Компьютерные математические системы в моделировании динамических объектов

Под динамическими объектами в данной диссертационной работе подразумеваются как реальные (физические) объекты, так и виртуальные объекты, системы и процессы. Примерами виртуальных объектов могут быть виртуальные волны, движущиеся со сверхсветовыми скоростями [1], искусственно созданные графические объекты (например, точки промежуточных решений или симплексы при решении задач оптимизации) и др.

Для решения задач моделирование динамических объектов созданы многочисленные численные методы и различные методики численного моделирования [2−30, 93−96]. До сих пор они преимущественно реализовывались с помощью программ, которые готовились на языках программирования. Это требовало от ученых, преподавателей и студентов вузов обширных знаний в чуждых для них сферах, связанных с программированием.

Для моделирования и исследования динамических объектов, систем и процессов был создан ряд программных средств: «Dynsim», MathBrain", M20-sim Pro", «CC», «Компас» и др. Они позволяют достаточно просто выполнять анализ и моделирование линейных систем и нелинейных с типовыми нелинейностями.

Однако данные системы имеют ограниченные средства визуализации результатов анализа и моделирования и не позволяют моделировать динамические объекты и системы с нетиповой, в частности, произвольной нелинейностью.

В связи с этим актуальны поиск и разработка принципиально новых средств моделирования динамических объектов, систем и процессов, в которых на компьютер возлагается большая часть вычислений, представленных не только в численном, но и в аналитическом виде. В данной диссертационной работе впервые достаточно полно исследован ряд современных систем компьютерной математики и предложены подходы к их применению для решения динамических задач на массовых персональных компьютерах (ПК), исключающих необходимость в традиционном программировании или резко снижающие потребности в этом.

Будучи принципиально новыми средствами решения математических задач, системы компьютерной математики (СКМ) требуют новых принципов, подходов и методик для их эффективного применения в решении задач математического моделирования динамических объектов, систем и процессов. Их разработка, как и научно-обоснованный выбор СКМ, и составляет главную цель данной диссертационной работы. При этом в ней рассматривается достаточно широкий класс задач математики, физики и других областей естествознания.

Надо отметить, что большинство фирменных примеров к таким системам носят отвлеченный характер и призваны показать стандартные возможности систем. Примеры в данной диссертационной работе носят практический характер и иллюстрируют трудности решения практических задач и пути их преодоления. Особое внимание уделено математической, физической и графической визуализации результатов моделирования на основе использования новейших достижений цветной машинной графики и анимации.

Нельзя не отметить важность данных исследований, как для науки, так и для системы образования. Часть физических задач в области моделирования динамических объектов, систем и процессов была специально разработана для целей образования с целью наглядной демонстрации обширных возможностей СКМ в образовании. Исследование СКМ и решение с их помощью задач естествознания поддержано грантом Минобразования РФ 1997 г. По результатам исследований опубликовано 3 справочные монографии [2,4,32] и ряд других работ [53,54,57−60,97−101]. Внедрение этих работ в учебный процесс позволяет повысить фундаментальность высшего образования РФ и обеспечить возможности интеграции нашей системы высшего образования с мировой системой образования, где СКМ уже применяются достаточно широко .

Целью диссертационной работа! является исследование обширных возможностей универсальных СКМ как инструментальных средств для решения широкого спектра задач естествознания, разработка методов и средств моделирования динамических объектов, систем и процессов с помощью СКМ и их интеграция на уровне взаимных объектных связей.

В соответствии с указанной целью определены следующие задачи исследований.

1. Классификация, научно-обоснованный выбор и исследование возможностей универсальных СКМ в численно-аналитическом моделировании динамических объектов с наглядной визуализацией всех этапов вычислений.

2. Анализ возможностей расширения спектра решаемых с помощью универсальных СКМ задач естествознания.

3. Разработка методических пособий и справочных книг по СКМ, содержащих практически полезные примеры моделирования.

4. Анализ возможностей совместной работы над математическими проектами в сети Internet.

5. Изучение возможностей многокомпонентной работы СКМ и их взаимной интеграции.

Методы исследования. В диссертационной работе для решения поставленных задач используются:

1.Математическое моделирование динамических объектов и систем на основе СКМ.

2.Изучение и анализ научной и учебной литературы по проблематике исследования.

3.Создание аналитических и численно-аналитических моделей динамических объектов, обеспечивающих моделирование при помощи современных СКМ.

4.Применение объектной связи (OLE и DLE) с целью интеграции возможностей СКМ и исследование ресурсов систем, поддерживающих их интеграцию.

Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением теоретических расчетов с данными, полученными на описанных в специальной литературе физических установках, с расчетами, проведенными с помощью разных СКМ, и решением ряда предложенных в диссертационной работе тестовых примеров.

Научная новизна.

1. Разработана новая методика решения задач динамики с заменой умственных вычислений на автоматические, осуществляемые СКМ.

2. Предложено решение систем дифференциальных уравнений (ДУ) в векторной форме без применения отсутствующих в СКМ Mathcad многомерных массивов.

3. Предложено аналитическое решение в системе Mathcad линейных ДУ на основе автоматических преобразований Лапласа.

4. Предложено применение сплайн—аппроксимации при табличном задании Nи Л-образной ВАХ, позволившее создать универсальную модель релаксационного генератора на приборах с такими ВАХ и выполнить ее анализ.

5. Разработана методика спектрального анализа и синтеза повышенной точности (с подавлением эффекта Гиббса), основанная на обработке дополнительных отсчетов временной зависимости сигналов, полученных с использованием многоинтервальной линейной интерполяции.

6. Выполнено численно-аналитическое моделирование ряда динамических объектов и систем в области естествознания: полета тела, колебаний рамки с током в магнитном поле, движение частиц и т. д., разработан комплекс решений тестовых физических задач (около 150).

7. Оценены возможности интеграции СКМ с использованием механизмов объектной межкомпонентной связи и применения системного интегратора MathConnex и предложен проект АРМ математика и инженера на базе этих систем.

Практическая ценность работы заключается в использовании СКМ как инструментальных средств для подготовки обширной серии физических и научно-технических задач с повышенной степенью наглядности их постановки и решения, а также с применением новейших средств визуализации и анимации результатов вычислений.

Результаты проведенных исследований вошли в книги, изданные издательством «Нолидж» (Москва), что в значительной мере позволило устранить острую нехватку русскоязычной литературы, описывающей эти системы, и сделало их доступными для широкого круга специалистов разных профилей.

Основные положения, выносимые на запрету:

— полная или частичная замена математических преобразований и выводов, ранее выполняемых исследователями мыслительно, результатами автоматических аналитических преобразований и выводов, осуществляемых символьными СКМ;

— современные СКМ (Mathcad, Maple V, MATLAB) как новые средства решения задач моделирования динамических объектов;

— решение ряда классических задач физики, механики и электро-радиотехники, подтвердившее ряд теоретических положений и подтверждающее апробацию предложенных решений;

— новая методика моделирования динамических объектов в виде программ в среде Mathcad, Maple V, MATLAB с визуализацией всех этапов решения конкретных задач и оптимизацией процесса вычислений;

— интеграция СКМ на основе механизма объектной межкомпонентной связи и применения системного интегратора MathConnex;

— проект автоматизированного рабочего места математика-инженера на базе СКМ с пакетами и библиотеками расширений.

Реализация результатов работы:

— бета-тестирование СКМ Mathcad 8 по заказу фирмы MathSoft;

— примеры применения системы Mathcad, размещенные на Интернет-сайте корпорации SoftLine;

— три справочные монографии, изданные в издательстве «Нолидж» с общим тиражом более 15 000 тыс. экзинформация по книгам в Интернет-магазине фирмы SoftLine;

— физический практикум и спец. курсы по применению СКМ для физических и математических расчетов, поставленные в СГПУ.

Основные научные направления, по которым выполнялась работа: в основу диссертации легли работы, выполнявшиеся автором по приоритетному научному направлению: «Применение математических средств и методов в задачах естествознания», шифр 14.3, код рубрикатора ГРНТИ 29.05.05., 29.05.03., а также в порядке выполнения гранта Министерства общего и профессионального образования, проводимого в соответствии с приказом от 2 июня 1997 года, № 1083 и временным положением об организации конкурсов грантов в системе Государственного комитета РФ по высшему образованию, утвержденным приказом Государственного комитета РФ по высшему образованию от 30 апреля 1993 года, № 5.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были использованы в учебных курсах информатики и математического моделирования, а также в вычислительной практике в Смоленском государственном педагогическом университете, докладывались автором и обсуждались на международной научно-методической конференции, посвященной 75-летию со дня рождения М. Б. Балка (Смоленск, 1998), на международной конференции ИОЛ-99 (Санкт-Петербург, 1999), на II международной научной конференции «Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании (Минск, 1999), на пятой и шестой военно-научных конференциях Военного университета войсковой ПВО ВС РФ (Смоленск 1998, 1999), на научно-технических семинарах кафедры «Физическая и информационная электроника» СГПУ. Основные результаты проведенных исследований вошли в книги [2,4,32].

Основные результаты проведенного в диссертационной работе исследования состоят в следующем:

— Проведено сравнение по функциональным возможностям и скорости работы ряда СКМ и установлено, что для решения динамических задач наиболее подходит комплекс систем Mathcad, Maple V и MATLAB на основе единого ядра символьной математики.

— Разработана достаточно гибкая и универсальная методика решения задач динамики, основанная на замене умственных аналитических вычислений автоматическими и использовании новейших средств визуализации как промежуточных, так и конечных результатов.

— Предложены новые приемы решения задач динамики в аналитическом виде: векторная запись систем ДУ без использования многомерных массивов, создание ранжированных размерных переменных, автоматическое применение преобразований Лапласа для решения в среде Mathcad дифференциальных уравнений, сплайновая аппроксимация табличных данных при спектральном анализе и анализе релаксационных колебаний и др.

— Впервые с применением разработанного метода проведено моделирование ряда динамических объектов и систем в области естествознания: полета тела, колебания рамки с током, движения частиц, колебания в системе с устройством, имеющим Nи.

А-образную ВАХ и др.

Решена задача комплексной визуализации численно-аналитических вычислений. Показаны возможности наглядной визуализации с применением средств графической визуализации в решении таких задач как дифракция и интерференция, колебания маятника и груза на пружине, полет тел и элементарных частиц и др.

— Разработана и подробно описана методика и технология применения анимационной графики на примерах решения динамических задач теоретической физикиразработана методика представления реальных динамических объектов с помощью графических примитивов (маятника, груза на пружине и т. д.), движущихся по закону, описанному полученной в ходе решения аналитической зависимостью, или в виде матрицы численных значений.

— Создан обширный комплекс тестовых примеров и задач в области теоретической и прикладной физики, наглядно демонстрирующей возможности систем компьютерной математики в решении задач естествознания.

— Определены и обоснованы возможности комплексного применения СКМ для ряда математических расчетовустановлено, что применение для этого систем Maple V и MATLAB позволяет сочетать приемы процедурного программирования и создания подключаемых библиотек с мощными возможностями символьных вычислений.

— Исследованы сайты фирм — разработчиков математических систем и возможности совместной работы над сложными математическими проектами в сети Internetустановлено, что на прямую работу над совместными проектами более ориентированы системы Mathcad и Maple V.

— Результаты исследований были использованы при бета-тестировании системы Mathcad 8.0 по заказу фирмы MathSoft. Inc. (США), при выполнении работ по гранту Минобразования РФ и при подготовке трех книг по математическим системам Mathcad и MATLAB, изданных издательством «Нолидж» (г. Москва).

— Разработаны возможности интеграции систем компьютерной математики при решении ряда задач на основе многокомпонентной работы с объектными связями между компонентами и использования системного интегратора MathConnex.

— Предложен проект АРМ математика-инженера на базе систем Mathcad, MATLAB, Maple V с пакетами расширений и библиотеками расширений.

— Апробация диссертационной работы подтверждена участием в Международных конференциях, тождественностью полученных результатов эксперименту и публикацией их в указанных выше книгах, изданных большим тиражом и доступных научной общественности.