которой было положено в 50-х годах прошлого века работами А. Д. Мышкиса [30] и H.H. Красовского [21], за последние 50 лет оформилась в самостоятельный, интенсивно развивающийся раздел теории дифференциальных уравнений. Ее основы излагаются, например, в монографиях Э. Пинни [33]- Р. Беллма-на и К. Кука [6]- Л. Э. Эльсгольца и С. Б. Норкина [61]- А. Д. Мышкиса [31]- Дж. Хейла [53]- Н. В. Азбелева, В. П. Максимова и Л. Ф. Рахматуллиной [1]- В. Г. Пименова и A.B. Кима [34]- циклах работ С. Н. Шиманова [55−59] и A.M. Зверкина [9,14−16]. Если дифференциальное уравнение изучается на бесконечном промежутке, то для него определяющую роль играют вопросы устойчивости, и здесь функционально-дифференциальные уравнения не составляют исключения. На них легко были перенесены классические понятия устойчивости, введённые A.M. Ляпуновым для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для исследования устойчивости решений ФДУ наряду с модификациями классических методов (метод D-разбиений, принцип аргумента, критерии Понтрягина, Эрмита-Билера, Чеботарёва-Меймана), возникли новые методы (метод функционалов Красовского, теоремы Разумихина, W-метод Азбелева). Вопросы устойчивости ФДУ изучались в десятках монографий и сотнях статейотметим лишь несколько монографий, либо полностью, либо в значительной своей части посвященных вопросам устойчивости ФДУ: [79], [6], [3], [53], [17], [21], [75], [31], [36], [35], [52]. Наиболее полная библиография (415 наименований) содержится в монографии Н. В. Азбелева и П. М. Симонова [3].

Доказательство фундаментальных теорем и разработка новых методов в теории устойчивости ФДУ всегда шла параллельно с получением эффективных признаков устойчивости для конкретных классов ФДУ. Особый интерес вызывали результаты, дающие возможно более точное описание области устойчивости, и многие авторы направляли свои усилия на получение именно таких признаков: A.A. Андронов [4], П. С. Громовой [9], С. А. Гусарепко [10], Ю. Ф. Долгий [12,13], A.M. Зверкин [15], А.И. Кирья-нен [19], М. М. Кипнис [18,83], В. В. Малыгина [25,26], Ю. М. Репин [38], З. И. Рехлицкий [37], С. Н. Шиманов [55−59], Т. Amemiya [63], L. Berezansky и Е. Braverman [64,67], Т. Burton [71,72], I. Gyori [77,78], N. Hayes [80], Т. Krisztin [84], G. Ladas [86], E. Liz [85], X. Tang [96], T. Yoneyama [101], J.A. Yorke [102] и др.

Первые признаки устойчивости решений ФДУ были получены для уравнений с сосредоточенным запаздыванием, да и в дальнейшем этим уравнениям посвящалось большинство исследований. Уравнения с распределенным запаздыванием (в других терминах — интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим усреднением) исследованы гораздо меньше. Как правило, результаты для таких уравнений получают как следствия из теорем для уравнений общего вида, потому эти признаки часто далеки от точных. Исключение составляют работы, в которых целенаправленно изучались ФДУ с распределенным запаздываниемони появились относительно недавно, и их немного. Это работы S. Wu, S. Gan [100] и М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata [74], в которых для вещественных, а и к получен критерий асимптотической устойчивости уравнения x (t) + ax (t) + к / x (s) ds — 0,.

Jt-h, а также работы М. М. Кипниса и М. Ю. Вагиной [7,18], в которых (для вещественного к) был найден критерий асимпототической устойчивости уравнения к Г x (t) — — — / x (s)ds. h Jt-t-h.

Для частного случая этого уравнения (при г = 0) критерий асимптотической устойчивости был установлен в работе J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho [93].

Результаты этих исследований сразу обращают внимание на существенные отличия областей устойчивости уравнений с сосредоточенным и распределённым запаздываниемэто указывает на необходимость продолжать изучать уравнения с распределённым запаздыванием как самостоятельный объект.

Математические модели в биологии. Одна из причин быстрого развития теории ФДУ — то, что эти уравнения с самых первых работ связывались с прикладными задачами. В частности, математическая биология, в особенности исследования динамики популяций, была и остается как источником новых задач, так и объектом приложения новых результатов. При этом особое внимание всегда уделялось задачам, требующим прогнозировать развитие популяции на достаточном большом временном промежутке.

Если биологическая система существует в неизменном виде достаточно долгое время, то она обладает способностью противостоять возмущениям со стороны окружающей среды. Эту способность системы естественно назвать устойчивостью. Описать границы области устойчивости — значит указать те условия существования системы, выход за которые может привести к её разрушению. Чтобы их описание было содержательным, оно должно быть количественным, то есть математическим.

Кроме того, изучение многих биологических процессов в принципе невозможно иными методами, кроме построения адекватной математической модели: в живой природе опасны эксперименты с необратимыми (или непредсказуемыми) последствиями, а наблюдение за развитием живых организмов на небольшом промежутке времени не всегда даёт основания для надёжной экстраполяции.

Для математического моделирования динамически развивающихся систем используется производная (имеющая значение скорости изменения изучаемого объекта), а значит, дифференциальные уравнения и системы. Довольно долго исследователи динамики популяций ограничивались моделями, представляющими собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие модели характеризуются предположением, что скорость изменения изучаемого объекта (численности популяции) в любой момент времени зависит только от состояния объекта в тот же момент времени. Однако желание описать процесс точнее привело к тому, что эта гипотеза стала заменяться более гибкой: скорость изменения объекта зависит не только от его состояния в данный момент времени, но и от «предыстории», то есть от состояний в некоторые предыдущие моменты времени.

Одна из самых известных биологических моделей, в которой учитывается эффект запаздывания по времени — уравнение Хатчинсона [82,99], описывающее динамику популяций при условии ограниченности ресурсов: где АГ (^) — величина популяции в момент времени К — максимальное число особей, способных прокормиться при заданном количестве пищи, г — коэффициент прироста популяции, к — запаздывание по времени. Наличие запаздывания 1 г > 0 привело к появлению немонотонных решений, оцилля-ции решения около положения равновесия, существованию точек бифуркации и периодических режимов. Всё это богатство свойств решений, каждое из которых легко интерпретировать как некоторое свойство популяции, показывает, что уравнение Хатчинсона является более адекватной моделью, чем логистическое уравнение, которое соответствует случаю /1 = 0.

Учёт запаздывания позволил описывать динамику популяций более глубоко и полно: вслед за моделью Хатчинсона (1948 г.) появились модель Ласоты-Важевски (1976 г.), модель Мэкки-Гласса (1977 г.), модель Никол-сона (1980;1983 гг.). Модель Николсона описывает динамику популяции лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения. Несмотря на то, что динамика популяции и кроветворение — это разные процессы, модели оказались сходными.

Устойчивость численности популяции, то есть способность популяции возвращаться к равновесному состоянию, математически описывается как устойчивость решений выбранного в качестве модели уравнения. Математические определения устойчивости даются в рамках теории дифференциальных уравнений соответствующего класса. Все перечисленные модели динамики популяций являются нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями. Исследование асимптотических свойств их решений в большинстве случаев проводится по следующей схеме: изучаются свойства линейного приближения (как можно точнее) и на их основе делаются выводы о поведении решения нелинейного уравнения. Если исходная модель учитывала эффект последействия, то его линейное приближение попадает в класс линейных функционально-дифференциальных уравнений. Поэтому с прикладной точки зрения наиболее интересными являются результаты, дающие эффективное (и возможно более точное) описание области устойчивости конкретных классов таких уравнений.

Развитие идеи запаздывания привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко: вместо одного запаздывания появилось несколько, запаздывание и коэффициенты начали зависеть от времени, наконец, наряду с сосредоточенным стали рассматривать распределённое запаздывание.

Интересно отметить, что первая модель динамики популяции, в которой учитывался эффект последействия, была как раз уравнением с распределённым запаздыванием: В. Вольтерра в работах 1926;28 годов рассматривал интегро-дифференциальное уравнение [97] m = Ht) (l —^jii I jT fit — s) N (s) ds^j N (t), t > 0, (0.1) моделирующее влияние на смертность ухудшения условий окружающей среды, вызванного накоплением отходов и умерших организмов. Вводя в логистическое уравнение интегральное слагаемое, Вольтерра стремился учесть всю историю процесса от начального момента до текущего. К сожалению, эти работы не были замечены и оценены другими исследователями и потому не оказали существенного влияния на развитие теории таких уравнений. Однако на фоне успешного использования моделей с запаздыванием (поначалу только сосредоточенным и даже постоянным) идея распределённого запаздывания не могла не возникнуть снова. Очевидно, что есть ситуации, где введение сосредоточенного запаздывания не имеет смысла (как в приведённой выше модели Вольтерра — загрязнение окружающей среды, носит, очевидно, кумулятивный характер). Однако даже когда сосредоточенное запаздывание достаточно хорошо описывает моделируемый процесс, на самом деле имеет место некоторое «размытие» запаздывания вблизи некоторого среднего значения. В этом случае использование распределённого запаздывания позволяет учитывать вероятностные эффекты в моделях, которые в противном случае были бы детерминированными. Единственное (но существенное) отличие современных моделей с распределённым запаздыванием от модели Вольтерра состоит в том, что длина промежутка интегрирования, как правило, предполагается ограниченной — учитывать всю историю процесса «от начала времён» вряд ли необходимо. Например, уравнение Хатчинсона с распределённым запаздыванием, которое является обобщением уравнения (0.1), выглядит так:

N (t) = r (t) (l — 1 jT J N (s) ds^j N{t), t ^ 0.

На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются (см. например, недавний обзор [70] об уравнении Николсона). С другой стороны, модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но оказывается, что для них признаков устойчивости мало, а те, что получаются как следствие из теорем общего вида — далеки от точных.

Таким образом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей.

Основной объект изучения — линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием: rt-r (t) x (t) + a (t)x (t) + / k (t, s) x (s) ds = f (t), t.

J t—r (t)—h (t).

Наибольшее внимание в работе уделяется интегральному слагаемому, которое является определяющим при изучении асимптотических свойств решения. Добавление слагаемого a{t)x (t) продиктовано желанием применить полученные для линейного уравнения результаты к исследованию биологических моделей, в которых это слагаемое обоснованно присутствует.

Цели и задачи исследования. Цель настоящей диссертации — изучение асимптотических свойств решений линейных дифференциальных уравнений (0.2), при этом основное внимание уделяется признакам устойчивости и знакоопределенности.

Такие признаки должны быть:

— эффективными, то есть давать результат в терминах параметров исходного уравнения;

— точными, то есть должна быть показана либо необходимость, либо существенность всех предположений;

— наглядными, то есть представленными в виде области на плоскости или в пространстве параметров уравнения.

В качестве реализации полученных результатов ставится задача описания свойств биологических моделей, которые обеспечивают устойчивость численности биологического сообщества (для уравнений динамики популяций Хатчинсона и Николсона) или численность эритроцитов (в моделях кроветворения Мэкки-Гласса и Ласоты-Важевски).

Теоретические основы и методы исследования. Методы современной теории ФДУ предполагают применение, с одной стороны, методов классических комплексного и вещественного анализа, с другой стороны, специфических методов, разработанных за полвека развития теории ФДУ. В вопросах теории ФДУ мы в основном опираемся на результаты и следуем традициям научной школы проф. Н. В. Азбелева.

Не менее важным основанием проведённых исследований послужили стремительно развивающиеся возможности программного обеспечения. С помощью программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. признаки устойчивости и положительности решений исследуемых моделей удалось представить в наглядном и удобном для практического использования виде.

Научная новизна и практическая значимость результатов. Основными результатами диссертации являются следующие. Впервые получены необходимые и достаточные условия устойчивости и положительности решений автономного уравнения (0.2), которые включают все предыдущие результаты такого рода как частные случаи (см. работы М.М. Кип-ниса и М. Ю. Вагиной [7,18]- М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata [74]- S. Wu, S. Gan [100]- J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho [93]). Получены точные достаточные условия устойчивости и положительности решений неавтономного уравнения (0.2). Удалось получить наглядную геометрическую интерпретацию результатов, прргчём даже в случаях четырёхи пятимерного пространств параметров. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций (Хатчинсона, мух Николсона) и кроветворения (Ласоты-Важевски, Мэкки-Гласса), получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции (численность кровяных клеток) стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Представление в пригодном для непосредственного практического использования виде полагалось в работе не менее важным, чем аналитическое описание. С этой целью каждый существенный результат диссертации приводится в двух видах: в аналитической записи и в геометрической интерпретации.

Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов. Это определяет практическую значимость результатов данной работы, которые существенно расширяют наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

Результаты работы можно использовать также при исследовании моделей, возникающих в экономике, технике, иммунологии и других моделей, для описания которых требуются дифференциальные уравнения с распределенным запаздыванием.

Структура и основные результаты работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 113 страниц, включая 18 рисунков. Библиографический список содержит 102 наименования.

Основные результаты работы:

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода как частные случаи.

2. Получены достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, а также показана их точность.

3. С помощью математического программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. указанные признаки удалось представить в наглядном и удобном для практического применения виде.

4. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций и кроветворения получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции (численность кровяных клеток) стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Заключение

.

Целенаправленное изучение дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием позволило найти для них области устойчивости и знакоопределенности. Существенное отличие их от соответствующих результатов для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием прямо указывает на необходимость при учете эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую. Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием оказываются тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов, расширив тем самым наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.