Монотонно невозрастающие случайные поля на частично упорядоченных множествах

Актуальность темы

.

За последние несколько десятилетий в математических работах неоднократно возникали задачи, которые можно описать в терминах вероятностных распределений на множестве идеалов некоторого частично упорядоченного множества.

Здесь, следуя за Д.-К. Рота, идеалом частично упорядоченного множества мы будем называть такое его подмножество, которое вместе с каждым элементом содержит все элементы меньшие данного (см [4] и [27]).

Как будет показано ниже, построение и исследование монотонно невоз-растающих полей на частично упорядоченных множествах естественным образом связано с исследованием распределений вероятностей на множествах идеалов частично упорядоченных множеств.

Одним из интенсивно развивающихся направлений, связанных с идеалами частично упорядоченных множеств, является исследование вероятностных распределений на множестве диаграмм Юнга — ограниченных идеалов целочисленного квадранта iV2, трехмерных диаграмм Юнга — ограниченных о идеалов целочисленного октанта ЛГ, а также марковские процессы, принимающие значения на множестве диаграмм Юнга.

В работах А. М. Вершика и С. В. Керова [9], [10] и [12] была исследована монотонно возрастающая марковская цепь на множестве диаграмм Юнга, у которой начальное состояние (в момент времени 0) — пустая диаграмма Юнга, каждое следующее состояние отличается от предыдущего на одну ячейку, а распределение вероятностей для значения цепи в момент времени п соответствует мере Планшереля симметрической группы степени п. В этих работах описано асимптотическое поведение для описанной в них марковской цепи при больших временахв частности, была найдена асимптотическая форма диаграмм Юнга, являющихся значениями этой марковской цепи.

Также одной из рассматривавшихся задач этого направления является исследование распределения вероятностей на множестве ограниченных идеалов о решетки N, в случае, когда вероятность каждого идеала пропорциональна экспоненте от произведения мощности этого идеала и некоторого отрицательного коэффициента:

P (J) = (1).

В работе Р. Кениона и Р. Серфа [21] была исследована предельная форма случайного идеала, распределенного в соответствии с этой формулой, при, а 0.

В работах А. Ю. Окунькова и соавторов [20, 24 -26] был описан аналитический подход к изучению распределений вероятностей на диаграммах Юнга. Так, например, в работе А. Бородина, А. Окунькова и Г. Ольшанского [20] этот подход использовался для исследования формы значений описанной выше марковской случайной цепи на множестве диаграмм Юнга (также см. [25]), а в работе [26] А. Окуньковым и Н. Решетихиным была изучена форма случайного идеала решетки iV3 как в случае, когда распределение вероятностей задается формулой (1), так и в некоторых более общих случаях.

Другое направление, связанное с распределениями вероятностей на идеалах частично упорядоченных множеств, возникло при построении модели кровотока в сети мелких сосудов. В работе [16] В. А. Антонцом, М. А. Антонцом и И. А. Шерешсвским была построена модель кровотока как марковская цепь, значению которой в каждый момент времени соответствовало корневое дерево сосудов, которые в данный момент заполнены. Таким образом, в этой модели состояние марковской цепи в каждый момент времени описывалось распределением вероятностей на множестве идеалов частично упорядоченного множества — бесконечного корневого дерева Т.

В работе [1] М. А. Антонцом и И. А. Шерешевским был проведен анализ поведения этой марковской цепи и было доказано, что при определенных условиях она будет стремиться к предельному состоянию описывающемуся следующим образом: для любого поддерева Т* дерева Т имеет место равенство т': Т' Df} = (2) где v — мера на множестве вершин дерева Т, определяемая только переходными вероятностями марковского процесса.

В работе [2] М. А. Антонцом и И. А. Шерешевским в связи с рассмотрением моделей роста на произвольном частично упорядоченном множестве (см. [17]) было дано обобщение конструкции меры, описываемой формулой (2) — а именно, была построена мера цр на множестве C{S) всех идеалов частично упорядоченного множества S, удовлетворяющая для любого идеала I из ?(S) следующему соотношению: цр{Г Е C (S): I' D /} = e-'W (3) где р — некоторая конечно-аддитивная (возможно, неограниченная) мера на S. В [2] также были найдены условия на меру р: обеспечивающие существование меры /ip, удовлетворяющей (3), и было показано, что мера рр однозначно определяется мерой р.

Мера определяемая формулой (3), была названа в [2] геометрической мерой, поскольку ее конструкция является обобщением известного геометрического распределения вероятности на N, определяемого соотношением Р{х? N: х>п} = (1 — р) п~1.

В работе [2] также исследовались безгранично делимые меры на решетке идеалов частично упорядоченного множества относительно теоретико-множественного пересечения и было показано, что геометрическая мера является безгранично делимой.

Следует заметить, что безгранично делимые меры на различных решетках (в частности, решетках множеств) ранее изучались многими авторами. Так, в теории Г. Шоке рассматриваются безгранично делимые меры на решетке замкнутых множеств некоторого топологического пространства (см., например, [13]), а И. Молчановым в [23, §§ 3.1−3.2] рассматривались безгранично делимые меры на решетках, топология Скотта которых обладает счетной базой. Однако результаты, полученные М. А. Антонцом и И. А. Шерешевским, не могут быть выведены из результатов Г. Шоке и И. Молчанова, поскольку решетка идеалов частично упорядоченного множества, рассматривавшаяся в работах М. А. Антонца и И. А. Шерешевского ие является частным случаем решеток, рассматриваемых Г. Шоке или И.Молчановым.

В работе [2] было также указано на существование связи между случайными полями на частично упорядоченном множестве Н и мерами на множестве С{Н х R) идеалов частично упорядоченного множества Н х R.

Эта связь обусловлена соответствием между монотонно невозрастающими функциями частично упорядоченном множестве Н и идеалами частично упорядоченного множества Н х R: любой монотонно невозрастающей действительной функции / на Н отвечает идеал Uf — |(а, у) € Н х R: у < /(а)| частично упорядоченного множества Н х R.

Используя это соответствие, можно по случайному монотонно невозрас-тающему полю? на частично упорядоченном множестве Н построить меру на множестве С (Н х R) идеалов частично упорядоченного множества Н х R: если все реализации случайного поля? на Н являются монотонно невозрастающими функциями, то мы можем определить меру // на £(Н х R), полагая для некоторого подмножества, А множества идеалов С{Н х R).

— при этом сигма-алгебра, на которой будет определена мера //, порождается 9 подмножествами, А множества C (HxR), для которых определено выражение в правой части данного соотношения.

Определим для любого конечного подмножества Л множества Н и любой функции х: Л —" R подмножество ya? c множества Н хй, как минимальный идеал частично упорядоченного множества Н хй, порожденным элементами {(a, aj (a)), а? Л}:

Yax = IJ {(а', у') еН хй: о! < а, у' < ж (а)} (4) аел.

Множество YaCC является обобщением диаграммы Юнга на случай частично упорядоченного множества Н х R.

Заметим, что действительная функция / на Н удовлетворяет системе неравенств f (a) > х (а), а Е Л в том и только в том случае, когда идеал Ыf содержит идеал Yx.

Отсюда вытекает, что если для некоторого случайного поля? на Н соответствующая ему мера fi^ на С{Н х R) совпадает с некоторой геометрической мерой ±-р, то для любого конечного подмножества Л множества Н и любой функции х: Л —"• R будет выполняться соотношение.

Р{f (a) > х (а) Va <Е л} = ехр (.

Таким образом мы приходим к следующей задаче: построить по мере р на Н х jr случайное поле монотонно невозрастающее случайное поле rjp на Н такое, что для любого конечного подмножества Л множества Н и любой функции х, А —> R. имеет место равенство.

Р{^р (а)>ж (а) VaGA} = ехр (- р (ya:c)) (5).

Будем называть монотонно невозрастающее случайное поле г) р: удовлетворяющее данному условию для некоторой меры /9, экспоненциально распределенным случайным полем.

Цели и задачи диссертационной работы.

Цели данной диссертационной работы:

• Построение по мере р, заданной на Н х R, экспоненциально распределенного случайного поля гр на Н.

Описание множества мер, заданных на Н х R, по которым можно построить экспоненциально распределенное случайное поле на Н.

• Исследование структуры конечномерных распределений экспоненциально распределенного случайного поля г) р

В данной работе, следуя [2] и [26], коррелятором д&bdquoмеры v, определенной на частично упорядоченном множестве S, мы называем действительную функцию на S, определяемую следующим выражением: для любого х из S.

Заметим, что вероятность в левой части формулы (5) является коррелятором конечномерного распределения случайного поля гр.

Также заметим что конечномерные распределения экспоненциально распределенного случайного поля т]р однозначно определяются формулой (5). Тем не менее для проведения анализа структуры этих конечномерных распределений требуются дополнительные комбинаторно-геометрические построения.

В ходе исследования решались следующие задачи:

1. Описание мер, непрерывных снизу на частично упорядоченном множестве.

Построение по мере р, непрерывной снизу на И х R, экспоненциально распределенного случайного поля гр на Н.

2. Построение разложения конечномерного распределения монотонно невозрастающего случайного поля в сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярных мер, сосредоточенных на подпространствах различной размерности.

Выражение сингулярных слагаемых этого разложения через односторонние частные производные коррелятора конечномерного распределения.

3. Выражение сингулярных составляющих конечномерного распределения экспоненциально распределенного случайного поля г]р через частные производные функции распределения меры р

4. Вычисление конечномерных распределений и вероятностных характеристик экспоненциально распределенного случайного поля г) р, в частном случае, когда мера р является прямым произведением некоторой меры 7 на Н и меры А+, являющейся ограничением меры Лебега, А на положительную полуось R+: р — 7 х А+.

В процессе исследования пришлось решать также следующие задачи:

5. Описание свойств многогранного конуса всех монотонно невозрастаю-щих функций на конечном частично упорядоченном множестве.

6. Выражение распределений вероятности на гранях многогранного конуса через односторонние частные производные коррелятора.

7. Определение условий, при которых меры, заданные на алгебре, порожденной главными идеалами частично упорядоченного множества, и непрерывные снизу, могут быть продолжены на алгебру, порожденную всеми идеалами этого частично упорядоченного множества, при сохранении условия непрерывности снизу.

Объект и предмет исследования.

Объектом исследования данной диссертации являются монотонно невоз-растающие случайные поля на частично упорядоченных множествах.

Предметом исследования данной диссертации являются экспоненциально распределенные случайные поля на частично упорядоченных множествах и структура их конечномерных распределений.

Заметим, однако, что, хотя предметом непосредственного исследования этой диссертации являются экспоненциально распределенные случайные поля, некоторые из полученных результатов относятся к монотонно иевоз-растающим случайным полям общего вида.

Методы исследования.

В данной диссертационной работе используются методы теории вероятностей и теории меры (в частности, геометрической теории меры), теории частично упорядоченных множеств, теории решеток, а также теории многогранных конусов.

Научная новизна.

Результаты данной диссертационной работы являются новыми. Исследование структуры конечномерных распределений случайных полей экспоненциального типа на частично упорядоченных множествах производится впервые.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты, полученные в данной диссертационной работе, имеют теоретический характер.

Результаты работы могут быть использованы в дальнейших исследованиях при изучении монотонно невозрастающих полей на частично упорядоченных множествах, а также при изучении моделей роста на произвольных частично упорядоченных множествах.

Самостоятельный интерес представляет предложенный метод построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на совместных научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики и кафедры математической логики и высшей алгебры факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (сентябрь и октябрь 2006 года).

Также основные положения диссертации докладывались на семинаре в Добрушинской математической лаборатории Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук (апрель 2006 года).

Также некоторые из результатов данной работы докладывались на четвертой молодежной научной школе по дискретной математике и ее приложениям, проходившей на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (сентябрь 2000 года), и на VII Нижегородской сессии молодых ученых, проходившей в Сарове (май 2002 года).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в двух работах автора: [5, 6]. Перевод этих работ на английский язык см. в [18, 19].

Личный вклад автора.

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Структура диссертации.

Текст диссертации можно разделить на три части:

• в главах 1−3 методы геометрической теории меры и теории многогранных конусов используются, чтобы описать структуру конечномерного распределения монотонно невозрастающего случайного поля;

• главы 4 и 5 посвящены построению экспоненциально распределенных случайных полей на частично упорядоченных множествах, исследованию конечномерных распределений этих полей, и вычислению их вероятностных характеристик;

• в главе 6 результаты главы 5 используются для построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.

Опишем план диссертации.

Заключение

.

В данной работе получены следующие результаты:

1. Найдены условия, при которых распределения вероятности на гранях многогранного конуса выражаются через односторонние частные производные коррелятора.

2. Дано описание свойств граней многогранного конуса всех монотонно невозрастающих функций на конечном частично упорядоченном множестве.

3. Найдены условия, при которых конечномерные распределения монотонно невозрастающего случайного поля разлагаются в сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярных мер, сосредоточенных на подпространствах различной размерности.

Также найдены формулы, позволяющие выразить сингулярные слагаемые этого разложения через односторонние частные производные коррелятора конечномерного распределения.

4. Определены условия, при которых меры, заданные па алгебре, порожденной главными идеалами частично упорядоченного множества, и непрерывные снизу, могут быть продолжены на алгебру, порожденную всеми идеалами этого частично упорядоченного множества, при сохранении условия непрерывности снизу.

Найдены условия, при которых по мере р, непрерывной снизу на Н х R, можно построить экспоненциально распределенное случайное поле Г) р на Н.

Получены соотношения, с помощью которых сингулярные составляющие конечномерного распределения экспоненциально распределенного случайного поля гр, сосредоточенные на подпространствах различной размерности, можно выразить через частные производные функции распределения меры р.

7. Вычислены конечномерные распределения и вероятностные характеристики экспоненциально распределенного случайного поля т]р: в частном случае, когда мера р является прямым произведением некоторой меры 7 на Н и меры А+, являющейся ограничением меры Лебега, А на положительную полуось R+: р = 7 х А+.

8. Также был предложен метод построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.