Математическое моделирование характеристик снежного покрова на основе метода грануляции

Среди природных явлений, связанных с повседневной и хозяйственной деятельностью человека очень важную роль играют процессы формирования, метаморфизма, использования и таяния снежного покрова (СП) [49,57]. Снежный покров образуется на всех континентах Земли [96]. Ежегодно снегом покрывается до 130 миллионов квадратных километров, образуя дефляционные территории [99,144]. Восьмая часть дефляционной территории приходится на ледники. Снег, отлагающийся там, проходит стадии метаморфизма в составе СП и расходуется на питание ледников [125], порождая элементы глобального метеорологического состояния атмосферы [84,130]. Свободную от ледникового щита сушу покрывает половина глобального СП Земли [126]. При его таянии увлажняется почва, возникают речные половодья и т. д. [61,95,152], а в горной местности возникают такие опасные явления как селевые потоки [55,60].

В круговороте влаги на Земле, от которого, зависит существование всего живого, глобальный СП планеты играет решающую роль. Без него безвозвратно нарушилось бы существующее устойчивое состояние ледников, и большая часть суши превратилась бы в безводную пустыню [47,145,151]. В этой связи изучение СП и его модификаций в рамках ряда самостоятельных дисциплин (хионология [50,93,109,111,152], гляциология [84,86,126,144], изучение лавин [104,113,132,145] и другие смежные области [102,103,105,143.149]) является практически важным и давно ведется в странах, территория которых является дефляционной [57,60,144]. СП обладает индикационными свойствами — структура СП, его текстура (характер слоистости) и даже форма метаморфизованных снежинок в составе СП [21,50,51,61] дают важную информацию о каждом из прошедших событий аналогично структуре и текстуре геологических образований [84]. Полная характеристика структуры и текстуры СП называется его стратиграфией [93]. Индикационные свойства СП можно использовать для оценки элементов местного микроклимата и общей физико-географической ландшафтной обстановки района [86,98]. Исследования прогностических свойств снежного покрова открывают путь к созданию новых, значительно более надежных методик прогноза условий снегозаносимости и лавинной опасности и т. д. [46,113,151].

В свете этих практических задач основная теоретическая задача в области изучения и предсказания состояния СП состоит в разработке новых общих моделей и алгоритмов, позволяющих на основе исходных метеорологических данных рассчитывать процессы, происходящие во время возникновения, метаморфизма и таяния СП [145,152] со следующими практическими целями:

• Получение оценок плотности и объема СП для количественной характеристики накопления в нем влаги и управления снегозадержанием [102,105,130,151];

• Получение оценок механических свойств СП для решения задач защиты инженерных сооружений и транспортных коммуникаций от деструктивных факторов снегонакопления [46,50.56,] и проектирования и эксплуатации сооружений из снега и льда [51,86,94,110];

• Оценка и прогнозирование состояния и поведения ледников, с целью предсказания метеорологических факторов, оказывающих существенное воздействие на климат [125,126,130];

• Оценка свойств СП с точки зрения прогнозов лавинной опасности [21,58,63,70,104,113] и проектирования лавинных защитных сооружений [92,121,132];

• Оценка запасов влаги в СП в горных районах для прогноза селевой опасности [108] и проектированию соответствующих защитных сооружений [143].

Решение этих прикладных задач требует развития аппарата математического моделирования процессов порождения, метаморфизма и таяния снежного покрова, основанного на особенностях физики этих процессов.

С физической точки зрения СП представляет собой совокупность множества частиц (снежинок), взаимодействующих друг с другом. В отличие от сыпучих сред, таких как песок и т. д. [90], снег подвержен метаморфизмуего свойства изменяются со временем. Мелкие частицы снега испаряются быстрее крупных, но в снежном покрове воздушные поры невелики, так что при испарении мелких снежинок поры настолько быстро насыщаются влагой, что начинается обратная кристаллизация из пара [145]. Процесс протекает односторонне — растут только крупные частицы, то есть вещество как бы перегоняется с мелких снежинок на крупные [58,61]. Таким образом, СП является сложной неоднородной физической системой [27,62,100]. Рассматривать модель СП в приближении твердого тела можно только для достаточно больших объемов [58]. Снежинки в составе СП имеют геометрически сложную форму и значительный разброс по размерам. По этой причине многие методы теории жидкости и газа, применимые к физическим системам [55,100,133], являются некорректными при применении к моделированию процессов в СП. Необходимо применение специального инструментария, позволяющего объединять частные результаты, получаемые при изучении различных состояний СП [50,58,61,102,111,113] в единую интегрированную модель [139,140], допускающую эффективную программную реализацию [134,139].

Чаще всего основной элемент СП (снег) рассматривают как один из видов природных льдов Земли [49,84]. В настоящее время гляциология активно превращается из описательно-географической [12,49] в количественную, физическую науку [98,145]. Такой же представляется и ее ветвь — снеговедение, или хионология, определяемая как часть гляциологии, посвященная всестороннему изучению снега и снежного покрова [50,58,86,103].

Основы снеговедения заложены А. И. Воейковым — с 1891 г. в России проводятся снегомерные съемки. В других странах они начаты позже: в США с 1910 г., в Японии с 1948 г. Уже в XIX в. в России исследуется проблема снежных заносов, разрабатывается теория метелей (Н. Е. Жуковский). В 30-х-40-х годах XX в. основная задача при изучении СП была связана с обеспечением гидрологических прогнозов, исследовалось территориальное размещение снегозапасов, процессы таяния и водоотдачи из снега (П. П. Кузьмин и др.). Для создания научных основ снежной мелиорации Г. Д. Рихтер предложил районирование по режиму СП. В 50-х и 60-х годах большой вклад в изучение механизма метелей внес А. К. Дюнин [59−63].

Особое место в хионологии занимает изучение лавин. Многочисленные описательные модели, появившиеся в альпийских странах в конце XIX и начале XX вв., в 30-х годах сменились физическим подходом к моделированию морфологии и активности лавин — изучением условий формирования лавин и особенностей их схода. Этому способствовало создание первой лавинной станции в Давосе (Швейцария) и начало интенсивного освоения горных территорий в СССР, в первую очередь Кавказа и Хибин [57,84,94,96,104]. В 30-х и 40-х годах предлагается ряд классификаций лавин. В Японии основополагающий вклад в изучение снега и лавин внес U. Nakaya, в США — М. Atwater, в Швейцарии — М. De Quervain. В работах Г. К. Тушинского изучается их движение и ударная сила [92,132, 108,113]. Разработаны основные принципы прогнозирования лавин из свежевыпавшего снега и сделаны первые шаги в прогнозе лавин из метаморфизированного снега [92,126,145].

Важнейшей задачей математического аппарата хионологии является создание математических моделей, позволяющих корректно описывать физические процессы:

• возникновения и роста элементов СП (снежинок) [12,98];

• формирования СП и его первичного уплотнения [59,63,111,];

• метаморфизма и уплотнения снежного покрова под действием различных факторов [58,61,103];

• таяния (абляции) снежного покрова [21,61,102].

Одна из сложностей изучения СП как неоднородной среды заключается в том, что существует огромное количество различных форм снежинок. В 1954 году по результатам исследований U. Nakaya [12] Комиссией снега и льда Международной ассоциации научной гидрологии была разработана.

Международная классификация снега [109]. Атмосферные снежинки в ней разделены на 10 больших классов, каждый класс делится на разновидности. Однако со временем любой СП полностью меняет свою структуру — становится более крупнозернистым, радикально меняется форма зерен [49,58,60]. В частности, появление глубинного инея в снежном покрове горных склонов — грозный предвестник лавинной опасности [21,46,113].

Кристаллизация водяного пара в углублениях и на пересечениях снежинок, на более крупных снежинках за счет испарения мелких, а также дальнейшие стадии метаморфизма снега внутри СП — сложнейший и до сих пор еще в деталях не изученный процесс. Форма объемных приращений кристалла должна соответствовать, по принципу Кюри, минимуму свободной поверхностной энергии при данном объеме. Для капли воды это шар, для кристалла льда — шестигранник, шестигранный цилиндр и их сочетания [145]. Основным результатом метаморфизма СП является его фирнизация — превращение СП в фирн, то есть плотную среду, состоящую из ледяных комочков и зерен, ничего общего не имеющих с первоначальными кристаллами снега [58,152]. Плотность фирна варьирует от 0,35 до 0,8 г/см. Фирн образуется на ледниках, так как именно на них направления силы тяжести и внут-риснежной миграции пара, как правило, совпадают [96,98]. Фирн — закономерная переходная стадия между снегом и ледником. Фирн, постепенно уплотняясь, переходит в лед [93].

Имеющиеся математические модели процесса метаморфизма СП основаны на моделировании теплопереноса и диффузии водяного пара в средах с регулярной структурой [48,58]. В процессах перекристаллизации снежного покрова и при лавинообразовании важное значение имеет миграция водяного пара в толще снежного покрова [61,102]. Эти модели получены для приближения структуры СП в виде некоторых типов регулярных структур [58].

Однако использованные в указанных работах геометрические модели структуры СП и полученные на их основе математические модели далеко не точно описывают процессы метаморфизма СП [69,71]. Слабо исследованы в настоящее время процессы структурного уплотнения СП (например, за счет ветрового воздействия [50,59,63]). В настоящее время большинство исследователей считает, что перенос вещества в толще снега зависит главным образом от градиента температуры. Строгая зависимость величины коэффициента диффузии водяного пара от температуры, плотности и структуры снега может быть установлена только на основе большого числа экспериментов при проведении специальных исследований [61,103,125,152].

Подводя итоги, можно отметить, что попытки теоретического изучения свойств снега с помощью упрощенных моделей однородной однофазной среды и регулярных структур были, как правило, неудачными [61,62].

В связи с необходимостью развития теоретических основ и численных методов моделирования сложных гляциологических структур и в связи с ограниченностью классических методов моделирования физических процессов в средах простой структуры, необходима разработка новых обобщающих моделей, позволяющих интегрировать в своей структуре отдельные существующие разнородные модели на новой математической основе, и позволяющие строить для своего исследования эффективные численные методы и алгоритмы анализа и прогноза состояния снежного покрова [118−123,137,139]. Необходимо также учитывать возможность эффективного использования новых математических моделей в геоинформационных системах сбора, анализа и обобщения многомерных данных наземных исследований [72] и дистанционного зондирования поверхности Земли [140,141] с учетом возможных погрешностей и неопределенностей в получаемых данных [30,36,41]. В результате следует создать математические модели, позволяющие корректно описать весь жизненный цикл элемента СП (снежинки) от момента образования и транзита в атмосфере, до процессов ее метаморфизации в составе СП.

В течение ряда последних лет в научной литературе наблюдается процесс, оценка роста скорости которого близка к экспоненциальному росту. Толчок ему был дан выходом книги В. Mandelbrot [11]. В дальнейшем подход, основанный на поиске фрактальных закономерностей [15], был развит во все возрастающем множестве исследований, обзор которых можно найти в новом издании книги [107]. Некоторые общие закономерности новых моделей разнородных процессов могут быть обобщены на основе современной теории хаоса [15,101].

Многие особенности моделей, приводящих к фрактальным законам, связаны с броуновским характером различных физических процессов. Это приводит к появлению сходных моделей для информационных потоков, береговых линий и стока рек, явлений турбулентности, границ облаков, форм рельефа поверхности Земли и т. д. [5,8,17,64,101,127,128,146−148] В настоящей работе мы не будем рассматривать этот класс моделей фрактальных структур, поскольку они являются дескриптивными.

Значительно больший интерес представляют конструктивные модели фрактальных объектов. Они основываются в основном на идее агрегации сложных объектов из простых элементов [112]. Модели процесса агрегации используются на макроуровне [5] (образование галактик), мезоуровне [146,147] (формирование планет и процессы на их поверхности), и микроуровне [138,148] (получение новых типов материалов). Агрегация (сбор, слипание, аккреция и т. п.) играет ведущую роль во многих естественных и искусственных процессах [15,17]. Типичнейшей особенностью фрактальных объектов является их самоподобие [11]. С точки зрения моделей агрегации самоподобие можно объяснить наличием иерархии кластеров, объединяющихся в процессе агрегации [107]. Кластером принято называть самопроизвольно возникающую совокупность связанных между собой частиц, когда силы взаимодействия между частицами являются преобладающими [137]. Внутри кластера сохраняется индивидуальность отдельных частиц, однако со стороны кластер представляется как образование с качественно новыми свойствами, которые отсутствуют у отдельных частиц. Фрактальный кластер представляет собой ассоциацию связанных между собой частиц, имеющих фрактальное строение [137]. Свойства фрактальных кластеров, образованных из дисперсных частиц, существенно зависят от условий сборки. Определяющими агрегацию факторами являются: характер процесса (кластер-частица или кластер-кластер) — характер движения частиц или кластеров (детерминированное или стохастическое) — характер объединения частиц или кластеров (описание сил, способствующих объединению). Учет этих факторов позволяет описать практически все указанные выше модели процессов агрегации [911,148]. В частности, разнообразие форм снежинок (как в атмосфере, так и в составе СП) объясняется именно их кластерным характером [36,66].

Для решения подобного класса задач, связанных с неточностью, нечеткостью в классе искусственных (технических) систем (аналог рыхлости самоподобной структуры физической среды) L. Zadeh был предложен в 1994 г. интегрирующий (зонтичный) термин мягкие вычисления {soft computing) [1820]. В [20] дана современная классификация видов неопределенности в задачах моделирования. Математическую основу, объединяющую описанные выше эмпирические подходы к анализу многомерных данных физических измерений параметров сложных, многокомпонентных сред, составляет теория информационной грануляции (ТИГ) в формулировке JT. Задэ [18]. В ряде работ последнего времени была показана высокая общность методов ТИГ [3,30−45,78,79,82,83], применяемых в различных прикладных областях, а также их применимость в моделировании пространственной грануляции сложных геометрических объектов [39,42,45,78,139] (на примере моделирования процесса формирования снежинок по модели Nakaya [12]) и проведена теоретическая разработка основ применения подобных моделей [79,81,82].

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей этапов полного процесса существования снежного покрова — от формирования его элементов до завершения их метаморфизма в составе снежного покрова. Эти модели должны строиться на основе современных теорий описания сред сложной структуры (фрактальных сред) и должны обеспечивать разработку математически корректных численных методов и эффективных программных средств моделирования процессов формирования и метаморфизма снежного покрова, а также моделирование процессов переноса внутри снежного покрова, определяющих его свойства.

Задачи диссертационной работы, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, включают в себя:

• Разработку общей математической модели формирования фрактальных кластеров, позволяющей учитывать совместное действие процессов агрегации и диссипации элементов кластера и численного метода имитационного моделирования процесса образования кластера;

• Разработку новой математической модели регулярного фрактального объекта (снежинки) как элемента фрактальной среды (снежного покрова) формируемой из отдельных кластеров и численного метода определения параметров такого объектаI.

• Разработку общей структурной модели представления фрактальной среды в гранулированной форме (в виде укладки гранул), позволяющей более корректно описывать структуру такой среды (снежного покрова) и оценивать ее параметры;

• Разработку численного метода расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, позволяющего учитывать качественно новые черты процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами в сплошных средахСоздание программного комплекса на базе разработанных численных методов, позволяющего моделировать все этапы существования снежного покрова как фрактальной среды.

Практическая ценность результатов исследований определена их применением для решения задач исследования и предсказания поведения сложных природных сред (таких как снежный покров) нового типа моделей, основанных на использовании дробных операторов для моделирования аномальных процессов во фрактальных средах.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка источников и приложений.

Выводы по главе.

В главе IV на основании результатов, полученных в предыдущих главах, разработан ряд алгоритмов, положенных в основу комплекса программ, позволяющих реализовать полный цикл изучения снежного покрова, а также предсказания его свойств и прогноза их изменения. Это дало возможность, отталкиваясь от опытных данных по свойствам снежинок и снежного покрова, рассматриваемого как укладка гранул, содержащих отдельные снежинки, количественно моделировать ряд широко известных из опыта свойств СП.

Разработанные алгоритмы являются оригинальными решениями ранее известных задач, построенными на качественно новой основе — грануляции пространственных данных, что определяет их высокую эффективность в сравнении с уже известными численными методами.

В отличие от ранее известных алгоритмов, разработанные в главе алгоритмы базируются на единой концептуальной и математической основе, что позволяет широко использовать в них типовые блоки расчета на гранулированных данных для решения широкого круга практически полезных задач. В результате удалось разработать эффективную программную реализацию данного комплекса алгоритмов с использованием сравнительно небольшого объема программного кода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В связи с необходимостью получения качественно новых математических моделей и численных методов моделирования сложных гляциологических структур и в связи с ограниченностью классических методов моделирования физических процессов в средах простой структуры, в диссертационной работе уделено внимание разработке новых обобщающих математических моделей, позволяющих интегрировать в своей структуре отдельные существующие разнородные модели на единой математической основе (пространственной грануляции). Для этих математических моделей в диссертационной работе разработаны новые численные методы, позволяющие эффективно оценивать параметры снежного покрова и моделировать процессы переноса в нем.

В соответствии с поставленной целью работы — разработкой математических моделей этапов полного процесса существования снежного покроваот формирования его элементов до завершения их метаморфизма в составе снежного покрова, в диссертационной работе решен ряд задач, приводящих к практической реализации данной цели.

• Разработана обобщенная математическая модель формирования фрактальных кластеров, которая позволяет учитывать совместное влияние процессов агрегации и диссипации на формирование кластера, что позволяет с помощью разработанного на ее основе численного метода проводить численные эксперименты для изучения условий формирования снежинок. Применение этой модели позволяет учитывать тот факт, что, в отличие от известных искусственных фрактальных сред (аэрогели и т. д.) в процессе формирования снежинок молекулы воды могут как агрегировать к кластеру, так и диссипировать от него, что и приводит к разнообразию форм снежинок (с. 38−44);

• Разработана математическая модель регулярного фрактального объекта как элемента снежного покрова формируемого из отдельных кластерных образований (снежинок) позволяет связать геометрические характеристики снежинки с ее физическими свойствами и с помощью разработанного численного метода определять физические параметры моделируемого фрактального объекта, в то время как известные модели снежинок являются не физическими, а визуальными (с. 56−66);

• Предложена структурная модель представления составной фрактальной среды (снежного покрова) в виде укладки гранул, содержащих отдельные фрактальные кластеры (снежинки), позволяет физически более корректно описывать структуру снежного покрова и находить ее параметры, чем это позволяют сделать известные модели, представляющие собой системы трубок, плоскостей и т. п. (95−104);

• Разработанный численный метод расчета аномальных процессов переноса для фрактальных сред, обладает абсолютной устойчивостью и высокой точностью и позволяет численно изучать качественно новый характер процессов переноса во фрактальных средах в сравнении с процессами переноса в сплошных средах (111−119). Этот метод носит универсальный характер, поскольку путем выбора параметров он может использоваться и для решения классической задачи теплопереноса;

• Созданный программный комплекс позволяет моделировать этапы существования снежного покрова как фрактальной среды и изучать процессы переноса в снежном покрове для значительно более широкого класса моделей, чем известные. Он отличается модульностью и расширяемостью за счет использования возможностей современных программных средств (129−132).

Научные и практические результаты, полученные в диссертации, были апробированы на ряде всероссийских и международных научных конференций. Тема работы поддержана грантом РФФИ № 11−01−90 700-мобст. Практическая ценность результатов исследований определена созданием программного комплекса для решения задач математического моделирования процессов формирования и метаморфизма снежного покрова, который может применяться для широкого круга практических применений.