Приведение по Коркину-Золотареву положительных квадратичных форм от n

Большинство проблем геометрии положительных квадратичных форм исследуется и решается такими путями, которые требуют выбора некоторого способа целочисленного унвмояулярного приведения. Настоящая диссертация посвящена одному из таких способовприведению по Коркину-Золотарёву. Для положительных квадратичных форм от трёх переменных это приведение было предложено в 1869 голу в магистерской диссертации Е. И. Золотарёва [i], а для квадратичных форм от произвольного числа переменных — в совместной работе А. И. Коркина и Е. И. Золотарёва Г2], опубликованной в 1873 году.

До работ С 1,2] задача приведения положительных квадратичных форм рассматривалась 1&-уссом [5J, Лагранжем [4j, Зеебе-ром [б], Эрмитом [6aJ. В работах [4], [5], И вопрос о приведении был решён, т. е. были разработаны некоторые определённые способы приведения, для форм 2-х и 3-х переменных. В работе [баЛ был предложен способ приведения, пригодный для положительных квадратичных форы произвольного числа переменных.

Приведение по Коркину-Золотарёву было использовано его авторами [2,3] для отыскания особых классов положительных квадратичных форм, представителей которых они назвали предельными формами. В работах [2,3] Коркин и Золотарёв нашли ряд важных соотношений между коэффициентами приведённых форм, вывели предельные формы от я- ^ 5 переменных и, как следствие последнего, получили для л-£5 значения постоянной Эрмита .

Изложение в работах Г2, з] велось ещё чисто арифметически. В дольне шлем, когда теория положительных квадратичных форм нашла приложение в геометрии решёток, методы Коркина и Золотарёва, развитые в работах Г2, з], сделались, и продолжают оставаться, одними из основополагающих в проблеме решётчатых упаковок равных шаров в пространствах Е (см. обзоры [7,8.1^.

На языке решёток предельный формам от п* переменных соответствуют ги — мерные решётки, на которых достигаются локальные максимумы плотности решётчатых упаковок равных шаров в пространстве Е, а по постоянной Эрмита выводится значение абсолютного максимума такого рода плотности. Таким образом, в работах [2,з] дано решение задачи о наиболее плотных решётчатых упаковках при.

Впоследствии методы работ [2,3] были приложены и развиты для более высоких размерностей БЛихфельдтом, который нашёл £э] значения постоянной Эрмита при А- = 6,7,8 и тем самым решил задачу о наиболее плотных решётчатых упаковках в пространствах? ,, Е .К работе [9 J тесно примыкает недавняя статья Н. М. Ветчинкина [ю], где доказана единственность классов положительных квадратичных форм от /гпеременных, на которых достигаются значения]^, 6,7,8. Таков краткий перечень наиболее значительных результатов и работ, фундаментально опирающихся на приведение по Коркину-Золотарёву.

За время развития теории положительных квадратичных форм, сначала в арифметическом изложении, а затем как геометрии положительных квадратичных форд, были предложены и для некоторых, сравнительно небольших значений It в большей или меньшей степени детально разработаны многие способы приведе-' ния: приведение Эрмита, Минковского, Вороного, Зеллинга-Шарва (см. обзоры Cei, 8], статьи [l2,I3]). В 1940 г. Б. А. Венков [14] (см. также [13J) открыл общий метод для построения при.

— 6 ведений одного специального вида.

К настоящему времени одним из наиболее далеко продвинутых, как по величине значений lb, так и по детальности разработки, является приведение по Минковскомуобласти и алгоритмы этого приведения, не требующие перебора точек решётки, найдены при всех/t⁷ (Минковский [15−18], С. С. Рынков [19 J, П.П. Там-мела [20,2l]J, некоторые из областей приведения исследованы очень подробно (Варне и Кон [22J, Рышков и Кон [23], Рышков, Кон и З. Д. Ломакина [24]). Б последние годы довольно много работ посвящено предложенному Г. Ф. Вороным [25] приведению по совершенным формам (Рышков [2б], Стаей [27], Ломакина [28,29]- см. также обзор [в]), найдены область и алгоритмы приведения по Зеллингу-Шарву при Ц=5 (е.П. Барановский [30]), для vl~ Ъ рассмотрены некоторые из приведений Венкова (Рышков [13]).

В отличие от всех других перечисленных выше способов приведения, в случае приведения по Коркину-Золотарёву вопрос отыскания областей приведения, исключая почти тривиальный случай /t= 2, насколько нам известно, ни в каких публикациях не рассматривался. (Возможно, причиной этого была нелинейность задающих области приведения по Коркину-Золотарёву неравенств, которая позволяла предполагать трудность привлечения этих областей к решению задач геометрии положительных квадратичных форм. В других исследованных способах приведения их области приведения в пространстве коэффициентов форм задаются только линейными неравенствами).

Другим недостатком теории приведения по Коркину-Золотарёву было то, что известный алгоритм этого приведения (см., например [II]) базировался на переборах точек решётки, соответствующей приводимой положительной квадратичной форле.

С.С. Рышков поставил перед автором настоящей диссертации задачу об отыскании областей приведения по Коркину-Золотарёву при ^>3 и о построении такого алгоритма приведения в эти области, который был бы в той же мере удобен для пользования, как, например, алгоритм приведения по Минковскому при /г-£7. Позднее аналогичные вопросы были сформулированы в книге Кас-седса [3lJ. Полученные при решении этой задачи результаты и легли в основу предлагаемой диссертации.

Известный алгоритм приведения по Коркину-Золотарёву, если его высказать на геометрическом языке приведённых реперов решётки (см. [ll]), заключается в следующем. В решётке Q., соответствующей приводимой форме /(к*ос^) j в качестве первого вектора €< приведённого репера выбирается один из минимальных векторов решётки /J. Затем решётка /J проецируется Ha (Vij — мерное линейное подпространство, ортогональное — * п («—о вектору ив полученной проецированием решётке Л» выбирается один из её минимальных Еекторов. Среди векторов решётки Q, проекцией которых является вектор

—, в качестве второго вектора ^ приведенного репера берётся самый короткий, причём образующий с вектором неострый угол. .Здлее решётка проецируется на (н*- 2) -мерное линейное подпространство, ортогональное векторам и, в проекции i j. решётки // на это подпространство выбирается один из минимальных векторов е5, и среди векторов решётки //, проекцией которых являются векторы.

—^з, б качестве третьего вектора приведённого репера берётся тот из самых коротких, который образует с вектором неострый угол. Аналогичный способом выбираются и остальные векторы приведённого репера. Аналитическое описание этого алгориша можно найти в [8]. Неудобство алго — (н-/) ритма заключается в том, что для отыскания векторов, t,.

-(JL) > ь-/ приходится выбирать некоторые конечные множества целых точек (ос^.^ ос*^), с f заведомо содержащие минимальные Бекторы, а затем посредством перебора точек в каждом из таких множеств находить представления минимума соответствующей формы.

При аналитическом выполнении алгоритма приведения по Коркину-Золотарёву наиболее удобно рассматривать квадратичные формы.

Хн.) — ZT/^v ХС OCj 9 (0.1) записанными в виде разложений по Лагранжу ffx*,., Х^)^ - i^v Xjf. (0.2).

J — «V/.

Представление положительной квадратичной формы в виде (0.2 j принято и в настоящей диссертации, и поэтому области приведения выбираются в пространстве коэффициентов сС,*,., таких разложений, а не в пространстве коэффициентов форм как делается при других способах приведения.

Установлено, что при любом данном натуральном п^{существует} конечная зависящая от *ь> система М-^ неравенств, наложенных на коэффициенты ^^ - ^ ^ разложения (0.2,/, которая представляет собой совокупность необходимых и достаточных условий того, что положительная квадратичная форма (ОЛ), записанная в виде разложения по Лагранжу (0.2), приведена по Коркину-Золотарёву. Эти неравенства двух видовлинейные неравенства г — -? — ^ -z >г* Со. з) наложенные на «внутренние» коэффициенты разложения ф. ф, и неравенства вида (система М ^) ф.:. = Г//).

Ь г с е { i-fjj /с elJ, где строка (gc, .v J пробегает при данном Анекоторое конечное зависящее лишь от множество наборов целых значений. Следовательно, граница области образована конечнш числом <) — мерных плоскостей и поверхностей 3-его порядка.

Основные результаты диссертации:

1. Для всех размерностей а* - 8 системы неравенств М ^ получены в явном виде. Для каждого из п-? 5 доказано, что полученная система М ^ минимальна — среди её неравенств нет ни одного, которое было бы следствием остальных неравнств этой системы и линейных неравенств.

2. Построены алгоритмы приведения в области Ж^, основанные на использовании систем Мн, и не требующие перебора точек решётки.

Отметим, что те методы, посредством которых получены перечисленные результаты могут быть использованы и в более высоких размерностях.

Кратко изложим содержание диссертации по главам: Глава I «Конечность числа неравенств, задающих области приведения» является вводной. Первые два параграфа этой главы содержат достаточно широко известные сведения о задаче приведения в геометрии положительных квадратичных форм и, в частности, о приведении по Коркину-Золотарёву. Далее в § 3, в те ореме I. I устанавливается, что при любом данном натуральном псуществует конечная, зависящая от ^ система неравенств, образующих совокупность необходимых и достаточных условий того, что положительная квадратичная форма J-fXi, .j Хи,)^ записанная в виде её разложения по лагранжу, приведена по Коркину-Золотарёву.

Отметим, что при предложенном ниже в диссертации конкретном построении системы М hs среди её неравенств мо1ут оказаться и необязательные, являющиеся следствиями неравенств списка (0.3J и других неравенств этой системы, то есть получается хотя и конечная, но не минимальная система.

Глава П «Области и алгоритмы приведения для форм от 2-х и 3-х переменных» содержит вывод областей приведения JC^, «^j и алгоритмов приведения для форм от 2-х и 3-х переменных, проведённый независимо от построения общей теории и выполненный с большими подробностями. Такое выделение случаев = 2,3, по нашему мнению, позволяет сделать чтение работы более удобным, так как теория построения областей и алгоритмов приведения по Коркину-Золотарёву при фиксированных ^ уже сама по себе просматривается в этих случаях, в особенности в случае 3. Кроме того, всего вероятнее, что именно случаи = 2 и 3 прежде других могут потребоваться в приложениях.

Для случая форм от 2-х переменных показано, что минимальная система М ь состоит только из одного неравенства.

Таким образом, вся система, задающая область, состоит всего из трёх неравенств: названного вше и неравенств Оё ^ ^ вида (О.ЗЗ. Отметим, что в пространстве /& У коэффициентов форм области Хд, с & 3 соответствует область, эквивалентная области приведения по Лагранжу 0 — ^^^ Естественно, что и алгоритм^ju приведения форм от двух переменных по Коркину-Золотарёву по существу оказался совпадающим с алгоритмом приведения по Лагранжу.

Если случай = 2 ещё мало показателен для специфики приведения по Коркину-Золотарёву, то при = 3 уже видны характерные черты построения теории в случае произвольного :

1) способ получения системы М и,, основанный на разделении её неравенств на те, что являются следствиями неравенств приведения в меньших размерностях, и на неравенства, впервые появляющиеся при данном ^ ;

2) способ доказательства минимальности системы А1*. ;

3) выделение в алгоритме приведения ^^.преобразований, приводящих к выполнению серии неравенств (о.з), и преобразований, приводящих к выполнению неравенств системы М ;

4) способ доказательства конечности алгоритма ОЬ*, .

В § I главы Ш «Общие вопросы строения и вывода областей и алгоритмов приведения по Коркину-Золотарёву» дано описание целочисленного унимолулярного преобразования посредством которого данная положительная форма /, заданная в виде разложения по Ланранжу, переводится в эквивалентную ей форму, для которой условие приведения (о.з) выполнены, а коэффициенты ., Лразложения остались теми же, что и у форш / .

В §§ 2−4 получены важные свойства систем неравенств М и, при произвольном и^, а также специфические свойства этих систем для случаев к- - 8. В следующих главах на базе этих свойств строятся конкретные системы Ми, (а * ^? s) и проводятся доказательства минимальности систем Mi,, Ms .

В § 5 главы Ш содержится описание для ^? 8 общей схемы алгоритма ОЬи, приведения по Коркину-Золотарё ву и доказательство его конечности. Основным в этом новом алгоритме приведения является то, что каждому из неравенств системы м ксопоставляется преобразование W, переводящее форму? , для которой это неравенство не выполняется, в эквивалентную ей форму т, для которой оно выполнено. Алгоритм fft^ не требует переборов точек решётки и составлен из шагов трёх видов: ij запись приводимой формы / в виде разложения по Лагравд- ^.

2) выполнение преобразования Us ;

3) проверка выполнения неравенств системы Af/tи выполнение преобразования W, сопоставленного не выполненному неравенству системы At ^.

Глава ЗУ 'Построение областей и «посвящена выводу, на основе общей теории главы Ш, минимальных систем М iv в случаях форм от 4-х и 5-ти переменных и конкретизации соответствующих алгоритмов. Оказалось, что система Мц состоит из 21 неравенства, из которых 9 неравенств вытекают из систем М^и М3, а 12 — существенно новые, характерные .для размерности п> = 4. Система М5состоит уже из 89 неравенств, из которых существенно новых 52. При доказательстве минимальности построенной системыМ^, ввиду громоздкости вычислений, была использована ЭВМ. Программа этих вычислений и их результаты даны в Приложении к.диссертации.

В главе У, последней, проведен вывод систем М^для размерностей 6,7,8. Систему Мg составили, во-первых, 157 неравенств, вытекающих из системMs и, во-вторых, 408 новых, появляющихся только начиная с размерности Н* = 6, неравенств. Доказательство минимальности построенных систем.: Mt’Mgне проводилось, поэтому число новых неравенств у минимальной системы Меокажется, возможно, и меньшим, чем 408. В еще большей степени это замечание относится к числу неравенств систем Мь Mf .

В «Заключительных замечаниях» рассмотрены некоторые вопросы связанные с перспективами расширения исследований данной диссертации на большие размерности.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [32] и [33]. Они докладывались на Всесоюзной школе по теории чисел (г.Душанбе, 1977), Всесоюзном симпозиуме по теории симметрии и ее обобщением (г.Кишинев, 1980) ?35], некоторые из результатов. диссертации включены в обзорную статью [8] .

Диссертация выполнена в Ивановском государственном университете .

Автор пользуется случаем выразить глубокую признательность С. С. Рышкову и ЕЛ. Барановскому за предложенную тему, постоянное внимание и ценные советы во время работы над диссертацией.

1. Е. И. Золотарёв. Об одном неопределенном уравнении третьей степени. — Магистерская диссертация, 1869, .(см. также За).

2. A. Korkine, G.Zolotareff. Sur les formes quadratiques. -Math.Ann.I873, 6, 366−389 (см. также За).

3. A. Korkine, G.Zolotareff. Sur les formes quadratiques positives. Math. Ann., 1877,11, 242−292 (см. также За).За. Е. И. Золотарёв. Полное собрание соч., вып. I, Изд-во А.Н., 1931 г.

4. L.У.Lagrange. Recherches d’arithmetique. ETeuveaux Memoires de I’Academie royal des Sciences et Belles-Lettres de Berlin.1973, 265−312см.также Oeu-Vvts, щ, 693−758).5. k.F.Gauss. Disquisitiones arithmetical. Werke, Bd. I, art. 171, S. X46.

5. Б. Н. Делоне. Геометрия положительных квадратичных форм. -У.М.Н. 1937, вып. 3,16−62, 1938, вып.4, 102−164.

6. С. С. Рышков, Е. П. Барановский, Классические методы теории решетчатых упаковок. Успехи мат. наук, 1979, 34, вып.4,3−63.

7. H.F.Blichfeld. The minimum values of positive quadratic о forms in six, seven and eight Variables. .Math. Zeitsch., 1934;5,39,1−15.

8. Н. М. Ветчинкин. Единственность классов положительных квадратичных форм от^{переменных,} на которых достигаются значения ^ (при п- =6,7,8). Труды МШШ СССР им. В. А. Стеклова, 152,1979.

9. B.L. van der Waerden. Die Reduktionstheorie derquadratischen Formen. Acta mathem., 1956,96,265.309- 1957, 98, 3−4,.

10. С. С. Рышков. 0 приведении положительных квадратичных формот переменных по Эрмиту, по Мянковскому и по Венкову.- ДАН СССР, 1972, 207, № 5, 1054−1056.

11. С. С. Рышков. 0 приведении положительных квадртичных форм по Венкову. Учён.зап.Ивановского ун-та, 1974, 89, 5−36.

12. Б. А. Венков. 0 приведении положительных квадратичных форм.- Изв. АН СССР, серия матем., 1940, 4, Ж, 37−52.

13. Н.Minkowski. Sur la reduction des formesquadratiques positives quaternaires. — Compl. Rend. Acad. Sei., 1883,95,1205−1210.

14. H.Minkowski. Uber positive quadratische Formen .J. reine und angew. Math., 1886,99,1−9.

15. С. С. Рышков. К теории приведения положительных квадратичных форм по Эрмиту-Минковскому. -Исследования по теории чисел. 2. (Записки научных семинаров ЛОМИ, 33), 1973, 37−64.

16. П. П. Таммела. Область Эршта-Минковского приведения положительных квадратичных форм от шести переменных.- Исследования по теории чисел. 2. (Записки научных семинаров ЛОМИ, 33), 1973, 72−89.

17. П. П. Таммела. Область приведения Минковского для положительных квадратичных форм от семи переменных. Исследования по теории чисел. 4. (Записки научных семинаров ЛОМИ, 67), 1977, 108−143.

18. B.S.Barnes, M.J.Cohn. Ou Minkowski reduction ofpositive quarternary quadratic formes. Mathematika, 1976,23,156−158.

19. С. С. Рышков, М.Дж.Кон. К теории строения области приведения Минковского. Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1980, 152.

20. С. С. Рышков, М.Дж.Кон, З. Д. Ломакина. Вершины симметризо-ваннои области Минковского при п>£5. Труды матем. ин-тв им. В. А. Стеклова, 1980, 152.

21. G.Torovoi. Sur quelques proprietes des formesquadratiques positives parfaites. -J.reine und qngew. Math., 1908, 133,97−178.;

22. С. С. Рышков. К проблеме отыскания совершенных квадратичныхформ от многих переменных. Трубы матем. ин-та им. В. А. Сте (к-лова АН СССР, 1976, 142, 215−239.

23. K.C.Stacey. The enumeration of perfect septenary forms. J .London Math. Soc, 1975, 10, 97−104.

24. З. Д. Ломакина. Полиэдр Вороного П (л) при fb-Ъж максимальные конечные группы целочисленных 5×5 матриц. -Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1980, 152, I38-I6I.

25. З. Д. Ломакина. Исследование граней полиэдра Вороного с приложениями к геометрической кристаллографии и теории приведения. Диссертация, Москва, 1980.

26. Е. П. Барановский. Область приведения по Зеллингу положительных квадратичных форм от пяти переменных. Труды матем. ин-ститута mi.В. А. Стеклова, 1980, 152, 5−33.

27. J.W.S.Cassels. Rational quadratic forms. -L., N., Y., San Francisco: Acad., Press., 1979 (русский перевод: Дж.Касселс. Рациональные квадратичные формы. -Москва «Мир», 1982).

28. Н. В. Захарова (Новикова). Об одной системе условии того, что положительная квадратичная форма приведена по Коркину-Золотарёву. Тез.докл. и сообщ. Всесоюзной школы по теории чисел, Душанбе, 1977, 44.

29. Н. В. Новикова. Новый алгоритм приведения положительных квадратичных форм в область Коркина Золотарева. — Тез. докл. Всесоюзного симпозиума по теории симметрии и ее обобщениям, Кишинев, 1980, 85−86.