Представления мартингалов и их применение к расчету опционов европейского типа

1.Теоремы о представлении мартингалов являются одними из важнейших утверждений в теории случайных процессов, имеющие приложения в общей теории случайных процессов [20,24,51,10], в теории стохастического оптимального управления [40,46,54], стохастической финансовой математике [22,27,37,10], статистике случайных процессов [23].

Данная диссертация посвящена построению нескольких видов представлений мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.

2.Перейдем к обзору результатов, относящихся к теореме о представлении мартингалов и функционалов, заданных на траекториях случайных последовательностей.

В работах [42,20,24,51] содержится фундаментальная теорема об интегральном представлении мартингалов в виде стохастических интегралов. В них показано, что любой локальный мартингал, согласованный с фильтрацией, порожденной непрерывным справа семимартингалом, допускает интегральное представление тогда и только тогда, когда вероятностная мера, заданная на траекториях указанного выше семимартингала является крайней. В работах [52,20,22] содержится критерий 8-представимости для локальных мартингалов, в том числе в том числе и для дискретного времени.

В работах [42,50,13] в предположении, что процесс (?" ,), является семимартингалом относительно меры Р, причем относительно некоторого класса вероятностных мер <2~Р он (процесс (£Дг0) является локальным мартингалом, был построен критерий Б-представимости. з.

В работах [47,49,53,13,21] построено, так называемое, опциональное разложение [47,49,53,13,21], которое является обобщением известного разложения Дуба-Мейера.

В работе [37], в предположении, что допускает представление и 5, =5,., (1 + /?,), Б,, 0 = 50, где р, последовательность бернуллиевских случайных величин, такая, что Мр, = 0, была доказана теорема о? -представлении для дискретного времени.

Подробный обзор результатов, связанных с теоремами о представлении мартингалов можно найти в [37,10].

3. В диссертации для построения различных представлений для ограниченных функционалов /(?.), заданных на траекториях последовательности (З,),^ применяется теория оптимального стохастического управления случайными последовательностями с мультипликативным критерием (¿-у) > 0, у которого пЯ. ы (о)) представим в виде суммы терминальной части, представляющей собой ограниченный измеримый функционал Л (5.) заданный на траекториях процесса (5,), и профита представляющего собой кумулянту, построенную по последовательности (Б,)^ относительно некоторой меры Q. В связи с этим перейдем к обзору основных результатов теории оптимального управления стохастическими последовательностями.

В настоящее время существует два подхода в теории оптимального управления случайными последовательностями. Первый подход — его можно назвать стохастическим вариантом принципа максимума Понтрягина, подробно изложенный в [1], в которой были получены необходимые условия существования оптимальных стратегий для случайных последовательностей порождаемые рекуррентными соотношениями в форме принципа максимума.

Второй подход основан на методе динамического программирования [43,14,11,15,19,25,34,35]. Впервые метод динамического программирования для решения задачи статистического последовательного анализа, был применен А. Вальдом [11], Ширяевым А. Н. [38]. Для решения задач оптимального управления случайными последовательностями метод динамического программирования применен в работах Блекуэлла [43,44], Ховарда [35], X. Майн, С. Осаки [25]. Эти результаты были обобщены на случай «общих» управляемых случайных последовательностей в работах Ш. Стрибел [55], Е. Б. Дынкина, А. А. Юшкевича [19], И. И. Гихмана, A.B. Скорохода [14]. Современное изложение теории оптимальных стохастических управлений случайными последовательностями содержится в книге Д. Бертсекаса, С. Шрива [2]. Развиваемый в диссертации подход близок к работе В. М. Хаметова, А. Б. Пиуновского [34]. В работе [39] рассмотрена задача оптимального управления семимартингалами.

Отметим, также, что подход, используемый в диссертационной работе к решению задач представления мартингалов с дискретным временем, основанный на теории оптимального управления случайными последовательностями ранее не был использован другими авторами.

4.Перейдем к краткому изложению работы.

В главе 1 приведены необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Глава 2 носит вспомогательный характер с точки зрения конечных результатов и посвящена решению одной специально подобранной задачи оптимального управления случайной последовательностью с мультипликативным критерием. Вводятся необходимые объекты для описания этой задачи и анализируются их свойства. Приводится описание множества допустимых управлений и стратегий, а также достаточные условия допустимости стратегий. Для задачи оптимального управления определяется функция Беллмана, устанавливаются некоторые ее свойства, выводится соответствующее уравнение Беллмана и условия его разрешимости, а также условия существования еоптимальной стратегии, допустимости оптимальной и еоптимальной стратегий.

В главе 3 решается задача построения нескольких видов представлений для измеримых ограниченных величин. Так в § 2 построено (Я, т, А) представление /^-измеримых ограниченных величин. В § 3 получены необходимые и достаточные условия для существования 8-представления. В §§ 4,5 устанавливается так называемые (8,т, А) и е- (5, т, А) -представления и е-Б-представления. § 6 посвящен построению // и (// -v0)-представлений. В § 7 получены новые условия оптимальности стратегий. § 8 содержит применение результатов §§ 2−6 для решения задачи опциона Европейского типа.

Основными научными результатами работы являются: 1) уравнение Беллмана и его вывод, 2) достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана, 3) достаточные условия существования еоптимальной стратегии, 4) необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий, б.

5) оценки для оптимальных управлений, 6) достаточные условия существования №, т, А) и е- (5, т, А) -представлений для измеримых ограниченных величин, 7) необходимые и достаточные условия 5-представимости^{-измеримых} ограниченных величин, 8) связь уравнения Беллмана и 5*,//и {/лБ—представлений для ^ -измеримых ограниченных величин.

Заключение

.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Уравнение Беллмана (2.12) и его вывод (теорема 12).

2. Достаточные условия разрешимости уравнения Беллмана (2.12) (теорема 2.15).

3. Достаточные условия существования е-оптимальных стратегий (теорема 2.18).

4. Необходимые и достаточные условия существования оптимальных стратегий (теоремы 2.16, 2.20−2.23, 2.25).

5. Априорные оценки значений оптимальных и^{-оптимальных} управлений (теорема 3.24).

6. Достаточные условия существования (5, т, А) и е — (5,т, А)-пред-ставлений для Р^-измеримых ограниченных случайных величин (теоремы 3.6, 3.10, 3.11).

7. Необходимые и достаточные условия ¿-" -представимости .^-измеримых ограниченных случайных величин (теорема 3.8).

8. Связь уравнения Беллмана (2.12) и 5, /х5 и /г5 — ^^-представления для Р^-измеримых ограниченных случайных величин (теоремы 3.7, 3.18, 3.19).

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Хаметову В. М. за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к данной работе.

Список основных обозначений.

1) Д1 = Я1 и {оо} - расширенная прямая;

2) 0 — пустое множество;

3) = [0, оо);

4) — множество неотрицательных натуральных чисел;

5) знак = означает «по определению» ;

6) х? А — х — элемент множества А;

7) К1 — ¿—мерное евклидово пространство, элементы которого х = (а¹),. вектора, где х^ - г-ая компонента вектора жд й.

Обозначим (ж, у) = х^у^ - скалярное произведение, где х, у? В? г=1.

8) Пусть я? Е1 через х = у? (з^)2 и 1М1л<* = М;

9) V — квантор общности (для всех);

10) АС В множество, А является частью множества В.

11) А и В (А П В) — объединение (пересечение) множеств, А и В].

12) АСХ f{A) = {f (x):xeA}¦

13) пусть В С У, тогда /" 1 (В) = {х? X: / (х)? В};

14) пусть ?> С X, Ь (я) = <

15) 4 т и{о}.

1, хеИ — индикатор множества V: 0, х 0 ?>